乘法公式的应用

乘法公式的几何背景

1、如图所示可以验证哪个乘法公式用式子表示为．

第2题

2、如图所示，用该几何图形的面积可以表示的乘法公式是．

3、如图，图①是边长为a的正方形中有一个边长是b的小正方形，图②是将图①中的阴影部分剪拼成的一个等腰梯形，比较图①和图②阴影部分的面积，可验证的是．

第4题图

4、用该几何图形的面积可以表示的等量关系是．

5、如图：边长为a，b的两个正方形，边保持平行，如果从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成4个大小相等的梯形．请你计算出两个阴影部分的面积，同时说明可以验证哪一个乘法公式的几何意义．

6、如图1，A、B、C是三种不同型号的卡片，其中A型是边长为a的正方形，B型是长为

b、宽为a的长方形，C是边长是b的正方形．

7、小杰同学用1A型、2B型和1C型卡片拼出了一个新的图形（如图2）．请根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的公式是．

8、图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形．

（1）你认为图1的长方形面积等于；

（2）将四块小长方形拼成一个图2的正方形．请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．

方法1：

方法2：

（3）观察图2直接写出代数式（a+b）2、（a-b）2、ab之间的等量关系；

（4）把四块小长方形不重叠地放在一个长方形的部（如图3），未被覆盖的部分用阴影表示．求两块阴影部分的周长和（用含m、n的代数式表示）．

9、如图，ABCD是正方形，P是对角线BD上一点，过P点作直线EF、GH分别平行于AB、BC，交两组对边于E、F、G、H，则四边形PEDG，四边形PHBF都是正方形，四边形PEAH、四边形PGCF都是矩形，设正方形PEDG的边长是a，正方形PHBF的边长是b．请动手实践并得出结论：

（1）请你动手测量一些线段的长后，计算正方形PEDG与正方形PHBF的面积之和以及矩形PEAH与矩形PGCF的面积之和．

（2）你能根据（1）的结果判断a2+b2与2ab的大小吗？

（3）当点P在什么位置时，有a2+b2=2ab？

1.5平方差公式

一、点击公式

()()a b a b +-= ，()()a b b a +-= ，()()a b a b -+--= . ()()a b b a --= ，()()a b a b +--= ，()()a b b a -+-= .

二、公式运用 1、化简计算：

（1）)3

2

41)(3241(22y x y x ---

（2）

（x -2）（x 4+16）（x +2）（x 2+4）

（3） ()()()()a b a b a b a b -+---- （4）()()11323222a b a b a b a b ????

+---+

???????

2、简便计算

（1）899×901+1 （2）99.9×100.1-99.8×100.2 （3）2006×2008-20072

()

2

20004199920011

?+ （5）9×11×101×10001

课时测试——基础篇

1、下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（ ） A 、 ))((b a b a -+- B 、)2)(2(x x ++ C 、 )3

1

)(31(x y y x -+ D 、 )1)(2(+-x x 2、已知 (x - ay ) (x + ay ) = x 2 - 16y 2 , 那么 a = 。 3、化简：(

)()()

m m m m

m

m y x y x

y

x +----22= 。

4、用平方差公式计算

（1）()(2)2(3)(3)x y y x y x x y ---+- （2）2005200320042

?-

（3）211111

(1)(1)(1)(1)2241616

-++++ （4）(2+1) (22+1) (24+1)…(216+1)+1

5、先化简，再求值：(3+m )(3-m )+m (m -6)-7，其中m =2

1 6、若20072008a =

，2008

2009

b =，试不用．．将分数化小数的方法比较a 、b 的大小．

拓展篇

1、计算：（1）2

222???

??--??? ??+b a b a （2）1002-992+982-972+…+22-12

（3）)10011)(9911()411)(311)(211(2

2222-----

2、请你估计一下,2

2222222222100994321)

1100)(199()14)(13)(12(????----- 的值应该最接近于 （ ）

A 、 1

B 、

12 C 、 1100 D 、 1200

1.6完全平方公式

一、点击公式

1、()2

a b ±= ，()2

a b --= ，()()a b b a --= .

2、()2

2

2

a b a b +=++ =()2

a b -+ .3、()()2

2

a b a b +--= .

二、公式运用 1、计算化简

（1）

()()()2222x y x y x y ??+-+-??

（2）2)())((y x y x y x ++--- (3)2

)21(1x ---

（4）()()z y x z y x 3232+--+ （5）()()2121a b a b -+--

2、简便计算：

（1）（-69.9）2 （2）472-94×27+272

3、公式变形应用：

在公式（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2中，如果我们把a+b ，a-b ，a 2+b 2，ab 分别看做一个整

体，那么

只要知道其中两项的值，就可以求出第三项的值．

（1）已知a+b =2，代数式a 2-b 2+2a +8b +5的值为 ，已知1125

,,7522

x y =

=代数式

（x +y ）2-（x -y ）2的值为 ，已知2x -y -3=0，求代数式12x 2-12xy +3y 2的值 是 ，已知x=y +4，求代数式2x 2-4x y+2y 2-25的值是 .

（2）已知3=+b a ，1=ab ，则2

2

b a +＝ ，4

4

a b += ；若5a b -=，4ab =，

则2

2

b a +的值为______；()28a b -=，()2

2a b +=，则ab =_______.

