北师大版高中数学必修三同步阶段质量检测(三) 概 率

阶段质量检测（三） 概 率

(时间120分钟 满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列事件：①如果a ，b 是实数，那么b ＋a ＝a ＋b ；②某地1月1日刮西北风；③当x 是实数时，x 2≥0；④一个电影院某天的上座率超过50%，其中是随机事件的有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

解析：选B ①③是必然事件，②④是随机事件．

2．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是( )

A.1999

B.11 000

C.9991 000

D.12

解析：选D 抛掷一枚硬币，有正面朝上和反面朝上两种可能，概率均为1

2，与第几次抛

掷无关，故选D.

3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则从产品中任意抽查一件抽得正品的概率为( )

A ．0.09

B ．0.98

C ．0.97

D ．0.96

解析：选D 任意抽查一件抽得正品的概率为： 1－0.03－0.01＝0.96.

4．一个射手进行射击，记事件E 1：“脱靶”，E 2：“中靶”，E 3：“中靶环数大于4”，E 4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有( )

A ．1对

B ．2对

C ．3对

D ．4对

解析：选B E 1与E 3，E 1与E 4均为互斥而不对立的事件． 5．方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根的概率为( ) A.12 B.13 C.14 D.34

解析：选C 由题意知1－4n ≥0，得n ≤14，

∴P ＝14－01－0＝14

.

6．已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球．现随机地从甲袋中取出1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出红球的概率为( )

A.13

B.12

C.59

D.29

解析：选B 若从甲袋中取出的球是红球，则从乙袋中取出红球的概率为P 1＝12×35＝3

10.

若从甲袋中取出的球是黄球，则从乙袋中取出红球的概率为P 2＝12×25＝1

5，以上两个事件互斥，

因此P ＝P 1＋P 2＝1

2

.

7．从集合A ＝{－1,1,2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限的概率为( )

A.29

B.13

C.49

D.59

解析：选A 直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限，即k ＜0，b ＞0，总的基本事件个数是3×3＝9；k ＜0，b ＞0包含的基本事件有(－1,1)，(－1,2)，共2个，所以直线不经过第三象限的概率是P ＝29

.

8．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )

A.3π10

B.3π20 C ．1－3π10 D ．1－

3π

20

解析：选D ∵82＋152＝172， ∴该直角三角形斜边长为17.

设内切圆半径为r ，则有12(8＋15＋17)×r ＝1

2×8×15，

解得r ＝3，则内切圆的面积为π×32＝9π. ∴豆子落在其内切圆外的概率P ＝

60－9π60＝1－3π

20

. 9．下课以后，教室里最后还剩下2位男同学，2位女同学，如果一个一个的走出去，则第2位走的是男同学的概率为( )

A.12

B.13

C.14

D.15

解析：选A 法一：已知有2位女同学和2位男同学，所有走的可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男), 所以第2位走出的是男同学的概率P ＝36＝12

.

法二：由于每一位同学走出的概率是相同的，因此第2位走出的是男同学的概率P ＝2

4＝

12

. 10．从分别写有A ，B ，C ，D ，E 的5张卡片中任选2张，这2张卡片上的字母顺序恰

好相邻的概率为( )

A.25

B.15

C.310

D.710

解析：选A 从5张卡片中任选2张的基本事件总数为10，事件“2张卡片上的字母顺序恰好相邻”的基本事件为AB ，BC ，CD ，DE ，共有4个，∴P ＝

410＝2

5

. 11.如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的图形，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则相邻两个图形颜色不相同的概率为( )

A.34

B.38

C.14

D.18

解析：选C 用两种颜色为图形涂色的结果，分组表示为以下情形：(红，蓝，蓝)，(红，蓝，红)，(红，红，蓝)，(红，红，红)，(蓝，蓝，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，红，蓝)，(蓝，红，红)，共8个基本事件．相邻两个图形颜色不相同的情形为：(红，蓝，红)，(蓝，红，蓝)，共2个基本事件．所以所求的概率为P ＝28＝1

4

.

12.扇形AB 的半径为1，圆心角为90°.点C ，D ，E 将弧AB 等分成四份．连接OC ，OD ，OE ，从图中所有的扇形中随机取出一个，若取到扇形的面积恰为S 的概率为

3

10

，则S ＝( ) A.π8 B.π4 C.3π8 D.π2

解析：选A 由已知中扇形AB 的半径为1，圆心角为90°，点C ，D ，E 将弧AB 等分成四份可得每个小扇形的面积为

π16，则图中共有面积为π16的扇形4个，面积为π

8的扇形3个，面积为3π16的扇形2个，面积为π

4的扇形1个，共10个．从图中所有的扇形中随机取出一个，面

积恰为π8的概率P ＝3

10

，故选A.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．抛掷一枚均匀的正方体木块(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过2”，则P (A ∪B )＝________.

解析：将事件A ∪B 分为：事件C “朝上一面的数为1,2”与事件D “朝上一面的数为3,5”．又C ，D 互斥，且P (C )＝13，P (D )＝13，∴P (A ∪B )＝P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝2

3

.

答案：2

3

14．在数字1,2,3,4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为________．

解析：从数字1,2,3,4中随机选两个数字的结果为1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6种，至少有一个偶数的对立事件为两个数全是奇数，即1和3，因此所求概率为1－16＝5

6

.

