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数值分析实验报告总结

随着电子计算机的普及与发展，科学计算已成为现代科学的重要组成部分，因而数值计算方法的内容也愈来愈广泛和丰富。通过本学期的学习，主要掌握了一些数值方法的基本原理、具体算法，并通过编程在计算机上来实现这些算法。

算法

算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成的完整的解题步骤。算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然语言来进行描述。具有的特征：正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、使用资源少、逻辑结构简单、便于实现、计算结果可靠。

误差

计算机的计算结果通常是近似的，因此算法必有误差，并且应能估计误差。误差是指近似值与真正值之差。绝对误差是指近似值与真正值之差或差的绝对值；相对误差：是指近似值与真正值之比或比的绝对值。误差来源见表表

第三章泛函分析

泛函分析概要

泛函分析是研究“函数的函数”、函数空间和它们之间变换的一门较新的数学分支，隶属分析数学。它以各种学科

为具体背景，在集合的基础上，把客观世界中的研究对象抽象为元素和空间。如：距离空间，赋范线性空间，内积空间。

范数

范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，泛函是一个函数，其为矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。这里以Cn空间为例，Rn空间类似。最常用的范数就是p-范数。那么

当p取1，2，∞的时候分别是以下几种最简单的情形：1-范数：║x║1=│x1│+│x2│+?+│xn│

2-范数：║x║2=1/2

∞-范数：║x║∞=max

其中2-范数就是通常意义下的距离。

对于这些范数有以下不等式：║x║∞≤║x║2 ≤║x║1 ≤ n1/2║x║2 ≤ n║x║∞

另外，若p和q是赫德尔共轭指标，即1/p+1/q=1，那么有赫德尔不等式：

|| = ||xH*y| ≤║x║p║y║q

当p=q=2时就是柯西-许瓦兹不等式

一般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相容性：║XY║≤║X║║Y║。所以矩阵范数通常也称为相容范数。

如果║·║α是相容范数，且任何满足║·║β≤║·║

α的范数║·║β都不是相容范数，那么║·║α称为极小范数。对于n阶实方阵全体上的任何一个范数║·║，总存在唯一的实数k>0，使得k║·║是极小范数。

注：如果不考虑相容性，那么矩阵范数和向量范数就没有区别，因为mxn矩阵全体和mn维向量空间同构。引入相容性主要是为了保持矩阵作为线性算子的特征，这一点和算子范数的相容性一致，并且可以得到Mincowski定理以外的信息。

本学期讲解过的主要算法列举如下：线性方程组的解法；非线性方程的求根方法；矩阵特征值与特征向量的计算；函数的插值方法；最佳平方逼近；数值积分与数值微分；常微分方程初值问题的数值解法。下面对主要算法进行分析。

线性方程组的解法

本章学习了一些求解线性方程组的常用方法，其中Gauss消元法，列主元消元法，LU分解法，追赶法和LDL’分解法都是解线性方程组的直接方法；而Jacobi迭代法和SOR法则是解线性方程组的基本迭代法。求解线性方程组时，应该注意方程组的性态，对病态方程组使用通常求解方程组的方法将导致错误。迭代求精法可用于求解某些病态方程。

高斯列主元LU分解法求解线性方程组

高斯消元法和LU分解法是直接法求解线性方程组中的两种方法。其中高斯消元法的基本思想是将线性方程组()通

过消元，逐步化为同解的三角形方程组，然后用回代法解出n个解。高斯列主元消元法则是在高斯消元法的基础上提(k?1)(k?1)a?0akkkk出的先选主元再消元的方法，避免了时消元无法进行或者是当的绝

(k?1)a(i?k?1,k?2,ik对值与其下方的元素,n)的绝对值之比很小时，引起计算机

上溢或产生很大的舍入误差而导致所求出的解失真的问题。LU分解法是将矩阵A用一个下三角矩阵和一个上三角矩阵之积来表示，即A?LU，然后由A?LU，Ax?b，得LUx?b，将线性方程组的求解化为对两个三角形方程组Ly?b和Ux?y 的求解，由此可解出线性方程组的n个解x1,x2,,xn。这两种求解线性方程组的方法在处理单个线性方程组时没有差别，只是方法的不同，但在处理系数矩阵A相同，而右端项不同的一组线性方程组时，LU分解法就有明显的优势，因为它是将系数矩阵A和右端项b分开处理的，这样就可以只进行一次分解。例如，求解线性方程组Ax?bi,i?1,2,,m，用高斯消元法求解的计算量1313mnn?mn2

大约为3，而用LU分解求解的计算量约为3，后者计算量显然小很多。但是LU分解法同样有可能由于ujj的绝对值很小而引起计算机上溢或产生很

大的舍入误差而导致所求出的解失真。因此提出了结合高斯列主元消元的LU分解法。

我们采用的计算方法是先将A矩阵进行高斯列主元消元，然后再计算相应的L矩阵和U矩阵。但要注意，第k步消元时会产生mik(i?k?1,k?2,,n)，从而可以得到L矩阵的第k列元素，但在下一步消元前选取列主元时可能会交换方程的位置，因此与方程位置对应的L矩阵中的元素也要交换位置。