（3）已知：x+y =-6，xy =2，求代数式（x-y ）2的值． （4）已知x+y =-4，x-y =8，求代数式x 2-y 2的值．

（5已知a+b =3， a 2+b 2=5，求ab 的值.

（6）若()()2

2

2315x x -++=，求()()23x x -+的值.

（7）已知x-y =8，xy =-15，求的值.

（8）已知：a 2+b 2=2，ab =-2，求：（a-b ）2的值．

4、配方法（整式乘法的完全平方公式的反用）

我们知道，配方是一种非常重要的数学方法，它的运用非常广泛．学好它，对于中学生来说显得尤为重要．试用配方法解决下列问题吧!

（1） 如果522

+-=x x y ，当x 为任意的有理数，则y 的值为（ ）

A 、有理数

B 、可能是正数，也可能是负数

C 、正数

D 、负数

（2）多项式192

+x 加上一个单项式后成为一个整式的完全平方，那么加上的这个单项式

是 ．(填上所有你认为是正确的答案) （3）试证明：不论x 取何值，代数x 2+4x +

9

2

的值总大于0． （4）若 2x 2-8x +14=k ，求k 的最小值． （5）若x 2-8x +12-k =0，求2x +k 的最小值．

（6）已知2)()1(2

-=---y x x x ，求

xy y x -+2

2

2的值. （7）已知ab b a b a 10162222=+++，那么=+22b a ；

（8）若关于x 的一元一次方程50ax b +-=的解为2x =，求2

2

4423

a b ab a b ++--+的

值.

（9）若m 2+2mn+2n 2-6n+9=0，求m 和n 的值．

（10）若△ABC 的三边为a,b,c,并满足2

2

2

a b c a b b c c a ++=++，试问三角形ABC

为何种三角形？

课时测试——基础篇

1、下列式子中是完全平方式的是（ ）

A 、2

2

b ab a ++ B 、222

++a a C 、2

2

2b b a +- D 、122

++a a 2、1622++ax x 是一个完全平方式，则a 的值为（ ）

Ａ、４ Ｂ、８ Ｃ、４或—４ Ｄ、８或—８ 3、已知y +2x =1，代数式（y +1）2-（y 2-4x ）的值是 .

4、化简求值：[(x+y )2-(x-y )2+2x2y ]÷(-4y) 其中x=-2.

专题一 乘法公式及应用

专题一乘法公式的复习 一、复习: (a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ①位置变化，x y y x x2y2 ②符号变化，x y x y x2y2 x2y2 ③指数变化，x2y2x2y2x4y4 ￥ ④系数变化，2a b2a b4a2b2 ⑤换式变化，xy z m xy z m xy2z m2 x2y2z m z m x2y2z2zm zm m2 x2y2z22zm m2 ⑥增项变化，x y z x y z x y2z2 x y x y z2 x2xy xy y2z2 》 x22xy y2z2 ⑦连用公式变化，x y x y x2y2 x2y2x2y2

x 4y 4 ⑧ 逆用公式变化，x y z 2 x y z 2 x y z x y z x y z x y z 2x 2y 2z 4xy 4xz 例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。 ￥ 解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=?- 例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。 解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a - ∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=?- 例3：计算19992-2000×1998 — 例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。 例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x 2-z 2的值。 例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几 例7．运用公式简便计算 （1）1032 （2）1982 例8．计算 （ 1 ） a 4b 3c a 4 b 3c （ 2 ）

沪教版七年级数学第九章、乘法公式的综合应用专题

乘法公式的综合应用 1、平方差公式 符号表示：(a+b)(a-b)=a2-b2 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 要点诠释：平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方。 2、完全平方公式 符号表示：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 语言描述：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍。 题型一、完全平方公式 1．已知x2+kxy+64y2是一个完全式，则k的值是（） A．8 B．±8 C．16 D．±16 2．若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，则m的值为（）A．24 B．-12 C．±12 D．±24 3．若4x2+mxy+9y2是一个完全平方式，则m （）

A．6 B．12 C．±6 D．±12 4．下列多项式中是完全平方式的是（） A．2x2+4x-4 B．16x2-8y2+1 C．9a2-12a+4 D．x2y2+2xy+y2 5．如果x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值为（） A．3 B．6 C．±3 D．±6 6．x2-10x+ =（x-）2． 7．下列各式是完全平方式的是（） A．x2-x+1 4B．1+x2 C．x+xy+1 D．x2+2a-1 题型二、 1、若（x+ 1 x）2=9，则（x - 1 x）2的值为． 2．已知x-1 x=1，则x2+= ． 4．已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝4，求a2＋b2和ab的值．4．若a2+b2=5，ab=2，则（a+b）2= ．

乘法公式的应用(人教版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题 问题1：由完全平方公式，可得（1）__________或__________； （2）__________或__________或__________． 以下是问题及答案，请对比参考: 问题1：由完全平方公式，可得 （1）或； （2）或或． 答： （1）； （2）． 乘法公式的应用（人教版） 一、单选题(共12道，每道8分) 1.下列各式中能够成立的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：完全平方公式 2.下列各式中，正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：平方差公式 3.若，则的值为( )

