1.3 正方形的性质与判定
第1课时正方形的性质
1.在对平行四边形、矩形、菱形的认识基础上探索正方形的性质,并能运用正方形的性质进行证明与计算.(重难点)
2.进一步了解平行四边形、矩形、菱形及正方形之间的相互关系,并形成文本信息与图形信息相互转化的能力.
阅读教材P20~21,完成下列问题:
(一)知识探究
1.有________相等并且有一个角是________的__________叫做正方形.
2.正方形既是________又是________,它既具有________的性质,又有________的性质.
3.正方形的________相等,都是________,________相等.
4.正方形的对角线________________________.
(二)自学反馈
正方形的性质:
1.边:________都相等且________.
2.角:四个角都是________.
3.对角线:两条对角线互相________且________,并且每一条对角线平分________.
4.正方形既是________图形,又是________图形,正方形有________对称轴.
活动1 小组讨论
例如图,在正方形ABCD中,E为CD上一点,F为BC边延长线上一点,且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系?请说明理由.
解:BE=DF,且BE⊥DF.理由如下:
如图,延长BE交DF于点M.
∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=DC,∠BCE=90°(正方形的四条边都相等,四个角都是直角).
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF,∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF,
∵∠DCF=90°,∴∠CDF+∠F=90°.
∴∠CBE+∠F=90°.
∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
本题是通过证明△BCE≌△DCF来得到BE与DF之间的关系,证明三角形全等是解决这一类型问题的常用做法.
活动2 跟踪训练
1.菱形,矩形,正方形都具有的性质是( )
A.对角线相等且互相平分 B.对角线相等且互相垂直平分
C.对角线互相平分 D.四条边相等,四个角相等
2.正方形面积为36,则对角线的长为( )
A .6
B .6 2
C .9
D .9 2
3.如图,菱形ABCD 中,∠B =60°,AB =4,则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为( )
A .14
B .15
C .16
D .
17
4.如图,延长正方形ABCD 的边BC 至E ,使CE =AC ,连接AE 交CD 于F ,则∠AFC =________°
.
5.如图,正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ,∠OCF =∠OBE.求证:OE =
OF.
活动3 课堂小结
正方形的性质?????边:正方形的四条边都相等且对边平行.角:正方形的四个角都是直角.对角线:正方形的两条对角线互相垂直平分且相等,每一条对角线平分一组对角.对称:既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有四条对称轴,其对角线交点为对称中心.
【预习导学】
(一)知识探究
1.一组邻边 直角 平行四边形 2.矩形 菱形 矩形 菱形
3.四个角 直角 四条边 4.相等且互相垂直平分
(二)自学反馈
1.四条边 对边平行 2.直角 3.垂直平分 相等 一组对角
4.中心对称 轴对称 四条
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1.C 2.B 3.C 4.112.5
5.证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴AC ⊥BD ,OB =OC.
∴∠AOB =∠BOC =90°.又∵∠OBE =∠OCF ,∴△OBE ≌△OCF.∴OE =OF.
第2课时 正方形的判定
1.掌握正方形的判定定理,并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题.(重难点)
2.发现决定中点四边形形状的因素,熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断.
阅读教材P22~24,完成下列问题:
(一)知识探究
1.对角线相等的________是正方形.
2.对角线垂直的________是正方形.
3.有一个是直角的________是正方形.
(二)自学反馈
1.已知四边形ABCD 中,∠A =∠B =∠C =90°,如果添加一个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是( )
A .∠D =90°
B .AB =CD
C .A
D =BC D .BC =CD
2.下列命题正确的是( )
A .两条对角线相等的菱形是正方形
B .对角线与一边的夹角是45°的四边形是正方形
C .两邻角相等,且有一角是直角的四边形是正方形
D .对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
3.在四边形ABCD 中,O 是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的条件是( )
A .AC =BD ,A
B ∥CD ,AB =CD
B .AD ∥B
C ,∠A =∠C
C .AO =BO =CO =DO ,AC ⊥BD
D .AO =CO ,BO =DO ,AB =BC
4.如图,将一张矩形纸片ABCD 折叠,使AB 落在AD 边上,然后打开,折痕为AE ,顶点B 的落点为F.则四边形ABEF 是________形.
活动1 小组讨论
例 如图,在矩形ABCD 中,BE 平分∠ABC ,CE 平分∠DCB ,BF ∥CE ,CF ∥BE.求证:四边形BECF 是正方形.
证明:∵BF ∥CE ,CF ∥BE ,
∴四边形BECF 是平行四边形.
∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠ABC =90°,∠DCB =90°.
又∵BE 平分∠ABC ,CE 平分∠DCB ,
∴∠EBC =12∠ABC =45°,∠ECB =12
∠DCB =45°. ∴∠EBC =∠ECB.
∴EB =EC.
∴平行四边形BECF 是菱形.
在△EBC 中,
∵∠EBC =45°,∠ECB =45°,
∴∠BEC =90°.
∴菱形BECF 是正方形.
掌握平行四边形、矩形、菱形成为正方形所需要的条件是解决这类问题的关键.
活动2 跟踪训练
1.如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,BD 平分∠ABC ,DE ⊥BC ,DF ⊥AB ,垂足分别为E 、F ,求证:四边形BEDF 是正方形.
2.如图,E 、F 、G 、H 分别是正方形ABCD 四条边上的点,AE =BF =CG =DH ,四边形EFGH 是什么图形?证明你的结论.
3.如图所示,点E ,F ,G ,H 分别是CD ,BC ,AB ,DA 的中点,求证:四边形EFGH 是平行四边形.
活动3 课堂小结
1.对角线相等的菱形是正方形;
2.对角线垂直的矩形是正方形;
3.有一个角是直角的菱形是正方形.
【预习导学】
(一)知识探究
1.菱形 2.矩形 3.菱形
(二)自学反馈
1.D 2.A 3.C 4.正方
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1.证明:∵∠ABC =90°,DE ⊥BC ,DF ⊥AB ,∴四边形BEDF 是矩形.∵BD 平分∠ABC ,DE ⊥BC ,DF ⊥AB ,∴DE =DF.∴四边形BEDF 是正方形.
2.四边形EFGH 是正方形.证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴AB =BC =CD =DA.∵AE =BF =CG =DH ,∴HA =EB =FC =GD.∵∠A =∠B =∠C =∠D =90°,∴Rt △AEH ≌Rt △BFE ≌Rt △CGF ≌Rt △DHG.∴HE =EF =FG =GH.∴四边形EFGH 是菱形.又∠AHE =∠BEF ,∠AHE +∠AEH =90°,∴∠BEF +∠AEH =90°.∴∠HEF =90°.∴四边形EFGH 是正方形.
3.证明:连接BD.∵点E ,F ,G ,H 分别是CD ,BC ,AB ,DA 的中点,∴EF 是△BCD 的中位线,GH 是△ABD 的中位线.∴
EF ∥BD ,EF =12BD ,GH ∥BD ,GH =12
BD.∴EF ∥GH ,EF =GH.∴四边形EFGH 是平行四边形.