问题10 应用三角公式化简求值的技巧问题
一、考情分析
三角函数在高考中通常以中低档题型出现,难度不大,但由于三角公式的特殊性,解题中往往也涉及一些小的变换技巧,如果处理得当,往往可以事半功倍,快速而准确地得到正确结论.通常情况下,三角变换应从“角度、函数、常数、次数、结构”等几方面着手解决. 二、经验分享
(1) 利用sin 2α+cos 2
α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用sin αcos α=tan α可以实现角α的弦
切互化.应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2
=1±2sin αcos α,可以知一求二. (二) 函数变换,乃是重点
三角函数作为一类特殊的函数,其六种三角函数(当今教材要求重点掌握正弦函数、余弦函数、正切函数)之间有着密切的联系,因此,充分注意函数之间的关系,是三角函数变形的另一个重点.
【例2】若, ,则 .
【分析】先统一函数名称,化弦为切,再利用两角和的正切公式求值.
【点评】(1)利用sin 2α+cos 2
α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用sin αcos α=tan α可以实现角α
的弦切互化.
(2)形如a sin α+b cos α和a sin 2
α+b sin αcos α+c cos 2
α的式子分别称为关于sin α,cos α的一次齐次式和二次齐次式,对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cos α或cos 2
α)求解.如果分母为1,可考虑将1写成sin 2
α+cos 2
α.(3)已知tan α=m 的条件下,求解关于sin α,cos α的齐次式问题,必须注意以下几点:①一定是关于sin α,cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式.②因为cos α≠0,所以可以用cos n α(n ∈N *
)除之,这样可以将被求式化为关于tan α的表示式,可整体代入tan α=m 的值,从而完成被求式的求值运算.③注意1=sin 2
α+cos 2
α的运用.
【小试牛刀】设且则( )
A .32
π
αβ-= B .32
π
αβ+= C .22
π
αβ-=
D .22
π
αβ+=
【答案】C
(三) 常数化角,曲径通幽
三角公式中有不少常数,如1、3、22等,在三角变换中,若能巧妙利用它们与三角函数式或函数值之间的
关系进行转换,往往可以起到意想不到的效果.
【例3】【广东省惠州市2019届高三第三次调研】函数
在
内的值域为
,则的取值范围为( ) A .
B .
C .
D .
【答案】A 【分析】先将转化为正弦型或余弦型函数,再由自变量的取值范围和值域限定的取值范围。
【解析】函数
当时,
,
,则
解得
,故的取值范围为
。故选
【小试牛刀】若π0,2α?
?∈ ??
?
,且( )
A .
12 B .13 C .14 D .15
【答案】B
【解析】因为, ,所以,即
所以
(四) 降幂化一,热点不断
三角公式中,一次关系式较多,特别是同角关系式,以及化一公式等等,因此在观察函数关系式时,注意其次数的特征,将高次化为一次,也是解决问题的重要途径. 【例4】【2018届晋豫省际12月大联考】定义在R 上的函数,其中0a >,
且当0,
2x π??
∈????
时,.
(1)求a,b 的值;
(2)若将()y f x =的图像沿x 轴向左平移4
π
个单位,得到函数()y g x =的图像,令,
求()h x 的最大值.
【分析】三角函数问题,一般利用两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式化为一个角的一个三角函数,然后利用正弦函数(或余弦函数)的性质得出结论.
(2)由(1)得
∵将()y f x =的图像沿x 轴向左平移
4
π
个单位,得到函数()y g x =的图像 ∴
∴
∴()h x 的最大值为22 六、公式变用,柳暗花明
三角函数有众多的公式,我们不仅要会使用公式,还要会使用其变形的等价形式.如cosα=
α
α
sin 22sin ,tanα±tanβ=tan (α+β)(1μtanαtanβ)等.
【例6】
的值为( )
A .3-
B . 3
C .3
D .
33
【分析】本题是非特殊角求值问题,首先应从10°+50°=60°入手,然后注意表达式特征,其中的tan 10°+tan 50°和tan 10°tan 50°在正切的和角公式中也有显现,故考虑正切和角公式的变形.
【答案】B.
【点评】三角公式是恒等式(当等式两边都有意义时),所以,我们不仅要记住公式的原型,还要会逆用公式,或者变形使用,这需要考生对公式各部分的结构特征都要十分熟悉,才能对公式的变形使用驾轻就熟.
总体来说,在三角函数的变换中,各种变换都是穿插进行的,许多时候需要多方位思考,不能拘泥于某一种思维方式,这样才有利于打开思维的空间,找到更加合适的解题方法
【小试牛刀】的值是()
A.1B.3 C.2 D.1 3
【答案】C
【解析】==,故选C.五、迁移运用
1.【广东省惠州市2019届高三第三次调研】已知,,则()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由得,所以,,
所以,故选D.
