导数 专题知识清单及例题练习(含答案)
桂林市卓远文化艺术培训学校专用资料
导数专题知识清单及例题练习
编写者： 审核者：邹俊飞
一．导数的概念
设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x
x f x x f x y ?-?+=
??)
()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x
x f x x f x y
x x ?-?+=??→?→?)()(lim
lim
0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即
)(0'x f =x
x f x x f x y
x x ?-?+=??→?→?)()(lim
lim
0000 说明：1. 函数f （x ）在点0x 处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y
??不存在极限，就说函数在
点x 0处不可导，或说无导数。
2.x ?是自变量x 在0x 处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。
3. 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点0x 处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ?=f （0x +x ?）－f （0x ）；
（2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+)
()(00； （3）取极限，得导数f’(0x )=x y x ??→?0lim
。
例题： 利用定义求 2)(x x f =在x=2处的导数；练习：求 2
4
)(x x f =在x=2处的导数
二．导数的几何意义 （求切线方程）
函数y=f （x ）在点0x 处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （0x ，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （0x ，f （x 0））处的切线的斜率是f’（ 0x ）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（0x ）（x －0x ）。
例题： 利用定义求 2
)(x x f =在点（1,1）处的切线方程；
练习：求 3
)(x x f =在（2，4）处的切线方程
①0;C '= ②()
1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;
⑤();x x e e '=⑥()ln x x
a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=.
四．两个函数的和、差、积的求导法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
即： (
.)'
''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数，即：
.)('
''uv v u uv += 若C 为常数,则'
''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：
.)(''Cu Cu =
例题：求 33)(2
++=x x x f 的导数；练习：求 a x x x f ++=2
4
)(的导数
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的
平方：?
?? ??v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。
例题：求 11)(++=x x x f 的导数；练习：求 24
)(x
x f =的导数
法则4：形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X 例题：求 1
2)(+=x e x f 的导数；练习：求 )12ln()(2
++=x x x f 的导数
五．导数应用
1.单调区间：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，
如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数；如果'f 0)( f 0)(=x ，则)(x f 为常数； 例题：求 6)(2 --=x x x f 的单调区间；练习：求 22)(x x x f -= 的单调区间 2．极点与极值： 曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 例题：求 593)(23+--=x x x x f 的极值；练习：求6)(2--=x x x f 的极值 3．最值： 一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。 ①求函数?)(x 在(a ，b)内的极值； ②求函数?)(x 在区间端点的值?(a)、?(b)； ③将函数? )(x 的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 例题：求 53634)(23+-+=x x x x f 在区间[]2,2-上的最值；练习：求x e x x f = )(在[]2,0上的最值 六．定积分 1. 概念：设函数f(x)在区间[a ，b]上连续，用分点a ＝x0 成n 个小区间，在每个小区间[xi －1，xi]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式In ＝∑n i f 1 ＝(ξi)△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞即△x →0时，和式In 的极限叫做函数f(x)在区间[a ，b]上的定积 分，记作： ? b a dx x f )(，即 ? b a dx x f )(＝ ∑=∞ →n i n f 1 lim (ξi)△x 。 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式。 基本的积分公式： ?dx 0＝C ；?dx x m ＝1 11++m x m ＋C （m ∈Q ， m ≠－1）；?x 1dx ＝ln x ＋C ；?dx e x ＝x e ＋C ； ?dx a x ＝a a x ln ＋C ；?xdx cos ＝sinx ＋C ；?xdx sin ＝－cosx ＋C （表中C 均为常数）。 2. 定积分的性质 （1）?? =b a b a dx x f k dx x kf )()(（k 为常数）； （2） ???±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(； （3）? ??+=b a c a b c dx x f dx x f dx x f )()()(（其中a ＜c ＜b )。 3． 定积分求曲边梯形面积（几何意义） 由三条直线x ＝a ，x ＝b （a 边梯的面积?=b a dx x f S )(。 