A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：平方差公式 4.若，，则的值是( ) A.4 B. C. D. 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：平方差公式的应用 5.计算的结果是( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：平方差公式的应用 6.若，则的值为( ) A.12 B.6 C.3 D.0 答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：整体代入 7.已知是完全平方式，则m的值为( ) A.3 B.±3 C.-6 D.±6 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：完全平方公式 8.若，，其中，则，的大小的关系是( ) A. B. C. D.不能确定 答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用 9.已知，，则( ) A.10 B.6 C.5 D.3 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：完全平方公式知二求二问题 10.若是一个完全平方式，则的值是( ) A.±30 B.33 C.32或-28 D.33或-27

七年级数学下册乘法公式的灵活运用

6．微专题：乘法公式的灵活运用 ◆类型一 乘法公式的灵活运用 【方法点拨】在运用平方差公式和完全平方公式进行计算时，注意运用它们的变形式． A ．(2a ＋b )(2b －a ) B.????－12＋1??? ?－12＋1 C ．(3x －y )(－3x ＋y ) D ．(－m －n )(－m ＋n ) 2．已知a ＋b ＝3，ab ＝2，则a 2＋b 2的值为( ) A ．4 B ．6 C ．3 D ．5 3．已知a ＋b ＝5，ab ＝7，求12a 2＋12 b 2，a 2－ab ＋b 2的值． 4．已知x ＋1x ＝3，求x 2＋1x 2和????x －1x 2 的值． ◆类型二 利用乘法公式进行简便运算 5．利用乘法公式进行简便运算：

(1)9×11×101×10001； (2)20032. 6．阅读材料后解决问题： 小明遇到下面一个问题： 计算(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： 解：原式＝(2＋1)(2－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1) ＝(24－1)(24＋1)(28＋1) ＝(28－1)(28＋1)＝216－1. 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下问题： (1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)＝________； (2)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)＝________； (3)化简：(m＋n)(m2＋n2)(m4＋n4)(m8＋n8)(m16＋n16)． 参考答案与解析 1．D 2.D

基本乘法公式及应用.学生版

题型切片（四个） 对应题目 题 型目标 平方差公式及几何意义 例1； 完全平方公式及几何意义 例2；例3； 简便计算 例4； 乘法公式的综合运用 例5；例6；例7；例8 公 式 示例剖析 平方差公式：22()()a b a b a b +-=- 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式叫做（乘法的）平方差公式． b b b a a 注意：⑴ 负数的奇数次幂与偶数次幂结果完全不同，运算中要格外注意． ⑵ 运算性质中，字母a ，b 可表示一个数一个单项式或一个多项式． ⑶ 幂的运算法则的逆运用，可以解决很多相关问题，要求对运算法则熟练掌握才能做到准确地应用． ⑷ 零指数计算中底数不能为零． 知识导航 模块一 平方差公式及几何意义 知识互联网 基本乘法公式及应用 题型切片

【例1】 ⑴ 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的 部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ） 图乙 图甲 b b a a a b b A ．2 2 2 ()2a b a ab b +=++ B ．2 2 2 ()2a b a ab b -=-+ C ．22()()a b a b a b -=+- D ．22(2)()2a b a b a ab b +-=+- ⑵如图，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形()a b >，将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a 、b 的恒等式为( ) A ．()2222a b a ab b -=-+ B ．()2 222a b a ab b +=++ C ．()()22a b a b a b -=+- D ．()2a ab a a b +=+ ⑶计算 ①()()x y x y +- ②()()x y x y +-+ ③()()22x y x y +- ④(43)(43)x x +- ⑤()()x y x y -+-- ⑥2233n m m n ???? --- ??????? . 夯实基础

乘法公式活用专题训练

乘法公式的活用 一、公式 : (a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b) 2=a 2+2ab+b 2 (a-b) 2=a 2-2ab+b 2 (a+b)(a 2 -ab+b 2)=a 3+b 3 （a-b ）（a 2+ab+b 2）=a 3－ 归纳小结公式的变式， ① 位置变化， x y ② 符号变化， x y ③ 指数变化， x 2 y 2 ④ 系数变化， 2a b ⑤ 换式变化， xy z yx 2 x 2 y 2 2 2 2 xy xy xy 22 4 4 xy x y 2a b 22 4a 2 b 2 m xy zm 2 2 xy z m 22 x 2y 2 z m z m 22 2 2 xy z zm zm m 22 2 2 x 2y 2 z 2zm m b 3 准确灵活运用公式： ⑥ 增项变化， x y z ⑦ 连用公式变化， x ⑧ 逆用公式变化， x x y z x y z 例 1．已知 a b 2 ， xyz 22 x y z 2 x y x y z 2 2 2 x xy xy y z 2 2 2 x 2xy y z 22 y x y x y 2 2 2 2 x y x y 44 xy 22 y z x y z x y z x y z 2x 2y 2z 4xy 4xz ab 1，求 a 2 b 2 的值 例 2．已知 a b 8， ab 2 ，求 （a b ）2 的值 例 3：计算 19992-2000 ×1998 2 2 2 例 4：已知 a+b=2， ab=1，求 a+b 和 （a-b ） 的值。 22 例 5：已知 x-y=2 ，y-z=2 ，x+z=14 。求 x -z 的值。 例 6：判断（ 2+1）（ 22+1）（24+1）??（ 22048+1） +1 的个位数字是几？ 例 7．运用公式简便计算 （1）1032 （2） 1982 例 8．计算 (1) a 4b 3c a 4b 3c ( 2) 3x y 2 3x y 2

