复数的三角形式及乘除运算
复数的三角形式及乘除运算
一、主要内容:
复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义. 二、学习要求:
1．熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值. 2．深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式. 3．能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围（最值）.
4．利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题. 5．注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法. 三、重点:
复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用. 四、学习建议:
1．复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的.
前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示，即Z=a+bi(a,b ∈R).二是几何表示，复数Z 既可以用复平面上的点Z(a,b)表示，也可以用复平面上的向量
来表示.现在需要学习复数的三角表示.既用复数Z 的
模和辐角来表示，设其模为r ，辐角为θ，则Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0).
既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化. 代数形式r=
三角形式
Z=a+bi(a,b ∈R) Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0)
复数三角形式的结构特征是:模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数Z 的一个辐角，不一定是辐角主值. 五、基础知识 1）复数的三角形式
①定义：复数z=a+bi （a,b ∈R ）表示成r （cos θ+ i sin θ）的形式叫复数z 的三角形式。即z=r （cos θ
+ i sin θ）
其中z r = θ为复数z 的辐角。
②非零复数z 辐角θ的多值性。
始边，向量oz →
所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi 的辐角 以ox 轴正半轴为因此复数z 的辐角是θ+2k π（k ∈z ）
③辐角主值 表示法；用arg z 表示复数z 的辐角主值。
2π）的角θ叫辐角主值 02≤ 定义：适合[0， 唯一性：复数z 的辐角主值是确定的，唯一的。 ④不等于零的复数的模z r =是唯一的。 ⑤z =0时，其辐角是任意的。 ⑥复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。（求法） 这是复数计算中必定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容（也是解题术）复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。辐角的求法，辐角主值的确定是难点，也是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。 2）复数的向量表示 在复平面内与复数z 1、z 2对应的点分别为z 1、z 2（如图） 何量oz z 11→ 对应于 何量oz z 22→ 对应于 何量z z z z z 1221→ -=对应于 与复数z 2－z 1对应的向量为oz → 显然oz ∥z 1z 2 则arg z 1=∠xoz 1=θ1 arg z 2=∠xoz 2=θ2 arg z （z 2－z 1）=arg z=∠xoz=θ 3）复数运算的几何意义 主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化 如z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2） ①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)] 如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→ → → 显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→ 逆时针旋转θ2角模变为oz 1→ 的r 2 倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz → 。 < 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→ 顺时针旋转θ2角模变为 r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz → 。 为此，若已知复数z 1的辐角为α，z 2的辐角为β求α+β时便可求出z 1·z 2=z a z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。 ②除法 '=÷= =-+-z z z z z r r i 12121 2 1212[cos()sin()]θθθθ （其中 z 2≠0） 除法对于辐角主要是“相减”（被除数的辐角一除数的辐角）依向量旋转同乘法简述如下： < 1 >θθ210>→ 时顺时针旋转角２oz 。 < 2 >θθ２２时逆时针旋转角<→ 01oz 。 例1．