函数定义域、值域求法总结
一.求函数的定义域需要从这几个方面入手:
(1)分母不为零
(2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。
(4)指数、对数的底数大于0,且不等于1
(5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠
二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
定义域的求法
1、直接定义域问题
例1 求下列函数的定义域:
① 21)(-=x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x
x x f -++=21
1)(
解:①∵x-2=0,即x=2时,分式
2
1
-x 无意义, 而2≠x 时,分式
21
-x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32
时,根式23+x 无意义,
而023≥+x ,即3
2
-≥x 时,根式23+x 才有意义,
∴这个函数的定义域是{x |3
2
-≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x
-21
同时有意义,
∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }
另解:要使函数有意义,必须: ?
??≠-≥+020
1x x ? ???≠-≥21x x
例2 求下列函数的定义域:
①14)(2
--=
x x f ②214
3)(2-+--=
x x x x f
③=
)(x f x
11111++
④x
x x x f -+=
0)1()(
⑤3
7
3132+++-=x x y
解:①要使函数有意义,必须:142
≥-x 即: 33≤≤-x
∴函数14)(2--=
x x f 的定义域为: [3,3-
]
②要使函数有意义,必须:??
?≠-≠-≤≥??
??≠-+≥--131
40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--
∴定义域为:{ x|4133≥-≤<-- ③要使函数有意义,必须: 011110110≠++≠+≠? ?? ? ? ? ? ??x x x ? 2 110-≠-≠≠?????x x x ∴函数的定义域为:}2 1 ,1,0|{--≠∈x R x x 且 ④要使函数有意义,必须: ? ??≠-≠+001x x x ???<-≠?01 x x ∴定义域为:{}011|<<-- ⑤要使函数有意义,必须: ???≠+≥+-073032x x ?? ???-≠∈?37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为:}3 7 |{-≠x x 2 定义域的逆向问题 例3 若函数a ax ax y 1 2+ -= 的定义域是R ,求实数a 的取值范围 (定义域的逆向问题) 解:∵定义域是R,∴ 恒成立,01 2≥+ -a ax ax ∴?????≤≤?-=?>2 001402a a a a a 等价于 练习: 3 22 log +-= mx x y 定义域是一切实数,则m 的取值范围; 3 复合函数定义域的求法 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1,1],求函数)41(+ =x f y )4 1 (-?x f 的定义域 解:要使函数有意义,必须: 434345434345 14111411≤≤-??????≤ ≤-≤≤-??????≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数 )41(+=x f y ) 41(-?x f 的定义域为:??? ???≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(2x -1)的定义域。 分析:法则f 要求自变量在[-1,1]内取值,则法则作用在2x -1上必也要求2x -1在 [-1,1]内取值,即-1≤2x -1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域;或者从位置上思考f(2x -1)中2x -1与f(x)中的x 位置相同,范围也应一样,∴-1≤2x -1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域。 (注意:f(x)中的x 与f(2x -1)中的x 不是同一个x ,即它们意义不同。) 解:∵f(x)的定义域为[-1,1], ∴-1≤2x -1≤1,解之0≤x ≤1, ∴f(2x -1)的定义域为[0,1]。 例6已知已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(x 2)的定义域。 答案:-1≤x2≤1? x2≤1?-1≤x ≤1 练习:设)(x f 的定义域是[-3,2],求函数)2(-x f 的定义域 解:要使函数有意义,必须:223≤-≤-x 得: 221+≤≤-x ∵ x ≥0 ∴ 220+≤≤x 2460+≤≤x ∴ 函数)2(-x f 的定域义为:{} 2460|+≤≤x x 例7 已知f(2x -1)的定义域为[0,1],求f(x)的定义域 因为2x -1是R 上的单调递增函数,因此由2x -1, x ∈[0,1]求得的值域[-1,1]是f(x)的定义域。 练习: 1 已知f(3x -1)的定义域为[-1,2),求f(2x+1)的定义域。[2,2 5 -) (提示:定义域是自变量x 的取值范围) 2 已知f(x 2)的定义域为[-1,1],求f(x)的定义域 3 若()y f x =的定义域是[]0,2,则函数()()121f x f x ++-的定义域是 ( ) A.[]1,1- B??? ?? ?- 21,21 C.?? ????1,2 1 D.10,2 ?????? 4 已知函数()11x f x x += -的定义域为A,函数()y f f x =????的定义域为B,则( ) A.A B B =U B.B A ∈ C.A B B =I D. A B = 求值域问题 利用常见函数的值域来求(直接法) 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ,值域为R ; 反比例函数) 0(≠=k x k y 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}; 二次函数)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 的定义域为R , 当a>0时,值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥};当a<0时,值域为{a b ac y y 4)4(|2-≤ }. 