如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x DMNC ＝ ? ?-b a b a dx x f dx x f )()(21。 4.微积分基本定理：一般地，如果y ＝f （x ）是在[]b a ,上有定义的连续函数，f （x ）在[]b a ,上可导并且 )()(, x f x F =，则)()()(a F b F dx x f b a -=? （牛顿-莱布尼兹公式） 例题：求积分（1）?21 3dx （2）?+20 )32(dx x 练习： （1）?--3 1 2 )4(dx x x （1）?-2 1 5)1(dx x 综合基础训练 1．函数3 13y x x =+- 有 （ ） A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3 C.极小值-1，极大值3 D. 极小值-2，极大值2 2．函数 344 +-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ） A ．72 B ．36 C ．12 D ．0 3．函数 x x y ln = 的最大值为（ ） A ．1-e B ．e C ．2 e D ．310 4．函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是（ ） (A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0 5．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=， ，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0 x <时（ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， 6．若函数 b bx x x f 33)(3 +-=在()1,0内有极小值，则（ ） （A ） 10<b （D ） 21 < b 7．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 8．曲线 x y e =在点2 (2) e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（） Ａ． 2 9 4 e Ｂ．2 2eＣ．2eＤ． 2 2 e 9．若 ' ()3 f x=- ，则 00 ()(3) lim h f x h f x h h → +-- = （） A．3- B．6- C．9- D．12 - 10. 函数 9 3 ) (2 3- + + =x ax x x f,已知) (x f在3- = x时取得极值,则a=( ) （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 11. 设 ()ln f x x x =，若0 '()2 f x= ，则0 x= （） A. 2e B. e C. ln2 2 D. ln2 12. 函数 1 3 ) (2 3+ - =x x x f是减函数的区间为（） A． ) ,2(+∞ B．)2, (-∞ C．)0, (-∞ D．（0，2） 13. 设函数 1 ()21(0), f x x x x =+-< 则 () f x（） A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数D．是减函数 14. 已知对任意实数x有f(－x)=－f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0时，f’(x)>0，g’(x)>0，则x<0时（） A f’(x)>0，g’(x)>0 B f’(x)>0，g’(x)<0 C f’(x)<0，g’(x)>0 D f’(x)<0，g’(x)<0 15. 设曲线 2 ax y=在点（1,a）处的切线与直线0 6 2= - -y x平行,则= a( ) A．1 B．1 2C． 1 2 - D．1 - 提升训练 一、选择题1. 已知函数f(x)=ax2＋c,且 (1) f'=2,则a的值为（） A.1 B.2 C.－1 D. 0 2.函数 3 3x x y- =的单调递增区间是 A. (1,1) - B. (,1) -∞-C．(0,) +∞ D.(1,) +∞()e x f x x =) (x f' A ． e x B ． e x x C ． e (1)x x + D ． x x ln 4. 关于函数()e 2x f x =-，下列结论正确的是 A ． )(x f 没有零点 B ．)(x f 没有极值点 C ． )(x f 有极大值点 D ．)(x f 有极小值点 5．函数()cos f x x x =的导函数'()f x 在区间[,]ππ-上的图象大致是（ ） 6、已知 2 ()2'(1)f x x xf =+，则'(0)f =（ ） A.0 B.-4 C.-2 D.2 7．若函数 )1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（ ） A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或 B ．3113<<-<<-k k 或 C ．22<<-k D ．不存在这样的实数k 8．曲线sin y x =与x 轴在区间],0[π上所围成的图形的面积是 A ． 0 B ． 2 C ． 2- D ． 4 9．等比数列{an}中a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x －a1)(x －a2)…·(x －a8)，则f ′(0)＝( ) A ．26 B ．29 C ．212 D ．215 10．设f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当x<0时，f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)>0， 且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( ) A ．(－3,0)∪(3，＋∞) B ．(－3,0)∪(0,3) C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(0,3) 二、填空题11.函数 sin x y x = 的导数为_________________． 12.函数2cos y x x =+在区间 [0,] 2π 上的最大值是 ． 13.dx e e x x ? -+1 0)(= . 14．设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N*)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为xn ，令an ＝lgxn ，则a1＋a2＋…＋a99的值为________． 三、解答题15.(本题满分12分)设)x (f y =是二次函数，方程0)x (f =有两个相等的实根，且 2x 2)x ('f +=. )x (f y = （2）求)x (f y =的图象与两坐标轴所围成图形的面积； （3）若直线t x -=（1t 0<<）把)x (f y =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值. 16.