10【2018 届四川省凉山州高三毕业班第一次诊断】已知锐角α满足,则sin cos
αα等于()
A. 1
4
B.
1
4
- C.
2
4
D.
2
4
-
【答案】A
11.4cos50°-tan40°=( )
A. 2
B.2+3 2
C. 3 D.22-1
【答案】C
【解析】4cos50°-tan40°=4cos50°-
sin 40°
cos 40°
=
4sin 40°·cos 40°
cos 40°
-
sin 40°
cos 40°
=2sin 80°-sin 40°
cos 40°
=
2cos 10°-sin 40°
cos 40°
=
2cos 10°-sin30°+10°
cos 40°
=
3
2
cos 10°-
3
2
sin 10°
cos 40°
=
3cos 30°cos 10°-sin 30°sin 10°
cos 40°
=
3cos 40°
cos 40°
= 3
12.【2018届广西玉林市高三期中】已知,则____. 【答案】2
13.【2018上海市杨浦区高三数学一模】已知函数, x R
∈,设0
a>,若函数为奇函数,则α的值为________
【答案】
【解析】∵
∴
∵函数为奇函数
∴为奇函数,则
a>
∵0
∴
故答案为
14.函数的减区间是.
【答案】
【解析】,由
∈,得,所以函数()
f x的减区间是
k Z
()
.
15.已知,则.
-
【答案】1
16.已知,求下列各式的值.
(1);
(2)
.
【答案】(1)16-
;(2)8
5
.
【解析】(1)∵,
∴
,即
,
则原式.
(2)∵
,即tan 2a =,
∴原式.
17.已知函数.
(1)求函数()f x 的最小正周期与单调递增区间;
(2)若
时,函数()f x 的最大值为0,求实数m 的值.
【答案】(1)T π=;(2)1
2
m =
.
18.已知函数(其中0ω>)的最小正周期为π.
(Ⅰ) 求ω的值;
(Ⅱ) 将函数()y f x =的图象向左平移
6
π
个单位,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数()g x 的图象.求函数()g x 在[]-ππ,上零点.
【答案】(Ⅰ) ω=1;(Ⅱ) 6π-和65π.
【解析】(Ⅰ)
.
由最小正周期22T ω
π
=
=π,得ω=1. (Ⅱ) 由(Ⅰ)知
,将函数()f x 的图象向左平移
6
π
个单位, 得到图象的解析式
,
将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,得到.
由
,得6
x k π=π-
,
故当[]x ∈-ππ,时,函数()g x 的零点为6π-和
65π
.
19.已知cos α=17,cos ()α-β=1314,且0<β<α<π
2.
(1)求tan2α的值; (2)求β的值.
g3.1049 三角函数的化简、求值与证明 一、知识回顾 1、三角函数式的化简:(1)常用方法:①直接应用公式进行降次、消项;②切割化弦,异名化同名,异角化同角;③ 三角公式的逆用等。(2)化简要求:①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数 2、三角函数的求值类型有三类:(1)给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角的三角函数值问题;(2)给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角”,如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时要注意角的范围的讨论;(3)给值求角:实质上转化为“给值求值”问题,由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。 3、三角等式的证明:(1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右同一等方法,使等式两端的化“异”为“同”;(2)三角条件等式的证题思路是通过观察,发现已知条件和待证等式间的关系,采用代入法、消参法或分析法进行证明。 二、基本训练 1、已知θ是第三象限角,且445 9 sin cos θθ+=,那么2sin θ等于 ( ) A 、223 B 、223- C 、23 D 、23 - 2、函数23 232 y sin x cos x =--+的最小正周期 ( ) A 、2π B 、π C 、3π D 、4π 3、tan 70cos10(3tan 201)- 等于 ( ) A 、1 B 、2 C 、-1 D 、-2 4、已知46 sin 3cos (4)4m m m αα--=≠-,则实数m 的取值范围是______。 5、设1 0,sin cos 2 απαα<<+=,则cos2α=_____。 三、例题分析 例1、化简: 4221 2cos 2cos 2.2tan()sin () 44 x x x x ππ -+ -+ 例2、设3177cos(),45124 x x π ππ +=<< ,求2sin 22sin 1tan x x x +-的值。 例3、求证:sin(2)sin 2cos().sin sin αββ αβαα +-+=
实用标准
—tanC。
