辽宁省沈阳铁路实验中学2013-2014学年高二下学期期末考试数学(理)试卷

一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）

1、集合A={

}

1610-2-+=

x x y x ，集合B={}A x x y y ∈=,log 2，则=?B C A R ( )

A.[]32，

B.(]21，

C. []83，

D.(]83， 2、若i 是虚数单位，则复数

i

i

+-12的实部与虚部之积为 A.43 B.43- C.i 43 D.i 4

3-

3、已知命题.,:,:2

2

y x y x q y x y x p ><-<->则若；命题则若在命题

①q p q p q p q p ∨??∧∨∧）

④（③②);(;;中，真命题是（ ） A ①③ B.①④ C.②③ D.②④ 4、“0

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件 5、根据如下样本数据

得到的回归方程为a bx y

+=?，则（ ） A.0a > ,0>b B.0a > ,0b D.0a < ,0

6、2

20

sin 2

x

dx π

=?

（ ）

A. 0

B. 14

2π

-

C. 144π-

D. 12

π-

7、若曲线()()(1,1)a f x g x x P =

=在点处的切线分别为1212,,,l l l l a ⊥且则的值为

A ．—2

B ．2

C ．

12 D ．—12

8、已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个，每次从该箱中取1个球（每球取到的机会均等），取出后放回箱中，连续取三次．设事件A =“第一次取到的球和第二次取到的球颜色不相同”，事件B =“三次取到的球颜色都不相同”，则P(B |A)= A.

16 B.13 C.2

3

D.1 9、若对于任意x ∈R ，恒有2012(1)(2)(2)(2)n n n x a a x a x a x +=+++++++L ，若

228a =，则直线0x =，1x =及x 轴与曲线n y x =围成的封闭图形的面积为

A.

17 B.18 C.1

9

D.1 10、y x ,满足约束条件??

?

??≥+-≤--≤-+0220220

2y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一．．．

，则实数a 的值为（ ）

A,

121-或 B.2

1

2或 C.2或1 D.12-或 11、当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．[5,3]--

B ．9

[6,]8

-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- 12、函数)(x f 的导函数为)(x f '，对x ?∈R ，都有2()()f x f x '>成立，若2)4ln (=f ，

则不等式2

()x f x e >的解是

A.1x >

B.01x <<

C.ln 4x >

D.0ln 4x <<

二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）

13、已知(0,)2π

θ∈，由不等式1

tan 2tan θθ

+≥， 22222tan tan 2tan 3tan 22tan θθθθθ+=

++≥, 33

33

3tan tan tan 3tan 4tan 333tan θθθθθθ

+=+++≥，归纳得到推广结论： tan 1()tan n

m

n n N θθ

*+

≥+∈，则实数=m _____________

14、项的系数的和为展开式中不含48)2(x x -_______.

15、某校安排6个班到3个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种。

16、若函数()32 231,0

,0a x x x x f x e x ?++≤?=?>??

在区间[]2,2-上的最大值为2，

则实数a 的取值范围是

三、解答题（共6题，17~21每题12分，第22~24选做一题10分，总计70

分）

17、为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为3

5

．

（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；

（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；

（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为ξ，求ξ的分布列与期望.

下面的临界值表供参考：

(参考公式：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)

18、已知2

()1,f x x ax nx a R =+-∈.

(1)若a=0时,求函数()y f x =在点 (1,()f x )处的切线方程;

(2)若函数()f x 在[1,2]上是减函数,求实数a 的取值范围;

(3)令2

()(),g x f x x =-是否存在实数a,当(0,](x e e ∈是自然对数的底)时,函数()g x 的最小值是3,若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.

19、某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：

该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．

(1)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ；

(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？

（附：^

12

21

n

i i

i n

i

i x y nx y

b x

nx

==-=

-∑∑，^^

a y

b x =-，其中x ，y 为样本平均值）

20、9粒种子分别种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5. 若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，否则这个坑需要补种种子. （1）求甲坑不需要补种的概率；

（2）记3个坑中恰好有1个坑不需要补种的概率为1P ，另记有坑需要补种的概率为2P ，求12P P +的值.

21、（本小题满分12分）已知函数()ln 1

ax

f x x x =-

+.

（Ⅰ）若函数)(x f 有极值，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当)(x f 有两个极值点（记为1x 和2x ）时，求证：

121

()()[()1]x f x f x f x x x

++≥

?-+．

选做题（从22~24中只选做一题）

22（选修4 - 1几何证明）如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F. （Ⅰ）求证：AB 为圆的直径； （Ⅱ）若AC=BD ，求证：AB=ED.

23（选修4 - 4极坐标与参数方程）已知曲线22

1:149x y C +=，直线l ：2,22,x t y t =+??=-?

（t 为

参数）.

（I ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

（II ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30?的直线，交l 于点A ，PA 的最大值与最小

值．

24（选修4 - 5：不等式选讲）

设函数()||2f x x a x =-+，其中a > 0。 （1）当a = 2时，求不等式()21f x x ≥+的解集；

（2）若(2,)x ∈-+∞时，恒有()0f x >，求a 的取值范围。

高二数学（理）答案

1. 【答案】D

2.答案】B

3【答案】C

4.

5.

6【答案】B 7

8 B 9

【答案】原等式可化为 2012[(2)1](2)(2)(2)n n n x a a x a x a x +-=+++++++L

于是22

2(1)

28n n n

a C --=?-=，所以8n =，于是1

80

S x dx =?. 故选C

10

11

12

17、

（2）∵

2

2

50(2015105)

8.3337.879

30202525

K

??-?

=≈>

???

∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.--------------7分

（3）喜爱打篮球的女生人数ξ的可能取值为0,1,2. 其概率分别为

021*******(0)20C C P C ξ===,1110152251(1)2C C P C ξ===,2010152

253

(2)20

C C P C ξ=== 故ξ的分布列为:

ξ的期望值为:012202205

E ξ=?+?+?= ---------------------12分

18、第一个问3分，第二个问4分，第三个问5分

（Ⅱ）∵1x ，2x 是)(x f 的两个极值点，故满足方程()0f x '= 即1x ，2x 是2

(2)10x a x +-+=的两个解，∴

121x x = …………………7分

∵12

121212()()ln ln 11ax ax f x f x x x x x +=-

+-

++ 1212121212(2)

ln()1

a x x x x x x a x x x x ++=-

=-+++

而在()ln 1

ax

f x x x =-

+中，1

[()ln ]x a f x x x

+-=

?- …………………8分 欲证原不等式成立，只需证明

11

[()ln ][()1]x x f x x f x x x x

++?-≥?-+ ∵0x >，只需证明()ln ()1f x x f x x -≥-+成立 即证ln 10x x -+≤成

立 …………………9分

令()ln 1g x x x =-+，则

11()1x

g x x x -'=

-=

…………………10分 当(0,1)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 在(0,1)上单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 在(1,)+∞上单调递减； 因此max ()(1)0g x g ==，故()0g x ≤，即ln 10x x -+≤成立 故原不等式得

证． …………………12分