非线性方程组的求根方法

本章学习的二分法简单迭代法、Newton迭代法等方法，代表着求解非线性方程所采用的两类方法。大范围收敛方法的初值x0选取没有多少限制，只要在含根区间任选其一即可，二分法就是这类方法。局部收敛法要求x0要充分靠近根x*才能保证收敛，以简单迭代法为基础，Newton迭代法为代表的各类迭代法都属这类方法。

迭代法

牛顿迭代法的构造过程是这样的：设x0是f(x)?0的一个近似根，将f(x)在

f''(x0)f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)2?x0处作Taylor展开得2!'

，若取其

'x?x?f(x)/f(x0)，然后再对x1做f(x)100前两项来近似代替，得近似方程的根

'f上述同样处理，继续下去，一般若(xk)?0，则可以构

造出迭代格式

xk?1?xk?f(xk)

f'(xk)

此格式称为牛顿迭代格式，用它来求解f(x)?0的方法称为牛顿迭代法。牛顿迭代法的几何意义是用f(x)在xk处的切线与x轴得交点作为下一个迭代点xk?1的。由于这一特点，牛顿迭代法也常称为切线法。

牛顿迭代法虽然收敛很快，但它通常过于依赖初值x0的选取，如果x0选择不当，将导致迭代发散或产生无限循环。

矩阵特征值与特征向量的计算

本章学习了计算矩阵特征值和特征向量的三种常用的有效方法。

幂法是求矩阵的主特征值和对应特征向量的一种迭代方法。它在计算过程中原始举证A始终不变。这种方法简单方便，适用于任意类型的矩阵，特别适用于

数值分析作业思考题汇总

￥数值分析思考题1 1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。 2、相对误差在什么情况下可以用下式代替 3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。 4、取，计算，下列方法中哪种最好为什么（1）(3 3-，（2）(2 7-，（3） ()3 1 3+ ，（4） ()6 1 1 ，（5）99- , 数值实验数值实验综述：线性代数方程组的解法是一切科学计算的基础与核心问题。求解方法大致可分为直接法和迭代法两大类。直接法——指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法，因此也称为精确法。当系数矩阵是方的、稠密的、无任何特殊结构的中小规模线性方程组时，Gauss消去法是目前最基本和常用的方法。如若系数矩阵具有某种特殊形式，则为了尽可能地减少计算量与存储量，需采用其他专门的方法来求解。 Gauss消去等同于矩阵的三角分解，但它存在潜在的不稳定性，故需要选主元素。对正定对称矩阵，采用平方根方法无需选主元。方程组的性态与方程组的条件数有关，对于病态的方程组必须采用特殊的方法进行求解。数值计算方法上机题目1 1、实验1. 病态问题实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 $ r e x x e x x ** * ** - == 141 . ≈)61

数值分析实验报告176453

实验报告插值法数学实验室数值逼近算法设计级 ____________________________ 号 ____________________________ 名 _____________________________ 实验项目名称实验室所属课程名称实验类型实验日期

实验概述：【实验目的及要求】本次实验的目的是熟练《数值分析》第二章“插值法”的相关内容，掌握三种插多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值，并比较三种插值方法的优劣。本次试验要求编写牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值的程序编码，并去实现。【实验原理】《数值分析》第二章“插值法”的相关内容，包括：牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值的相应算法和相关性质。【实验环境】（使用的软硬件）软件： MATLAB 2012a 硬件：电脑型号：联想 Lenovo 昭阳E46A 笔记本电脑操作系统： Win dows 8专业版处理器：In tel ( R Core ( TM i3 CPU M 350 @2.27GHz 2.27GHz 实验内容：【实验方案设计】第一步，将书上关于三种插值方法的内容转化成程序语言，用 MATLA B 现; 第二步，分别用牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值求解不同的问题。【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）实验的主要步骤是：首先分析问题，根据分析设计 MATLA 程序，利用程序算出问题答案，分析所得答案结果，再得出最后结论。实验一：已知函数在下列各点的值为试用4次牛顿插值多项式 P 4（ x ）及三次样条函数 S （ x ）（自然边界条件）对数据进行插值。用图给出{（ X i , y i ）, X i =0.2+0.08i , i=0 , 1, 11, 10 } , P 4 （ x ）及 S （ x ）。值方法：牛顿在MATLAB 件中