乘法公式的应用解析

乘法公式的几何背景 1、如图所示可以验证哪个乘法公式用式子表示为． 第2题 2、如图所示，用该几何图形的面积可以表示的乘法公式是． 3、如图，图①是边长为a的正方形中有一个边长是b的小正方形，图②是将图①中的阴影部分剪拼成的一个等腰梯形，比较图①和图②阴影部分的面积，可验证的是． 第4题图 4、用该几何图形的面积可以表示的等量关系是． 5、如图：边长为a，b的两个正方形，边保持平行，如果从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成4个大小相等的梯形．请你计算出两个阴影部分的面积，同时说明可以验证哪一个乘法公式的几何意义． 6、如图1，A、B、C是三种不同型号的卡片，其中A型是边长为a的正方形，B型是长为 b、宽为a的长方形，C是边长是b的正方形． 7、小杰同学用1张A型、2张B型和1张C型卡片拼出了一个新的图形（如图2）．请根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的公式是．8、图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形．

（1）你认为图1的长方形面积等于； （2）将四块小长方形拼成一个图2的正方形．请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1： 方法2： （3）观察图2直接写出代数式（a+b）2、（a-b）2、ab之间的等量关系； （4）把四块小长方形不重叠地放在一个长方形的内部（如图3），未被覆盖的部分用阴影表示．求两块阴影部分的周长和（用含m、n的代数式表示）． 9、如图，ABCD是正方形，P是对角线BD上一点，过P点作直线EF、GH分别平行于AB、BC，交两组对边于E、F、G、H，则四边形PEDG，四边形PHBF都是正方形，四边形PEAH、四边形PGCF都是矩形，设正方形PEDG的边长是a，正方形PHBF的边长是b．请动手实践并得出结论： （1）请你动手测量一些线段的长后，计算正方形PEDG与正方形PHBF的面积之和以及矩形PEAH与矩形PGCF的面积之和． （2）你能根据（1）的结果判断a2+b2与2ab的大小吗？ （3）当点P在什么位置时，有a2+b2=2ab？

最经典的乘法公式综合应用与拓展(学生、教师两用版)

八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展 (学生版) ?、基本公式 1. 平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 2 例：计算 1999 -2000 X 1998 2 2 2 2. 完全平方公式(a+b) =a +2ab+b (a-b) 例：运用公式简便计算 3. 完全平方公式 a+b(或a-b)、ab 、a 2 +b 2 这三者任意知道两项就可以求出第三项 (a+b)2 、(a-b) 2 、ab 这三者任意知道两项就可以求出第三项 ① a 2 b 2 = (a b)2 - 2ab a 2 b 2 = (a-b) 2+2ab 2 2 2 2 ② (a-b) =(a+b) -4ab (a+b) =(a-b) +4ab (2) 完全平方公式变用 2:两个完全平方公式之和的整合 2 2 2 2 (a+b) + (a-b) =2 (a+b) 例1 ?已知a b 2 , ab =1，求a 2 b 2的值。 2 例 2.已知 a ? b = 8 , ab = 2，求(a - b)的值。 例3.已知a - b = 4, ab = 5，求a 2 b 2的值。 2 2 例 4 .已知 m +n =7, mn= —18,求 m — mr+ n 的值. 例 5 (3)已知：x+2y=7 , xy=6，求(x-2y)2 的值. 例6.已知a +丄=5,求(1) a 2 +W , (2) (a —丄)2 的值. a a a (1) 完全平方公式变用 1:利用已知的两项求第三项 2 2 2 =a -2ab+b (1) 1032 (2) 1982

1 1 例7.已知x -― =3，求x4■ ~4的值。 x x 2

七下数学专题训练：乘法公式的灵活运用

专题：乘法公式的灵活运用 ◆类型一 整体应用 1．(2017·淄博中考)若a ＋b ＝3，a 2＋b 2＝7，则ab 等于( ) A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－1 2．(1)若a 2－b 2＝16，a －b ＝13 ，则a ＋b 的值为________； (2)若(a ＋b ＋1)(a ＋b －1)＝899，则a ＋b 的值为________． 3．计算： (1)(m 2＋mn ＋n 2)2－(m 2－mn ＋n 2)2； (2)(x 2＋2x ＋1)(x 2－2x ＋1)－(x 2＋x ＋1)(x 2－x ＋1)． ◆类型二 连续应用 4．计算： (1)(a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)(a 4＋b 4)(a 8＋b 8)； (2)(1＋42)(1＋44)(1＋48)(1＋416)．

◆类型三 利用乘法公式进行简便运算 5．计算2672－266×268的结果是( ) A ．2008 B ．1 C ．2006 D ．－1 6．利用完全平方公式计算： (1)792; (2)????30132 . 7．利用平方差公式计算： (1)802×798; (2)3913×4023 . ◆类型四 利用乘法公式的灵活变形解决问题 8．已知x ＋y ＝3，xy ＝－7，求： (1)x 2－xy ＋y 2的值； (2)(x －y )2的值． 9．★若实数n 满足(n －46)2＋(45－n )2＝2，求代数式(n －46)(45－n )的值．

