投资地的选择 2011118019
投资地的选择问题
摘要
金数2011118019 张敏晗
某投资者要到某市投资，应该考虑当地工资水平，市场便利安全性和市场规模，办公成本等因素。为了作出最优的决策，本文采用定性和定量结合的层次分析法步骤，建立层次分析结构模型，构造成对比较矩阵，计算权向量并作一致性检验，通过检验得到的组合权向量可以作为最终决策的依据.通过查看最后w=（0.3665 0.3443 0.3000）T，得出选择投资区域为A。本模组合权向量结果(3)
型成功解决了投资者面对几个条件不一的投资地时合理选择投资地。层次分析法是解决离散模型的普遍方法，在诸多领域取得了成功。
关键字：层次分析，投资地的选择，成对比较矩阵
问题重述：
问题分析：我们选择六个因素：工资水平，办公成品，市场规模，市场便利安全性，社会安全，单位联络便利性来建立模型并检验
建立层次结构图如下所示：
模型假设：1.假设在投资期间，工资水平，商务楼租金，市场规模等因素在一段时间内不会出现幅度十分巨大的改变；
2. 假设只存在三个区域单独可供投资者选择，投资方案不进行几个区域组合选择。
符号定义与说明：
模型建立与求解：首先构造成对比较矩阵，如下所示 第一层矩阵为A
??????
?????=1
7
55
3
5571737517113
15373
31A 第二层成对比较矩阵设为321,,B B B
?????????=1423953493942153423953425311B ?????????=1345843156856512B ????????
?=13151313
555313B
本题的求解方法中嵌套着一个新的层次结构图，同样的构造他的第一层的成对比较矩阵C ：
????
?????=1
3
22231321311C 同样的第二层成队比较矩阵如下：
???
????=1
1
3113
313111D ????????
?=13
2
3
22113123
312D ???
????
=13
11
313131
13D 二．计算权向量和特征值并进行一致性检验
计算权向量，对应于A 最大特征根（即作λ）的特征向量（归一化后）作为权向量w ，即w 满足
A w =w λ （2） 直观地看，应为矩阵A 的特征根和特征向量连续依赖于矩阵的元素
a ij
，所以当
a ij
离一致性的要求不远时，A 的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大。（2）式表示的方法称为有成对比矩阵求权向量的特征根法。
我们用根法来求权向量：
a.将A 的每一列向量归一化得
~
=1
=
ij
ij n
ij
i a w a
∑；
b. 对
~
ij
w 按行求和得
~
~
1/=1
=n
n
ij ij j w w ∏（）
；
c.将~
ij w 归一化
~
~
=1
=
i n
i
i w
w w
∑，w =（1w ，2w ，......n w )T 即为近似特征向量；
d.计算
=1(Aw)1=n i i i
n w λ∑，作为最大特征根的近似值。
经过一致性检验得均通过检验，则可以代替一致阵。 第三层对第二层的权向量如下表：
组合权向量为
(3)w =（0.3665 0.3443 0.3000）T
组合一致性检验公式如下：
4
124
1
j
j
j j
j
j w CI
CR w RI
===
∑∑
经计算有 120.01000.00000.01000.1CR CR CR =+=+=<
所以通过。所以结果为(3)w =（0.3665 0.3443 0.3000）T 其中A 所占的比重最大。
模型推广与评价：层次分析模型完整，结构清晰，可以为投资者作出最优的决策。 然而不能创造新的方案。
参考文献：
[1]将启源，谢金星，叶俊 数学建模,高等教育出版社2011
[2]陈建勇 陈旭东 田垚暐.层次分析法在大学生择业问题中的应用.结构901
附录：
准则层对于目标层的矩阵求特征向量的过程程序：
A=[1 5/2 5/4 5/4 5/4 5/4;2/5 1 1/2 1/2 1/2 1/2;4/5 2 1 1 1 1;4/5 2 1 1 1 1;4/5 2 1 1 1 1;4/5 2 1 1 1 1];
w=[0.2174 0.0870 0.1739 0.1739 0.1793 0.1793]';
a=A*w
a =
1.3179
0.5272
1.0543
1.0543
1.0543
1.0543
C1--B矩阵权重画图
x=[0.2834 0.3289 0.3877];
pie(x,{'A区0.2834','B区0.3289','C区0.3877'})
C1--B矩阵求特征向量和权向量：
A=[1 0.8614 0.7307;1.1610 1 0.8483;1.3685 1.1788 1];
[x,y]=eig(A)
x =
0.4868 -0.5765 0.2857
0.5651 0.8020 0.4051
y =
3.0000 0 0
0 -0.0000 0
0 0 0.0000
C=x(:,2)/sum(x(:,2))
C =
-8.3496
11.6159
-2.2663
C2--B权重比重画图：
x=[0.4068 0.3390 0.2542];
pie(x,{'A区0.4068','B区0.3390','C区0.2542'}) C3--B矩阵求特征向量和权向量：
A=[1 5 5;1/5 1 1;1/5 1 1];
[x,y]=eig(A)
x =
-0.9901 0.9623 -0.8767
0.0990 0.1925 -0.2410
y =
-0.0000 0 0 0 3.0000 0 0 0 0.0000
C=x(:,2)/sum(x(:,2))
C =
0.7143
0.1429
0.1429
C4--B矩阵求特征向量和权向量： A=[1 1/5 1/5;5 1 1;5 1 1]; [x,y]=eig(A)
x =
-0.2722 0.1400 0.0138 0.6804 0.7001 -0.7407 0.6804 0.7001 0.6717 y =
0.0000 0 0
0 3.0000 0
0 0 0.0000
C=x(:,2)/sum(x(:,2))
C =
0.0909
0.4545
0.4545
C5--B矩阵求特征向量和权向量：
A=[1 1/4 1;4 1 4;1 1/4 1];
[x,y]=eig(A)
x =
-0.4364 0.2357 -0.0000
0.8729 0.9428 -0.9701
0.2182 0.2357 0.2425
y =
-0.0000 0 0
0 3.0000 0
0 0 -0.0000
C=x(:,2)/sum(x(:,2))
C =
0.1667
0.6667
0.1667
C6--B矩阵求特征向量和权向量：
A=[1 5 5/3;1/5 1 1/3;3/5 3 1]; [x,y]=eig(A)
x =
-0.9535 0.8452 0.5921
0.0953 0.1690 -0.3589
0.2860 0.5071 0.7215
y =
0 0 0
0 3.0000 0
0 0 0.0000
C=x(:,2)/sum(x(:,2))
C =
0.5556
0.1111
0.3333
组合权向量的程序：
w0=[0.2174 0.0870 0.1739 0.1739 0.1793 0.1793]';
w1=[0.2833 0.3289 0.3878]';
w2=[0.4068 0.3390 0.2542]';
w3=[0.7142 0.1429 0.1429]';
w4=[0.0909 0.4545 0.4545]';
w5=[0.1667 0.6667 0.1667]';
w6=[0.5556 0.1111 0.3333]';
w=[w1 w2 w3 w4 w5 w6]*w0
w =
0.3665
0.3443
0.3000
计算一致性比率的程序：
w0=[0.2174 0.0870 0.1739 0.1739 0.1793 0.1793]'; CI=[0 0 0 0 0 0];
RI=[0.58 0.58 0.58 0.58 0.58 0.58];
CI2=CI*w0;
RI2=RI*w0;
CR2=CI2/RI2
CR2 =