定理 1 设(),()f x g x 在区间I 上有定义,且在I 上有界,则有
(1)sup ()sup ()sup ()()x I x I x I
f x
g x f x g x ∈∈∈-≤-;
(2)inf ()inf ()sup ()()x I x I x I
f x
g x f x g x ∈∈∈-≤-; (3)sup ()sup ()sup ()()x I x I x I
f x
g x f x g x ∈∈∈-≤-g ;
(4)inf ()inf ()sup ()()x I x I x I
f x
g x f x g x ∈∈∈-≤-。 证明 (1)由()(()())()f x f x g x g x =-+
()()()f x g x g x ≤-+
sup ()()sup ()x I x I
f x
g x g x ∈∈≤-+, 得sup ()sup ()()sup ()x I x I x I
f x f x
g x g x ∈∈∈≤-+, 从而sup ()sup ()sup ()()x I x I x I
f x
g x f x g x ∈∈∈-≤-, 由对称性,sup ()sup ()sup ()()x I x I x I
g x f x g x f x ∈∈∈-≤-, 所以sup ()sup ()sup ()()x I x I x I
f x
g x f x g x ∈∈∈-≤-;
(2)()(()())()f x f x g x g x =-+
()()()f x g x g x ≤-+
sup ()()()x I
f x
g x g x ∈≤-+,
得 inf ()sup ()()()x I x I
f x f x
g x g x ∈∈≤-+, inf ()inf[sup ()()()]x I x I x I
f x f x
g x g x ∈∈∈≤-+ sup ()()inf ()x I
x I g x f x g x ∈∈=-+,
从而
inf ()inf ()sup ()()x I x I x I
f x
g x g x f x ∈∈∈-≤-, inf ()inf ()sup ()()x I x I x I
g x f x g x f x ∈∈∈-≤-, 故有inf ()inf ()sup ()()x I x I x I
f x
g x f x g x ∈∈∈-≤-; (3)sup ()sup ()sup ()()sup ()()x I x I x I x I
f x
g x f x g x f x g x ∈∈∈∈-≤-≤-;
(4)inf ()inf ()sup ()()sup ()()x I x I x I x I
f x
g x f x g x f x g x ∈∈∈∈-≤-≤-。
定理 2设()f x 在[,]a b 上连续,对每一[,]x a b ∈,记()sup ()a t x M x f t ≤≤=,()inf ()a t x
m x f t ≤≤=,
则()M x ,()m x 在[,]a b 上连续。
证明 (1)01
()sup ()sup ((1))a t x u M x f t f u a ux ≤≤≤≤==-+,对任意0,[,]x x a b ∈,
000101
()()sup ((1))sup ((1))u u M x M x f u a ux f u a ux ≤≤≤≤-≤-+--+ 001
sup ((1))((1))u f u a ux f u a ux ≤≤≤-+--+, 由()f x 在[,]a b 上一致连续,对任意0ε>,存在0δ>,当12,[,]x x a b ∈,12x x δ-<时, 有12()()f x f x ε-<,
于是当0,[,]x x a b ∈,0x x δ-<时,
0[(1)][(1)]u a ux u a ux -+--+0x x δ≤-<,([0,1]u ∈)
0((1))((1))f u a ux f u a ux ε-+--+<, 从而有0()()M x M x ε-<,即得()M x 在[,]a b 上连续;
(2) 01
()inf ()inf ((1))a t x u m x f t f u a ux ≤≤≤≤==-+, 000101
()()inf ((1))inf ((1))u u m x m x f u a ux f u a ux ≤≤≤≤-≤-+--+ 001
sup ((1))((1))u f u a ux f u a ux ≤≤≤-+--+, 因为()f x 在[,]a b 上连续,()f x 在[,]a b 上一致连续, 对任意0ε>,存在0δ>,当12,[,]x x a b ∈,12x x δ-<时,有12()()f x f x ε-<, 于是当0,[,]x x a b ∈,0x x δ-<时,
0[(1)][(1)]u a ux u a ux -+--+0x x δ≤-<,([0,1]u ∈)
0((1))((1))f u a ux f u a ux ε-+--+<,
0()()m x m x ε-<,即得()m x 在[,]a b 上连续。
定理3 设()n f x 在[,]a b 上连续,且{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛于()f x ,则有
(1)()f x 在[,]a b 上连续;
(2){()}n f x 在[,]a b 上一致收敛于()f x ;
sup ()()n n a x b f x f x β≤≤=-,lim 0n n β→∞
=
(3){sup ()}n a x b f x ≤≤收敛于sup ()a x b
f x ≤≤; (4)lim sup ()sup ()n n a x b a x b
f x f x →∞≤≤≤≤=; (5)lim min ()min ()n n a x b a x b
f x f x →∞≤≤≤≤=; (6)limmin ()min ()n n a x b a x b
f x f x →∞≤≤≤≤=。 定理 4 设{()}n f x 在[,)a +∞上有定义,满足:(1)对每一b a >,{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛于0;
(2)lim ()0n x f x →+∞
=,且关于n 是一致的, 则{()}n f x 在[,)a +∞上一致收敛于0。
定理5 设{()}n f x 在(,)a +∞上有定义,满足:(1)对每一b a δ>>,{()}n f x 在[,]b δ上一致收敛于0;
(2)lim ()0n x f x →+∞=lim ()0n x a
f x +→=,且关于n 是一致的, 则{()}n f x 在(,)a +∞上一致收敛于0。
定理 6 设{()}n f x 在[,]a b 上可积,()f x 在[,]a b 上可积,且有lim ()()0b
n a n f x f x →∞-=?,则有 (1){()}x n a f t dt ?在[,]a b 上一致收敛于()x
a f t dt ?; (2)对[,]a
b 上的任意可积函数()g x ,成立
l i m ()()()()b b
n a a n f x g x dx f x g x dx →∞=??. 例1、 设{}n x 是非负数列,满足121n n x x n +≤+
,(1,2,...)n =,证明:lim n n x →∞存在。 证明 由12
1n n x x n +≤+,(1,2,...)n =, 1111()n n k k k x x x x ++=-=-∑211n k k =≤∑211k k
∞=<∑, 112110n k x x k ∞+=≤<+∑
,(1,2,...)n =, 所以{}n x 是有界数列,根据确界原理和单调有界原理,记 inf{:,1,...}n k x k n n β==+,lim n n s β→∞
=, 所以对任意0ε>,
存在N N *∈,使得n N ≥时,p N *∈,有22n s s εεβ-
<<+, 1
212N p k N k ε+-=<∑,