解法技巧解析(答案) 1．B 2.(1)12 (2)±30 3．解：(1)原式＝(m 2＋n 2)2＋2mn (m 2＋n 2)＋m 2n 2－(m 2＋n 2)2＋2mn (m 2＋n 2)－m 2n 2＝4mn (m 2＋n 2)＝4m 3n ＋4mn 3. (2)原式＝[(x 2＋1)＋2x ][(x 2＋1)－2x ]－[(x 2＋1)＋x ][(x 2＋1)－x ]＝(x 2＋1)2－4x 2－(x 2＋1)2＋x 2＝－3x 2. 4．解：(1)原式＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2)(a 4＋b 4)(a 8＋b 8)＝(a 4－b 4)(a 4＋b 4)(a 8＋b 8)＝(a 8－b 8)(a 8＋b 8)＝a 16－b 16. (2)原式＝115(42－1)(1＋42)(1＋44)(1＋48)(1＋416)＝115(44－1)(1＋44)(1＋48)(1＋416)＝115 (48－1)(1＋48)(1＋416)＝ 115(416－1)(1＋416)＝432－115. 5．B 6．解：(1)原式＝(80－1)2＝802－2×80×1＋12＝6241； (2)原式＝????30＋132＝302＋2×30×13＋????132 ＝92019 . 7．解：(1)原式＝(800＋2)(800－2)＝8002－22＝640000－4＝639996； (2)原式＝????40－23????40＋23＝402－????232＝1600－49＝159959 . 8．解：(1)x 2－xy ＋y 2＝(x ＋y )2－3xy ＝9＋21＝30. (2)(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝9＋28＝37. 9．解：∵(n －46)2＋(45－n )2＝2，∴[(n －46)＋(45－n )]2－2(n －46)(45－n )＝2，整理得 1－2(n －46)(45－n )＝2，则(n －46)(45－n )＝－12 .

2.2.3 运用乘法公式进行计算

2．2.3　运用乘法公式进行计算 1．熟练运用乘法公式进行计算；(重点、难点) 2．通过对不同的式子采取合适的方法运算，培养学生的思维能力和解题能力． 一、情境导入 1．我们学过了哪些乘法公式？ (1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. (2)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2. 2．怎样计算：(a＋2b－c)(a－2b＋c)． 二、合作探究 探究点：运用乘法公式进行计算 【类型一】乘法公式的综合运用 计算： (1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1)； (2)(a＋b)2－2(a＋b)(a－b)＋(a－b)2； (3)(x－2y＋3z)(x＋2y－3z)； (4)(2a＋b)2(b－2a)2. 解析：(1)可添加(2－1)，与首项结合起来用平方差公式，再把结果依次与下一项运用平方差公式； (2)逆用完全平方公式，能简化运算； (3)两个因式都是三项式，且各项的绝对值对应相等，所以可先运用平方差公式； (4)先利用积的乘方把原式变形为[(b＋2a)(b－2a)]2，再利用平方差公式把中括号内的多项式的乘法展开，然后再利用完全平方公式展开即可． 解：(1)原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1) ＝(24－1)(24＋1)…(216＋1)＝232－1； (2)原式＝[(a＋b)－(a－b)]2＝(a＋b－a＋b)2＝4b2； (3)原式＝[x－(2y－3z)][x＋(2y－3z)]＝x2－(2y－3z)2＝x2－(4y2－12yz＋9z2)＝x2－4y2 ＋12yz－9z2； (4)(2a＋b)2(b－2a)2＝[(b＋2a)(b－2a)]2＝(b2－4a2)2＝b4－8a2b2＋16a4. 方法总结：运用乘法公式计算时，先要分析式子的特点，找准合适的方法，能起到事半功倍的作用．同时由于减少了运算量，能提高解题的准确率． 【类型二】运用乘法公式求值 如图，立方体每个面上都写有一个自然数，并且相对两个面所写两数之和相等． 若18的对面写的是质数a，14的对面写的是质数b，35的对面写的是质数c，试求a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值．

18.乘法公式(含答案)-

18.乘法公式 知识纵横 乘法公式(multiplication formula)是在多项式乘法的基础上,?将多项式乘法的一般法 则应用于一些特殊形式的多项式相乘,得出的既有特殊性、?又有实用性的具体结论，在复杂 的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应 用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点： 1.熟悉每个公式的结构特征,理解掌握公式; 2.根据待求式的特点,模仿套用公式; 3.对公式中字母的全面理解,灵活运用公式; 4.既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合,综合运用公式. 例题求解 【例1】?(?1)?已知两个连续奇数的平方差为?2000,?则这两个连续奇数可以是______. (江苏省竞赛题) (2)已知(2000-a)·(1998-a)=1999,那么,(2000-a)2+(1998-a)2=________. (2000年重庆市竞赛题) 思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组;(2)视(2000-a)·(1998-a)为整体,?由平方 和想到完全平方公式(formula for the square the sum)及其变形. 解:(1)设两个连续奇数为x,y,且x>y,则 222000 2 x y x y ?-=± ? -= ? 得x+y=1000或x+y=-1000,解得(x,y)=(499,501)或(-501,-499). (2)4002 提示:(2000-a)2+(1998-a)2=[(2000-a)-(1998-a)]2+2(2000-a)·(1998-a) 【例2】若x是不为0的有理数,已知M=(x2+2x+1)(x2-2x+1),N=(x2+x+1)(x2-x+1),则M