数值分析实验报告模板

数值分析实验报告模板篇一：数值分析实验报告(一)(完整) 数值分析实验报告 1 2 3 4 5 篇二：数值分析实验报告实验报告一题目：非线性方程求解摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。利用二分法求解给定非线性方程的根，在给定的范围内，假设f(x,y)在[a,b]上连续，f(a)xf(b) 直接影响迭代的次数甚至迭代的收敛与发散。即若x0 偏离所求根较远，Newton法可能发散的结论。并且本实验中还利用利用改进的Newton法求解同样的方程，且将结果与Newton法的结果比较分析。前言：（目的和意义）掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。掌握二分法的原理，验证二分法，在选对有根区间的前提下，必是收

敛，但精度不够。熟悉Matlab语言编程，学习编程要点。体会Newton使用时的优点，和局部收敛性，而在初值选取不当时，会发散。数学原理：对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b) Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式xk?1?xk?f(xk) f'(xk) 产生逼近解x*的迭代数列{xk}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为 xk?1?xk?rf(xk) 'f(xk) 其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton 法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。程序设计：本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下 function y=f(x);

数值分析实验报告1

实验一误差分析实验（病态问题）实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（）和（）根的差别，从而分析方程（）的解对扰动的敏感性。实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 poly(v)b =

的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve = ))20:1((ve poly roots + 上述简单的Matlab 程序便得到（）的全部根，程序中的“ess ”即是（）中的ε。实验要求：（1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。如果扰动项的系数ε很小，我们自然感觉（）和（）的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现表明有些解关于如此的扰动敏感性如何（2）将方程（）中的扰动项改成18x ε或其它形式，实验中又有怎样的现象出现（3）（选作部分）请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将方程（）写成展开的形式， ) 3.1(0 ),(1920=+-= x x x p αα 同时将方程的解x 看成是系数α的函数，考察方程的某个解关于α的扰动是否敏感，与研究它关于α的导数的大小有何关系为什么你发现了什么现象，哪些根关于α的变化更敏感思考题一：（上述实验的改进）在上述实验中我们会发现用roots 函数求解多项式方程的精度不高，为此你可以考虑用符号函数solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。

数值分析心得体会

数值分析心得体会篇一：学习数值分析的经验数值分析实验的经验、感受、收获、建议班级：计算131 学号：XX014302 姓名：曾欢欢数值分析实验主要就是学习MATLAB的使用以及对数值分析类容的应用，可以使学生更加理解和记忆数值分析学得类容，也巩固了MATLAB的学习，有利于以后这个软件我们的使用。在做实验中，我们需要具备较好的编程能力、明白MATLAB软件的使用以及掌握数值分析的思想，才能让我们独立自主的完成该作业，如果是上述能力有限的同学，需要借助MATLAB的书以及网络来完成实验。数值分析实验对于我来说还是有一定难度，所以我课下先复习了MATLAB的使用方法以及编写程序的基本类容，借助互联网和同学老师资源完成了数值分析得实验的内容。在实验书写中，我复习了各种知识，所以我认为这门课程是有必要且是有用处的，特别是需要处理大量实验数据的人员，很有必要深入了解学习它，这样在以后的工作学习里面就减少了很多计算问题也提高了实验结果的精确度。学习数值分析的经验、感受、收获、建议数值分析的内容包括插值与逼近，数值微分与数值积分，非线性方程与线性方程组的数值解法，矩阵的特征值与特征向量计算，常微分方程数值解等。

首先我们必须明白数值分析的用途。通常所学的其他数学类学科都是由公式定理开始，从研究他们的定义，性质再到证明与应用。但实际上，尤其是工程，物理，化学等其它具体的学科。往往我们拿到手的只是通过实验得到的数据。如果是验证性试验，需要代回到公式进行分析，验证。但往往更多面对的是研究性或试探性试验，无具体公式定理可代。那就必须通过插值，拟合等计算方法进行数据处理以得到一个相对可用的一般公式。还有许多计算公式理论上非常复杂，在工程中不实用，所以必须根据实际情况把它转化成多项式近似表示。学习数值分析，不应盲目记公式，因为公事通常很长且很乏味。其次，应从公式所面临的问题以及用途出发。比如插值方法，就是就是把实验所得的数据看成是公式的解，由这些解反推出一个近似公式，可以具有局部一般性。再比如说拟合，在插值的基础上考虑实验误差，通过拟合能将误差尽可能缩小，之后目的也是得到一个具有一定条件下的一般性的公式。。建议学习本门课程要结合知识与实际，比如在物理实验里面很多

数值分析实验报告1

ve=zeros(1,21); ve(n)=ess; r=roots(a+ve); -6-m s=max(abs(r-rr)) end end 利用符号函数：（思考题一）a=poly(1:20); y=poly2sym(a); rr=solve(y) n

很容易的得出对一个多次的代数多项式的其中某一项进行很小的扰动，对其多项式的根会有一定的扰动的，所以对于这类病态问题可以借助于MATLAB来进行问题的分析。学号：06450210 姓名：万轩实验二插值法

