2.不等式(学生)
第三章 不等式
31、0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b -
32、不等式的性质： ①a b b a >?<；②,a b b c a c >>?>；③a b a c b c >?+>+； ④,0a b c ac bc >>?>，,0a b c ac bc >>?+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>?>；⑦()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >；
⑧)0,1a b n n >>>∈N >．
33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式． 34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
判别式2
4b ac ?=-
0?> 0?= 0?<
二次函数2y ax bx c =++
()0a >的图象
一元二次方程2
0ax bx c ++=
()0a >的根
有两个相异实数根
1,22b x a
-=
()12x x <
有两个相等实数根
122b x x a
==-
没有实数根
一元二次不等式的解集
20ax bx c ++>
()0a >
{}
1
2
x x x x x <>或
2b x x a ??≠-???
?
R
20ax bx c ++<
()0a >
{}1
2x x
x x <<
? ?
35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式．
36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．
37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对(),x y ，所有这样的有序数对(),x y 构成的集合．
38、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点()00,x y P ． ①若0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方． ②若0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方．
39、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=．
①若0B >，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=上方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=下方的区域．
②若0B <，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=下方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=上方的区域．
40、线性约束条件：由x ，y 的不等式（或方程）组成的不等式组，是x ，y 的线性约束条件．
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式． 线性目标函数：目标函数为x ，y 的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 可行解：满足线性约束条件的解(),x y ．
可行域：所有可行解组成的集合．
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．
41、设a 、b 是两个正数，则
2
a b
+称为正数a 、b a 、b 的几何平均数．
42、均值不等式定理： 若0a >，0b >，则a b +≥2
a b
+≥． 43、常用的基本不等式：①()2
2
2,a b ab a b R +≥∈；②()22
,2
a b ab a b R +≤∈；
③()20,02a b ab a b +??
≤>> ???；④()2
22,22a b a b a b R ++??≥∈ ???
．
44、极值定理：设x 、y 都为正数，则有
⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2
4
s ．
⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值
数学5（必修）第三章：不等式 [基础训练A 组] 一、选择题
1．若02522
>-+-x x ，则221442
-++-x x x 等于（ ）
A ．54-x
B ．3-
C ．3
D ．x 45- 2．下列各对不等式中同解的是（ ） A ．72 72 B ．0)1(2>+x 与 01≠+x C ．13>-x 与13>-x D ．33)1(x x >+与 x x 111<+ 3．若1 22 +x ≤()14 2x -，则函数2x y =的值域是（ ） A ．1[,2)8 B ．1[,2]8 C ．1(,]8 -∞ D ．[2,)+∞ 4．设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．b a 11< B ． b a 11> C ．2a b > D ．2 2a b > 5．如果实数,x y 满足221x y +=,则(1)(1)xy xy +-有 ( ) A ．最小值 21和最大值1 B ．最大值1和最小值43 C ．最小值4 3 而无最大值 D ．最大值1而无最小值 6．二次方程22(1)20x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小, 则a 的取值范围是 ( ) A ．31a -<< B ．20a -<< C ．10a -<< D ．02a << 二、填空题 1．若方程2222(1)34420x m x m mn n ++++++=有实根，则实数m =_______；且实数n =_______。 2．