不等式与不等式组学案(精品学案)
第九章 不等式与不等式组
测试1 不等式及其解集
学习要求
知道不等式的意义；知道不等式的解集的含义；会在数轴上表示解集．
课堂学习检测
一、填空题
1．用不等式表示：
(1)m －3是正数______； (2)y ＋5是负数______； (3)x 不大于2______； (4)a 是非负数______； (5)a 的2倍比10大______； (6)y 的一半与6的和是负数______； (7)x 的3倍与5的和大于x 的
3
1
______； (8)m 的相反数是非正数______．
2．画出数轴，在数轴上表示出下列不等式的解集： (1)?>2
13x (2)x ≥－4．
(3)?≤
5
1x
(4)?-<3
12
x
二、选择题
3．下列不等式中，正确的是( )． (A)4
385-<-
(B)
5
1
72< (C)(－6.4)2＜(－6.4)3 (D)－｜－27｜＜－(－3)3 4．“a 的2倍减去b 的差不大于－3”用不等式可表示为( )． (A)2a －b ＜－3 (B)2(a －b )＜－3 (C)2a －b ≤－3 (D)2(a －b )≤－3
5．如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1g ，则物体A 的质量m (g)的取值范围在数轴上可表示为( )．
三、解答题
6．利用数轴求出不等式－2＜x ≤4的整数解．
综合、运用、诊断
一、填空题
7．用“＜”或“＞”填空： (1)－2.5______5.2；
(2)114
-
______12
5-； (3)｜－3｜______－(－2.3)；
(4)a 2＋1______0； (5)0______｜x ｜＋4； (6)a ＋2______a ．
8．“x 的
2
3
与5的差不小于－4的相反数”，用不等式表示为______． 二、选择题
9．如果a 、b 表示两个负数，且a ＜b ，则( )． (A)
1>b
a (B)
b
a ＜1 (C)
b
a 11< (D)a
b ＜1
10．如图，在数轴上表示的解集对应的是( )．
(A)－2＜x ＜4 (B)－2＜x ≤4 (C)－2≤x ＜4 (D)－2≤x ≤4 11．a 、b 是有理数，下列各式中成立的是( )．
(A)若a ＞b ，则a 2＞b 2 (B)若a 2＞b 2，则a ＞b (C)若a ≠b ，则｜a ｜≠|b | (D)若｜a ｜≠|b |，则a ≠b 12．｜a ｜＋a 的值一定是( )．
(A)大于零 (B)小于零 (C)不大于零 (D)不小于零 三、判断题
13．不等式5－x ＞2的解集有无数个． ( ) 14．不等式x ＞－1的整数解有无数个． ( ) 15．不等式3
2
421<<-
x 的整数解有0，1，2，3，4． ( ) 16．若a ＞b ＞0＞c ，则.0>c
ab
( )
四、解答题
17．若a 是有理数，比较2a 和3a 的大小．
拓展、探究、思考
18．若不等式3x －a ≤0只有三个正整数解，求a 的取值范围．
19．对于整数a ，b ，c ，d ，定义
bd ac c
d
b a -=，已知34
11<<
d
b ，则b ＋d 的值为_________．
测试2 不等式的性质
学习要求
知道不等式的三条基本性质，并会用它们解简单的一元一次不等式．
课堂学习检测
一、填空题
1．已知a ＜b ，用“＜”或“＞”填空： (1)a ＋3______b ＋3； (2)a －3______b －3； (3)3a ______3b ；
(4)2a
______2b ； (5)7a -______7b -； (6)5a ＋2______5b ＋2； (7)－2a －1______－2b －1； (8)4－3b ______6－3a ． 2．用“＜”或“＞”填空： (1)若a －2＞b －2，则a ______b ； (2)若
33b
a <，则a ______
b ； (3)若－4a ＞－4b ，则a ______b ；
(4)2
2b
a -<-，则a ______
b ．
3．不等式3x ＜2x －3变形成3x －2x ＜－3，是根据______．
4．如果a 2x ＞a 2y (a ≠0)．那么x ______y ． 二、选择题
5．若a ＞2，则下列各式中错误的是( )． (A)a －2＞0 (B)a ＋5＞7 (C)－a ＞－2 (D)a －2＞－4 6．已知a ＞b ，则下列结论中错误的是( )． (A)a －5＞b －5 (B)2a ＞2b (C)ac ＞bc (D)a －b ＞0 7．若a ＞b ，且c 为有理数，则( )． (A)ac ＞bc (B)ac ＜bc (C)ac 2＞bc 2 (D)ac 2≥bc 2 8．若由x ＜y 可得到ax ＞ay ，应满足的条件是( )． (A)a ≥0 (B)a ≤0 (C)a ＞0 (D)a ＜0 三、解答题
9．根据不等式的基本性质解下列不等式，并将解集表示在数轴上． (1)x －10＜0．
(2)
.62
1
21+->x x
(3)2x ≥5．
(4).13
1
-≥-
x 10．用不等式表示下列语句并写出解集：
(1)8与y 的2倍的和是正数；
(2)a 的3倍与7的差是负数．
综合、运用、诊断
一、填空题
11．已知b ＜a ＜2，用“＜”或“＞”填空：
(1)(a －2)(b －2)______0； (2)(2－a )(2－b )______0； (3)(a －2)(a －b )______0．
12．已知a ＜b ＜0．用“＞”或“＜”填空：
(1)2a ______2b ； (2)a 2______b 2； (3)a 3______b 3； (4)a 2______b 3； (5)｜a ｜______｜b ｜； (6)m 2a ______m 2b (m ≠0)． 13．不等式4x －3＜4的解集中，最大的整数x ＝______． 14．关于x 的不等式mx ＞n ，当m ______时，解集是m n
x <
；当m ______时，解集是m
n x >． 二、选择题
15．若0＜a ＜b ＜1，则下列不等式中，正确的是( )．
,11;11;1;1b
a b a b a b a <><>④③②① (A)①③ (B)②③ (C)①④ (D)②④
16．下列命题结论正确的是( )．
①若a ＞b ，则－a ＜－b ；②若a ＞b ，则3－2a ＞3－2b ；③8｜a ｜＞5｜a ｜． (A)①②③ (B)②③ (C)③ (D)以上答案均不对 17．若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满足( )．
(A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜－1 (D)a ＜1 三、解答题
18．当x 取什么值时，式子
5
6
3-x 的值为(1)零；(2)正数；(3)小于1的数．
拓展、探究、思考
19．若m 、n 为有理数，解关于x 的不等式(－m 2－1)x ＞n ．
20．解关于x 的不等式ax ＞b (a ≠0)．
测试3 解一元一次不等式
学习要求
会解一元一次不等式．
课堂学习检测
一、填空题
1．用“＞”或“＜”填空：
(1)若x ______0，y ＜0，则xy ＞0；
(2)若ab ＞0，则
b a ______0；若ab ＜0，则a
b
______0； (3)若a －b ＜0，则a ______b ；
(4)当x ＞x ＋y ，则y ______0． 2．当a ______时，式子
15
2
-a 的值不大于－3． 3．不等式2x －3≤4x ＋5的负整数解为______． 二、选择题
4．下列各式中，是一元一次不等式的是( )． (A)x 2＋3x ＞1 (B)03
<-
y x (C)
55
11≤-x
(D)3
1312->+x x
5．关于x 的不等式2x －a ≤－1的解集如图所示，则a 的取值是( )．
(A)0 (B)－3 (C)－2 (D)－1
三、解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来 6．2(2x －3)＜5(x －1)． 7．10－3(x ＋6)≤1． 8．?-->+
2
2531x x 9．
?-≥--+6
1
2131y y y
四、解答题 10．求不等式36
1
633->---x x 的非负整数解．
11．求不等式6
)
125(53)34(2+<
-x x 的所有负整数解．
综合、运用、诊断
一、填空题
12．若x 是非负数，则5
231x
-≤
-的解集是______． 13．使不等式x －2≤3x ＋5成立的负整数是______．
14．已知(x －2)2＋｜2x －3y －a ｜＝0，y 是正数，则a 的取值范围是______．
二、选择题
15．下列各对不等式中，解集不相同的一对是(______)．
(A)
72423x
x +<
-与－7(x －3)＜2(4＋2x ) (B)3921+<
-x x 与3(x －1)＜－2(x ＋9) (C)31222-≥
+x x 与3(2＋x )≥2(2x －1) (D)x x ->+4
1
4321与3x ＞－1
16．如果关于x 的方程5
432b
x a x +=
+的解不是负值，那么a 与b 的关系是( )． (A)b a 53> (B)a b 5
3
≥ (C)5a ＝3b (D)5a ≥3b
三、解下列不等式 17．(1)3[x －2(x －7)]≤4x ． (2).17
)
10(2383+-≤--
y y y
(3).15
1
)13(21+<--y y y (4)
.15
)
2(22537313-+≤--+x x x
(5)).1(3
2
)]1(21[21-<---x x x x
(6)
?->+-+2
5
03.0.02.003.05.09.04.0x x x
四、解答题
18．x 取什么值时，代数式413--x 的值不小于8
)
1(32++x 的值．
19．已知关于x 的方程3
232x
m x x -=
--的解是非负数，m 是正整数，求m 的值．
20．已知关于x ，y 的方程组???-=++=+1
34,
123p y x p y x 的解满足x ＞y ，求p 的取值范围．
21．已知方程组?