乘法公式的拓展及常见题型整理

乘法公式的拓展及常见题型整理 例题：已知b a +=4，求ab b a ++222。 ⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()2 22a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则222 121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---222 2)()1(则= ⑴若()()a b a b -=+=2 2 713，，则a b 22 +=____________，a b =_________ ⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= ⑶若()()x y x y a -=++2 2 ，则a 为 ⑷如果22)()(y x M y x +=+- ，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2 =m ，(a —b)2 =n ，则ab 等于 ⑹若N b a b a ++=-2 2)32()32(， 则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。 ⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bd ac ，求) )((2222d c b a ++ 例题：已知(a+b)2 =7,(a-b)2 =3, 求值: (1)a 2 +b 2 (2)ab 例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=20 1 x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值 ⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+= ⑵若2=+b a ，则b b a 422 +-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++= ⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求 b a b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=x c ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值 是 ． （四）步步为营 例题：3?(22 +1)?(24 +1)?(28 +1)?(162+1) 6?)17(+?(72+1)?(74+1)?(78+1)+1 ()( )()()()224 4 8 8 a b a b a b a b a b -+ +++ 1)12()12()12()12()12()12(3216842++?+?+?+?+?+

乘法公式的综合运用

第三课时（乘法公式的综合运用） 一、学导目标：1.进一步理解乘法公式。 2.能熟练地运用乘法公式解题。 二、学导重点：熟练的利用平方差、完全平方公式进行混合运算。 三、学导难点：灵活运用乘法公式 四、目标导航 1.复习回顾两个公式。 2.自学例题：教材P65例2第（2）小题、P66例 3.（注意书上的解题方法。） 3.注意：难，小本节内容偏组内、小组间要认真交流，有困难的要问老师。 4.教材P66练习第1、2 题： 5.计算： （1）（x+3）2(3-x)2（2）(2a+b+1)（2a+b-1） （3）(a-2b-3)(a+2b+3) （4）(2a+b)2-(b+2a)（2a-b） 五、学导流程： （一）、出示目标：1.进一步理解乘法公式。 2.能熟练地运用乘法公式解题。

（二）、自学质疑：1、学生把课前没学完的可以再围绕“目标”和“目标导航”自学、对学、小组内展开。 2、教师深入其中查进度、问题汇总、导学。 3、检测“目标导航”有关内容。 （三）、汇报展示：1、各小组再小组长带领下共同展示目标内容 2、教师针对展示的结果进行分析、归纳组织学生再学、学会、会学。 五、测评提升： 1.先化简，再求值： (5y+1)(5y-1)-(5y+25y 2),其中y= 52 2.解方程： （1）(x+ 41)2–(x-41)(x+41)=41 （2）(x+1)(x-1)-(x+2)2=7 3.解不等式： 2(x+4)(x-4) （x-2）（2x+5） 4.计算 （1）(2x+3)3 (3)(2a-b-3c)2 5.计算： （1）已知x 2+xy =6 y 2+xy=10 求：1.(.x+y)2 2. x 2-y 2 3..x-y

乘法公式推广及应用

乘法公式推廣及應用 一、乘法公式： 1、基礎應背的公式 (1)分配率：()()a b c d ac ad bc bd ++=+++ (2)和的平方：222()2a b a ab b +=++ (3)差的平方：222()2a b a ab b -=-+ (4)平方差：22()()a b a b a b -=+- 2、進階推廣： (1)和的平方推廣：2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++ (2)立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+ (3)立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++ (4)和的立方：333()3()a b a b ab a b +=+++ (5)差的立方：333()3()a b a b ab a b -=--- 3、應用： (1)簡化計算 (2)幾何面積 例題一 簡化計算 利用乘法公式，求下列各式的值： (1)250.8 (2)2159.5 (3)90.889.2? (4)229312931921921-??+ 例題二 求值應用 1、已知5,4a b ab +==求： (1)22a b + (2)22232a ab b -+的值 2、已知5,24a b ab -==，求： (1)22a b + (2)a b +的值

(1)化簡22(2)(2)(1)(3)(3)(1)x x x x x x +-++-+---的結果。 (2)利用(1)的結果，計算22848083857981?+-?- 二、因式分解： 1、各項提公因式法； 2、分組再分解； 3、利用乘法公式因式分解。 4、利用十字交乘法因式分解。 例一 各項題公因式法 (1)2(1)33x x -+- (2)2(1)(37)(1)x x x ---- (3)2(5)(204)x x x --- 例二 分組分解 (1)3227931x x x -+- (2)322510x x x +-- (3)3(32)(61)x x x ---