一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30， 则这个两位数为________________。 3．设函数2 3()lg()4 f x x x =--，则()f x 的单调递减区间是 。 4．当=x ______时，函数)2(2 2 x x y -=有最_______值，且最值是_________。 5．若*1 (),()()()2f n n g n n n n N n ?= == ∈,用不等号从小到大 连结起来为____________。 三、解答题 1．解不等式 （1）2 (23)log (3)0x x --> （2）22 3 2142-<--- <-x x 2．不等式04 9)1(220 82 2<+++++-m x m mx x x 的解集为R ,求实数m 的取值范围。 3．（1）求y x z +=2的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件?? ? ??-≥≤+≤.1,1,y y x x y （2）求y x z +=2的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件 22 12516 x y += 4．已知2>a ，求证：()()1log log 1+>-a a a a 数学5（必修）第三章：不等式 [综合训练B 组] 一、选择题 1．一元二次不等式2 20ax bx ++>的解集是11 (,)23 - ，则a b +的值是（ ）。 A. 10 B. 10- C. 14 D. 14- 2．设集合等于则B A x x B x x A ,31|,21| ???? ?? >=??????<=（ ） A ．?? ? ??2131， B ．?? ? ??∞+，2 1 C ．??? ??∞+??? ??-∞-，，3131 D ．?? ? ??∞+??? ??-∞-，，2131 3．关于x 的不等式2 2 155(2)(2) 22 x x k k k k --+<-+的解集是 ( ) A ．12x > B ．1 2 x < C ．2x > D ．2x < 4．下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．1y x x =+ B ．1sin sin y x x =+，(0,)2 x π∈ C ．2y = D ．1y x =- 5．如果221x y +=,则34x y -的最大值是 ( ) A ．3 B ． 5 1 C ．4 D ．5 6．已知函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,3)-和(1,1)两点, 若01c <<,则a 的取值范围是 ( ) A ．(1,3) B ．(1,2) C ．[)2,3 D ．[]1,3 二、填空题 1．设实数,x y 满足2210x xy +-=，则x y +的取值范围是___________。 2．若{} |3,,A x x a b ab a b R + ==+=-∈，全集I R =，则I C A =___________。 3．若12 1log a x a -≤≤的解集是11[,]42 ,则a 的值为___________。 4．当02x π <<时，函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是________。 5．设,x y R +∈ 且 19 1x y +=,则x y +的最小值为________. 6．不等式组2222323 20 x x x x x x ?-->--??+- 三、解答题 1．设,10< 2log 220x x a a a --< C 组 简单线性规划 一、基础过关 1．如图所示，表示满足不等式(x －y )(x ＋2y －2)>0的点(x ，y )所在的平面区域为( ) 2．不等式组???? ? 4x ＋3y ≤12，x －y >－1， y ≥0表示的平面区域内整点的个数是 ( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个 3．若平面区域D 的点(x ，y )满足不等式组???? ? (x ＋1)2 ＋y 2 ≤1x －y ≤0 x ＋y ≤0，则平面区域D 的面积是( ) A.12＋π 2 B ．1＋π 2 C.12＋π4 D ．1＋π 4 4．不等式组????? x ＋y ≤1， x －y ≤1， －x ＋y ≤1， －x －y ≤1 表示的平面区域的形状为___________________. 二、能力提升 5．设不等式组???? ? x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0， 5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是 ( ) A ．(1,3] B ．[2,3] C ．(1,2] D ．[3，＋∞) 6．若不等式组????? x －y ≥0，2x ＋y ≤2， y ≥0， x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________． 7．画出不等式|x |＋|y |≤2所表示的平面区域，并求出它的面积． 专题：基本不等式 基本不等式求最值 利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 三个不等式关系： （1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2 ，当且仅当a ＝b 时取等号． 上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系． 其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系 【典例1】已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则 1 12 -+b a 的最小值为 . 练习：1．若实数满足，且，则的最小值为 ． 2.若实数,x y 满足1 33(0)2xy x x +=<< ，则313 x y +-的最小值为 ． 3.