(本题满分12分)已知 c x 2bx ax )x (f 2 3+-+=在2x -=时有极大值6，在1x =时有极小值， （1）求c ,b ,a 的值；（2）求)x (f 在区间[－3，3]上的最大值和最小值. 17．(本题满分14分)已知函数f(x)＝1 2 x2＋lnx. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求证：当x>1时，12x2＋lnx<2 3x3. 18、(本题满分14分)设函数f(x)＝x3－9 2x2＋6x －a. (1)对于任意实数x, f ′(x)≥m 恒成立，求m 的最大 值； (2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围． 19．已知函数 ()ln ()a f x x x a R x =+ +∈ （1）求函数()f x 的单调区间与极值点； （2）若对21 [,2] a e e ?∈，函数()f x 满足对[1,]x e ?∈都有()f x m <成立，求实数m 的取值范围（其 中e 是自然对数的底数）。 20．（本小题满分13分）已知函数 2 1()2,()log 2a f x x x g x x = =－（1a ,0a ≠>），其中为常数． 如果()()()h x f x g x =+ 是增函数，且()h x '存在零点（()h x ' 为()h x 的导函数）． ①求a 的值； ②设)y ,x (A 11、)x x )(y ,x (B 2122<是函数)x (g y =的图象上两点，21021()y y g x x x -'= - （()g'x 为()g x 的导函数），证明：102x x x <<． 综合基础训练答案 CDA ABA ADD DBD ABA 提升训练答案 《导数及其应用》单元检测试题（理科）参考答案 11. 2cos sin 'x x x y x -= ； 12.36+π ； 13. e 1e - ； 15、-2 三、解答题 15. 解：（1）设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，则b ax x f +='2)(，由已知22)(+='x x f ， 所以2,.1==b a ，所以c x x x f ++=2)(2 又方程0)(=x f 有两个相等的实根 所以044=-=?c ，即1=c 所以 12)(2 ++=x x x f （2）依题意知： ? ?++=++---dx x x dx x x t t )12()12(2 021 所以t x x x --++1 23|)31( t t t t t t x x x t +-=+-+-++=-2323023313131|)31( 所以016622 3 =-+-t t t 即01)1(23 =+-t ，于是 3 2 11-=t 24 13 - = 16.解：（1） ,223)(2 -+='bx ax x f 由条件知 .38,21,31. 6448)2(, 0223)1(, 02412)2(===?? ? ??=+++-=-=-+='=--=-'c b a c b a f b a f b a f 解得 （2）,2)(,38 22131)(223-+='+-+= x x x f x x x x f 由上表知，在区间[－3，3]上，当3=x 时， , 61 10max =f 1=x 时，.23min =f 17．(1)依题意知函数的定义域为{x|x>0}， ∵f ′(x)＝x ＋1 x ，故f ′(x)>0， ∴f(x)的单调增区间为(0，＋∞)． (2)设g(x)＝23x3－1 2x2－lnx ， ∴g ′(x)＝2x2－x －1 x ， ∵当x>1时，g ′(x)＝(x －1)(2x2＋x ＋1) x >0， ∴g(x)在(1，＋∞)上为增函数， ∴g(x)>g(1)＝1 6>0， ∴当x>1时，12x2＋lnx<2 3 x3. 18. [分析] 本题主要考查导数的应用及转化思想，以及求参数的范围问题． [解析] (1)f ′(x)＝3x2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)． 因为x ∈(－∞，＋∞)．f ′(x)≥m ，即3x2－9x ＋(6－m)≥0恒成立． 所以Δ＝81－12(6－m)≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－3 4 . (2)因为当x<1时，f ′(x)>0；当1 2－a ， 当x ＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a. 故当f(2)>0或f(1)<0时，方程f(x)＝0仅有一个实根，解得a<2或a>5 2 . 19．解：（1）222 1()1(0)a x x a f x x x x x +-'=-+=> ①0a ≤时，()0,()f x f x '≥在（0，+∞）上单调递增， 此时函数()f x 无极值点； ②0a > ，令12()00)f x x x '=?= =<舍去 当10x x <<时，()0f x '<()f x ∴在1(0,)x 上单调递减； 当 1 x x >时，()0f x '>()f x ∴在1 (,)x +∞上单调递增； 即()f x 在 上单调递减，在)+∞上单调递增， 此时函数()f x 仅有极小值点 1x = 6分 （2）函数()f x 满足：21 [,2] a e e ?∈， 函数()f x 满足对[1,]x e ?∈都有()f x m <成立，即()f x 在[1,]e 上的最大值小于m 由（1）知：21 [,2] x e e ?∈， ()f x 在 上单调递减，在)+∞上单调递增， 所以1(1)()1a m f m a f e m e m e + ???<++ 1[,2] x e e ?∈恒成立 2 1231m e m e ?>+??>+? 又22 12(31)(23)01231e e e e e e +-+=->?+>+ 故实数m 的取值范围是 2 (12,)e ++∞ 20.解：（1）因为 2 1()2log 2 a h x x x x = -+(0)x >， 所以21ln 2ln 1 ()2ln ln x a x a h x x x a x a -+'=-+= ． …………………………3分 因为h （x ）在区间(0,)+∞上是增函数， 所以2ln 2ln 1 ln x a x a x a -+≥在区间(0,)+∞上恒成立． 若0 ln 2ln 10x a x a -+≤恒成立． 又()h x ' 存在正零点，故△＝（－2lna ）2－4lna ＝0，lna ＝0，或lna ＝1与lna<0矛盾． 所以a>1． 由2ln 2ln 10x a x a -+≥恒成立，又()h x ' 存在正零点，故△＝（－2lna ）2－4lna ＝0， 所以lna ＝1，即a ＝e ． ………………………………………………7分 （2）由（Ⅰ），00 1()g x x '= ，于是21 021 1y y x x x -= -， 21 021ln ln x x x x x -= -．