例1 求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②)(3x 1x 32 )(≤≤-=x f ③ x x y 1 + =(记住图像) 解:①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3, ∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域是[-1,5] ②略 ③ 当x>0,∴x x y 1 +==2)1(2+- x x 2≥, 当x<0时,)1 (x x y -+--==-2)1(2--- -x x -≤ ∴值域是Y ]2,(--∞[2,+∞).(此法也称为配方法) 函数x x y 1 +=的图像为: 二次函数在区间上的值域(最值): 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域: ①142+-=x x y ; ②;]4,3[,142∈+-=x x x y ③]1,0[,142∈+-=x x x y ; ④]5,0[,142∈+-=x x x y ; 解:∵3)2(1422--=+-=x x x y ,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R , ∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y ≥-3 }. ②∵顶点横坐标2?[3,4], 当x=3时,y= -2;x=4时,y=1; ∴在[3,4]上,min y =-2,m ax y =1;值域为[-2,1]. ③∵顶点横坐标2? [0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2, ∴在[0,1]上,min y =-2,m ax y =1;值域为[-2,1]. ④∵顶点横坐标2∈ [0,5],当x=0时,y=1;x=2时,y=-3, x=5时,y=6, ∴在[0,1]上,min y =-3,m ax y =6;值域为[-3,6]. 注:对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时, ①当a>0时,则当a b x 2-=时,其最小值a b ac y 4)4(2 min -=; ②当a<0时,则当a b x 2- =时,其最大值a b a c y 4)4(2max -=; ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若0x ∈[a,b],则)(0x f 是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时, 再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大(小)值. ②若0x ?[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内,只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大(小)值. 注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值; ②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行 讨论. 练习:1、求函数y =3+x 32-的值域 解:由算术平方根的性质,知x 32-≥0,故3+x 32-≥3。∴函数的值域为 [)+∞,3 . 2、求函数[]5,0,522 ∈+-=x x x y 的值域 解: Θ对称轴 []5,01∈=x []20,420,54,1max min 值域为时时∴====∴y x y x 1 单调性法 例3 求函数y=4x -x 31-(x ≤1/3)的值域。 设f(x)=4x,g(x)= -x 31-,(x ≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而 y=f(x)+g(x)=4x-x 31- 在定义域为x ≤1/3上也为增函数,而且y ≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为{y|y ≤4/3}。 小结:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函 数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。 练习:求函数y=3+x -4的值域。(答案:{y|y ≥3}) 2 换元法 例4 求函数x x y -+=12 的值域 解:设t x =-1,则)0(122 ≥++-=t t t y [)(] 2,21,01max ∞-∴==∴+∞∈=值域为,时当且开口向下,对称轴y t t Θ 点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确 定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 练习:求函数y=x x --1的值域。(答案:{y|y ≤-3/4} 求 x x x x cos sin cos sin 1++的值域; 例5 (三角换元法)求函数21x x y -+=的值域 解: 11≤≤-x Θ ∴设[]πθθ,0cos ∈=x [ ][] 2 ,12 ,1)4 sin(2sin cos sin cos -∴-∈+=+=+=原函数的值域为πθθθθθy 小结:(1)若题目中含有1≤a ,则可设)0,cos (2 2,sin πθθπ θπθ≤≤=≤≤- =a a 或设 (2)若题目中含有12 2 =+b a 则可设θ θsin ,cos ==b a ,其中πθ20<≤ (3)若题目中含有2 1x -,则可设θcos =x ,其中πθ≤≤0 (4)若题目中含有2 1x +,则可设θtan =x ,其中2 2 π θπ < <- (5)若题目中含有)0,0,0(>>>=+r y x r y x ,则可设θθ2 2sin ,cos r y r x ==其中?? ? ? ? ∈2, 0πθ 3 平方法 例5 (选)求函数x x y -+-= 53 的值域 解:函数定义域为:[]5,3∈x [][][][] 2,24,21,0158,5,31582)5()3(2 222原函数值域为 得由∴∈∴∈-+-∈-+-+-+-=y x x x x x x x y 4 分离常数法 例6 求函数2 1 +-= x x y 的值域 由12 31232≠+-=+-+=x x x y ,可得值域{}1≠y y 小结:已知分式函数)0(≠++= c d cx b ax y ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量 的要求)内,值域为???? ??≠c a y y ;如果是条件定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函数化为)(bc ad d cx c ad b c a y ≠+- + =,用复合函数法来求值域。 练习 求函数6 41 2+-= x x y 的值域 求函数1 33+=x x y 的值域 求函数 y = 1 212+-x x 的值域;(y ∈(-1,1)) 例7 求13+--=x x y 的值域 解法一:(图象法)可化为 ?? ? ??>-≤≤---<=3,431,221,4 x x x x y 观察得值域{} 44≤≤-y y