已知0,0,2a b c >>>，且2a b += ，则 2ac c c b ab +-+ 的最小值为 . 【典例2】已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋y x ＋y 的最大值为 ． 【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________. 变式：1.若,a b R +∈,且满足22 a b a b +=+,则a b +的最大值为_________. 2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______ 3.设R y x ∈,，142 2 =++xy y x ，则y x +2的最大值为_________ 4.已知正数a ，b 满足 19 5a b +=，则ab 的最小值为 ,x y 0x y >>22log log 1x y +=22 x y x y +- 基本不等式 一. 基本不等式 ①公式：(0,0)2 a b a b +≥≥≥，常用a b +≥ ②升级版：22222a b a b ab ++??≥≥ ??? ,a b R ∈ 选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版 二．考试题型 【题型1】 基本不等式求最值 求最值使用原则：一正 二定 三相等 一正： 指的是注意,a b 范围为正数。 二定： 指的是ab 是定值为常数 三相等：指的是取到最值时a b = 典型例题： 例1 .求1(0)2y x x x =+<的值域 分析：x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理） 解：1()2y x x =--+- 00x x <∴->Q 1 2x x ∴-+≥=-1 2x x ∴+≤ 得到(,y ∈-∞ 例2 .求12(3)3 y x x x =+>-的值域 解：123 y x x =+- （“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值） 12(3)63 x x =+-+- 330x x >∴->Q 12(3)3x x ∴ +-≥- 6y ∴≥， 即)6,y ?∈+∞? 例3.求2sin (0)sin y x x x π=+<<的值域 分析：sin x 的范围是(0,1)，不能用基本不等式，当y 取到最小值时，sin x 不在范围内 解：令sin (0,1)t x t =∈， 2y t t =+ 是对钩函数，利用图像可知： 在(0,1)上是单减函数，所以23t t + >，（注：3是将1t =代入得到） (3,)y ∴∈+∞ 注意：使用基本不等式时，注意y 取到最值，x 有没有在范围内， 如果不在，就不能用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。 研究性学习资料 不等式解法、 - 3 - 题型1：解含绝对值的不等式 1.解不等式：①|2x+51 |≥21 ；②|4x-3|<21 2.设全集U=｛x||x -2|>1｝，A ＝{x||x +1|≤1}，则C U A 等于 （ ） A 、｛x|x <-2或x >0｝ B 、｛x|x <1或x ＞3｝ C 、{x|x <-2或0＜x ＜1或x >3} D 、｛x|1 不等式的解法习题 1.不等式5310x x -++≥的解集是 . 2. 751<-+-x x 的解集是 3. 不等式 0)4)(3)(1)(1(2>-++-x x x x x 的解集是 . 4. 不等式x ->21的解集为A ，不等式 216616x x x -->--的解集为B ，则A 与B 的关系是 A. A B ? B. A B ? C. A B = D. A B =ΦI 5. 不等式x x 21-≥的解集为 A. {}x x |≥1 B. {}x x x |≤>12或 C. {}x x |12≤≤ D. {}x x |12≤< 6. 不等式111+<-x x 的解集是 A. {}3|->x x B. }2234|{< A. ]0,3(- B. R C. ),0()3,(∞+?--∞ D. )0,3(- 对于任意实数x ，不等式||||x x a ++->12恒成立，则 实数a 的取值范围是____________. 9. 不等式11<-x ax 的解集为), 2()1,(∞+?-∞则a 的取值范围是 A. 21>a B. 21 ++bx ax 的解集是??????<<-3121|x x ，则b a -的值是 A. 10- B. 14- C. 10 D. 14 11. 关于x 的不等式012<-++a ax ax 的解集为R ，则a 的 取值范围为 A. )0,(-∞ B. ),34()0,(+∞?-∞ C. ]0,(-∞ D. ),34(]0,(+∞?-∞ 12．设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。 基本不等式 .基本不等式 ①公式： -_b ab (a 0,b 0)，常用 a b 2. ab 2 2 ■ 2 2 ②升级版: a b a b ab a,b R 2 2 选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版 二?考试题型 【题型1】 基本不等式求最值 求最值使用原则：一正 二定三相等 一正： 指的是注意a,b 范围为正数。 二定： 指的是ab 是定值为常数 三相等：指的是取到最值时 a b 典型例题： 1 例1?求 y x ￡；（x 0）的值域 分 x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处 1 解：y (x ) Q x 0 2x 2x 1 x 2x 得到y ( , &] 1 分析：sinx 的范围是(0,1)，不能用基本不等式，当 y 取到最小值时，sinx 的值是.2，但「2不 在范围内 解：令 t sinx , t (0,1) 是对钩函数，禾U 用图像可知: 2 在(0,1)上是单减函数，所以t 3,(注：3是将t 1代入得到) y (3,) 注意：使用基本不等式时，注意 y 取到最值，x 有没有在范围内， 如果不在，就不能用基本不等式 ，要借助对钩函数图像来求 值域。 