数值分析第二章小结

第2章线性方程组的解法 --------学习小结一、本章学习体会通过本章知识的学习我首先了解到求解线性方程组的方法可分为两类：直接法和迭代法。计算机虽然运行速度很快，但面对运算量超级多的问题，计算机还是需要很长的时间进行运算，所以，确定快捷精确的求解线性方程组的方法是非常必要的。本章分为四个小节，其中前两节Gauss消去法和直接三角分解法因为由之前《线性代数》学习的一定功底，学习起来还较为简单，加之王老师可是的讲解与习题测试，对这一部分有了较好的掌握。第三节矩阵的条件数与病态方程组，我 Ax 的系数矩阵A与左端向量b的元素往往是通首先了解到的是线性方程组b 过观测或计算而得到，因而会带有误差。即使原始数据是精确的，但存放到计算机后由于受字长的限制也会变为近似值。所以当A和b有微小变化时，即使求解过程精确进行，所得的解相对于原方程组也可能会产生很大的相对误差。对于本节的学习掌握的不是很好，虽然在课后习题中对课堂知识有了一定的巩固，但整体感觉没有很好的掌握它。第四节的迭代法，初次接触迭代法，了解到迭代法就是构造一个无线的向量序列，使他的极限是方程组的解向量。迭代法应考虑收敛性与精度控制的问题。三种迭代方法的基本思想我已经掌握了，但是在matlab 的编程中还存在很大的问题。在本节的学习中我认为我最大的问题还是程序的编写。通过这段时间的练习，虽然掌握了一些编写方法和技巧。相比于第一章是对其的应用熟练了不少，但在程序编写上还存在很多问题。希望在以后的学习中能尽快熟练掌握它，充分发挥它强大的作用。二、本章知识梳理 2.1、Gauss消去法（次重点） Gauss消去法基本思想：由消元和回代两个过程组成。 a(k=1,2,```,n-1)均不为零的充分必要条件定理顺序Gauss消去法的前n-1个主元素)(k kk 是方程组的系数矩阵A的前n-1个顺序主子式

数值分析实验报告

实验一、误差分析一、实验目的 1．通过上机编程，复习巩固以前所学程序设计语言及上机操作指令； 2．通过上机计算，了解误差、绝对误差、误差界、相对误差界的有关概念； 3．通过上机计算，了解舍入误差所引起的数值不稳定性。二．实验原理误差问题是数值分析的基础，又是数值分析中一个困难的课题。在实际计算中，如果选用了不同的算法，由于舍入误差的影响，将会得到截然不同的结果。因此，选取算法时注重分析舍入误差的影响，在实际计算中是十分重要的。同时，由于在数值求解过程中用有限的过程代替无限的过程会产生截断误差，因此算法的好坏会影响到数值结果的精度。三．实验内容对20,,2,1,0 =n ，计算定积分 ?+=10 5dx x x y n n . 算法1：利用递推公式 151--=n n y n y , 20,,2,1 =n , 取 ?≈-=+=1 00182322.05ln 6ln 51dx x y . 算法2：利用递推公式 n n y n y 51511-= - 1,,19,20 =n . 注意到 ???=≤+≤=10 10202010201051515611261dx x dx x x dx x , 取 008730.0)12611051(20120≈+≈y .: 四.实验程序及运行结果程序一： t=log(6)-log(5);

n=1; y(1)=t; for k=2:1:20 y(k)=1/k-5*y(k-1); n=n+1; end y y =0.0884 y =0.0581 y =0.0431 y =0.0346 y =0.0271 y =0.0313 y =-0.0134 y =0.1920 y =-0.8487 y =4.3436 y =-21.6268 y =108.2176 y =-541.0110 y =2.7051e+003 y =-1.3526e+004 y =6.7628e+004 y =-3.3814e+005 y =1.6907e+006 y =-8.4535e+006 y =4.2267e+007 程序2： y=zeros(20,1); n=1; y1=(1/105+1/126)/2;y(20)=y1; for k=20:-1:2 y(k-1)=1/(5*k)-(1/5)*y(k); n=n+1; end 运行结果：y = 0.0884 0.0580 0.0431 0.0343 0.0285 0.0212 0.0188 0.0169