??-=++=+②①
m y x m y x 12,312的解满足x ＋y ＜0，求m 的取值范围．
拓展、探究、思考
一、填空题
22．(1)已知x ＜a 的解集中的最大整数为3，则a 的取值范围是______；
(2)已知x ＞a 的解集中最小整数为－2，则a 的取值范围是______． 二、解答题
23．适当选择a 的取值范围，使1.7＜x ＜a 的整数解：
(1)x 只有一个整数解； (2)x 一个整数解也没有．
24．当3
10)3(2k k -<
-时，求关于x 的不等式k x x k ->-4)
5(的解集．
25．已知A ＝2x 2＋3x ＋2，B ＝2x 2－4x －5，试比较A 与B 的大小．
测试4 实际问题与一元一次不等式
学习要求
会从实际问题中抽象出不等的数量关系，会用一元一次不等式解决实际问题．
课堂学习检测
一、填空题 1．代数式
2
31x
-与代数式x －2的差是负数，则x 的取值范围为______． 2．6月1日起，某超市开始有偿．．提供可重复使用的三种环保购物袋，每只售价分别为1元、2元和3元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3千克、5千克和8千克．6月7日，小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20千克散装大米，他们选购的3只环保购物袋至少．．应付给超市______元． 二、选择题
3．三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是( )．
(A)13cm (B)6cm (C)5cm (D)4cm
4．商场进了一批商品，进价为每件800元，如果要保持销售利润不低于15％，则售价应不低于( )．
(A)900元(B)920元(C)960元(D)980元
三、解答题
5．某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天的产量多6辆，那么15天的产量就超过了原来20天的产量，求原来每天最多能生产多少辆汽车?
6．某次数学竞赛活动，共有16道选择题，评分办法是：答对一题给6分，答错一题倒扣2分，不答题不得分也不扣分．某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成绩才能在60分以上?
综合、运用、诊断
一、填空题
7．若m＞5，试用m表示出不等式(5－m)x＞1－m的解集______．
8．乐天借到一本72页的图书，要在10天之内读完，开始两天每天只读5页，那么以后几天里每天至少要读多少页?设以后几天里每天要读x页，列出的不等式为______．
二、选择题
9．九年级(1)班的几个同学，毕业前合影留念，每人交0.70元．一张彩色底片0.68元，扩印一张相片0.50元，每人分一张．在收来的钱尽量用掉的前提下，这张相片上的同学最少有( )．
(A)2人(B)3人(C)4人(D)5人
10．某市出租车的收费标准是：起步价7元，超过3km时，每增加1km加收2.4元(不足1km 按1km计)．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x km，那么x的最大值是( )．
(A)11 (B)8 (C)7 (D)5
三、解答题
11．某种商品进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商品准备降价出售，但要保证利润不低于10％，那么商店最多降价多少元出售商品?
12．某工人加工300个零件，若每小时加工50个就可按时完成；但他加工2小时后，因事停工40分钟．那么这个工人为了按时或提前完成任务，后面的时间每小时他至少要加工多少个零件?
拓展、探究、思考
13．某零件制造车间有20名工人，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，
且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元．在这20名
工人中，车间每天安排x 名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件． (1)若此车间每天所获利润为y (元)，用x 的代数式表示y ．
(2)若要使每天所获利润不低于24000元，至少要派多少名工人去制造乙种零件?
14．某单位要印刷一批宣传资料，在需要支付制版费600元和每份资料0.3元印刷费的前提
下，甲、乙两个印刷厂分别提出了不同的优惠条件，甲印刷厂提出：凡印刷数量超过2000份的，超过部分的印刷费可按9折收费；乙印刷厂提出：凡印刷数量超过3000份的，超过部分印刷费可按8折收费．
(1)若该单位要印刷2400份宣传资料，则甲印刷厂的费用是______，乙印刷厂的费用是______．
(2)根据印刷数量大小，请讨论该单位到哪家印刷厂印刷资料可获得更大优惠?
测试5 一元一次不等式组(一)
学习要求
会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集．
课堂学习检测
一、填空题
1．解不等式组?
??>--<+②①
223,423x x 时，解①式，得______，解②式，得______；于是得到不
等式组的解集是______．
2．解不等式组??
?
??-≥--≥-②①21,3
212x x 时，解①式，得______，解②式，得______；于是得到不等式组的解集是______．
3．用字母x 的范围表示下列数轴上所表示的公共部分：
二、选择题 4．不等式组??