例2 ?求y 2x (x 3)的值域 解：y 2x (“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值 ) 2(x 3) 22 即 y 2.2 6, 例3?求 y sin x 2 sin x (0 x )的值域 y t f （p 为常数）型函数，要注意t 的取值范围; 【失误与防范】 1.使用基本不等式求最值，其失误的真正原因 是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视. 要利 用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可. 2 ?在运用重要不等式时， 要特别注意“拆” “拼” “凑” “正” “定” “等”的条件. 3.连续使用公式时取 等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致. 【题型2】条件是a b 或ab 为定值，求最值（值域）（简） x 2 2x 1 例 4.求 y (x 2）的值域 分析：先换元，令t x 2 ,t 0,其中x 解：y (t 2)2 2(t 2) 1 t 2 6t 1 t Qt 0 [8, 总之：形如y 2 CX ax b dx f (a 0,c 0）的函数，一般可通过换元法等价变形化为 等技巧，使其满足重要不等式中 例5. 0, y 0且x y 18，则xy 的最大值是 解析: 由于 x 0,y 0,则x y 2 xy ，所以2 xy 18，则xy 的最大值为81 例6. 已知 x,y 为正实数，且满足 4x 3y 12，则xy 的最大值为 对数平均不等式 1.定义：设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a b a b +->>-ln ln a b a b -- 为对数平均数. 2.几何解释： 反比例函数()()10f x x x =>的图象，如图所示，AP BC TU KV ||||||， MN CD x ||||轴， (),0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ???,,T 作()f x 在点2,2a b K a b +?? ?+?? 处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知， 变形公式： )0.()(2ln ln >≥+-≥-b a b a b a b a 3.典例剖析 对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的． （一） ()0ln ln b a b a a b a ->>>-的应用 例1 （2014年陕西）设函数 )1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数． （1）（2）（略） （3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n +++L 与()n f n -的大小，并加以证明． . （二） ()0ln ln b a b a b a ->>-的应用 例 2 设数列{} n a 的通项n a =，其前n 项的和为n S ，证明：()ln 1n S n <+． （三） ()02ln ln a b b a b a b a +->>>-的应用 例3. 设数列{}n a 的通项111123n a n =++++L ，证明：()ln 21n a n <+． （四） ()2011ln ln b a b a b a a b ->>>-+的应用 例4. （2010年湖北）已知函数()()0b f x ax c a x =++>的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-．（1）用a 表示出,b c ；（2）（略） （3）证明：()() ()1111ln 11.2321n n n n n ++++>++?+L （五） )0ln ln b a b a b a ->>>-的应用 例5. （2014福建预赛）已知1()ln(1)311f x a x x x =++ +-+． （1）（略） （2）求证：()222223411ln 21411421431414 n n n +++++>+?-?-?-?-L 对一切正整数n 均成立． 强化训练 1. （2012年天津）已知函数()()()ln 0f x x x a a =-+>的最小值为0． （1）（2）（略）（3）证明：()()12ln 212*.21 n i n n N i =-+<∈-∑ 2.（2013年新课标Ⅰ）已知函数()()()1ln 11x x f x x x λ+=+-+． 不等式及不等式组的应用 整数解问题 ?“最多”、“最少”问题 【例1】在一次爆破中，用1米的导火索来引爆炸药，导火索的燃烧速度为0.5cm/s，引爆员点着导火索后，至少以每秒_____米的速度才能跑到600m或600m以外的安全区域？ 【例2】一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题得－1分，在这次竞赛中，小明获得优秀(90分或90分以上)则小明至少答对了道题． 【例3】现用甲、乙两种运输车将46吨抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排( ) A．4辆B．5辆C．6辆D．7辆 【例4】初中九年级一班几名同学，毕业前合影留念，每人交0.70元，一张彩色底片0.68元，扩印一张照片0.50元，每人分一张，将收来的钱尽量用掉的前提下，这张照片上的同学最少有( ) A．2个B．3个C．4个D．5个 【例5】工程队原计划6天内完成300土方工程，第一天完成60土方，现决定比原计划提前两天超额完成，问后几天每天平均至少要完成多少土方？ 【例6】小华家距离学校2.4千米．某一天小华从家中去上学恰好行走到一半的路程时，发现离到校时间只有12分钟了．如果小华能按时赶到学校，那么他行走剩下的一半路程的平均速度至少要达到多少？ 