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高中数学函数定义域值域求法总结

函数定义域、值域求法总结

一.求函数的定义域需要从这几个方面入手:

(1)分母不为零

(2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。

(4)指数、对数的底数大于0,且不等于1

(5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠

二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。

常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

定义域的求法

1、直接定义域问题

例1 求下列函数的定义域:

① 21)(-=x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x

x x f -++=21

1)(

解:①∵x-2=0,即x=2时,分式

2

1

-x 无意义, 而2≠x 时,分式

21

-x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32

时,根式23+x 无意义,

而023≥+x ,即3

2

-≥x 时,根式23+x 才有意义,

∴这个函数的定义域是{x |3

2

-≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x

-21

同时有意义,

∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }

另解:要使函数有意义,必须: ?

??≠-≥+020

1x x ? ???≠-≥21x x

例2 求下列函数的定义域:

①14)(2

--=

x x f ②214

3)(2-+--=

x x x x f

③=

)(x f x

11111++

④x

x x x f -+=

0)1()(

⑤3

7

3132+++-=x x y

解:①要使函数有意义,必须:142

≥-x 即: 33≤≤-x

∴函数14)(2--=

x x f 的定义域为: [3,3-

]

②要使函数有意义,必须:??

?≠-≠-≤≥??

??≠-+≥--131

40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

∴定义域为:{ x|4133≥-≤<--

③要使函数有意义,必须: 011110110≠++≠+≠?

??

?

?

?

?

??x

x x ? 2

110-≠-≠≠?????x x x

∴函数的定义域为:}2

1

,1,0|{--≠∈x R x x 且

④要使函数有意义,必须: ?

??≠-≠+001x x x ???<-≠?01

x x

∴定义域为:{}011|<<--

⑤要使函数有意义,必须: ???≠+≥+-073032x x ??

???-≠∈?37x R x 即 x<37-

或 x>37- ∴定义域为:}3

7

|{-≠x x 2 定义域的逆向问题

例3 若函数a

ax ax y 1

2+

-=

的定义域是R ,求实数a 的取值范围 (定义域的逆向问题) 解:∵定义域是R,∴

恒成立,01

2≥+

-a ax ax

∴?????≤2

001402a a a a a 等价于

练习:

3

22

log

+-=

mx x y 定义域是一切实数,则m 的取值范围;

3 复合函数定义域的求法

例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1,1],求函数)41(+

=x f y )4

1

(-?x f 的定义域 解:要使函数有意义,必须:

434345434345

14111411≤≤-??????≤

≤-≤≤-??????≤-≤-≤+≤-x x x x x

∴函数

)41(+=x f y )

41(-?x f 的定义域为:???

???≤≤-4343|x x

例5 已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(2x -1)的定义域。

分析:法则f 要求自变量在[-1,1]内取值,则法则作用在2x -1上必也要求2x -1在 [-1,1]内取值,即-1≤2x -1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域;或者从位置上思考f(2x -1)中2x -1与f(x)中的x 位置相同,范围也应一样,∴-1≤2x -1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域。

(注意:f(x)中的x 与f(2x -1)中的x 不是同一个x ,即它们意义不同。) 解:∵f(x)的定义域为[-1,1], ∴-1≤2x -1≤1,解之0≤x ≤1, ∴f(2x -1)的定义域为[0,1]。

例6已知已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(x 2)的定义域。

答案:-1≤x2≤1? x2≤1?-1≤x ≤1

练习:设)(x f 的定义域是[-3,2],求函数)2(-x f 的定义域

解:要使函数有意义,必须:223≤-≤-x 得: 221+≤≤-x

x ≥0 ∴ 220+≤≤x 2460+≤≤x

∴ 函数)2(-x f 的定域义为:{}

2460|+≤≤x x

例7 已知f(2x -1)的定义域为[0,1],求f(x)的定义域

因为2x -1是R 上的单调递增函数,因此由2x -1, x ∈[0,1]求得的值域[-1,1]是f(x)的定义域。

练习:

1 已知f(3x -1)的定义域为[-1,2),求f(2x+1)的定义域。[2,2

5

-)

(提示:定义域是自变量x 的取值范围) 2 已知f(x 2)的定义域为[-1,1],求f(x)的定义域

3 若()y f x =的定义域是[]0,2,则函数()()121f x f x ++-的定义域是 ( )

A.[]1,1-

B???

??

?-

21,21

C.??

????1,2

1

D.10,2

??????

4 已知函数()11x

f x x

+=

-的定义域为A,函数()y f f x =????的定义域为B,则( ) A.A B B =U B.B A ∈ C.A B B =I D. A B =

求值域问题

利用常见函数的值域来求(直接法)

一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ,值域为R ;

反比例函数)

0(≠=k x k

y 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0};

二次函数)0()(2

≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ,

当a>0时,值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥};当a<0时,值域为{a b ac y y 4)4(|2-≤

}.