乘法公式变形及应用

乘法公式变形及应用 1、2a b a b ab +222（）＝（＋）＋ 2a b a b ab 2 22（－）＝（＋）－ 2、4a b a b ab +22（）＝（－）＋ 4a b a b ab 22 （－）＝（＋）－ 3．2a b a b ab +222＋＝（）－ 2a b a b ab 222＋＝（－）＋ ()()2 2 2 a b a b a b ++-2 2 ＋＝ 4、4ab a b a b +2 2 ＝（） －（－） 4 a b a b ab +2 2 （）－（－）＝ 2ab a b a +2 2 2 ＝（）－（＋b ） 2 a b a b ab +2 22（）－（＋）＝ 5、 a b b a --2 2 （）＝（） a b b a --3 3 （）＝－（） 练习题： 1、, ,a b a b +=22729＋＝ ______a b 2 （－）＝。 2、,,a b a b +22 436（）＝（－）＝ 求： ____________a b ab a b 2244＋＋＝。＋＝。 3、22 113,______m m m m ＋＝则＋ ＝。 2211 ____________m m m m －＝。－＝。 例1、若()2 15m n += ()2 5m n -=求mn ，2 2 m n +的 值。 变形1：若()2 215m n += ()2 25m n -=求 mn ， 224m n +的值。 乘法公式变形及应用 1、 2a b a b ab +222（）＝（＋）＋ 2a b a b ab 2 22（－）＝（＋）－ 2、 4a b a b ab +22（）＝（－）＋ 4a b a b ab 22 （－）＝（＋）－ 3．2a b a b ab +222＋＝（） － 2a b a b ab 222＋＝（－）＋ ()()2 2 2 a b a b a b ++-2 2 ＋＝ 4、4ab a b a b +2 2 ＝（） －（－） 4 a b a b ab +2 2 （）－（－）＝ 2ab a b a +2 2 2 ＝（）－（＋b ） 2 a b a b ab +2 22（）－（＋）＝ 5、a b b a --22（）＝（） a b b a --33 （）＝－（） 练习题： 1、, ,a b a b +=22729＋＝ ______a b 2 （－）＝。 2、,,a b a b +22 436（）＝（－）＝ 求： ____________a b ab a b 2244 ＋＋＝。＋＝。 3、22113,______m m m m ＋＝则＋＝。 2211 ____________m m m m －＝。－＝。 例1、若()215m n += ()2 5m n -=求mn ，22m n +的值。 变形1：若()2 215m n += ()2 25m n -=求 mn ， 224m n +的值。 变形2、若()2 2315m n += ()2 235m n -=求mn ， 22 94 m n + 的值。 变形3、若()()35436a a --=-，求()() 2 2 3543a a -+-的值。 例2、已知32232,16 3,1ab b a b a ab b a +-= =+求的值。 例3、已知2 441 13,x x x x ? ?+=+ ?? ?1求x-及x 例4、若2 2(1)0m n ++-=，则2m n +的值为________ 变形1、若2 2210,m n n ++-+=则2m n +的值为_ 变形2、若2244(1)0 m m n +++-=， 则2m n -的值为 变形3、若2 2 4250m n m n ++-+=，则2mn 的值为 例5、对于式子154622+-++b a b a 能否确定其值的正负性？若能，请说明理由． 例6、如果)122)(122-+++b a b a （＝63，那么a+b 的值为多 变形2、若()2 2315m n += ()2 235m n -=求mn ， 22 94 m n + 的值。 变形3、若()()35436a a --=-，求()() 2 2 3543a a -+-的值。 例2、已知32232,16 3,1ab b a b a ab b a +-= =+求的值。 例3、已知2 441 13,x x x x ? ?+=+ ?? ?1求x-及x 例4、若2 2(1)0m n ++-=，则2m n +的值为________ 变形1、若2 2210,m n n ++-+=则2m n +的值为_ 变形2、若2 2 44(1)0 m m n +++-=， 则2m n -的值为 变形3、若2 24250m n m n ++-+=，则2mn 的值为 例5、对于式子15462 2+-++b a b a 能否确定其值的正负性？若能，请说明理由． 例6、如果)122)(122-+++b a b a （＝63，那么a+b 的值为多

专题一乘法公式及应用完整版

专题一乘法公式及应用 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

专题一乘法公式的复习一、复习: (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ①位置变化，xyyxx2y2 ②符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤换式变化，xyzmxyzm xy2zm2 x2y2zmzm x2y2z2zmzmm2 x2y2z22zmm2 ⑥增项变化，xyzxyz xy2z2 xyxyz2 x2xyxyy2z2 x22xyy2z2 ⑦连用公式变化，xyxyx2y2 x2y2x2y2 x4y4

⑧ 逆用公式变化，xyz 2xyz 2 xyzxyzxyzxyz 2x 2y 2z 4xy 4xz 例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。 解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=?- 例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。 解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a - ∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=?- 例3：计算19992-2000×1998 例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。 例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x 2-z 2的值。 例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？ 例7．运用公式简便计算 （1）1032 （2）1982 例8．计算 （1）a 4b 3ca 4b 3c （2）3xy 23xy 2 例9．解下列各式 （1）已知a 2b 213，ab 6，求ab 2，ab 2的值。 （2）已知ab 27，ab 24，求a 2b 2，ab 的值。 （3）已知aa 1a 2b 2，求222 a b ab +-的值。