?+<+>-5
312,
243x x x 的解集为( )．
(A)x ＜－4 (B)x ＞2 (C)－4＜x ＜2 (D)无解
5．不等式组???>+<-0
23,
01x x 的解集为( )．
(A)x ＞1
(B)13
2
<<-
x (C)3
2-
三、解下列不等式组，并把解集表示在数轴上 6．???≥-≥-. 04, 012x x 7．?? ?>+≤-. 074, 03x x 8．?????+>-<-. 3342,121 x x x x 9．－5＜6－2x ＜3． 四、解答题 10．解不等式组??? ??<-+≤+32 1),2(352x x x x 并写出不等式组的整数解． 综合、运用、诊断 一、填空题 11．当x 满足______时， 2 35x -的值大于－5而小于7． 12．不等式组???????≤-+<25 12,9 12x x x x 的整数解为______． 二、选择题 13．如果a ＞b ，那么不等式组? ??< 的解集是( )． (A)x ＜a (B)x ＜b (C)b ＜x ＜a (D)无解 14．不等式组?? ?+>+<+1 , 159m x x x 的解集是x ＞2，则m 的取值范围是( )． (A)m ≤2 (B)m ≥2 (C)m ≤1 (D)m ≥1 三、解答题 15．求不等式组73 1 23<--≤x 的整数解． 16．解不等式组?? ? ??-<-->-->+.3273,4536,7342x x x x x x 17．当k 取何值时，方程组???-=+=-5 2, 53y x k y x 的解x ，y 都是负数． 18．已知?? ?+=+=+1 22, 42k y x k y x 中的x ，y 满足0＜y －x ＜1，求k 的取值范围． 拓展、探究、思考 19．已知a 是自然数，关于x 的不等式组???>-≥-0 2, 43x a x 的解集是x ＞2，求a 的值． 20．关于x 的不等式组???->-≥-1 23, 0x a x 的整数解共有5个，求a 的取值范围． 测试6 一元一次不等式组(二) 学习要求 进一步掌握一元一次不等式组． 课堂学习检测 一、填空题 1．直接写出解集： (1)?? ?->>3 , 2x x 的解集是______； (2)?? ?-<<3 , 2x x 的解集是______； (3)? ??-><3,2x x 的解集是_______； (4)? ??-<>3, 2x x 的解集是______． 2．如果式子7x －5与－3x ＋2的值都小于1，那么x 的取值范围是______． 二、选择题 3．已知不等式组? ??->--+-≤-).23(2)1(53, 1)1(3)3(2x x x x x 它的整数解一共有( )． (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 4．若不等式组?? ?>≤ x x , 21有解，则k 的取值范围是( )． (A)k ＜2 (B)k ≥2 (C)k ＜1 (D)1≤k ＜2 三、解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来 5．??? ???>-<-32 2,352x x x x 6．?? ???->---->-.6)2(3)3(2,132x x x x 7．?????+>-≤+). 2(28,142x x x 8．.2 34512x x x - ≤-≤- 综合、运用、诊断 一、填空题 9．不等式组?? ? ???<->+233,152x x 的所有整数解的和是______，积是______． 10．k 满足______时，方程组? ??=-=+4, 2y x k y x 中的x 大于1，y 小于1． 二、解下列不等式组 11．???????<+->+--.1)]3(2[2 1,3 12233x x x x x 12．?? ? ? ? ? ??? ?>-->-->-24,255,13x x x x x x 三、解答题 13．k 取哪些整数时，关于x 的方程5x ＋4＝16k －x 的根大于2且小于10? 14．已知关于x ，y 的方程组?? ?-=-+=+3 4, 72m y x m y x 的解为正数，求m 的取值范围． 拓展、探究、思考 15．若关于x 的不等式组???????+<+->+a x x x x 3 22,32 15 只有4个整数解，求a 的取值范围． 测试7 利用不等关系分析实际问题 学习要求 利用不等式(组)解决较为复杂的实际问题；感受不等式(组)在实际生活中的作用． 课堂学习检测 列不等式(组)解应用题 1．一个工程队原定在10天内至少要挖掘600m 3的土方．在前两天共完成了120m 3后，接到要求要提前2天完成掘土任务．问以后几天内，平均每天至少要挖掘多少土方? 2．某城市平均每天产生垃圾700吨，由甲、乙两个垃圾厂处理．如果甲厂每小时可处理垃圾55吨，需花费550元；乙厂每小时处理45吨，需花费495元．如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用的和不能超过7150元，问甲厂每天至少要处理多少吨垃圾? 3．若干名学生，若干间宿舍，若每间住4人将有20人无法安排住处；若每间住8人，则有 一间宿舍的人不空也不满．问学生有多少人?宿舍有几间? 4．2008年5月12日，汶川发生了里氏8.0级地震，给当地人民造成了巨大的损失．某中学全体师生积极捐款，其中九年级的3个班学生的捐款金额如下表： 老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条信息：信息一：这三个班的捐款总金额是7700元； 信息二：二班的捐款金额比三班的捐款金额多300元； 信息三：一班学生平均每人捐款的金额大于 ．．51元． ．．48元，小于 请根据以上信息，帮助老师解决： (1)二班与三班的捐款金额各是多少元? (2)一班的学生人数是多少? 综合、运用、诊断 5．某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座客车，42座客车的租金为每辆320元，60座客车的租金为每辆460元． (1)若学校单独租用这两种客车各需多少钱? (2)若学校同时租用这两种客车8辆(可以坐不满)，而且比单独租用一种车辆节省租金， 请选择最节省的租车方案． 拓展、探究、思考 6．在“5·12大地震”灾民安置工作中，某企业接到一批生产甲种板材24000m2和乙种板材12000m2的任务．某灾民安置点计划用该企业生产的这批板材搭建A，B两种型号的板房共400间，在搭建过程中，按实际需要调运这两种板材．已知建一间A型板房和一间B型板房所需板材及能安置的人数如下表所示： 板房型号甲种板材乙种板材安置人数 A型板房54 m226 m2 5 B型板房78 m241 m28 问：这400间板房最多能安置多少灾民? 参考答案 第九章 不等式与不等式组 测试1 1．(1)m －3＞0；(2)y ＋5＜0；(3)x ≤2；(4)a ≥0；(5)2a ＞10； (6)2 y ＋6＜0；(7)3x ＋5＞3x ；(8)－m ≤0． 2． 3．D ． 4．C ． 5．A ． 6．整数解为－1，0，1，2，3，4． 7．(1)＞；(2)＞；(3)＞；(4)＞；(5)＜；(6)＞． 8． .452 3 ≥-x 9．A ． 10．B ． 11．D ． 12．D ． 13．×． 14．√． 15．√． 16．×． 17．当a ＞0时，2a ＜3a ；当a ＝0时，2a ＝3a ；当a ＜0时，2a ＞3a ． 18．x ≤ 3 a ，且x 为正整数1，2，3． ∴9≤a ＜12． 19．＋3或－3． 测试2 1．(1)＜；(2)＜；(3)＜；(4)＜；(5)＞；(6)＜；(7)＞；(8)＜． 2．(1)＞；(2)＜；(3)＜；(4)＞． 3．不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 4．＞． 5．C ． 6．C ． 7．D ． 8．D ． 9．(1)x ＜10，解集表示为 (2)x ＞6，解集表示为 (3)x ≥2.5，解集表示为 (4)x ≤3，解集表示为 10．(1)8＋2y ＞0，解集为y ＞－4． (2)3a －7＜0，解集为3 7< a ． 11．(1)＞；(2)＞；(3)＜． 12．(1)＜；(2)＞；(3)＜；(4)＞；(5)＞；(6)＜． 13．1． 14．＜0；＞0． 15．B ． 16．D ． 17．C ． 18．(1)x ＝2；(2)x ＞2；(3)311< x ． 19．∵－m 2－1＜0，?--<∴1 2m n x 20．当a ＞0时，a b x > ；当a ＜0时，a b x <． 测试3 1．(1)＜；(2)＞；＜；(3)＜；(4)＜． 2．≤－5． 3．－4，－3，－2，－1． 4．D ． 5．D ． 6．x ＞－1，解集表示为 7．x ≥－3，解集表示为 8．x ＞6，解集表示为 9．y ≤3，解集表示为 10．4 13 < x 非负整数解为0，1，2，3． 11．x ＞－8，负整数解为－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1． 12．0≤x ≤4． 13．－3，－2，－1． 14．a ＜4． 15．B ． 16．D ． 17．(1)x ≥6． (2)625≤ y ． (3)y ＜5． (4)2 3-≥x ． (5)x ＜－5． (6)x ＜9． 18．5 7 ≤ x ． 19．m ≤2，m ＝1，2． 20．p ＞－6． 21．①＋②；3(x ＋y )＝2＋2m ．∵x ＋y ＜0．∴2＋2m ＜0．∴m ＜－1． 22．(1)3＜a ≤4；(2)－3≤a ＜－2． 23．(1)2＜a ≤3；(2)1.7＜a ≤2． 24．?-< 4 k k x 25．A －B ＝7x ＋7． 当x ＜－1时，A ＜B ；当x ＝－1时，A ＝B ；当x ＞－1时，A ＞B ． 测试4 1．x ＞1． 2．8． 3．B ． 4．B ． 5．设原来每天能生产x 辆汽车．15(x ＋6)＞20x ．解得x ＜18，故原来每天最多能生产17辆 汽车． 6．设答对x 道题，则6x －2(15－x )＞60，解得4 1 11>x ，故至少答对12道题． 7．?