例 1 ? (1 )在 ABC 中,已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800,所以 B 640,或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评:应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3,求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中,已知 a 20 cm , b 28 cm , 40°,解三角形(角度精确到 10,边长精确 到 1cm ) o 解:(1 )根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ; 根据正弦定理,b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm); 根据正弦定理,c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 (2 )根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ,解三角形; ①当 B 640 时, C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一:先解三角方程,求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中, sin A cos A
si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二:由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6
第三章 三角恒等变换 一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+; ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-; ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-; ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+; ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式: sin 22sin cos ααα =222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α αααα=-=-=- ?2 2 1cos 2cos 1cos 2sin 2 2 α α αα+=-=, ?2 cos 21cos 2 αα+= ,2 1cos 2sin 2αα-=. ⑶22tan tan 21tan α αα =-. 三、辅助角公式: () 22sin cos sin α+=++a x b x a b x , 2 2 2 2 cos sin a b a b a b ???= = ++其中由,决定
四、三角变换方法: (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的 相异角,可根据角与角之间的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如: ①α2是α的二倍;α4是α2的二倍;α是2α的二倍;2α是4 α的二倍; ②2 304560304515o o o o o o =-=-=; ③()ααββ=+-;④ ()4 24 π π π αα+= --; ⑤2()()()()44 ππ ααβαβαα=++-=+--;等等 (2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如 在三角函数中正余弦是基础,通常化切为弦,变异名为同名。 (3)“1”的代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转 化为三角函数值,例如常数“1”的代换变形有: 221sin cos sin90tan45o o αα=+== (4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。 (5)三角函数式的变换通常从:“角、名、形、幂”四方面入手; 基本原则是:见切化弦,异角化同角,倍角化单角,异名化同名, 高次降低次,特殊值与特殊角的三角函数互化等。
第七节三角函数的化简与求值 [选题明细表] 知识点、方法题号 三角函数式的化简15 三角函数的求值1,2,3,5,9,10,11,13 三角变换的综合应用4,6,7,8,12,14 一、选择题 1.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α=,则cos 2α等于( B ) (A)(B)(C)-(D)- 解析:因为sin α=,所以cos 2α=1-2sin2α=1-2×()2=.故选B. 2.设α为锐角,若cos(α+)=,则sin(2α+)的值为( A ) (A)(B)(C)(D) 解析:因为α为锐角,即0<α<, 所以<α+<+=. 因为cos(α+)=, 所以sin(α+)=.
所以sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+) =2×× =. cos(2α+)=2cos2(α+)-1=. 所以sin(2α+)=sin(2α+-) =sin(2α+)cos -cos(2α+)sin =×-× =. 故选A. 3.若α∈(,π),且3cos 2α=sin(-α),则sin 2α的值为( D ) (A)(B)-(C)(D)- 解析:cos 2α=sin(-2α) =sin[2(-α)] =2sin(-α)cos(-α), 代入原式,得6sin(-α)cos(-α)=sin(-α),
因为α∈(,π),所以cos(-α)=, 所以sin 2α=cos(-2α)=2cos2(-α)-1=-. 故选D. 4.函数y=的单调递增区间是( A ) (A)(2kπ-π,2kπ+)(k∈Z) (B)(2kπ-,2kπ+)(k∈Z) (C)(2kπ-,2kπ-)(k∈Z) (D)(kπ-,kπ+)(k∈Z) 解析:y== = = =tan(+), 当+∈(kπ-,kπ+),k∈Z时,函数为增函数, 此时x∈(2kπ-,2kπ+),k∈Z. 故选A.