【例7】若干名学生合影留念，需交照像费20元(有两张照片)，如果另外加洗一张照片，又需收费1.5元，要使每人平均出钱不超过4元钱，并都分到一张照片，至少应有几名同学参加照像？ 【例8】某工人9月份计划生产零件180个，前10天每天平均生产6个，后经改进生产技术，提前2天并且超额完成任务，这个工人改进技术后平均每天至少生产零件多少个？ 【例9】八戒去水果店买水果，八戒有45元，买了5斤香蕉，若香蕉每斤3元，西瓜每个8元，请问八戒至多能买几个西瓜？ 【例10】在保护地球爱护家园活动中，校团委把一批树苗分给初三⑴班同学去栽种．如果每人分2棵，还剩42棵；如果前面每人分3棵，那么最后一人得到的树苗少于5棵(但至少分得一棵)． ⑴设初三⑴班有x名同学，则这批树苗有多少棵？(用含x的代数式表示)． ⑵初三⑴班至少有多少名同学？最多有多少名 自招竞赛 数学讲义 琴生不等式和幂平均不等式 知识定位 不等式问题在高考中较为简单，但是在自招和竞赛中，是非常重要且富于变化的一类问题。在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明；交大华约中，不等式部分通常占10%-15%，其中还会涉及到一些考纲之外的特殊不等式。 本节介绍了琴生不等式以及它的一些简单推论诸如加权琴生和幂平均不等式，希望借助这些补充知识给同学们解决不等式问题提供一个思考的方向。 知识梳理 琴生不等式 1. 凸函数的定义： 设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，对于区间[],a b 内任意两点12,x x ，都有 1212()() ( )22 x x f x f x f ++≤，则称()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数； 反之，若有1212()() ()22 x x f x f x f ++≥，则称()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数。 常见的下凸（凸）函数有x y a =，[0,)2 π上的tan y x =，R + 上的2y x =，3y x =等 常见的上凸（凹）函数有[0,)2π上的sin y x =，cos y x =，R + 上的ln y x =等 2. 琴生(Jensen)不等式 若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，则1212()()() ()n n x x x f x f x f x f n n ++???+++???+≤ 上式等号在12...n x x x ===时取到 反之显然：若()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数，则上式不等号反向 琴生(Jensen)不等式证明（数学归纳）： 1）2n =时，由下凸（凸）函数性质知结论成立； 2）假设n k =时命题成立，即1212()()()( )k k x x x f x f x f x f k k ++???+++???+≤ 那么当1n k =+时，设121 11 k k x x x A k ++++???+=+， 基本不等式 知识点： 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=” ） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11 1 22-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2 a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 ( 当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(2 2 2b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注意： (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值， 当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 技巧一：凑项 例 已知5 4x <，求函数1 4245y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例： 当时，求(82)y x x =-的最大值。 变式：设23 0< ().11 812的值域为（）＞、函数x x x y -+= 的最小值为（）为正数，则、若2 22121,2??? ??++???? ? ?+x y y x y x . .211003的最小值是（），则＞，＞、已知ab b a b a ++ .412,,4的最小值，求且、已知b a y b a R b a += =+∈+ .).25(205的最大值为（），则＜＜、已知x x y x -= .,lg lg ,1243,0,06的值的最大值及相应的求且、已知y x y x y x y x ==+>> ().024372的最小值、求>++=x x x x y .)1(1 282的最小值、求>-+=x x x y . 93)2(.111)1(. 3,0,,9222<++≤++=++>z y x z y x z y x z y x 求证：的最小值求、已知 .2 12,210的最大值求函数、已知++ =- 专题：基本不等式 —、知识要点： 1. 基本不等式（均值不等式）： _______________________ 2. 几个重要的不等式： a 2+ b 2^ ______ （a, Z?GR ）；彳+￡$_（“，b 同号）. a~\~b a+b a 2+b 2 ab_ （一^-应，/?eR ）； （-y-）2_—一（a, Z?GR ）. 技巧1：凑系数、拆项、添项 例1 （1）已知OVx<|,求函数y=x （l-3x ）的最大值； （2）求函数y=x+丄的值域. x 练习：1. （2011-fi 庆）若函数；（力=卄士（Q2）在尸“处取最小值，贝lja=（） A. 1+辺 B. 1+羽 C. 3 D. 4 2.已知0<\<1,则A （3-3A ）取得最大值时x 的值为 （） 4 B.1 c.| 4 4 3?