--< m m x 51 8．(10－2)x ≥72－5×2． 9．C ． 10．B ． 11．设应降价x 元出售商品．225－x ≥(1＋10％)×150，x ≤60． 12．设后面的时间每小时加工x 个零件，则250300)3 2 250300( ?-≥--x ，解得x ≥60． 13．(1)y ＝－400x ＋26000， 0≤x ≤20； (2)－400x ＋26000≥24000， x ≤5， 20－5＝15． 至少派15人去制造乙种零件． 14．(1)1308元；1320元． (2)大于4000份时去乙厂；大于2000份且少于4000份时去甲 厂；其余情况两厂均可． 测试5 1．.2;2 1 ;2-<< - 3．(1)x ＞－1； (2)0＜x ＜2； (3)无解． 4．B ． 5．B ． 6． 42 1 ≤≤x ，解集表示为 7．x ≥0，解集表示为 8．无解． 9．1.5＜x ＜5.5解集表示为 10．－1≤x ＜3，整数解为－1、0、1、2． 11．－3＜x ＜5． 12．－2，－1，0． 13．B ． 14．C ． 15．－10＜x ≤－4，整数解为－9，－8，－7，－6，－5，－4． 16．－1＜x ＜4． 17．－721 ＜k ＜25．(? ??<--=<-=015213,02513k y k x ) 18．①－②得：y －x ＝2k －1，∵0＜y －x ＜1 ∴0＜2k －1＜1 ∴ .12 1 < >+≥ . 2,34x a x 于是 234≤+a ，故a ≤2；因为a 是自然数，所以a ＝0，1或2． 20．不等式组的解集为a ≤x ＜2，－4＜a ≤－3． 测试6 1．(1)x ＞2；(2)x ＜－3；(3)－3＜x ＜2；(4)无解． 2． 31＜x ＜7 6 ． 3．B ． 4．A ． 5．(1)x ＞6，解集表示为 6．－6＜x ＜6，解集表示为 7．x ＜－12，解集表示为 8．x ≤－4，解集表示为 9．7；0． 10．－1＜k ＜3． 11．无解． 12．x ＞8． 13．由2＜x ＝ 3 2 8-k ＜10，得1＜k ＜4，故整数k ＝2或3． 14．.532 .5,23<<-? ? ?-=+=m m y m x 15．不等式组的解集为2－3a ＜x ＜21，有四个整数解，所以x ＝17，18，19，20，所以 16≤2－3a ＜17，解得?- ≤<-3 14 5a 测试7 1．设以后几天平均每天挖掘x m 3的土方，则(10－2－2)x ≥600－120，解得x ≥80． 2．设该市由甲厂处理x 吨垃圾，则7150)700(45 495 55550≤-+x x ，解得x ≥550． 3．解：设宿舍共有x 间． ?? ?+<-+>. 204)1(8, 2048x x x x 解得5＜x ＜7． ∵x 为整数，∴x ＝6，4x ＋20＝44(人)． 4．(1)二班3000元，三班2700元； (2)设一班学生有x 人，则 ?? ?><2000 51200048x x 解得32 41511139< 9 42385=÷ 单独租用42座客车需10辆．租金为320×10＝3200； 12 5 660385=÷ 单独租用60座客车需7辆．租金为460×7＝3220． (2)设租用42座客车x 辆，则60座客车需(8－x )辆．? ??<-+≥-+.3200)8(460320, 385)8(6042x x x x 解得 ?≤<18 5 5733x x 取整数，x ＝4，5． 当x ＝4时，租金为3120元；x ＝5时，租金为2980元． 所以租5辆42座，3辆60座最省钱． 6．设生产A 型板房m 间，B 型板房(400－m )间． 所以? ??≤-+≤-+.12000)400(4126,24000)400(7854m m m m 解得m ≥300． 所以最多安置2300人． 西城区七年级数学第九章不等式与不等式组测试 一、填空题 1．用“＞”或“＜”填空： (1)m ＋3______m －3；(2)4－2x ______5－2x ；(3)13 -y ______3y －2； (4)a ＜b ＜0，则a 2______b 2； (5)若2 3y x -<- ，则2x ______3y ． 2．满足5(x －1)≤4x ＋8＜5x 的整数x 为______． 3．若11|1|=--x x ，则x 的取值范围是______． 4．若点M (3a －9，1－a )是第三象限的整数点，则M 点的坐标为______． 5．一个两位数，它的十位数字比个位数字小2，如果这个数大于20且小于40，那么此数为_______． 二、选择题 6．若a ≠0，则下列不等式成立的是( )． (A)－2a ＜2a (B)－2a ＜2(－a ) (C)－2－a ＜2－a (D)a a 2 2<- 7．下列不等式中，对任何有理数都成立的是( )． (A)x －3＞0 (B)｜x ＋1｜＞0 (C)(x ＋5)2＞0 (D)－(x －5)2≤0 8．若a ＜0，则关于x 的不等式｜a ｜x ＜a 的解集是( )． (A)x ＜1 (B)x ＞1 (C)x ＜－1 (D)x ＞－1 9．如下图，对a ，b ，c 三种物体的重量判断正确的是( )． (A)a ＜c (B)a ＜b (C)a ＞c (D)b ＜c 10．某商贩去菜摊卖黄瓜，他上午卖了30斤，价格为每斤x 元；下午他又卖了20斤，价格 为每斤y 元．后来他以每斤 2 y x +元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是( )． (A)x ＜y (B)x ＞y (C)x ≤y (D)x ≥y 三、解不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来 11．112 52476312-+≥---x x x ． 12．??? ??<+-+--≤+.12133 1),3(410)8(2x x x x 四、解答题 13．x 取何整数时，式子 7 29+x 与214 3-x 的差大于6但不大于8． 14．如果关于x 的方程3(x ＋4)－4＝2a ＋1的解大于方程3 ) 43(414-= +x a x a 的解．求a 的取值范围． 15．不等式m m x ->-2)(3 1的解集为x ＞2．求m 的值． 16．某车间经过技术改造，每天生产的汽车零件比原来多10个，因而8天生产的配件超过 200个．第二次技术改造后，每天又比第一次技术改造后多做配件27个，这样只做了4天，所做配件个数就超过了第一次改造后8天所做配件的个数．求这个车间原来每天生产配件多少个? 17．仔细观察下图，认真阅读对话： 根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少? 18．为了保护环境，某造纸厂决定购买20台污水处理设备，现有A ，B 两种型号的设备， 其中每台的价格、日处理污水量如下表： A 型 B 型 价格(万元/台) 24 20 处理污水量(吨/日) 480 400 经预算，该纸厂购买设备的资金不能高于410万元． (1)该企业有几种购买方案； (2)若纸厂每日排出的污水量大于8060吨而小于8172吨，为了节约资金，该厂应选择哪种购买方案? 19．某班级为准备元旦联欢会，欲购买价格分别为2元，4元和10元的三种奖品，每种奖 品至少购买1件，共买16件，恰好用去50元．若2元的奖品购买a 件． (1)用含a 的代数式表示另外两种奖品的件数； (2)请你设计购买方案，并说明理由． 基本不等式(导学案) ab，3.4 ab,2 1、学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等 号“?”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等 a，b2、理解利用基本不等式ab 证明不等式的方法 ,2 ab，3、进一步掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决ab,2 一些简单的实际问题 ab，应用数形结合的思想理解不等式并从不同角度探索不等式的证明过程；ab,2 理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵 1、回顾：二元一次不等式（组）与简单的线形规划问题。 2、如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案 中找出一些相等关系或不等关系吗？ 1、重要不等式： 22如果a,b,R,那么a，b,2ab(当且仅当a,b时取","号) 1 a，b2、基本不等式：如果a,b是正数，那么 ,ab(当且仅当a,b时取","号).2 a，b3、我们称ab为a,b的算术平均数，称的几何平均数为a,b2 a，b224、a，b,2ab和,ab成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，2 而后者要求a,b都是正数。 1、已知x、y都是正数，求证： 223333yx(1)?2； (2)（＋）（＋）（＋）?８. xyxyxyxy，xy 92、求(x>5)的最小值. fxx()4,，x,5 283、若x>0,y>0,且,求xy的最小值. ，,1xy 11，4、设a、b?R且a＋b＝1,求＋的最小值 1,a1,b 1、两正数a、b的算术平均数与几何平均数成立的条件。?理解“当且仅当a=b 时取等 号”的数学内涵。 2、当两个正数之积为定值时，其和有最小值 当两个正数之和为定值时，其积有最大值 3、利用基本不等式求最值时必须满足三个条件:一正二定三相等. 4、用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 2 八年级上册数学第6章《一元一次不等式》学案 § 6.1不等关系和不等式(1) 教师寄语：处处留心皆学问 学习目标： 1.通过具体情境，感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系. 2.了解不等式的意义，使学生经历实际问题中数量关系的分析和抽象过程，感受不等式 和等式都是刻画现实世界中数量关系的工具，发展学生的符号感. 学习重点：不等式的概念 学习难点：不等关系的表示学习过程： 一、自主探究： 1.