例1 求下列函数的值域

① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②)(3x 1x

32

)(≤≤-=x f ③ x

x y 1

+

=(记住图像) 解:①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3,

∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域是[-1,5] ②略

③ 当x>0,∴x x y 1

+==2)1(2+-

x

x 2≥, 当x<0时,)1

(x x y -+--==-2)1(2---

-x

x -≤ ∴值域是Y ]2,(--∞[2,+∞).(此法也称为配方法) 函数x

x y 1

+=的图像为:

二次函数在区间上的值域(最值):

例2 求下列函数的最大值、最小值与值域:

①142+-=x x y ; ②;]4,3[,142∈+-=x x x y ③]1,0[,142∈+-=x x x y ; ④]5,0[,142∈+-=x x x y ;

解:∵3)2(1422--=+-=x x x y ,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R ,

∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y ≥-3 }. ②∵顶点横坐标2?[3,4],

当x=3时,y= -2;x=4时,y=1;

∴在[3,4]上,min y =-2,m ax y =1;值域为[-2,1]. ③∵顶点横坐标2? [0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2,

∴在[0,1]上,min y =-2,m ax y =1;值域为[-2,1].

④∵顶点横坐标2∈ [0,5],当x=0时,y=1;x=2时,y=-3, x=5时,y=6, ∴在[0,1]上,min y =-3,m ax y =6;值域为[-3,6].

注:对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时, ①当a>0时,则当a b

x 2-=时,其最小值a b ac y 4)4(2

min -=; ②当a<0时,则当a b

x 2-

=时,其最大值a

b a

c y 4)4(2max -=; ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若0x ∈[a,b],则)(0x f 是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时, 再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大(小)值.

②若0x ?[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内,只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大(小)值.

注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;

②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行

讨论.

练习:1、求函数y =3+x 32-的值域

解:由算术平方根的性质,知x 32-≥0,故3+x 32-≥3。∴函数的值域为 [)+∞,3 . 2、求函数[]5,0,522

∈+-=x x x y 的值域

解: Θ对称轴 []5,01∈=x

[]20,420,54,1max min 值域为时时∴====∴y x y x

1 单调性法

例3 求函数y=4x -x 31-(x ≤1/3)的值域。

设f(x)=4x,g(x)= -x 31-,(x ≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而

y=f(x)+g(x)=4x-x 31-

在定义域为x ≤1/3上也为增函数,而且y ≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为{y|y ≤4/3}。

小结:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函

数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。 练习:求函数y=3+x -4的值域。(答案:{y|y ≥3})

2 换元法

例4 求函数x x y -+=12 的值域

解:设t x =-1,则)0(122

≥++-=t t t y

[)(]

2,21,01max ∞-∴==∴+∞∈=值域为,时当且开口向下,对称轴y t t Θ

点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确

定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

练习:求函数y=x x --1的值域。(答案:{y|y ≤-3/4} 求

x

x x

x cos sin cos sin 1++的值域;

例5 (三角换元法)求函数21x x y -+=的值域

解: 11≤≤-x Θ

∴设[]πθθ,0cos ∈=x

[

][]

2

,12

,1)4

sin(2sin cos sin cos -∴-∈+=+=+=原函数的值域为πθθθθθy

小结:(1)若题目中含有1≤a ,则可设)0,cos (2

2,sin πθθπ

θπθ≤≤=≤≤-

=a a 或设 (2)若题目中含有12

2

=+b a 则可设θ

θsin ,cos ==b a ,其中πθ20<≤

(3)若题目中含有2

1x -,则可设θcos =x ,其中πθ≤≤0 (4)若题目中含有2

1x +,则可设θtan =x ,其中2

2

π

θπ

<

<-

(5)若题目中含有)0,0,0(>>>=+r y x r y x ,则可设θθ2

2sin ,cos r y r x ==其中??

?

?

?

∈2,

0πθ

3 平方法

例5 (选)求函数x x y -+-=

53 的值域

解:函数定义域为:[]5,3∈x

[][][][]

2,24,21,0158,5,31582)5()3(2

222原函数值域为

得由∴∈∴∈-+-∈-+-+-+-=y x x x x x x x y

4 分离常数法 例6 求函数2

1

+-=

x x y 的值域 由12

31232≠+-=+-+=x x x y ,可得值域{}1≠y y

小结:已知分式函数)0(≠++=

c d

cx b

ax y ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量

的要求)内,值域为????

??≠c a y y ;如果是条件定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函数化为)(bc ad d

cx c ad

b c a y ≠+-

+

=,用复合函数法来求值域。

练习 求函数6

41

2+-=

x x y 的值域 求函数1

33+=x x

y 的值域

求函数 y =

1

212+-x

x 的值域;(y ∈(-1,1))

例7 求13+--=x x y 的值域

解法一:(图象法)可化为 ??

?

??>-≤≤---<=3,431,221,4

x x x x y

观察得值域{}

44≤≤-y y

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