乘法公式地灵活运用

文案大全 乘法公式的灵活运用 一、复习: (a+b)(a-b)=a 2 -b 2 (a+b)2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b)2 =a 2 -2ab+b 2 (a+b)(a 2 -ab+b 2 )=a 3 +b 3 (a-b)(a 2 +ab+b 2 )=a 3 －b 3 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2 -y 2 ② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2 -y 2 = x 2 -y 2 ③ 指数变化，(x 2 +y 2 )(x 2 -y 2 )=x 4 -y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2 -b 2 ⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )] =(xy )2 -(z +m )2 =x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2 -(z 2 +zm +zm +m 2 ) =x 2y 2 -z 2 -2zm -m 2 ⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z ) =(x -y )2 -z 2 =(x -y )(x -y )-z 2 =x 2 -xy -xy +y 2 -z 2 =x 2 -2xy +y 2 -z 2 ⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2 +y 2 ) =(x 2 -y 2 )(x 2 +y 2) =x 4 -y 4 ⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2 -(x +y -z )2 =[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz 例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。 解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴2 2b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222 =?- 例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。 解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 2 22b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2 )(b a - ∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482 =?- 例3：计算19992 -2000×1998 〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。 解：19992 -2000×1998 =19992 -（1999+1）×（1999-1） =19992 -（19992 -12 ）=19992 -19992 +1 =1 例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2 +b 2 和(a-b)2 的值。 〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。 解：a 2 +b 2 =(a+b)2 -2ab=4-2=2 （a-b)2 =(a+b)2 -4ab=4-4=0

2.2.3 运用乘法公式进行计算

2.2.3 运用乘法公式进行计算 学习目标： 1、学习2 )(c b a ++型，并进行公式推导； 2、进一步巩固完全平方公式和平方差公式，并会用乘法公式化简某些代数式. 重点：乘法公式的有关推广计算. 预习导学——不看不讲 学一学：阅读教材P48“动脑筋” 说一说： 平方差公式与完全平方公式及其结构特征 议一议：计算下列各题 （1）?)1)(1)(1(2=-++x x x （2）?)1)(1y (=-+++y x x 【归纳总结】遇到多项式的乘法时，要先观察式子的特征，看能否运用乘法公式，一达到简化运算的目的。 选一选：下列多项式的乘法中可用平方差公式计算的是（ ）. A ．()()11x x ++ B ．)2 1)(21 (a b b a -+ C ．()()a b a b -+- D ．()()22x y y x -+ 填一填：()2a b ---2ab = 你能用2222)(b ab a b a ++=+推导2 )(c b a ++的结果吗？ 【课堂展示】例8 运用乘法公式计算 （1）2 )]3)(3[(-+a a （2）))((c b a c b a -++- 合作探究——不议不讲

互动探究一：291y my ++是完全平方式，则m 的若要使值为（ ）. A ．3± B ．3- C ．6± D ．6- 互动探究二：若,4,922-==+xy y x 求（1）2)(y x + （2）2)(y x -的值. 互动探究二：计算：[2a 2－（a+b ）（a －b ）][（－a －b ）（－a+b ）+2b 2]； 【当堂检测】： 1.填空 （1）、____))((=+-y x y x ；()()a b a b ---+= （2）、____)32(2=-n ；____)22(2=-y x （3）、22)(____)(n m n m +-=+； 222)() (b a b ab a +=+++ 2.计算 （1）)9)(9(-++-y x y x （2）22)10()10(+-x x （3）2()x y z +- （4）)3)(3()3(2y x y x y x +--+ 3. 思考：你能计算22()()a b a ab b +-+、22()()a b a ab b -++吗？

【北师大版】七年级数学下册《活用乘法公式进行计算的六种技巧》专题试题(附答案)

北师大版七年级数学下册专题训练系列（附解析）

专训1活用乘法公式进行计算的六种技巧名师点金： 乘法公式是指平方差公式和完全平方公式，公式可以正用，也可以逆用．在使用公式时，要注意以下几点：(1)公式中的字母a，b可以是任意一个式子；(2)公式可以连续使用；(3)要掌握好公式中各项的关系及整个公式的结构特点； (4)在运用公式时要学会运用 一些变形技巧． 巧用乘法公式的变形求式子的值 1．已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝4.求a2＋b2和ab的值． 2．已知x＋1 x＝3，求x 4＋ 1 x4的值．

巧用乘法公式进行简便运算 3．计算： (1)1982；(2)2 0042； (3)2 0172－2 016×2 018； (4)1002－992＋982－972＋…＋42－32＋22－12. 巧用乘法公式解决整除问题 4．试说明：(n＋7)2－(n－5)2(n为正整数)能被24整除．

应用乘法公式巧定个位数字 5．试求(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1的个位数字． 巧用乘法公式解决复杂问题(换元法) 6．计算20 182 0172 20 182 0162＋20 182 0182－2 的值． 巧用乘法公式解决实际问题(分类讨论思想) 7．王老师在一次团体操队列队形设计中，先让全体队员排成一方阵(行与列的人数一样多的队形，且总人数不少于

25人)，人数正好够用，然后再进行各种队形变化，其中一个队形需分为5人一组，手执彩带变换队形，在讨论分组方案时，有人说现在的队员人数按5人一组分将多出3人，你说这可能吗？ 答案 1．解：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝7， (a－b)2＝a2－2ab＋b2＝4， 所以a2＋b2＝1 2×(7＋4)＝ 1 2×11＝ 11 2， ab＝1 4×(7－4)＝ 1 4×3＝ 3 4. 2．解：因为x＋1 x＝3，所以? ? ? ? ? x＋ 1 x 2 ＝x2＋ 1 x2＋2＝9. 所以x2＋1 x2＝7.所以? ? ? ? ? x2＋ 1 x2 2 ＝x4＋ 1 x4＋2＝49.