…………9分 以下证明 21 121ln ln x x x x x -< -． （※） （※）等价于121121ln ln 0x x x x x x --+<． ………………………11分 令r （x ）＝xlnx2－xlnx －x2＋x ，…………………………………13分 r ′（x ）＝lnx2－lnx ，在（0，x2］上，r ′（x ）>0，所以r （x ）在（0，x2］上为增函数． 当x1 对于 21 221ln ln x x x x x -> -同理可证………………………………………16分 所以102x x x <<． 导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．已知函数y ＝f (x )＝x 2 ＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 3．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4＋2(Δx )2 D ．4x 4．如果质点M 按照规律s ＝3t 2 运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ． 6 B ．18 C ．54 D ．81 5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ． 2 D ．－2 6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直 7．曲线y ＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程 为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝x ＋ 2 D ．y ＝－x －2 8．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2 9．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，1 16) D ．(12，1 4) 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝ 1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－ 1 D ．a ＝－1，b ＝－1 11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ． 6 D ．9 12．已知函数f (x )＝1 x ，则f ′(－3)＝( ) A ． 4 B.1 9 C ．－14 D ．－1 9 13．函数y ＝x 2 x ＋3 的导数是( ) 第二部分 导数、微分及其导数的应用 知识汇总 一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则 若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则 若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法 求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法 对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则 设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ 可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法 二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax 全国卷历年高考函数与导数真题归类分析（含答案） （2015年-2018年共11套） 函数与导数小题（共23小题） 一、函数奇偶性与周期性 1.（2015年1卷13）若函数f （x ） =ln(x x +为偶函数，则a= 【解析】由题知ln(y x = 是奇函数，所以ln(ln(x x ++- =22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1.考点：函数的奇偶性 2.（2018年2卷11）已知是定义域为的奇函数，满足 ．若 ， 则 A. B. 0 C. 2 D. 50 解：因为是定义域为 的奇函数，且 ， 所以, 因此， 因为 ，所以， ，从而 ，选C. 3.（2016年2卷12）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1 x y x += 与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，?，()m m x y ，，则()1 m i i i x y =+=∑（ ） （A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【解析】由()()2f x f x =-得()f x 关于()01， 对称，而11 1x y x x +==+也关于()01，对称， ∴对于每一组对称点'0i i x x += '=2i i y y +，∴()1 1 1 022 m m m i i i i i i i m x y x y m ===+=+=+? =∑∑∑，故选B ． 二、函数、方程与不等式 4.（2015年2卷5）设函数211log (2),1, ()2,1,x x x f x x -+- 导数的计算 【学习目标】 1. 牢记几个常用函数的导数公式，并掌握其推导过程。 2. 熟记八个基本初等函数的导数公式，并能准确运用。 3. 能熟练运用四则运算的求导法则， 4. 理解复合函数的结构规律，掌握求复合函数的求导法则：“由外及内，层层求导”． 【要点梳理】 知识点一：基本初等函数的导数公式 （1）()f x C =（C 为常数），'()0f x = （2）()n f x x =（n 为有理数），1'()n f x n x -=? （3）()sin f x x =，'()cos f x x = （4）()cos f x x =，'()sin f x x =- （5）()x f x e =，'()x f x e = （6）()x f x a =，'()ln x f x a a =? （7）()ln f x x =，1 '()f x x = （8）()log a f x x =，1 '()log a f x e x = 。 要点诠释： 1．常数函数的导数为0，即C ＇=0（C 为常数）．其几何意义是曲线()f x C =（C 为常数）在任意点处的切线平行于x 轴． 2．有理数幂函数的导数等于幂指数n 与自变量的（n －1）次幂的乘积，即1()'n n x nx -=（n ∈Q ）． 特别地 2 11'x x ?? =- ??? ，=。 3．正弦函数的导数等于余弦函数，即（sin x ）＇=cos x ． 4．余弦函数的导数等于负的正弦函数，即（cos x ）＇=－sin x ． 5．指数函数的导数：()'ln x x a a a =，()'x x e e =． 6．对数函数的导数：1(log )'log a a x e x = ，1 (ln )'x x =． 