数值分析学习心得体会.doc

数值分析学习感想一个学期的数值分析，在老师的带领下，让我对这门课程有了深刻的理解和感悟。这门课程是一个十分重视算法和原理的学科，同时它能够将人的思维引入数学思考的模式，在处理问题的时候，可以合理适当的提出方案和假设。他的内容贴近实际，像数值分析，数值微分，求解线性方程组的解等，使数学理论更加有实际意义。数值分析在给我们的知识上，有很大一部分都对我有很大的帮助，让我的生活和学习有了更加方便以及科学的方法。像第一章就讲的误差，在现实生活中，也许没有太过于注意误差，所以对误差的看法有些轻视，但在学习了这一章之后，在老师的讲解下，了解到这些误差看似小，实则影响很大，更如后面所讲的余项，那些差别总是让人很容易就出错，也许在别的地方没有什么，但是在数学领域，一个小的误差，就很容易有不好的后果，而学习了数值分析的内容，很容易就可以将误差锁定在一个很小的范围内，在这一范围内再逼近，得出的近似值要准确的多，而在最开始的计算中，误差越小，对后面的影响越小，这无疑是好的。数值分析不只在知识上传授了我很多，在思想上也对我有很大的影响，他给了我很多数学思想，很多思考的角度，在看待问题的方面上，多方位的去思考，并从别的例子上举一反三。像其中所讲的插值法，在先学习了拉格朗日插值法后，对其理解透彻，了解了其中的原理和思想，再学习之后的牛顿插值以及三次样条插值等等，都很容易的融会贯通，很容易的就理解了其中所想，他们的中心思想并没有多大的变化，但是使用的方式却是不同的，这不仅可以学习到其中心内容，还可以去学习他们的思考方式，每个不同的思考方式带来的都是不同的算法。而在看待问题上，不同的思考方式总是可以快速的全方位的去看透彻问题，从而知道如何去解决。在不断的学习中，知识在不断的获取，能力在不断的提升，同时在老师的不懈讲解下，我逐渐的发现数值分析所涵盖的知识面特别的广泛，而我所需要学习的地方也更加的多，自己的不足也在不断的体现，我知道这只是我刚刚接触到了数学的那一角，在以后我还会接触到更多，而这求知的欲望也在不停的驱赶我，学习的越多，对今后的生活才会有更大的帮助。计算132 2013014923 张霖篇二：数值分析学习报告数值分析学习心得报告班级：11级软工一班姓名： * * * 学号: 20117610*** 指导老师：* * * 学习数值分析的心得体会无意中的一次选择，让我接触了数值分析。作为这学期的选修课，我从内心深处来讲，数值分析真的有点难。感觉它是在高等数学和线性代数的基础上，又加深了探讨。虽然这节课很难，我学的不是很好，但我依然对它比较感兴趣。下面就具体说说我的学习体会，让那些感兴趣的同学有个参考。学习数值分析，我们首先得知道一个软件——matlab。matrix laboratory，即矩阵实验室，是math work公司推出的一套高效率的数值计算和可视化软件。它是当今科学界最具影响力、也是最具活力的软件，它起源于矩阵运算，并高速发展成计算机语言。它的优点是强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面、便捷的与其他程序和语言接口。根据上网搜集到的资料，你就会发现matlab有许多优点：首先，编程简单使用方便。到目前为止，我已经学过c语言，机器语言，java语言，这

数值分析实验报告总结

数值分析实验报告总结随着电子计算机的普及与发展，科学计算已成为现代科学的重要组成部分，因而数值计算方法的内容也愈来愈广泛和丰富。通过本学期的学习，主要掌握了一些数值方法的基本原理、具体算法，并通过编程在计算机上来实现这些算法。算法算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成的完整的解题步骤。算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然语言来进行描述。具有的特征：正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、使用资源少、逻辑结构简单、便于实现、计算结果可靠。误差计算机的计算结果通常是近似的，因此算法必有误差，并且应能估计误差。误差是指近似值与真正值之差。绝对误差是指近似值与真正值之差或差的绝对值；相对误差：是指近似值与真正值之比或比的绝对值。误差来源见表第三章泛函分析泛函分析概要泛函分析是研究“函数的函数”、函数空间和它们之间变换的一门较新的数学分支，隶属分析数学。它以各种学科

如果 a 是相容范数，且任何满足为具体背景，在集合的基础上，把客观世界中的研究对象抽范数范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，泛函是一个函数，其为矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。这里以 Cn 空间为例， Rn 空间类似。最常用的范数就是 P-范数。那么当P 取1, 2 ,s 的时候分别是以下几种最简单的情形: 其中2-范数就是通常意义下的距离。对于这些范数有以下不等式: 1 < n1/2 另外，若p 和q 是赫德尔共轭指标，即 1/p+1/q=1 么有赫德尔不等式: II = ||xH*y| 当p=q=2时就是柯西-许瓦兹不等式般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之矩阵范数通常也称为相容范数。象为元素和空间。女口：距离空间，赋范线性空间，内积空间。 1-范数: 1= x1 + x2 +?+ xn 2-范数: x 2=1/2 8 -范数: 8 =max oo ，那外，还规定其必须满足相容性: 所以

数值分析试题及答案汇总

数值分析试题及答案汇总 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

数值分析试题一、填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =(x )在有解区间满足 |’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当系数 a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…) 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 (B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。