学生自主阅读课本第162页，你能利用不等号分别表示出上述3个问题中的不等关系 吗？与同学交流一下。 2.相关知识链接： 某中学八年级(1)班50名学生在上体育课，老师说了这样一句话：我拿来了一些篮球，如果每5名同学玩一个篮球，有些同学没有篮球玩，如果每6名同学玩一个 篮球，就会有一个篮球玩的人数少于6人，请同学们回答下面的问题： (1)你能把老师的这句话用三个式子表示出来吗？ (2)你列出的式子与我们以前学过的等式有什么不同？ 学习新知： 1.___________________________________________ 不等式的概念：叫做不等式。 并举例说明，阅读课本第162页的“加油站”。 2.例题讲解： 判断下列式子哪些是不等式？哪些不是？ ①3>—1;②3x< —1;③2x — 1; ?s=vt;⑤2mK 8 — m;⑥5x — 3=2x+1; ⑦a+b> c；⑧ 1+1M 2 规律总结： 一个式子是不是不等式， 关键是看它是否含有常用的五中不等号其中的一种或几种, 若有则是不等式；否则便不是。 强化练习： 1. 设a < b,用“V”或“〉”填空。 ⑴ a+1 b+1 ⑵ a-3 b-3 ⑶-a ⑷-4a-5 -4a-3 2. 用不等式 表示： ⑴.a ⑵.X ⑶.8 不明白的地方（或 ' 容易出错的地方）： ② .a 的平方的相反数不是正数 -b 四、 课堂小结: 我学会了: 与b 的和不是负数：_ 的2倍与3的差大于4: 与y 的2倍的和是负数： 达标测试: 基础把握： 1. 五、 ( A 2. A 3. 在数学表达式 ①-2 < 0②3x-k > 0③x=1④X 丰2⑤X+2 > x-1中是不等式的有 ） .2个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 若a > b,那么仍能成立的不等式是 .ac > bc B. ac < bc C.a+1 > b+2 用不等式表示下列数量关系： ①.X 的相反数大于X 的倒数. () D.a-c > b-c 第三章 不等式 §3.1 不等关系与不等式 材拓展 1．不等式的基本性质 对于任意的实数a ，b ，有以下事实： a>b ?a －b>0； a ＝ b ?a －b ＝0； ab>0，m>0，要比较a ＋m b ＋m 与a b 的大小，就可以采用以下方法： a ＋m b ＋m －a b ＝bm －am b (b ＋m )＝m (b －a )b (b ＋m ) . ∵m>0，a>b>0，∴b －a<0， ∴m (b －a )b (b ＋m )<0，∴a ＋m b ＋m b ，b>c ?a>c. (2)a>b ，c>d ?a ＋c>b ＋d. (3)a>b ，c>0?ac>bc. (4)a>b ，c<0?ac 高中数学必修五基本不等式：ab≤a＋b 2（学案） 学习目标：1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点).3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点)． [自主预习·探新知] 1．重要不等式 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)． 思考：如果a>0，b>0，用a，b分别代替不等式a2＋b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式？ [提示]a＋b≥2ab. 2．基本不等式：ab≤a＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a，b均为正实数； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 思考：不等式a2＋b2≥2ab与ab≤a＋b 2成立的条件相同吗？如果不同各是 什么？ [提示]不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；ab≤a＋b 2成立的条件 是a，b均为正实数． 3．算术平均数与几何平均数 (1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b 2，几何平均数为 (2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 思考：a＋b 2≥ab与? ? ? ? ? a＋b 2 2 ≥ab是等价的吗？ [提示]不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R. 4．用基本不等式求最值的结论 (1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y＝s 2时，积xy有最 小值为2xy . (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y ＝p 时，和x ＋y 有最大值为(x ＋y )2 4. 5．基本不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数． (2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足． 思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？ [提示] 三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值． [基础自测] 1．思考辨析 (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)对任意的a ，b ∈R ，若a 与b 的和为定值，则ab 有最大值．( ) (3)若xy ＝4，则x ＋y 的最小值为4.( ) (4)函数f (x )＝x 2 ＋2 x 2＋1 的最小值为22－1.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值为________. 400 [因为x ，y 都是正数， 且x ＋y ＝40，所以xy ≤? ???? x ＋y 22 ＝400，当且仅当x ＝y ＝20时取等号．] 3．把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 16 [设一边长为x m ，则另一边长可表示为(8－x )m ，则面积S ＝x (8－x )≤? ???? x ＋8－x 22 ＝16，当且仅当x ＝4时取等号，故当矩形的长与宽相等，都为4 m 时面积取到最大值16 m 2.] 一元一次不等式 【课时安排】 3课时 【第一课时】 【教学目标】 1．理解一元一次不等式、不等式的解、不等式的解集、解不等式等概念。 2．会解一元一次不等式，并会在数轴上表示不等式的解集。 3．通过类比一元一次方程的有关概念、解法来学习一元一次不等式的有关概念及解法，发展学生的类比推理能力。 【教学重点】 一元一次不等式的解法和用数轴表示不等式的解集。 【教学难点】 准确求一元一次不等式的解集。 【教学过程】 一、复习 不等式的基本性质 二、引例 问题：某公司的统计资料表明，科研经费每增加1万元，年利润就增加1.8万元。如果该公司原来的年利润为200万元，要使年利润超过245万元，那么增加的科研经费应高于多少万元？ 分析：设该公司增加的科研经费为x万元，根据题意，得： 200> +x 8.1 245 三、新授课 含有一个未知数，未知数的次数为1，且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式。 （一）问题：请你找出一个数，使得上述不等式成立。 一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解。 所有这些解的全体成为这个不等式的解集。 求不等式解集的过程，叫做解不等式。 （二）提示：不等式的解集与不等式的解的区别：解集是使不等式成立的未知数的取值范围，是所有解的集合。而不等式的解是使不等式成立的未知数的值，二者的关系是解集包含解，所有的解组成解集。 （三）回顾：解一元一次方程的过程 1．去分母（等式基本性质2） 2．去括号（去括号法则） 3．移项（移项法则、等式基本性质1） 4．合并同类项（整式加减） 5．系数化为1（等式基本性质2） （四）类比一元一次方程的解法来研究一元一次不等式如何解。 例1： 1．解方程：)2(752x x -=+ 2．解不等式：)2(752x x -≤+ （五）总结：解一元一次不等式的过程。 （六）将不等式的解集在数轴上表示出来。 （七）注意 1．空心点和实心点的使用，注意它们在表示不等式解集时的差别； 2．小于（小于或等于）时向左，大于（大于或等于）时向右。 （八）练习 1．（2010年邵阳中考）如图，数轴上表示的关于x 的一元一次不等式的解集为（ ） A ．x≤1 B ．x≥1 C ．x<1 D ．x>1 2．例2：解不等式：)32(3312-≥-x x 答案： 827 ≤ x 将例1的第二题和例2的最后一步（系数化为1）进行对比，强调不等式的两边同时乘以 －2 －1 0 1 2 不等关系与不等式 【学习目标】 1．了解不等式(组)的实际背景． 2．掌握比较两个实数大小的方法． 3．掌握不等式的八条性质． 【学法指导】 1．不等关系广泛存在于现实生活中，应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言” 转化成“数学语言”，是用不等式知识解决实际问题的第一步．只需根据题意建立相应模型，把模型中的量具体化即可． 2．作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一，可简单概括为“三步一结论”，其中关键步骤“变形”要彻底，当不能“定号”时注意分类讨论． 3．不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据，应用时每步都要做到等价变形． 一、知识温故 a－b＞0?； a－b＝0?； a－b＜0?. 3．