有时也把1(log )'log a a x e x = 记作：1 (log )'ln a x x a = 以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可． 导数单元测试题 班级姓名 一、选择题 1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( ) A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 2．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A．4 B．4＋2Δx C．4＋2(Δx)2 D．4x 3．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( ) A．不存在B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直 4．曲线y＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程为( ) A．y＝x－2 B．y＝x C．y＝x＋2 D．y＝－x－2 5．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为π 4 的是( ) A．(0,0) B．(2,4) C．(1 4 ， 1 16 ) D．( 1 2 ， 1 4 ) 6．已知函数f(x)＝1 x ，则f′(－3)＝( ) A．4 B.1 9 C．－ 1 4 D．－ 1 9 7．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( ) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 8．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有( ) A．1个B．2个 C．3个D．4个 10．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分 别是( ) A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5) C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3) 11．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A．－10 B．－71 C．－15 D．－22 12．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒运动的距离为s＝ 1 4 t4－ 5 3 t3＋2t2，那么速度为零的时刻是( ) A．1秒末 B．0秒 C．4秒末 D．0,1,4秒末 二、填空题 13．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________. 14．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则 b a ＝________. 15．函数y＝x e x的最小值为________． 16．有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2. 三、解答题 17．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋x cos x； (2)y＝ x 1＋x ； (3)y＝lg x－e x. 18．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求： (1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程． 19．已知函数f(x)＝ 1 3 x3－4x＋4.(1)求函数的极值； (2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值． 导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导， 2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）2（a﹣2）﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）2﹣﹣，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）﹣1﹣． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）321（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）2+2，g（x）（﹣2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． ） 10．已知函数f（x）3﹣2，a∈R， （1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，≤1．已知函数f（x）3﹣6x2﹣3a（a﹣4），g（x）（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：f（x）在0处的导数等于0； （）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）（﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围． （（（（（（（（（（ 导数专项练习 一、选择题(本大题共21小题，共105.0分) =1处的切线方程为（ +）1.函数（在点）= 3xxfxx xyxyxyxy-2=0+++2=0 +2=0 B.4 -D.4-2=0 A.4C.4-yxylnxaa的值为（已知直线+=）+1与曲线）相切，则= （2.A.1 B.2 C.-1 D.-2 +1在点M处的瞬时变化率为-4，则点已知曲线M=2的坐标是（） 3.A.（1，3） B.（1，2xy 4） C.（-1，3） D.（-1，-4） yfxyfxyfx）的图象可能（′（（4.若函数）的图象如图所示，则=）（=）的导函数 = D.C.A. B.23aaxxfxx的取值范-∞，+∞）上是单调递减函数，则实数5.已知函数-1（在（）=--+ ）围是（ D.- ）∪（]∪[，+∞），+∞）B.[-] C.（∞，A.（---∞，（）- mxfx的取值（上是增函数，则实数）=，2]在区间6.已知函数[1 ）范围为（ mmmm D.≤4 C. ≤2 A.4≤≤5 B.2≤≤4 α处切线的倾斜角为α，则角上的任意一点，点7.设点PP是曲线）的取值范围是（ ，）∪[，π）B.[0 D.C. A.xxfyf））的图象如图所示，则下列说法正确的是（（）导函数（' 8.函数= xfy 0）上单调递增（）在（-A.函数=∞，xfy 5，函数=）（）的递减区间为（3B.（（（（（（（（（（（（．（（（（（（（（（（ yfxx=0处取得极大值=）在（ C.函数yfxx=5处取得极小值=）在（D.函数 bxyb的取值范围是（）在R=+（上存在三个单调区间，则+6） 9.已知+3bbbbbb＞3或D.＜ C.