求f （x ）=3+lgx+——的最小值（0 6.（2012-杭州模拟）若正实数d, b满足a+b=l,贝％） A.^+|有最大值4 B. ab有最小值扌 C.&+书有最大值迈 D. cr+b1有最小值芈 技巧三：分离系数（分母看作整体，分子向分母看齐） 例3.求>■=工+7"+1°（x>-1）的值域。 X+1 x?—4r +1 练习：7.已知A>0,贝ij y= ----------- ----- 的最小值为 ________ ? 人 8.函数）匸甘Q1）的最小值是（） A. 2羽+ 2 B. 2^3-2 C. 2审 D. 2 例4.若实数x、y满足Y+/+xy= 1,则x+y的最大值是_______________ . 练习：9.若正实数x, y满足2x + y+6 = xy,则xy的最小值是______________ . 10.已知8, b为正实数，2Z>+aZ>+a=30,求函数y=寺的最小值. 应用二：利用均值不等式证明不等式 例6:已知a、b、ce/?+ ,且a+b+c = l。求证：（十一"（十一1注―1卜8 分析:不等式右边数字8 ,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个"2"连乘， yl-l = —= —，可由此变形入手。 a a a a 应用三：均值定理在比较大小中的应用 例8 :若a>h>\,P = JlgalgA e = l（lg? + lg/7）,/? = lg（上学），则P, Q, R的大小关系是____ . 第四章一元一次不等式(组) 考点一、不等式的概念（3分） 1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。 2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这 个不等式的解。 3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的 解集。 4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 5、用数轴表示不等式的方法 考点二、不等式基本性质（3-5分） 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。②如果 不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立； 考点三、一元一次不等式（6--8分） 1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两 边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。 2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的 系数化为1 考点四、一元一次不等式组（8分） 1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。 3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。 4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。 5、一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集 （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 6、不等式与不等式组 不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等 学习札记 22 7(13)20x a x a a -++--=有两 个实根,,21x x 且12012x x <<<<，求a 的取值范围． 【解】 例３. 某工厂生产Ａ，Ｂ两种产品，已知生产１千克Ａ产品要用煤９吨，电力４千瓦时，劳动力３个，创造利润７万元，生产１千克Ｂ产品要用煤４吨，电力５千瓦时，劳动力１０个，创造利润１２万元，在这种条件下，应该生产Ａ，Ｂ两种产品各多少千克，才能使所创造的总的经济价值最高？ 例4. 要使不等式 有正数y x ,都成立，求k 的最小值． 本章总结回顾： 1．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，会用函数思想来研究方程和不等式． ２．二元一次不等式(组)表示平面区域与线性规划问题是数形结合思想的运用。画平面区域是线性规划的基础，常用选点法定侧，注意边界是否在区域内。解线性规划应用题时要注意规范解题，写全解题步骤。 ３．利用基本不等式求最值或证明不等式，运用时往往需作适当的变形，创造条件应用基本不等式，常用变换技巧是“拆添项”“配凑因子”和“平方”等。应用基本不等式求最值时，要注意考虑三要素，即“一正二定三相等”。 【选修延伸】 柯西不等式 内容： 2 2 2 12()n a a a +++ 2 2 2 12()n b b b +++ ≥21122()n n a b a b a b +++ ．()n N + ? 证明：设()f x =22212()n a a a +++ 2 x 2-1122()n n a b a b a b x +++ 222 12()n b b b ++++ ． 当2 2221n a a a +++ ＝０，即 120n a a a ==== 时，柯西不等式显然成 2018年08月不等式的高中数学组卷 一．填空题（共30小题） 1．设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为． 2．若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为． 3．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为． 4．已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是． 5．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元． 6．不等式2＜4的解集为． 