高中数学解三角形和平面向量试题 一、选择题: 1.在△ABC 中,若a = 2 ,23b =,0 30A = , 则B 等于( B ) A .60o B .60o 或 120o C .30o D .30o 或150o 2.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若c =2,b =6,B =120o ,则a 等于( D ) A .6 B .2 C .3 D .2 3.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 且2=a ,A=45°,2=b 则sinB=( A ) A . 1 2 B .22 C . 3 2 D .1 4.ABC ?的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ,若5 ,22 a b A B ==,则cos B =( B ) A . 53 B .54 C .55 D .5 6 5.在△ABC 中,若)())((c b b c a c a +=-+,则A ∠=( C ) A .0 90 B .0 60 C .0 120 D .0 150 6.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为(D ) A. 6 π B. 3π C.6π或56 π D. 3π或23 π 7. 在△ABC 中, b a B A =--cos 1cos 1,则△AB C 一定是( A ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 8.在ABC ?中,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,若角A 、B 、C 依次成等差数列,且a=1, ABC S b ?=则,3等于( C ) A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 2 9.已知锐角△ABC 的面积为33,BC=4,CA=3则角C 大小为( B ) A 、75° B 、60° C 、45° D 、30° 10.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为( A ) A. 3 400 米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 11.已知A 、B 两地的距离为10km ,B 、C 两地的距离为20km ,现测得0 120ABC ∠=,则A,C 两地 的距离为( D )。 A. 10km B. 103km C. 105km D. 107km 12.已知M 是△ABC 的BC 边上的中点,若向量AB =a ,AC = b ,则向量AM 等于( C ) A . 21(a -b ) B .21(b -a ) C .21( a +b ) D .1 2 -(a +b ) 13.若 ,3) 1( )1, 1(B A -- ,5) (x C 共线,且 BC AB λ=则λ等于( B ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 14.已知平面向量),2(),2,1(m -==,且∥,则32+=( C ) A .(-2,-4) B. (-3,-6) C. (-4,-8) D. (-5,-10) 15. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 ( C ) A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 16.(2,1),(3,),(2),a b x a b b x ==-⊥r r r r r 若向量若则的值为 ( B ) A .31-或 B.13-或 C .3 D . -1 17. 若|2|= ,2||= 且(-)⊥ ,则与的夹角是 ( B ) (A ) 6π (B )4π (C )3π (D )π12 5 183 =b , a 在 b 方向上的投影是2 3 ,则 b a ?是( B ) A 、3 B 、 29 C 、2 D 、2 1 19.若||1,||2,a b c a b ===+r r r r r ,且c a ⊥r r ,则向量a r 与b r 的夹角为( C ) (A )30° (B )60° (C )120° (D )150°
3.2 简单的三角恒等变换 一.教学目标 1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式,体会化归、换元、方程、逆向 使用公式等数学思想,提高学生的推理能力。 2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三 角恒等变形在数学中的应用。 3、通过例题的解答,引导学生对变换对象目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中 如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力. 二、教学重点与难点 教学重点:引导学生以已有的十一个公式为依据,以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点,提高推理、运算能力. 教学难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力. 三、教学设想: (一)复习:三角函数的和(差)公式,倍角公式 (二)新课讲授: 1、由二倍角公式引导学生思考:2 αα与有什么样的关系? 学习和(差)公式,倍角公式以后,我们就有了进行变换的性工具,从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富,这为我们的推理、运算能力提供了新的平台. 例1、试以cos α表示222 sin ,cos ,tan 222α α α. 解:我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题. 因为2cos 12sin 2αα=-,可以得到21cos sin 2 2α α-=;
因为2cos 2cos 12α α=-,可以得到21cos cos 22 α α+=. 又因为222 sin 1cos 2tan 21cos cos 2α α ααα-==+. 思考:代数式变换与三角变换有什么不同? 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,这是三角式恒等变换的重要特点. 例2.已知135sin = α,且α在第二象限,求2tan α的值。 例3、求证: (1)、()()1sin cos sin sin 2 αβαβαβ=++-????; (2)、sin sin 2sin cos 22θ? θ? θ?+-+=. 证明:(1)因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识,因此我们从等式右边着手. ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+;()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-. 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-; 即()()1sin cos sin sin 2 αβαβαβ=++-????; (2)由(1)得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①;设,αβθαβ?+=-=, 那么,22θ? θ? αβ+-==. 把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos 22θ?θ?θ?+-+=. 思考:在例3证明中用到哪些数学思想? 例3证明中用到换元思想,(1)式是积化和差的形式,
【知识要点】 利用同角三角函数的基本关系式——平方关系、商数关系、倒数关系和两角和差倍半角公式来化简求值. 和差化积、积化和差公式: sin sin 2sin cos 22αβ αβαβ+-+= sin sin 2sin cos 22 αβαβαβ-+-= cos cos 2cos cos 22αβαβαβ+-+= cos cos 2sin sin 22 αβαβαβ+--= 1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++- 1cos sin [sin()sin()]2 αβαβαβ=+-- 1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++- 1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=+-- 【典型例题】 例1求234cos cos cos cos 9999 π πππ的值. 例2化简下列各式: (1)2sin10cos 20sin 20?-?? (2)22sin sin cos sin cos tan 1x x x x x x +---(3)66441sin cos 1sin cos θθθθ---- 例3已知tan 2α=,求:(1) 4sin 2cos 5sin 3cos αααα -+;(2)223sin 3sin cos 2cos αααα+-.
例4已知sin()410πα- =,7cos 225α=,求sin α及tan()3πα+的值. 例5已知α为第二象限内的角,3sin 5α= ,β为第一象限内的角,5cos 13 β=,求tan (2α-β)的值. 【课堂练习】 1.若sin cos 2sin cos x x x x +=-,则sin cos x x =( ).