数值分析报告

计算方法实验报告实验：求解线性方程组的两种方法班级：工力13-02 姓名：刘志强学号：02130857

实验内容分别用列主元素法和LU 分解法编程求解，并对A 或b 做微小改动后观察结果 1 -1 2 -1 0 6 1 0 1 1 0 4 2 1 3 -4 4 X = -2 0 -1 1 -1 4 5 3 7 8 2 3 1 实验原理列主元素法方法说明（以4阶为例）： ????? ???????=?????????????????????????n n nn n n n n b b b x x x a a a a a a a a a 21212122221 11211 第1步消元——在增广矩阵（A ，b ）第一列中找到绝对值最大的元素，将其所在行与第一行交换，再对（A ，b ）做初等行变换使原方程组转化为如下形式： ????? ???????=?????????????????????????*******0***0***0****4321x x x x 第2步消元——在增广矩阵（A ，b ）中的第二列中（从第二行开始）找到绝对值最大的元素，将其所在行与第二行交换，再对（A ，b ）做初等行变换使原方程组转化为： ????? ???????=?????????????????????????******00**00***0****4321x x x x 第3步消元——在增广矩阵（A ，b ）中的第三列中（从第三行开始）找到绝对值最大的元素，将其所在行与第二行交换，再对（A ，b ）做初等行变换使原方程组转化为： ????? ???????=?????????????????????????*****000**00***0****4321x x x x 按x 4 → x 3→ x 2→ x 1 的顺序回代求解出方程组的解。

数值分析考试复习总结

1 误差相对误差和绝对误差得概念例题: 当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶段? 在哪些阶段将有哪些误差产生? 答: 实际问题-数学模型-数值方法-计算结果在这个过程中存在一下几种误差: 建立数学模型过程中产生:模型误差参数误差选用数值方法产生:截断误差计算过程产生:舍入误差传播误差 6．设937.0=a 关于精确数x 有3位有效数字，估计a 的相对误差. 对于x x f -=1)(，估计)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差. 解 a 的相对误差：由于 31021|)(|-?≤-≤a x x E . x a x x E r -=)(, 221018 1 10921)(--?=?≤ x E r . （1Th ） )(a f 对于)(x f 的误差和相对误差. |11||)(|a x f E ---==()25 .0210113 21??≤ -+---a x x a =310- 33 104110|)(|--?=-≤a f E r . □ 2有效数字基本原则:1 两个很接近的数字不做减法: 2: 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子) 例题: 4．改变下列表达式使计算结果比较精确：（1） ;1||,11211<<+--+x x x x 对（2） ;1,11>>- - +x x x x x 对（3） 1||,0,cos 1<<≠-x x x x 对. 解 (1) )21()122x x x ++. (2) ) 11(2x x x x x -++. (3) x x x x x x x cos 1sin )cos 1(sin cos 12+≈ +=-. □

数值分析实验报告

学生实验报告实验课程名称开课实验室学院年级专业班学生姓名学号开课时间至学年学期

if(A(m,k)~=0) if(m~=k) A([k m],:)=A([m k],:); %换行 end A(k+1:n, k:c)=A(k+1:n, k:c)-(A(k+1:n,k)/ A(k,k))*A(k, k:c); %消去end end x=zeros(length(b),1); %回代求解 x(n)=A(n,c)/A(n,n); for k=n-1:-1:1 x(k)=(A(k,c)-A(k,k+1:n)*x(k+1:n))/A(k,k); end y=x; format short;%设置为默认格式显示,显示5位（2）建立MATLAB界面利用MA TLAB的GUI建立如下界面求解线性方程组：详见程序。五、计算实例、数据、结果、分析下面我们对以上的结果进行测试，求解：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - 7 2 5 10 13 9 14 4 4 3 2 1 13 12 4 3 3 10 2 4 3 2 1 x x x x 输入数据后点击和，得到如下结果：更改以上数据进行测试，求解如下方程组： 1 2 3 4 43211 34321 23431 12341 x x x x ?? ???? ?? ???? ?? ???? = ?? ???? - ?? ???? - ???? ?? 得到如下结果：

数值分析实验报告3

实验报告实验项目名称数值积分与数值微分实验室数学实验室所属课程名称数值逼近实验类型算法设计实验日期班级学号姓名成绩

实验概述：【实验目的及要求】本次实验的目的是熟练《数值分析》第四章“数值积分与数值微分”的相关内容，掌握复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式以及高斯-勒让德公式。本次试验要求编写复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式以及高斯-勒让德公式的程序编码，并在MATLAB软件中去实现。【实验原理】《数值分析》第四章“数值积分与数值微分”的相关内容，包括：复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式以及高斯-勒让德公式的相应算法和相关性质。【实验环境】（使用的软硬件）软件： MATLAB 2012a 硬件：电脑型号：联想 Lenovo 昭阳E46A笔记本电脑操作系统：Windows 8 专业版处理器：Intel（R）Core（TM）i3 CPU M 350 @2.27GHz 2.27GHz 实验内容：【实验方案设计】第一步，将书上关于复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式以及高斯-勒让德公式的内容转化成程序语言，用MATLAB实现；第二步，分别用以上求积公式的程序编码求解不同的问题。【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）实验的主要步骤是：首先分析问题，根据分析设计MATLAB程序，利用程序算出问题答案，分析所得答案结果，再得出最后结论。实验：用不同数值方法计算积分 (1) 取不同的步长h.分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小的h，使得精度不能再被改善？ (2) 用龙贝格求积计算完成问题（1）。 (3)用勒让德多项式确定零点，再代入计算高斯公式，使其精度达到10-4 （1）在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现复合梯形求积公式的程序代码如下：