常用的不等式的基本性质 (1)a>b?b a(对称性)； (2)a>b，b>c?a c(传递性)； (3)a>b?a＋c b＋c(可加性)； (4)a>b，c>0?ac bc；a>b，c<0?ac bc； (5)a>b，c>d?a＋c b＋d； (6)a>b>0，c>d>0?ac bd； (7)a>b>0，n∈N，n≥2?a n b n； (8)a>b>0，n∈N，n≥2? 二、经典例 问题探究一实数比较大小 问题1(实数比较大小的依据) 在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出a，b之间具有以下性质： 如果a－b是正数，那么； 如果a－b是负数，那么； 如果a－b等于零，那么. 以上结论反过来也成立，即a－b＞0?a＞b；a－b＜0?a＜b；a－b＝0?a＝b. 问题2(作差法比较实数的大小) 向一杯a克糖水中加入m克糖，糖水变得更甜了．你能把这一现象用一个不等式表示出来吗？并证明你的结论． 问题探究二不等式的基本性质 问题3在实数大小比较的基础上，可以给出不等式八条基本性质的严格证明．证明时，可以利用前面的性质推证后续的性质． 请同学们借助前面的性质证明性质6： 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd. 基本不等式 1．了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式及等号成立的条件． 2．会用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的最大（小)值问题． 知识梳理 1．基本不等式错误!≥错误! （1）基本不等式成立的条件：a〉0,b〉0 . (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时不等式取等号． 2．几个重要不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； (2）错误!＋错误!≥ 2 （a,b同号）； (3）ab≤（错误!）2(a,b∈R）； （4)错误!≥（错误!）2。 3．基本不等式求最值 （1）两个正数的和为定值，当且仅当它们相等时，其积最大． （2）两个正数的积为定值，当且仅当它们相等时，其和最小． 利用这两个结论可以求某些函数的最值,求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件． 热身练习 1．若a，b∈R，且ab〉0,则下列不等式中,恒成立的是(D） A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2错误! C。错误!＋错误!〉错误! D。错误!＋错误!≥2 A、C中，a＝b时不成立，B中，当a与b均为负数时不成立，而对于D,利用基本不等式x＋y≥2错误!(x>0，y〉0）成立，故选D. 2．已知a,b为正数，则下列不等式中不成立的是(D) A．ab≤错误! B．ab≤（错误!）2 C。错误!≥错误! D。错误!≥错误! 易知A,B成立， 对于C ，因为a 2＋b 2≥2ab ,所以2（a 2＋b 2)≥(a ＋b )2, 所以错误!≥(错误!）2，所以错误!≥错误!，故C 成立． 对于D,取a ＝4，b ＝1，代入可知，不等式不成立，故D 不成立． 由以上分析可知，应选D. 3．周长为60的矩形面积的最大值为（A) A ．225 B ．450 C ．500 D ．900 设矩形的长为x ,宽为y ， 则2（x ＋y )＝60，所以x ＋y ＝30, 所以S ＝xy ≤(x ＋y 2)2 ＝225，即S max ＝225. 当且仅当x ＝y ＝15时取“＝",故选A 。 4．设函数f (x )＝2x ＋错误!－1（x <0)，则f (x ）（A) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 f (x ）＝－[(－2x ）＋（－错误!）］－1≤－2错误!－1， 当且仅当x ＝－错误!时，等号成立， 所以函数f （x )有最大值，所以选A 。 5．（2017·山东卷)若直线x a ＋错误!＝1(a >0，b 〉0)过点（1，2）,则2a ＋b 的最小值为 8 。 因为直线错误!＋错误!＝1(a >0，b 〉0)过点(1,2）， 所以1a ＋错误!＝1， 所以2a ＋b ＝（2a ＋b ）(错误!＋错误!)＝4＋错误!＋错误!≥4＋2错误!＝8， 当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝2,b ＝4时,等号成立． 故2a ＋b 的最小值为8. 利用基本不等式判断大小关系 下列不等式一定成立的是 新人教版七年级上册数学 第三章一元一次方程教案 （2015年秋季学期） 授课者：蒋宏亮 学校：东兴市京族学校 第三章一元一次方程 单元要点分析 教案内容 方程就是将众多实际问题“教案化”的一个重要模型?因此，课本从学生熟悉的实际问题开始，从算式到方程，展开方程的学习，以使学生认识到方程的出现源于解决问题的需要，体会学习方程的意义和作用. 本章内容主要分为以下三个部分： 1 ?通过丰富实例，从算式到建立一元一次方程，？展开方程是刻画现实生活的 有效数学模型. 2 .运用等式的基本性质解方程，归纳移项法则，运用分配律，？归纳“合并”、“去括号”等法则，逐步展现求解方程的一般步骤，这些内容的学习不是孤立进行 的，始终从实际问题出发，使学生经历模型化的过程，激发学生的好奇心和主动学习的欲望. 3 .运用方程解决丰富多彩的、贴近学生生活的实际问题，？展现运用方程解决 实际问题的一般过程. 为了使学生经历“建立方程模型”这一数学化的过程，理解学习方程的意义，培养学生的抽象概括等能力，课本内容的呈现都以求解决一个实际问题为切入点，让学生经历抽象、符号变号、应用等活动，在活动中培养学生解决问题的兴趣和能力，提高学生的思维水平和应用数学知识去解决实际问题的意识. 三维目标 1 ．知识与技能根据具体问题中的数量关系，经历形成方程模型，解方程和运用方程解决实际 问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型． 2 ．过程与方法 （1）了解一元一次方程及其相关概念，会解一元一次方程．（数学系数） （2）能以一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题，包括列方程，?求解 方程和解释结果的实际意义及合理性，提高分析问题、解决问题的能力． 3．情感态度与价值观培养学生求实的态度。培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。 激发学生的好奇心和主动学习的欲望，体会数学的应用价值．重、难点与关键 1 ．重点：一元一次方程有很多直接应用，?解一元一次方程是解其他方程和方程组的基础．因此本章重点在于使学生能根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本方法，能运用一元一次方程解决实际问题． 2 ．难点：正确地列出一元一次方程的解决实际问题． 3 ．关键：（1）熟练地解一元一次方程的关键在于正确地了解方程、方程解的意义和运用等式的两个性质． （2）正确地列出方程的关键在于正确地分析问题中的已知数、未知数，?并找 出能够表示应用题全部含义的相等关系． 3.1 从算式到方程 §3.1.1 一元一次方程（一）教案目标： 知识与技能： 通过处理实际问题，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步；过程与方法： 初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念；情感、态度、价值观： 培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。 教案重点：从实际问题中寻找相等关系 教案难点：从实际问题中寻找相等关系 教案过程： 一、情境引入 提出教科书第78 页的问题，并用多媒体直观演示： 问题1：从题中你能获得哪些信息？（可以提示学生从时间、路程、速度、等方面去考虑。）可以在学生回答的基础上做回顾小结问题2:你会用算术方法求出A,B两地的距离吗？列算式试试。 教师可以在学生回答的基础上做回顾小结： 1、问题涉及的三个基本物理量及其关系； 2、对于客车，1km所用的时间为—h，而卡车所用的时间为—h；所以1km， 70 60 1 1 客车比卡车少用的( ---------- )h。路程多少千M时客车才比卡车少用1h呢？ 60 70 1 1 学案29：不等关系与不等式 知识梳理： 一．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a － b ＞0?a >b ；a －b ＝0?a ＝b ；a －b ＜0?a b ?ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ?ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)． [试一试]1．(2013·北京高考)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1b C ．a 2>b 2 D. a 3>b 3 2. 12－1 ________3＋1(填“>”或“<”)． 四.方法：1．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0?1a <1b ；(2)a <0b >0,0 (1)真分数的性质：b a b －m a －m (b －m >0)； (2)假分数的性质：a b >a ＋m b ＋m ；a b 0)． [练一练]若00，则 b ＋ c a ＋c 与a ＋c b ＋c 的大小关系为________． 1.已知a 1，a 21212 ) A ．M 基本不等式 1.掌握基本不等式,能借助几何图形说明基本不等式的意义. 2.能够利用基本不等式求最大(小)值. 3.利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”. 