7．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=． 8．当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是．9．设z=kx+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则实数k=． 10．设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为． 11．设a+b=2，b＞0，则的最小值为． 12．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴 影部分），则其边长x为（m）． 13．已知关于x的不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围 是． 14．已知O是坐标原点，点A（﹣1，1）．若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是． 15．已知点x，y满足不等式组，若ax+y≤3恒成立，则实数a的取值范围是．16．某校今年计划招聘女教师x人，男教师y人，若x、y满足，则该学校今年计划招 聘教师最多人． 17．已知方程x2+（1+a）x+4+a=0的两根为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，则a的取值范围是．18．若关于x的不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为[a，b]，那么b﹣a=． 19．已知x=1是不等式k2x2﹣6kx+8≥0（k≠0）的解，则k的取值范围是． 20．如果关于x的不等式mx2﹣mx﹣1≥0的解集为?，则实数m的取值范围是．21．已知x＞﹣1，则x+的最小值为． 22．若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为． 23．已知a＞0，b＞0，且2a+b=4，则的最小值是． 24．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是． 25．若2x+4y=4，则x+2y的最大值是． 26．设a＞0，b＞1，若a+b=2，则+的最小值为． 27．若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是． 28．设a＞0，b＞0．若是3a与32b的等比中项，则+的最小值为． 29．如图所示，在△ABC中，AD=DB，点F在线段CD上，设=，=，=x+y，则+的最小值为． 30．已知实数a，b均大于0，且总成立，则实数m 的取值范围是． 不等式的解法举 解一元一次不等式、一元二次不等式的基本思想 1ax +b >0 (1)若a >0时,则其解集为{x |x >-a b } (2)若a <0时,则其解集为{x |x <-a b } (3)若a =0时,b >0,其解集为R ≤0,其解集为2c bx ax ++2 >0(a ≠0) 高一,我们学习一元二次不等式时知道,任何一个一元二次不等式,最后都可化为: c bx ax ++2>0或c bx ax ++2 <0(a >0)的形式,而且我们已经知道,一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关 (1)若判别式Δ=b 2 -4ac >0,设方程c bx ax ++2 =0的二根为x 1,x 2(x 1 一元一次不等式（组） 一、选择题 1.（2014年广东汕尾，第3题4分）若x ＞y ，则下列式子中错误的是（ ） A ．x ﹣3＞y ﹣3 B ． ＞ C ． x +3＞y +3 D ． ﹣3x ＞﹣3y 2、（2013?恩施州）下列命题正确的是（ ） A ．若a ＞b ，b ＜c ，则a ＞c B ． 若a ＞b ，则ac ＞bc C ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2 D ．若ac 2＞bc 2 ，则a ＞b 3、(2013年广东省3分、4)已知实数a 、b ，若a >b ，则下列结论正确的是 A.55-<-b a B.b a +<+22 C. 3 3b a < D. b a 33> 4、（2013?湘西州）若x ＞y ，则下列式子错误的是（ ） A ． x ﹣3＞y ﹣3 B ． ﹣3x ＞﹣3y C ． x +3＞y+3 D ． ＞ 5、（德阳市2013年）适合不等式组的全部整数解的和是 A.一1 B 、0 C ．1 D ．2 6、（2013四川南充，5，3分）不等式组()?? ? ??≥+--+23x 321 x 1x 3＞的整数解是（ ） A.－1，0,1 B. 0,1 C. －2，0,1 D. －1,1 7、(2013河南省)不等式组2 21x x ≤?? +>? 的最小整数解为 （A ） -1 （B ） 0 （C ）1 （D ）2 8、（2013?孝感）使不等式x ﹣1≥2与3x ﹣7＜8同时成立的x 的整数值是（ ） A ． 3，4 B ． 4，5 C ． 3，4，5 D ． 不存在 9、（2013?雅安）不等式组的整数解有（ ） 个． A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 10、(2013年临沂)不等式组20,1 3.2 x x x ->?? ?+≥-??的解集是 不等式专题考纲 知识框图 讲义导航 知识点梳理： 一：不等式性质及其应用 1.不等式的概念：用不等号（<、>、≤、≥、≠）表示不等关系的式子叫做不等式． 2.不等式的性质： 不等式性质1：（对称性）如果>a b ，那么b a ． 不等式性质2：（传递性）如果>a b ，且>b c ，则>a c ． 不等式性质3：加法法则（同向不等式可加性）()a b a c b c c >?+>+∈R ； 推论：,a b c d a c b d >>?+>+. 不等式性质4：乘法法则 若a b >，则000.c ac bc c ac bc c ac bc >?>?? =?=??>>>?>； 推论2：() *22 00a b n a b >>∈?