-2 ＜-2A.＜≤-2或3 ≥3 B.-2≤≤3b范围为（ R上不是单调增函数则）10. 函数在A.（-1，2） B.（-∞，-1]∪[2，+∞） C.[-1，2] D.（-∞，-1）∪（2，+∞） afxxabf，）的定义域为（′（，）在（）11.已知函数，导函数（bxabf）上的极大值点）在（）上的图象如图所示，则函数，（）的个数为（ 导数概念及其几何意义、导数的运算 一、选择题： 1 已知32 ()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于 A 193 B 103 C 16 3 D 133 2 已知直线1y kx =+与曲线3 y x ax b =++切于点（1，3），则b 的值为 A 3 B -3 C 5 D -5 3 函数2y x a a = +2 （）(x-)的导数为 A 222()x a - B 223()x a + C 223()x a - D 22 2()x a + 4 曲线313y x x =+在点4 (1,)3 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A 1 9 B 29 C 13 D 2 3 5 已知二次函数2 y ax bx c =++的导数为(),(0)0f x f ''>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1) (0) f f '的最小值为 A 3 B 52 C 2 D 32 6 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B ()2(1)f x x =- C 2()2(1)f x x =- D ()1f x x =- 7 下列求导数运算正确的是 A 211()1x x x '+=+ B 21 (log )ln 2 x x '= C 3(3)3log x x e '=? D 2 (cos )2sin x x x x '=- 8 曲线32 153 y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为 A 6 π B 34π C 4π D 3 π 9 曲线3 2 31y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 A 34y x =- B 32y x =-+ C 43y x =-+ D 45y x =- 10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ，若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为 （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________； 2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα== 高中数学导数的几何意义测试题(含答案) 选修2-21.1第3课时导数的几何意义 一、选择题 1．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么() A．f(x0)＞0 B．f(x0)＜0 C．f(x0)＝0 D．f(x0)不存在 [答案] B [解析] 切线x＋2y－3＝0的斜率k＝－12，即f(x0)＝－12＜0.故应选B. 2．曲线y＝12x2－2在点1，－32处切线的倾斜角为() A．1 B.4 C.54 D．－4 [答案] B [解析] ∵y＝limx0[12(x＋x)2－2]－(12x2－2)x ＝limx0(x＋12x)＝x 切线的斜率k＝y|x＝1＝1. 切线的倾斜角为4，故应选B. 3．在曲线y＝x2上切线的倾斜角为4的点是() A．(0,0) B．(2,4) C.14，116 D.12，14 [答案] D 页 1 第 [解析] 易求y＝2x，设在点P(x0，x20)处切线的倾斜角为4，则2x0＝1，x0＝12，P12，14. 4．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为() A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2 C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5 [答案] B [解析] y＝3x2－6x，y|x＝1＝－3. 由点斜式有y＋1＝－3(x－1)．即y＝－3x＋2. 5．设f(x)为可导函数，且满足limx0f(1)－f(1－2x)2x＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为() A．2 B．－1 C．1 D．－2 [答案] B [解析] limx0f(1)－f(1－2x)2x＝limx0f(1－2x)－f(1)－2x ＝－1，即y|x＝1＝－1， 则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B. 6．设f(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线() A．不存在 B．与x轴平行或重合 导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线2 x y x = +在点()1,1--处的切线方程为（） （A ）21y x =+（B ）21y x =-（C ）23y x =--（D ）22y x =-- 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为22 (2) y x '= +，所以，在点()1,1--处的切线斜率12 2 2(12)x k y =-' == =-+，所以，切线方程为12(1)y x +=+，即21y x =+，故选A. 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元） 与年产量x （单位：万件）的函数关系式为3 1812343 y x x =-+-，则使该生产厂 家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11万件 (C)9万件(D)7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C ，2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-（舍去），当9x <时'0y >；当9x >时'0y <，故当9x =时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=2 x ,y=3 x 围成的封闭图形面积为（） （A ） 1 12 (B)14 (C)13 (D) 712 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的 导数基础知识 1、函数4532)(23+-+=x x x x f 的导数=')(x f ， 2. 函数y ＝cos x x 的导数是( ) A ．－sin x x 2 B ．－sin x C ．－x sin x ＋cos x x 2 D ．