专题46 空间向量及其运算(解析版)
专题四十六 空间向量及其运算
【高频考点解读】
1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．
2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用数量积判断向量的共线与垂直． 【热点题型】
题型一 空间向量的线性运算
例1、在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＝a ，向量AD →＝b ，AA 1→
＝c ，N 是AB 的中点，M 是A 1C 1的中点，试用向量a ，b ，c 表示MN →
.
【解析】如图所示，知MN →＋NA →＋AA 1→＋A 1M →＝0，因为NA →＝－12AB →＝－1
2a ，AA 1→＝c ，A 1M
→＝12A 1C 1→＝12(a ＋b )，所以MN →＝12a －c －12(a ＋b )＝－1
2
b －
c .
【提分秘籍】
用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，可从以下角度入手
(1)要有基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来；
(2)把要表示的向量标在封闭图形中，表示为其他向量的和、差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系；
(3)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘．
【热点题型】
题型二 共线向量定理、共面向量定理的应用
例2、已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，
(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ； (3)设M 是EG 和FH 的交点，
求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(O A →＋O B →＋O C →＋O D →
)．
【证明】(1)连接BG ，则
(2)因为E H →＝A H →－A E →＝12A D →－12
A B →
＝12(A D →
－A B →)＝12B D →， 所以EH ∥BD . 又EH ?平面EFGH ， BD ?平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .
【提分秘籍】
在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解，若要证明两直线平行，只需判定两直线所在的向量满足线性关系a ＝λb ，即可判定两直线平行．
【举一反三】
如图所示，已知空间四边形ABCD ，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23
CD →
.求证：四边形EFGH 是梯形．
证明：∵E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，∴AE →＝12AB →，AH →＝12AD →，∴EH →＝AH →－AE →＝12
AD
→
－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →＝12(CD →－CB →)＝12? ????32CG →－32CF →＝34
(CG →－CF →)＝34FG →， ∴EH →∥FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →
|，又F 不在EH 上，∴四边形EFGH 为梯形．
【热点题型】
题型三 空间向量数量积的应用
例3、如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，
棱AA1＝2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值．
【提分秘籍】
用向量的数量积可解决异面直线的夹角、两点距离(即线段长度)，证明垂直等问题
(1)求向量m ，n 的夹角时，首先选择基底，将目标向量m ，n 用该基底表示，利用公式cos m ，n ＝m ·n |m |·|n |
求得；
(2)两点距离(即线段长度)用公式a 2＝|a |2求得． 【举一反三】
已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)．设a ＝AB →，b ＝AC →， (1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；
(2)若向量ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k 的值．
【热点题型】
题型四 方程思想在空间向量基本问题中的应用
例4、已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )
A.627
B.637
C.60
7
D.657
【解析】由题意得c ＝t a ＋μ b ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，
∴????
?
7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ，
解得?????
t ＝337
，
μ＝17
7，
λ＝657.
【答案】D 【提分秘籍】
1.利用共面基本定理转化为向量相等．然后利用方程思想建立方程组可求解实数λ.
2.空间向量共线、共面问题是考试的重点，利用空间向量共线定理、共面定理待定系数是命题的热点．此类问题体现了方程思想的应用．解决时根据基本定理转化为方程式或方程组可求解问题．
【举一反三】
设a 1＝2i －j ＋k ，a 2＝i ＋3j －2k ，a 3＝－2i ＋j －3k ，a 4＝3i ＋2j ＋5k (其中i ，j ，k 是两两垂直的单位向量)．若a 4＝λa 1＋μ a 2＋υ a 3，则实数组(λ，μ，υ)＝
________.
【高考风向标】
1．（2014·广东卷）已知向量a ＝(1，0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( )
A ．(－1，1，0)
B ．(1，－1，0)
C ．(0，－1，1)
D ．(－1，0，
1)
2．（2014·重庆卷]如图1-3所示，四棱锥P -ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝1
2
，MP ⊥AP .
(1)求PO 的长；
(2)求二面角A -PM -C 的正弦值．
图1-3
【解析】解：(1)如图所示，连接AC ，BD ，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ∩ BD ＝O ，且AC ⊥BD .以O 为坐标原点，OA →，OB →，OP →
的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O -xyz .
【随堂巩固】
1．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝OA →＋tAB →
，其中0 解析：∵0 ①若p ＝xa ＋yb ，则p 与a 、b 共面； ②若p 与a 、b 共面，则p ＝xa ＋yb ； ③若MP →＝xMA →＋yMB → ，则P 、M 、A 、B 共面； ④若P 、M 、A 、B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB → . 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3.底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，N 为BB 1的靠近B 的三等分点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A → ＝c ，则下列 向量中与MN → 相等的向量是( ) A ．－12a ＋12b ＋13c B.12a ＋12b －1 3 c C.12a －12b －13 c D ．－12a －12b ＋23 c 4．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC → ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．不确定 解法二 在解法一的图中，选取不共面的向量AB →，AC →，AD → 为基底， 则原式＝AB →·(AD →－AC →)＋AC →·(AB →－AD →)＋AD →·(AC →－AB → ) ＝AB →·AD →－AB →·AC →＋AC →·AB →－AC →·AD →＋AD →·AC →－AD →·AB →＝0. 答案：B 5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→， N 为B 1B 的中点， 则|MN → |为( ) A. 216a B.66a C.156a D.153 a 解析：如图，设AB →＝a ，AD → ＝b ， AA 1→ ＝c ， 6.如图，点P 是单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中异于A 的一个顶点，则AP →·AB → 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．任意实数 7．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA → 的夹角θ的大小是________． 8．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，P ，M 为空间任意两点，如果有PM →＝PB 1→＋6AA 1→＋7BA → ＋4A 1D 1→ ，那么M 点一定在平面________内． 9．已知四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD → ＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F 则EF → ＝________. 答案：3a＋3b－5c 10．设向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，计算2a＋3b,3a－2b，a·b以及a与b所成角的余弦值，并确定λ，μ应满足的条件，使λa＋μb与z轴垂直． 11.如图，在45°的二面角α－l－β的棱上有两点A、B，点C、D分别在α、β内，且AC⊥AB，∠ABD＝45°，AC＝BD＝AB＝1，求CD的长度． 12．如右图，在空间四边形SABC 中，AC ，BS 为其对角线，O 为△ABC 的重心， 求证：(1)OA →＋OB →＋OC → ＝0； (2)SO →＝13 (SA →＋SB →＋SC →)．