下图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边 长分别为a,b,那么正方形的边长为. 问题1:上述情境中,正方形的面积为,4个直角三角形的面积的和,由于4个直角三角形的面积之和不大于正方形的面积,于是就可以得到一个不等式:,我们称之为重要不等式,即对于任意实数a,b,都有,当且仅当时,等号成立. 我们也可以通过作差法来证明:- =(a-b)2≥0, 所以,当且仅当a=b时取等号. 问题2:基本不等式 若a,b∈(0,+∞),则,当且仅当时,等号成立. 问题3:对于基本不等式,请尝试从其他角度予以解释. (1)基本不等式的几何解释: 在直角三角形中,直角三角形斜边上的斜边上的.在圆中,半径不小于半弦长. (2)如果把看作正数a、b的,看作正数a、b 的,那么该定理可以叙述为:两个正数的不小于它们的. (3)在数学中,我们称为a、b的,称为a、b 的.因此,两个正数的不小于它们的. 问题4:由基本不等式我们可以得出求最值的结论: (1)已知x,y∈(0,+∞),若积x·y=p(定值),则和x+y有最 值,当且仅当x=y时,取“=”. (2)已知x,y∈(0,+∞),若和x+y=s(定值),则积x·y有最 值,当且仅当x=y时,取“=”. 即“积为常数,;和为常数,”. 概括为:一正二定三相等四最值. 利用基本不等式求最值 的最小值. (1)已知x>,求函数y=4x-2+ - (2)已知正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围. 利用基本不等式证明不等式 已知x、y都是正数,求证:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3. 单调性与基本不等式 设函数f(x)=x+,x∈[0,+∞). (1)当a=2时,求函数f(x)的最小值; (2)当0 《一元一次方程》全章复习 【学习目标】 1．理解方程，等式及一元一次方程的概念，并掌握它们的区别和联系； 2．会解一元一次方程，并理解每步变形的依据； 3．会根据实际问题列方程解应用题． 【知识网络】 【要点梳理】 知识点一、一元一次方程的概念 1．方程：含有未知数的等式叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 要点诠释：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 知识点二、等式的性质与去括号法则 1．等式的性质： 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变． 3．去括号法则： （1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． （2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反． 知识点三、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax ＝b (a ≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解b x a =(a ≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 知识点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 6.数字问题：多位数的表示方法：例如：32101010abcd a b c d =?+?+?+. 【典型例题】 类型一、一元一次方程的相关概念 1．已知方程(3m -4)x 2-(5-3m )x -4m ＝-2m 是关于x 的一元一次方程，求m 和x 的值． 【思路点拨】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程． 【答案与解析】 解：因为方程(3m -4)x 2-(5-3m )x -4m ＝-2m 是关于x 的一元一次方程， 所以3m -4＝0且5-3m ≠0． 由3m -4＝0解得43m =，又43m =能使5-3m ≠0，所以m 的值是43． 将43m =代入原方程，则原方程变为485333x ??--?= ?? ?，解得83x =-． 所以43 m =，83x =-． 【总结升华】解答这类问题，一定要严格按照一元一次方程的定义．方程(3m -4)x 2-(5-3m )x -4m ＝-2m 2是关于x 的一元一次方程，就是说x 的二次项系数3m -4＝0，而x 的一次项系数5-3m ≠0，m 的值必须同时符合这两个条件． 举一反三： 【变式】下面方程变形中，错在哪里： 不等关系与不等式导学案 【学习目标】能用不等式（组）正确表示出不等关系, 掌握不等式的基本性质； 【重点难点】作差法比较两实数大小. 【学习过程】 1、用不等式表示不等关系 例1某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示. 变式训练1： （1）b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水更甜了，试根据这个事实写出一个不等式 . （2）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高 0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不 等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 例2 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？变式训练2： 某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式． 2、不等式的基本性质 （1）, a b b c a c >>?>（2）a b a c b c >?+>+ （3）,0 a b c ac bc >>?>（4）,0 a b c ac bc >>?+>+；（6）0,0 a b c d ac bd >>>>?>； （7）0,,1n n n n a b n N n a b a b >>∈>?>> 3、两代数式比较大小 a b a b ->?>0 a b a b -=?=0 a b a b - 3.4．1基本不等式：2 b a a b +≤ 学案作者：张春燕 一、教学目标 1. 使学生了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明. 2. 感知与基本不等式相近的一些不等式的证明和几何背景. 3. 初步了解用分析法证明不等式，培养学生分析问题能力和逻辑思维能力. 二、教学重点，难点 重点：理解掌握基本不等式，并能借助几何图形说明基本不等式的意义. 难点：利用基本不等式推导一些与其相似的不等式，关键是对基本不等式的理解与掌握. 三、问题导学 问题1：我们把“风车”造型抽象成图3.4-2，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形，设直角三角形边长为a ，b ，则正方形的边长为_____________面积为_____________. 问题2：那四个直角三角形的面积和为_____________. 问题3：根据四个三角形的面积和正方形的面积，可得到一个不等式：2 2 b a +_____ab 2， 什么时候这两部分面积相等呢？ 问题4：证明不等式：2 2b a +≥ab 2. 问题5：特别地，如果a>0, b>0, 则b a +≥ab 2 ， 2b a ab +≤，其中2 b a +叫正数a, b 的算术平均数，ab 叫正数a, b 的几何平均数. 问题6：课本98P 探究给出基本不等式的几何解释. 四、探究交流（基本不等式的应用） 已知x, y 都是正数，求证： ① 如果积xy 是定值P ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值P 2. ② 如果和x+y 是定值S ，那么当x=y 时，积xy 有最大值24 1S . 证明： 总结：“和定积最大，积定和最小”. 注：应用基本不等式须注意三点： ① 各项或各因式为正. ② 和或积为定值. 第八章一元一次不等式 8．1认识不等式 教学目标 1．知道不等式的定义。 2．理解不等式的解和方程的解的异同。 3．会根据问题列不等式。 4．会将实际问题抽象成数学问题，并用学到的知识解决问题，从而培养学生分析问题、解决问题的能力。 教学重难点 重点：不等式的定义、不等式的解及列不等式。 难点：总结归纳不等式及不等式的解。 教学过程 一、创设问题情境。 公园(或本地区的某个旅游景点)的票价是每人5元。团体参观旅游优惠，一次购票满30张，每张票可少收1元。某班有27名学生去公园进行参观活动，假如要你去买票，请问你打算买多少张?你向每位学生收多少钱? 这里可先由学生自己思考，是买27张还是买30张?然后让学生自己算一算。 买27张票，要付款：5×27=135元。 买30张票，要付款：4×30=120元。 引导学生：你说是买30张票花钱少还是买27张票花钱少? 通过计算发现，用120元就可以买到30张票，而用135元却只能买到27张票，是什么原因? 列出两个不等式： 27张<30张， 135元>120元。 二、探索学习。 1．我们继续探讨上面的问题。 问题1：我们只用120元买了30张票，我们是不是就买30张票?请大家讨论。 如果买30张票，我们不仅省钱，而且多买了票，那剩下的票怎么办?是卖掉?扔掉?还是送给困难的学生和门外的一些穷人?从而培养学生怜贫悯苦的友爱之心。(对学生进行思想教育。) 问题2：买30张票比买27张票付的款还要少，这是不是说多买票反 而花钱少?如果你一个人去参观，是不是也买30张呢? 请你计算10人、20人、21人、22人、23人、24人、25人、26人…… 问题3：至少要有多少人去参观，多买票反而便宜?能否用数学知识来解决? 引导学生分析。 设有。人要去公园参观。 (1)如果x≥30，则按实际人数买票，每张票只要付4元。 (2)如果x<30，那么：按实际人数买票。张，要付款5x元；买30张票要付款4×30=120元。 如果买30张票合算，则120<5x。 问题4：x取哪些数值时，上式成立? (1)你能否结合前面学的解方程的知识，尝试解这个不等式。 (2) 问题 要有25人进公园时，买30张合算。即当x>24时，5x，120。 2．概括总结。 (1)像上面出现的135>120，27<30，5x>20，x<30那样用不等号“<”或“>”表示不等关系的式子，叫做不等式。 不等号有：<、>、≠、≤、≥。 (2)不等式120<5x中含有未知x。能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 不等式的解可以有无数个。 如上例中，x=25，26，27，…等都是120<5x的解，x=24，23，22，21则都不是不等式的解。 三、应用举例。 例1 用不等式表示： 分一元一次不等式与不等式组复习 教学目标同步教学知识内 容 一元一次不等式与不等式组复习 个性化学习问题 解决 1、理解不等式的解，一元一次不等式的概念，学会 解一元一次不等式．毛 2、解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类 似，不等式的变形要注意与方程的变形相对照， 特别是注意不等式的性质3?：当不等式两边都乘 以同一个负数时，不等号要改变方向． 3、会解一元一次不等式组． 4、能根据简单的实际问题中的数量关系，列出一元 一次不等式组并求解，并能根据实际意义检验解的 合理性． 重点难点重点：解一元一次不等式（组）难点：一元一次不等式(组)应用 一、要点梳理： 1、不等关系：用符号“＞、≥、＜、≤、≠”连接；关键字眼：如“大于”“小于”“不大于”“不小于”“至少”“不低于”“至多”等 2、不等式的基本性质： 序号语言叙述符号表示 基本性质 1 不等式的传递性如果a＜＜c。那么a＜c。 基本性质2不等式的两边都加上(或减 去)同一个整式，不等号的 方向不变； 如果a＞b,那么a±c＞b±c 不等式的两边都乘以(或除如果a＞b, c＞0，那么＞；＞ 基本性质3以) 同一个正数，不等号的 方向不变； 不等式的两边都乘以(或除 以)，同一个负数，不等号 的方向改变 如果a＞b, c＜0，那么＞；＜ 3、解一元一次不等式一般步骤： (1)去分母；(运用不等式性质3，注意不要漏乘不含分母的项) (2)去括号； (3)移项；(运用不等式性质2，注意：被移的项要变为原来的相反数) (4)合并同类项； (5)系数化1. (运用不等式性质3，注意何时需要改变不等号方向) (6)把解表示在数轴上；把解集表示在数轴上时，需注意：(1)空心、实心小圆圈的区别；(2)“＞、≥”向右拐，“＜、≤”向左拐. 不 等 式 的 用数轴表示 基本不等式 2 a b + 授课人:祁玉瑞授课类型：新授课 一、知识与技能： 使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。 过程与方法： 通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。 情感态度与价值观： 在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。 二、重点及难点 重点：应用数形结合的思想理解不等式，2a b +≤ 的证明过程。 难点：2a b +≤ 等号成立条件。 三、教学过程 1.课题导入 2a b ab +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角 形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。这样，4个直角三角形的面积的和 是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就 得到了一个不等式：222a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。 2．得到结论：一般的，如果 ) ""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为222)(2b a ab b a -=-+ 一元一次方程全章测试 姓名 学号 得分 一、 选择题 1．下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A ．243-=x x B ．312 -=x x C ．21+=x y D ．35-=xy 2．方程1 22-=x 的解是（ ） A ．14=-x B ．4=-x C ．1 4 =x D ．4=-x 3．已知等式325=+a b ，则下列等式中不一定成立的是（ ） A ．352-=a b B ．3126+=+a b C ．325=+ac bc D ．25 33 =+a b 4．若关于x 的方程240+-=x a 的解是2=-x ，则a 的值是（ ） A ．－8 B ．0 C ．2 D ．8 5．一个长方形的周长为26cm ，这个长方形的长减少1cm ，宽增加2cm ，就可成为一个正方形，设长方形的长为x cm ，可列方程：（ ） A 、()1262-=-+x x B 、()2131+-=-x x C 、()2261--=+x x D 、()2131--=+x x 6．已知某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个盈利60％，另一个亏损20％，在这次买卖中，这家商店（ ） A ．不盈不亏 B ．盈利10元 C ．亏损10元 D ．盈利50元 二、 填空题 7．方程2 243 -=x 的解是 。 8．如图是2011年8月的月历，现用一长方形在月历中任意框出4个代表日期的数 ，请用一个等式表示 a ， b ， c ， d 之间的关系： 。 9．如果关于x 的方程51763x -=与811 4222 x x m -=++的解相同，那么m 的值是 。 10．轮船沿江从A 港顺流行驶到B 港，比从B 港返回A 港少用3h ，若船速为26km/h ，水速为2km/h ，则A 港和B 港相距 km 。 三、 解答题 11．解方程 （1）253(1)x x +=- （2）34 1.60.50.2 x x -+-= 9.3一元一次不等式组（1） 一、教学内容及分析： 1、教学内容： （1）一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，解不等式组等概念； （2）解不等式组成的不等式组，用数轴确定解集； （3）用一元一次不等式组解决实际问题． 2、内容分析： （1）一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，解不等式组等概念是对代数知识的综合理解及运用，为学生在后面列不等式解决实际问题时打下基础； （2）解不等式组成的不等式组，用数轴确定解集主要是让学生更进一步清楚不等式的解集是多个解的集合，形成整体思想； （3）列利用一元一次不等式组解决实际问题是基于方程的应用，训练学生的分析问题的能力及解决问题的意识，到达训练思维的目的． 二、教学目标及分析： 1、学习目标： （1）了解一元一次不等式组及其解集等概念． （2）会解一元一次不等式组，并会用数轴确定解集． 2、目标分析： （1）了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，解不等式组等概念就是指能判断什么样的是不等式组，解集的含义等纯代数意义的解读，使学生找到知识间的内在联系； （2）会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集，就是 指学生清楚求不等式组解集的过程，知道用数轴表示不等式解集的四种形式，形成与方程的区别； （3）能够利用一元一次不等式组解决实际问题就是指会根据条件知道用不等式组来解决，知道不等式组与实际问题的联系． 三、问题诊断分析： 本节课学生可能会遇到的问题是学生很难找到问题中的不等关系，原因主要是学生分析问题的能力未到达，解决这些困难就把问题分类讨论，使学生知道不同问题的不同解决思路，而关键是列代数式，使问题分解。 四、教学过程： 问题一： 某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月．如果每月比计划多烧5吨煤，那么取暖用煤总量将超过100吨；如果每月比计划少烧5吨煤，那么取暖用煤总量不足68吨.该校计划每月烧煤多少吨？ 设计意图：通过此问题的分析—解决让学生初步了解不等式与实际问题的联系，搞清已知条件和未知元素，从而确定用哪一个知识点来解决问题，即把实际问题转换为数学模型，从而求解． 师生活动： 1、学生根据已有的不等式的知识进行独立思考．已知条件有：取暖时间为4个月，未知量是计划每月烧煤的数量（x ）．当每月比原计划多烧5吨煤时，每月实际烧煤（x +5）吨，这时总量4（x +5）＞100；当每月比原计划少烧5吨煤时，实际每月烧（x －5）吨煤，有4（x －5）＜68．进而归纳不等式组的概念． 2、这是一个实际问题，请学生先理解题意，搞清已知条件和未知元素，从而确定用哪一个知识点来解决问题，即把实际问题转换为数学模型，从而求解．此时引导学生发现x 的值要同时满足上述两个不等式，进而引导学生归纳一元一次不等式组的概念． 把两个不等式合起来，就组成了一元一次不等式组（此时可以与方程组类比理解）． 问题二：类比方程组的解，如何确定不等式???<->+68 )5(4100)5(4x x 的解集． 设计意图：进一步熟悉解一元一次不等式组的步骤，特别是了解用数轴表示解集的四种不同形式。 师生活动： 1、学生独立思考，容易分别解出两个不等式组，得到解集后，在解出后进行讨论，然后交流如何确定这个不等式组的解集，经过分析发现x 的值必须同时满足x ＞20，x ＜22两个不等式，于是可以发现x 的取值范围应该是20＜x ＜22；或者运用数轴，如图1，从数轴上容易观察，同时满足上述两个不等式的x 的值应是，两个不等式解集的公共部分，因此解集为基本不等式(导学案)
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