－x cos x ＋cos x x 2 3．函数y ＝(2＋x 3)2的导数为( ) A ．6x 5＋12x 2 B ．4＋2x 3 C ．2(2＋x 3)2 D ．2(2＋x 3)·3x 4．函数y ＝3x (x 2＋2)的导数是( ) A ．3x 2＋6 B ．6x 2 C ．9x 2＋6 D ．6x 2＋6 5．若函数f (x )＝1－sin x x ，则f ′(π)________________． 6、设,sin 2x e y x -=则y '等于（ ） x e A x cos 2.- x e B x sin 2.- x e C x sin 2. )cos (sin 2.x x e D x +-2． 7. 已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A.193 B.163 C.133 D.103 8．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( ) A ．1 B ．0 9. 求下列函数的导数： （1）3ln )(2+?=x x x f （2）x e x x f ?=33)( （3）2312)(+-= x x x f （4）)1)(52()(2+-=x x x f （5）x e x x f )12()(2-= （6）3()12(0)f x x x x =++> （7）x x x f cos 2)(+= （8）x x x f 3ln 2)(+= 【巩固练习】 一、选择题 1．设函数310()(12)f x x =-，则'(1)f =（ ） A ．0 B ．―1 C ．―60 D ．60 2．（2014 江西校级一模）若2()2ln f x x x =-，则'()0f x >的解集为（ ） A.(0,1) B.()(),10,1-∞-U C. ()()1,01,-+∞U D.()1,+∞ 3．（2014春 永寿县校级期中）下列式子不正确的是（ ） A.()'23cos 6sin x x x x +=- B. ()'1ln 2 2ln 2x x x x -=- C. ()' 2sin 22cos 2x x = D.'2sin cos sin x x x x x x -??= ??? 4．函数4538 y x x =+-的导数是（ ） A ．3543 x + B ．0 C ．3425(43)(38)x x x ++- D ．3425(43)(38)x x x +-+- 5．（2015 安徽四模）已知函数()f x 的导函数为' ()f x ，且满足关系式2'()3(2)ln f x x xf x =++，则'(2)f 的值等于（ ） A. 2 B.-2 C. 94 D.94- 6．设曲线1(1)1 x y x x +=≠-在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（ ） A ．2 B ．12 C ．―12 D ．―2 7．23log cos (cos 0)y x x =≠的导数是（ ） A ．32log tan e x -? B ．32log cot e x ? C ．32log cos e x -? D ． 22log cos e x 二、填空题 8．曲线y=sin x 在点,12π?? ??? 处的切线方程为________。 9．设y=(2x+a)2，且2'|20x y ==，则a=________。 10．31sin x x '??-= ??? ____________，()2sin 25x x '+=????____________。 11．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y=x 3―10x+3上，且在第二象限内，已知曲 1.(新课标1)已知函数 有两个零点. (I)求a 的取值范围；(II)设x 1，x 2是的两个零点，证明： +x 2<2. 解：（Ⅰ） '()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a =-+-=-+． （i ）设0a =，则()(2)x f x x e =-，()f x 只有一个零点．（ii ）设0a >，则当(,1)x ∈-∞时，'()0f x <；当(1 ,)x ∈+∞时，'()0f x >．所 以 ()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．又(1)f e =-，(2)f a =，取b 满足0 b <且ln 2a b <，则22 3()(2)(1)()022 a f b b a b a b b >-+-=->，故()f x 存在两个零点． （iii ）设0a <，由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-．若2 e a ≥-，则ln(2)1a -≤，故当 (1,)x ∈+∞时，'()0f x >，因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以() f x 不存在两个零点． 若2 e a <- ，则ln(2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0,)+∞． （Ⅱ）不妨设1 2x x <，由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞，22(,1)x -∈-∞，()f x 在(,1) -∞上单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<． 由于 222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-，而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=，所以 222222(2)(2)x x f x x e x e --=---． 设 2()( 2 ) x x g x xe x e -=---， 则 2'()(1)()x x g x x e e -=--．所以当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <．从 而22()(2)0g x f x = -<，故122x x +<． 2(新课标2)(I)讨论函数x x 2f (x) x 2 -= +e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2 x =(0)x e ax a g x x -->（） 有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ， 求函数()h a 的值域. 知识网 数学归纳法、数列的极限与运算1．数学归纳法： (1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法. 