(整理)数值分析计算方法超级总结

工程硕士《数值分析》总复习题（2011年用） [由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用] 一. 解答下列问题: 1）下列所取近似值有多少位有效数字( 注意根据什么? ): a) 对 e = 2.718281828459045…,取* x = 2.71828 b) 数学家祖冲之取 113355 作为π的近似值. c) 经过四舍五入得出的近似值12345，-0.001, 90.55000, 它们的有效数字位数分别为位, 位, 位。 2) 简述下名词: a) 截断误差 (不超过60字) b) 舍入误差 (不超过60字) c) 算法数值稳定性 (不超过60字) 3) 试推导( 按定义或利用近似公式 ): 计算3 x 时的相对误差约等于x 的相对误差的3倍。 4) 计算球体积3 34r V π= 时,为使其相对误差不超过 0.3% ,求半径r 的相对误差的允许范围。 5）计算下式 341 8 )1(3)1(7)1(5)1(22345+-+---+---=x x x x x x P ）（时,为了减少乘除法次数, 通常采用什么算法? 将算式加工成什么形式? 6) 递推公式 ?????=-==- ,2,1,1102 10n y y y n n 如果取 * 041.12y y =≈= ( 三位有效数字 ) 作近似计算，问计算到 10y 时误差为初始误差的多少倍？这个计算过程数值稳定吗？二. 插值问题: 1) 设函数 )(x f 在五个互异节点 54321,,,,x x x x x 上对应的函数值为 54321,,,,f f f f f ，根据定理，必存在唯一的次数（A ）的插值多项式 )(x P ，满足插值条件 ( B ) . 对此，为了构造Lagrange 插值多项式 )(x L ,由5个节点作 ( C ) 个、次数均为 ( D ) 次的插值基函数

数值分析实验报告册

实验名称：Lagrange插值（实验一）实验目的：掌握Lagrange插值数值算法，能够根据给定的函数值表达求出插值多项式和函数在某一点的近似值。实验准备： 1.在开始本实验之前，请回顾教科书的相关内容； 2.需要一台准备安装Windows XP Professional操作系统和装有数学软件的计算机。实验内容及要求已知数据如下：要求：试用Lagrange插值多项式求0.5626,0.5635,0.5645 x 时的函数近似值．实验过程：编写Matlab函数M文件Lagrange如下： function yy=lagrange(x,y,xi) m=length(x); n=length(y); if m~=n,error('向量x与y的长度必须一致');end for k=1:length(xi) s=0; for i=1:m z=1; for j=1:n if j~=i z=z*(xi(k)-x(j))/(x(i)-x(j)); end end s=s+z*y(i); end yy=s end 在命令窗口调用函数M文件lagrange，输出结果如下： >>x=[0.56160, 0.56280, 0.56401, 0.56521]; >>y=[0.82741, 0.82659, 0.82577, 0.82495]; >>xi=[0.5626, 0.5635, 0.5645]; >>yi= lagrange (x,y,xi)

yi= 0.8628 0.8261 0.8254 实验总结（由学生填写）：教师对本次实验的评价（下面的表格由教师填写）：实验名称：曲线拟合的最小二乘方法（实验二）实验目的：掌握最小二乘方法，并能根据给定数据求其最小二乘一次或二次多项式，然后进行曲线拟合。实验准备： 1.在开始本实验之前，请回顾教科书的相关内容；

数值分析实验报告资料

机电工程学院机械工程陈星星 6720150109 《数值分析》课程设计实验报告实验一函数插值方法一、问题提出对于给定的一元函数)(x f y =的n+1个节点值(),0,1,,j j y f x j n ==。试用Lagrange 公式求其插值多项式或分段二次Lagrange 插值多项式。数据如下：（1 求五次Lagrange 多项式5L ()x ，计算(0.596)f ,(0.99)f 的值。（提示：结果为(0.596)0.625732f ≈, (0.99) 1.05423f ≈）实验步骤：第一步：先在matlab 中定义lagran 的M 文件为拉格朗日函数代码为： function[c,l]=lagran(x,y) w=length(x); n=w-1; l=zeros(w,w); for k=1:n+1 v=1; for j=1:n+1 if(k~=j) v=conv(v,poly(x(j)))/(x(k)-x(j)); end end l(k,:)=v; end c=y*l; end