答案：5

6

15．如图，矩形的长为6，宽为3，在矩形内随机撒了300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆有125颗，于是我们估计出阴影部分的面积约为________．

解析：∵黄豆落在阴影部分的概率约为125

300，

∴阴影部分面积约为6×3×125

300

＝7.5. 答案：7.5

16．设集合A ＝{}1，2，B ＝{}1，2，3，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N )，若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为________．

解析：点P 的所有可能值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上(2≤n ≤5，n ∈N)，且事件C n 的概率最大，当n ＝3时，P 点可能是(1,2)，(2,1)．当n ＝4时，P 点可能为(1,3)，(2,2)，即事件C 3，C 4的概率最大，故n ＝3或4.

答案：3或4

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示：

(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；

(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率． 解：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5＋20100＝1

4，用频率估计概率，可得甲品牌

产品寿命小于200小时的概率为1

4

.

(2)根据频数分布图可得寿命大于200小时的两种品牌产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品有75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是75145＝15

29

.据此估计已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529

.

18．(本小题满分12分)(2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率

0.4

0.2

0.15

0.25

0.2

0.1

(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率． (2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率．

(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)

解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000， 获得好评的第四类电影的部数是200×0.25＝50， 故所求概率为502 000

＝0.025.

(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是

140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372，

故所求概率估计为1－372

2 000＝0.814.

(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．

19．(本小题满分12分)设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的条件为a≥b.

基本事件共12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，

事件A发生的概率为P(A)＝9

12＝

3

4.

20．(本小题满分12分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C区中分别有18,27,18个工厂．

(1)求从A，B，C区中分别抽取的工厂个数；

(2)若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．

解：(1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数比为7

63＝1

9，所以从A，

B，C三个区中分别抽取的工厂个数为2,3,2.

(2)设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，C1，C2为在C区中抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能的结果有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，

(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共有21种．随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区的结果(记为事件X)有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，共有11种．

所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)＝11 21.

21．(本小题满分12分)某校高三年级一次数学考试后，为了解学生的数学学习情况，随机抽取n名学生的数学成绩，制成如下所示的频率分布表.

组号 分组 频数 频率 第一组 [90,100) 5 0.05 第二组 [100,110) a 0.35 第三组 [110,120) 30 0.30 第四组 [120,130) 20 b 第五组 [130,140)

10 0.10 合计

n

1.00

(1)求a ，b ，n 的值；

(2)若从第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名学生与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率．

解：(1)依题意，得5n ＝0.05，a n ＝0.35，20

n ＝b ， 解得n ＝100，a ＝35，b ＝0.2.

(2)因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样的方法抽取6名学生，则第三、四、五组应分别抽取3060×6＝3(名)，2060×6＝2(名)，10

60×6＝1(名)．将第三组的3名学生分别记为

a 1，a 2，a 3，第四组的2名学生分别记为

b 1，b 2，第五组的1名学生记为

c 1，则从6名学生中随机抽取2名，有{a 1，a 2}，{a 1，a 3}，{a 1，b 1}，{a 1，b 2}，{a 1，c 1}，{a 2，a 3}，{a 2，b 1}，{a 2，b 2}，{a 2，c 1}，{a 3，b 1}，{a 3，b 2}，{a 3，c 1}，{b 1，b 2}，{b 1，c 1}，{b 2，c 1}，共15种不同的取法，其中第三组的3名学生a 1，a 2，a 3没有一名学生被抽取的情况有{b 1，b 2}，{b 1，c 1}，{b 2，c 1}，共3种，故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率P ＝1－3

15

＝0.8.

22．(本小题满分12分)某校为了解高一学生周末的阅读时间，从高一年级中随机抽取了100名学生进行调查，获得了每人的周末阅读时间(单位：h)，按照[0,0.5)，[0.5，1)，…，[4,4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．

(1)求图中a 的值；

(2)估计该校高一学生周末阅读时间的中位数；

(3)在[1,1.5)，[1.5,2)这两组中采用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，

求抽取的2人恰好都在同一个组的概率．

解：(1)由频率分布直方图可知，

周末阅读时间在[0,0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.

同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]的频率分别为0.08,0.20,0.25,0.07,0.04,0.02，

由1－(0.04＋0.08＋0.20＋0.25＋0.07＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a.解得a＝0.30.

(2)设中位数为m h.

因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.25＝0.72>0.5，

而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＝0.47＜0.5，所以2≤m＜2.5.

由0.50×(m－2)＝0.5－0.47，解得m＝2.06.

故可估计该校高一学生周末阅读时间的中位数为2.06 h.

(3)由题意得周末阅读时间在[1,1.5)，[1.5,2)中的学生分别有15人、20人，按分层抽样的方法应分别抽取3人、4人，分别记作A，B，C及a，b，c，d，从7人中随机抽取2人，共有AB，AC，Aa，Ab，Ac，Ad，BC，Ba，Bb，Bc，Bd，Ca，Cb，Cc，Cd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共21种，抽取的2人在同一组的有AB，AC，BC，ab，ac，ad，bc，bd，cd，

共9种，故所求概率P＝9

21＝

3

7.

由Ruize收集整理。感谢您的支持！