归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法. ①不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法. ②完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法 数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论. (2)数学归纳法步骤: ①验证当n取第一个 n时结论 () P n成立; ②由假设当n k =（ , k N k n + ∈≥）时,结论() P k成立，证明当1 n k =+时,结论(1) P k+成立; 根据①②对一切自然数 n n ≥时，() P n都成立. 2.数列的极限 (1)数列的极限定义:如果当项数n无限增大时,无穷数列{}n a的项n a无限地趋近于某个常数a(即 n a a -无限地接近于),那么就说数列 {} n a以a为极限,或者说a是数列{} n a的极限.记为 lim n n a a →∞ =或当n→∞时， n a a →. (2)数列极限的运算法则: 如果{}n a、{}n b的极限存在，且lim,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==， 那么lim() n n n a b a b →∞ ±=±；lim(); n n n a b a b →∞ ?=?lim(0) n n n a a b b b →∞ =≠ 特别地，如果C是常数，那么lim()lim lim n n n n n C a C a Ca →∞→∞→∞ ?=?=. ⑶几个常用极限: ①lim n C C →∞ =（C 为常数）②lim0 n a n →∞ = k （,a k 均为常数且N* ∈ k） ③ （1) 1 lim0(1) (1或1) 不存在 n n q q q q q ④首项为 1 a，公比为q（1 q<）的无穷等比数列的各项和为lim 1 n n a S q →∞ = - . 注：⑴并不是每一个无穷数列都有极限. ⑵四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. 数 学 归 纳 法 、数 列 的 极 限 与 运 算 例 1. 某个命题与正整数有关，若当) (* N k k n∈ =时该命题成立，那么可推得当 = n1 + k时该命题也成立，现已知当5 = n时该命题不成立，那么可推得（） (A)当6 = n时，该命题不成立(B)当6 = n时，该命题成立 (C)当4 = n时，该命题成立(D)当4 = n时，该命题不成立 例2.用数学归纳法证明:“)1 ( 1 1 1 2 1 2≠ - - = + + + + + +a a a a a a n n ”在验证1 = n时，左端 计算所得的项为 ( ) (A)1 (B)a + 1 (C)2 1a a+ + (D)3 2 1a a a+ + + 例3.2 2 21 lim 2 n n n →∞ - + 等于( ) (A)2 (B)－2 (C)－ 2 1 (D) 2 1 例4. 等差数列中，若 n n S Lim ∞ → 存在，则这样的数列( ) (A)有且仅有一个(B)有无数多个 (C)有一个或无穷多个(D)不存在 例5.lim(1) n n n n →∞ +-等于( ) (A) 1 3 (B)0 (C) 1 2 (D)不存在 例6.若2 012 (2)n n n x a a x a x a x +=++++， 12 n n A a a a =+++，则2 lim 83 n n n A A →∞ - = + ( ) (A) 3 1 -(B) 11 1(C) 4 1(D) 8 1 - 例7. 在二项式(13)n x +和(25)n x+的展开式中，各项系数之和记为,, n n a b n是正整 数，则 2 lim 34 n n n n n a b a b →∞ - - =. 例8. 已知无穷等比数列{}n a的首项N a∈ 1 ，公比为q，且 n n a a a S N q + + + = ∈ 2 1 , 1， 且3 lim= ∞ → n n S，则= + 2 1 a a_____ . 例9. 已知数列{ n a}前n项和1 1 (1) n n n S ba b =-+- + , 其中b是与n无关的常数，且0 ＜b＜1，若lim n n S →∞ =存在，则lim n n S →∞ =________． 例10.若数列{ n a}的通项21 n a n =-，设数列{ n b}的通项 1 1 n n b a =+，又记 n T是数 列{ n b}的前n项的积． （Ⅰ）求 1 T， 2 T， 3 T的值；（Ⅱ）试比较 n T与 1+ n a的大小，并证明你的结论． 例 1.D 2.C 例 3.A 例 4.A例 5.C将分子局部有理化，原式 =11 lim lim 2 11 11 n n n n n n →∞→∞ == ++ ++ 例6.A例7. 1 2 例8. 3 8 例9.1 例10(见后面) 导数及其应用大题精选 姓名____________班级___________学号____________分数______________ 1 ．已知函数)0()(>++ =a c x b ax x f 的图象在点(1,)1(f )处的切线方程为1-=x y . (1)用a 表示出c b ,; (2)若x x f ln )(≥在[1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围. 2 ．已知2 ()I 若()f x 在x=1处取得极值,求a 的值; ()II 求()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 的最小值为1,求a 的取值范围 . 4 ．已知函数 ()ln f x x x =. (Ⅰ)求()f x 的单调区间; (Ⅱ) 当1k ≤时,求证:()1f x kx ≥-恒成立. 5 ．已知函数()ln a f x x x =- ,其中a ∈R . (Ⅰ)当2a =时,求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)如果对于任意(1,)x ∈+∞,都有()2f x x >-+,求a 的取值范围. 6 ．已知函数 2()4ln f x ax x =-,a ∈R . (Ⅰ)当1 2 a = 时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)讨论()f x 的单调性. 7 ．已知函数 ()e (1)x f x x =+. (Ⅰ)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)若对于任意的(,0)x ∈-∞,都有()f x k >,求k 的取值范围. 8 ．已知函数 a ax x x f 23)(3+-=,)(R a ∈. (Ⅰ) 求)(x f 的单调区间; (Ⅱ)曲线)(x f y =与x 轴有且只有一个公共点,求a 的取值范围. 9 ．已知函数 22()2ln (0)f x x a x a =->. (Ⅰ)若()f x 在1x =处取得极值,求实数a 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 在[1]e ， 上没有零点,求实数a 的取值范围. 10．已知曲线 ()x f x ax e =-(0)a >. (Ⅰ)求曲线在点(0,(0)f )处的切线; (Ⅱ)若存在实数0x 使得0()0f x ≥,求a 的取值范围.导数练习题 含答案
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