第二步：然后在matlab命令窗口输入： >>>> x=[0.4 0.55 0.65 0.80,0.95 1.05];y=[0.41075 0.57815 0.69675 0.90 1.00 1.25382]; >>p = lagran(x,y) 回车得到： P = 121.6264 -422.7503 572.5667 -377.2549 121.9718 -15.0845 由此得出所求拉格朗日多项式为 p（x）=121.6264x5-422.7503x4+572.5667x3-377.2549x2+121.9718x-15.0845 第三步：在编辑窗口输入如下命令： >> x=[0.4 0.55 0.65 0.80,0.95 1.05]; >> y=121.6264*x.^5-422.7503*x.^4+572.5667*x.^3-377.2549*x.^2+121.9718 *x-15.0845; >> plot(x,y) 命令执行后得到如下图所示图形，然后 >> x=0.596; >> y=121.6264*x.^5-422.7503*x.^4+572.5667*x.^3-377.2549*x.^2+121.9718 *x-15.084 y =0.6257 得到f（0.596）=0.6257 同理得到f（0.99）=1.0542

数值分析考试复习总结汇总

第一章 1 误差相对误差和绝对误差得概念例题: 当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶段? 在哪些阶段将有哪些误差产生? 答: 实际问题-数学模型-数值方法-计算结果在这个过程中存在一下几种误差: 建立数学模型过程中产生:模型误差参数误差选用数值方法产生:截断误差计算过程产生:舍入误差传播误差 6．设937.0=a 关于精确数x 有3位有效数字，估计a 的相对误差. 对于 x x f -=1)(，估计)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差. 解 a 的相对误差：由于 31021|)(|-?≤ -≤a x x E . x a x x E r -=)(, 221018 1 10921)(--?=?≤ x E r . （1Th ） )(a f 对于)(x f 的误差和相对误差. |11||)(|a x f E ---==()25 .0210113 21??≤ -+---a x x a =310- 33104110|)(|--?=-≤a f E r . □ 2有效数字基本原则:1 两个很接近的数字不做减法: 2: 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)

例题: 4．改变下列表达式使计算结果比较精确：（1） ;1||, 11211<<+--+x x x x 对（2） ;1,11>>- -+ x x x x x 对（3） 1||,0,c o s 1<<≠-x x x x 对. 解 (1) )21()122x x x ++. (2) ) 11(2x x x x x -++. (3) x x x x x x x cos 1sin )cos 1(sin cos 12+≈ +=-. □ 第二章拉格朗日插值公式（即公式（1）） ∑==n i i i n x l y x p 0)()( 插值基函数（因子）可简洁表示为 )()() () ()()(0 i n i n n i j j j i j i x x x x x x x x x l ωω'-= --=∏ ≠= 其中: ()∏∏≠==-='-= n i j j j i i n n j j n x x x x x x 00 )(,)()(ωω. 例1 n=1时，线性插值公式 ) ()()()()(010110101x x x x y x x x x y x P --?+--? =，例2 n=2时，抛物插值公式 ) )(())(())(())(())(() )(()(1202102210120120102102x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x P ----? +----? +----? = 牛顿（Newton ）插值公式

数值分析实验报告1

实验一误差分析实验1.1（病态问题）实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（1.1）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的解对扰动的敏感性。实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 poly(v)b = 的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve =

数值计算方法实验报告

差值法实验日志实验题目：插值法实验目的： 1．掌握拉格朗日插值、牛顿插值、分段低次插值和样条插值的方法。 2．对四种插值结果进行初步分析。实验要求：（1）写出算法设计思想；（2）程序清单；（3）运行的结果；（4）所得图形；（5）四种插值的比较；（6）对运行情况所作的分析以及本次调试程序所取的经验。如果程序未通过，应分析其原因。实验主要步骤： 1．已知函数) f满足： (x x0.0 0.1 0.195 0.3 0.401 0.5 f(0.39894 0.39695 0.39142 0.38138 0.36812 x ） 0.35206 （1）用分段线性插值；打开MATLAB，按以下程序输入： x0=-5:5; y0=1./(1+x0.^2); x=-5:0.1:5; y=1./(1+x.^2); y1=lagr(x0,y0,x); y2=interp1(x0,y0,x); y3=spline(x0,y0,x);

for k=1:11 xx(k)=x(46+5*k); yy(k)=y(46+5*k); yy1(k)=y1(46+5*k); yy2(k)=y2(46+5*k); yy3(k)=y3(46+5*k); end [xx;yy;yy2;yy3]' z=0*x; plot(x,z,x,y,'k--',x,y2,'r') plot(x,z,x,y,'k--',x,y1,'r') pause plot(x,z,x,y,'k--',x,y3,'r') 回车得以下图形:

（2）拉格朗日插值。创建M 文件，建立lagr 函数： function y=lagr1(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end 新建一个M 文件，输入： x0=[0.0 0.1 0.195 0.3 0.401 0.5]; y0=[0.39894 0.39695 0.39142 0.38138 0.36812 0.35206]; x=0.0:0.01:0.5; y1=lagr1(x0,y0,x); 00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1