下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式: (1) Z 1=-2(cosθ+isinθ) (2) Z 2=cosθ-isinθ (3) Z 3=-sinθ+icosθ (4) Z 4=-sinθ-icosθ (5) Z 5=cos60°+isin30° 分析:由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向.变形时，可按照如下步骤进行:首先确定复数Z 对应点所在象限（此处可假定θ为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角.此步骤可简称为“定点→定名→定角”.这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率. 解:（1）由“模非负”知，不是三角形式，需做变换:Z 1=Z(-cosθ-isinθ) 复平面上Z 1(-2cosθ,-2sinθ)在第三象限（假定θ为锐角），余弦“-cosθ”已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π+θ”将θ变换到第三象限.∴Z 1=Z(-cosθ-isinθ)=2[cos(π+θ)+isin(π+θ)] （2）由“加号连”知，不是三角形式 复平面上点Z 2(cosθ,-sinθ)在第四象限（假定θ为锐角），不需改变三角函数名称，可用诱导公式 “2π-θ”或“-θ”将θ变换到第四象限. ∴ Z 2=cosθ-isinθ=cos(-θ)+isin(-θ)或Z 2=cosθ-isinθ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ) 考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一. （3）由“余弦前”知，不是三角形式 复平面上点Z 3(-sinθ,cosθ)在第二象限（假定θ为锐角），需改变三角函数名称，可用诱导公式 “+θ”将θ变换到第二象限. ∴Z 3(-sinθ,cosθ)=cos(+θ)+isin(+θ) 同理（4）Z 4=-sinθ-icosθ=cos(π-θ)+isin(π-θ) （5）Z 5=cos60°+isin30°=+i=(1+i)=·(cos +isin )=(cos +isin ) 小结:对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点.有了“定点→定名→定角”这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题. 例2．求复数Z=1+cosθ+isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值. 分析:式子中多3个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”. 解:Z=1+cosθ+isinθ=1+(2cos 2-1)+2i.sin cos =2cos (cos +isin ) (1) ∵ π<θ<2π ∴ <<π, ∴cos <0 ∴(1)式右端=-2cos(-cos-isin)=-2cos[cos(π+)]+isin(π+)] ∴r=-2cos, ArgZ=π++2kπ(k∈Z) ∵<<π∴π<π+<2π，∴argZ=π+. 小结:（1）式右端从形式上看似乎就是三角形式.不少同学认为r=2cos, argZ=或ArgZ= 错误之处在于他们没有去考虑θ角范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角形式.看了这道例题，你一定能解决如Z1=1-cosθ+isinθ(π<θ<2π) ，Z2=1+cosθ-isinθ(π<θ<2π)等类似问题. 例3．将Z=(π<θ<3π)化为三角形式，并求其辐角主值. 分析:三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化，再向三角形式转化. 解:====cos2θ+isin2θ ∵π<θ<3π, ∴<2θ<6π, ∴π<2θ-4π<2π，∴argZ=2θ-4π 小结:掌握三角变形是解决这类问题的根本.但在此之前的解题方向一定要明确，即要分析式子结构.比较其与三角形式的异同，从而决定变形的方向，采用正确的方法.要求学生做好每道例题后的反思，并能由此及彼，举一反三，达到熟练解决一类问题的目的，如1-itgθ, tgθ+i, i-ctgθ等. 2．复数Z的模|Z|的几何意义是:复平面上点Z到原点距离，复数模|Z1-Z2|的几何意义是:复平面上两点Z1，Z2之间距离.辐角几何意义是:以x轴正半轴为角始边，以向量所在射线为终边的角记为ArgZ.在[0，2π)范 围内的辐角称辐角主值，记为argZ. 要求学生不仅要理解以上所说各几何意义，还要运用几何意义去解决相关问题. 例4．若Z∈c，|Z-2|≤1，求｜Ｚ｜的最大，最小值和argZ范围. 解:法一，数形结合 由|Z-2|≤1，知Ｚ的轨迹为复平面上以（2，0）为圆心，1为半径的圆面（包括圆周）， |Z|表示圆面上任一点到原点的距离. 显然1≤|Z|≤3, ∴|Z|max=3, |Z|min=1, 另设圆的两条切线为OA，OB，A，B为切点，由|CA|=1，|OC|=2知 ∠AOC=∠BOC=，∴argZ∈[0,]∪[π,2π) 法二:用代数形式求解|Z|的最大，最小值，设Z=x+yi(x,y∈R) 则由|Z-2|≤1得(x-2)2+y2≤1, ∴|Z|=≤=, ∵(x-2)2+y2≤1, ∴(x-2)2≤1, ∴-1≤x-2≤1, ∴1≤x≤3, ∴1≤4x-3≤9, ∴1≤|Z|≤3. 小结:在一题多解的基础上，分析比较各种方法的异同，如何做好方法的选择.各种方法的本质和优势，通过分析与比较都一目了然. 例5．