>>N ； 推理3：() *00>>∈?>>n n a b n N a b ； 推理4：( ) 01且+ >>∈>a b n N n 3．两个实数的大小比较： （1）数轴法：对于任意两个实数a 和b ，对应数轴上的两点，右边的点对应的实数比左边点对应的 实数大． （2）作差比较法：,0>a b ；0a b a b -?>a b a b （作差与0比较） （3）作商比较法：,0>a b ：1>?>a a b b ；1=?=a a b b ；1 例题讲解 考点1：不等式性质及其应用 【例1】（2019秋?海淀区校级期中）已知0a b <<，则下列不等式正确的是( ) A ．2a a b >+ B ．a b b +> C ．2a ab > D ．2b ab > 【例2】（2018秋?东城区期末）已知0a <，0b >，那么下列不等式中一定成立的是( ) A ．0b a -< B ．||||a b > C ．2a ab < D ． 11 a b < 【例3】（（2018秋?朝阳区期中）已知0x y >>，则下列不等关系中正确的是( ) A ．cos cos x y > B ．33log log x y < C ．112 2 x y < D ．11()()33 x y < 【例题4与的大小为 （用“=”，“ >”或“<”填空） 二、解不等式 （一）绝对值不等式 1.绝对值的几何意义：设a 是一个实数，在数轴上|a |表示实数a 对应的点与原点的距离；|x -a |表示实数x 对应的点与实数a 对应的点之间的距离. 2.关于绝对值的几个结论 定理：对任意实数a 和b ，有||a b a b +≤+ 推论： ①. a b a b -≤+； 解不等式 一、知识要点 一元一次不等式的解法： 一元二次不等式的解法： 绝对值不等式的解法： 指数对数不等式的解法： 抽象函数不等式的解法： 1．若关于x 的不等式x k )1(2+≤4 k ＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有（ ） （A ）2∈M ，0∈M ； （B ）2?M ，0?M ； （C ）2∈M ，0?M ； （D ）2?M ，0∈M ． 2.二次函数y=ax 2+bx+c(x ∈R )的部分对应值如下表： 则不等式ax 2+bx+c>0的解集是_______________________. 3.在R 上定义运算).1(:y x y x -=??若不等式1)()(<+?-a x a x 对任意实数x 成立，则（ ） A ．11<<-a B ．20< C ．1a <- D ．1a > 5.不等式01 21>+-x x 的解集是 . 6．不等式221 x x + >+的解集是 （ ） A ．(1,0)(1,)-+∞ B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(1,0)(0,1)- D ．(,1)(1,)-∞-+∞ 7．若a >0，b >0，则不等式－b <1x 1b D.x <1b －或x >1a 8．不等式311<+ 基本不等式 2 a b + 授课人:祁玉瑞授课类型：新授课 一、知识与技能： 使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。 过程与方法： 通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。 情感态度与价值观： 在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。 二、重点及难点 重点：应用数形结合的思想理解不等式，2a b +≤ 的证明过程。 难点：2a b +≤ 等号成立条件。 三、教学过程 1.课题导入 2a b ab +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角 形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。这样，4个直角三角形的面积的和 是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就 得到了一个不等式：222a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。 2．得到结论：一般的，如果 ) ""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为222)(2b a ab b a -=-+专题：基本不等式常见题型归纳(学生版)
(完整版)基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)
不等式学生版
不等式的解法(学生、答案)
基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)
对数平均不等式学生
【精品讲义】人教版 七年级下册寒假同步课程(培优版)11不等式及不等式组的应用.学生版
琴生不等式【学生版】
基本不等式经典例题学生用
学生版基本不等式
(学生)专题：基本不等式
八年级一元一次不等式(学生讲义)
高中数学《不等式》(学生版)教案9 苏教版必修5
不等式的高中数学组卷 -学生版
不等式解法学生
不等式(组)(学生)
2020-2021北京高三一轮复习03不等式学生版
解不等式学生
基本不等式公开课教案
- 03不等式学生版
- 不等式学生版
- 学生版基本不等式
- 基本不等式经典例题(学生用)
- 专题：基本不等式常见题型归纳(学生版)
- 对数平均不等式学生
- 专题：基本不等式常见题型归纳(学生版)
- 八年级一元一次不等式(学生讲义)
- 专题基本不等式常见题型归纳(学生版)
- 一元一次不等式(组)学生版
- 专题_基本不等式常见题型归纳(学生版)
- 一元一次不等式_学生版
- 对数平均不等式学生
- 不等式(组)(学生)
- 2020-2021北京高三一轮复习03不等式学生版
- 专业题材七不等式(学生版)
- 集合及不等式解法(学生用)
- (学生)专题：基本不等式
- 基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)
- 基本不等式题型总结(经典非常好学生评价高)