复数Z满足arg(Z+3)=π,求|z+6|+|z-3i|最小值. 分析:由两个复数模的和取最小值，联想到一个点到两个定点距离和的最小 值，将之转化为几何问题来解决应比较简便. 解法一:由arg(Z+3)=π,知Z+3的轨迹是一条射线OA，∠xOA=π,而 |Z+6|+|Z-3i|=|(z+3)-(-3)|+|(Z+3)-(3+3i)| 将B(-3,0)与C(3,3)连结，BC连线与OA交点为D，取Z+3为D点，表示复数时， |Z+6|+|Z-3i|=|BD|+|DC|=|BC|=3, ∴所求最小值=3. 法二:由arg(Z+3)=π, 知Z+3的轨迹是射线OA，则Z轨迹应是平行于OA， 且过点（-3，0）的射线BM， ∴|Z+6|+|Z-3i|就表示射线BM上点到点P(-6,0)和点Q(0,3)距离之和，连结PQ与射线BM交于点N，取E为N点表示复数时， |Z+6|+|Z-3i|=|PN|+|NQ|=|PQ|=3, ∴所求最小值=3. 小结:两种方法的本质相同，都是将数学式子利用其几何意义转化成几何问题进行解决.如果纯粹用代数方法求解，难度会很大.对有关最值问题，尤其是模（距离）和辐角主值最值问题，用数形结合方法显然较为简便. 例6．已知|Z-2i|≤1,求arg(Z-4i)最大值. 解：∵|Z-2i|≤1,∴点Z轨迹是以（0，2）为圆心，1为半径的圆面，在其上任取一点Z，连Z与点（0，4）得一以（0，4）为起点，Z为终点的向量，将起点平移到原点，则θ为其对应的辐角主值，显然arg(Z-4i)最大 值为π. 3．两个复数相乘，积的模等于模的积，辐角为两辐角之和，其几何意义是模的伸缩及 对应向量的旋转. 两个复数相除，商的模等于模的商（除数不为零），辐角为两辐角之差，其几何意义同乘法. 由复数三角形式乘除运算的几何意义，可解决向量或图形的旋转问题，如等腰、等边三角形、直角三角形，平行四边形顶点间的几何何关系利用复数的乘除运算来表示. 复数三角形式较之代数形式，在乘除运算中非常方便，可顺利解决多项相乘（乘方），相除及乘除混合运算. 例7．若与分别表示复数Z1=1+2i, Z2=7+i, 求∠Z2OZ1并判断ΔOZ1Z2的形状. 解:欲求∠Z2OZ1，可计算 ==== ∴∠Z2OZ1=且=， 由余弦定理，设|OZ1|=k, |OZ2|=2k(k>0)|Z1Z2|2=k2+(2k)2-2k·2k·cos=3k2 ∴|Z1Z2|=k, 而k2+(k)2=(2k)2，∴ΔOZ1Z2为有一锐角为60°的直角三角形. 小结:此题中利用除法几何意义来解决三角形中角的大小问题，十分方便. 例8．已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A(-1,0)和B(0,8)关于l的对称点都在C上，求直线l与抛物线C的方程. 解:如图，建立复平面x0y，设向量、对应复数分别为 x1+y1i, x2+y2i. 由对称性，|OA'|=|OA|=1, |OB'|=|OB|=8, ∴x2+y2i=(x1+y1i)8i=-8y1+8x1i ∴设抛物线方程为y2=2px(p>0)则有y12=2px1, y22=2px2, ∴x1=, y12=p2, 又|OA'|=1， ∴()2+p2=1,∴p=或-（舍） ∴抛物线方程为y2=x，直线方程为:y=x. 小结:对于解析几何的许多问题，若能借助于复数的向量来表示，常常有意想不到的功效.尤其涉及到特殊位置，特殊关系的图形时，尤显其效. 五、易错点 1．并不是每一个复数都有唯一确定的辐角主值.如复数零的模为0，辐角主值不确定. 2．注意ArgZ与argZ的区别.ArgZ表示复数Z的辐角，而argZ表示复数Z的辐角主值. ArgZ=argZ+2kπ(k∈Z),argZ∈[0,2π), 辐角主值是[0,2π)内的辐角，但辐角不一定是辐角主值. 3．复数三角形式的四个要求:模非负，角相同，余弦前，加号连，缺一不可.任何一个不满足，就不是三角形式. 4．注意复数三角形式的乘除运算中，向量旋转的方向. 六、练习 1．写出下列复数的三角形式 (1) ai(a∈R)(2) tgθ+i(<θ<π）(3) -（sinθ-icosθ) 2．设Z=(-3+3i)n, n∈N，当Z∈R时，n为何值？ 3．在复平面上A，B表示复数为α,β(α≠0),且β=(1+i)α，判断ΔAOB形状，并证明SΔAOB=|d|2. 参考答案: 1．（1）ai= （2）tgθ+i(<θ<π）=-[cos(π-θ)+isin(π-θ)] （3）-(sinθ-icosθ)=[cos(+θ)+isin(+θ)] 2．n为4的正整数倍 3．法一:∵α≠0，β=（1+i)α ∴=1+i=(cos+isin), ∴∠AOB=, ∵分别表示复数α，β-α， 由β-α=αi，得=i=cos+isin， ∴∠OAB=90°,∴ΔAOB为等腰直角三角形. 法二:∵||=|α|, ||=|β-α|=|αi|=|α|,∴||=|| 又||=|β|=|(1+i)α|=|α|,||2+||2=|α|2+|α|2=2|α|2=||2 ∴ΔAOB为等腰直角三角形，∴SΔAOB=||·||=|α|2. 在线测试 选择题 1．若复数z=(a+i)2的辐角是，则实数a的值是（） A、1 B、-1 C、- D、- 2．已知关于x的实系数方程x2+x+p=0的两虚根a，b满足|a-b|=3，则p的值是（） A、-2 B、- C、 D、1 3．设π<θ<，则复数的辐角主值为（） A、2π-3θ B、3θ-2π C、3θ D、3θ-π 4．复数cos+isin经过n次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，则n的值等于（） A、3 B、12 C、6k-1(k∈Z) D、6k+1(k∈Z) 5．z为复数，()|z-3|=()|z+3|()-1的图形是（） A、直线 B、半实轴长为1的双曲线 C、焦点在x轴，半实轴长为的双曲线右支 D、不能确定 答案与解析 答案：1、B 2、C3、B4、C5、C