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函数值域求法十五种

函数值域求法十五种
函数值域求法十五种

在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下,供参考。

基本知识

1.定义:因变量y的取值范围叫做函数的值域(或函数值的集合)。

2.函数值域常见的求解思路:

⑴划归为几类常见函数,利用这些函数的图象和性质求解。

⑵反解函数,将自变量x用函数y的代数式形式表示出来,利用定义域建立函数y的不等式,解不等式即可获解。

⑶可以从方程的角度理解函数的值域,从方程的角度讲,函数的值域即为使关于x的方程y=f(x)在定义域内有解的y得取值范围。

特别地,若函数可看成关于x的一元二次方程,则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件,利用判别式求出函数的值域。

⑷可以用函数的单调性求值域。

⑸其他。

1. 直接观察法

对于一些比较简单的函数,通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域

例1. 求函数的值域。

解:∵∴

显然函数的值域是:

2. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例2. 求函数的值域。

解:将函数配方得:

由二次函数的性质可知:当x=1时,,当x=-1时,

故函数的值域是:[4,8]

3. 判别式法

例3. 求函数的值域。

解:两边平方整理得:(1)

∵∴

解得:

但此时的函数的定义域由,得

由,仅保证关于x的方程:在实数集R有实根,而不

能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由求出的范围可能

比y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵∴

∴代入方程(1)

解得:即当时,

原函数的值域为:

注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。

4. 反函数法

直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例4. 求函数值域。

解:由原函数式可得:

则其反函数为:,其定义域为:

故所求函数的值域为:

5. 函数有界性法

直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。

例5. 求函数的值域。

解:由原函数式可得:,可化为:

∵∴

即解得:

故函数的值域为

6. 函数单调性法

例6. 求函数的值域。

解:令则在[2,10]上都是增函数

所以在[2,10]上是增函数

当x=2时,

当x=10时,

故所求函数的值域为:

例7. 求函数的值域。

解:原函数可化为:

令,显然在上为无上界的增函数

所以,在上也为无上界的增函数

所以当x=1时,有最小值,原函数有最大值

显然y>0,故原函数的值域为

7. 换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作

例8. 求函数的值域。

解:因

故可令

故所求函数的值域为

例9. 求函数的值域。

解:原函数可变形为:

可令,则有

当时,

当时,

而此时有意义。

故所求函数的值域为

例10. 求函数,的值域。

解:

令,则

由且

可得:

∴当时,,当时,

故所求函数的值域为。

例11. 求函数的值域。

解:由,可得

故可令

∵∴

当时,

当时,

故所求函数的值域为:

8. 数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。[要学习网,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛,地址https://www.docsj.com/doc/783629080.html,手机版地址https://www.docsj.com/doc/783629080.html,]

例12. 求函数的值域。

解:原函数可化简得:y=|x-2|+|x+8|

上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2),B(-8)间的距离之和。

由上图可知,当点P在线段AB上时,y=|x-2|+|x+8|=|AB|=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,y=|x-2|+|x+8|>|AB|=10

故所求函数的值域为:

例13. 求函数的值域。

解:原函数可变形为:

上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和,

由图可知当点P为线段与x轴的交点时,,

故所求函数的值域为

例14. 求函数的值域。

解:将函数变形为:

上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0)的距离与定点B(-2,1)到点P(x,0)的距离之差。即:y=|AP|-|BP|

由图可知:(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时,如点P',则构成△ABP',根据三角形两边之差小于第三边,有

即:

(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时,有

综上所述,可知函数的值域为:

注:由例13,14可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A、B两点在x轴的两侧,而求两距离之差时,则要使A,B两点在x轴的同侧。

如:例13的A,B两点坐标分别为:(3,2),(-2,-1),在x轴的同侧;例14的A,B 两点坐标分别为(3,2),(2,-1),在x轴的同侧。

9. 不等式法

利用基本不等式,求函数的最值,其题型特征解

析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例15. 求函数的值域。

解:原函数变形为:

当且仅当tanx=cotx

即当时,等号成立

故原函数的值域为:

例16. 求函数y=2sinxsin2x的值域。

解:y=4sinxsinxcosx

当且仅当,即当时,等号成立。

由可得:

故原函数的值域为:

10. 映射法

原理:因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中,若知道一个变量范围,就可以求另一个变量范围。

例17. 求函数的值域。

解:∵定义域为

由得

故或

解得

故函数的值域为

11.最值法

对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。[要学习网,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛,地址https://www.docsj.com/doc/783629080.html,手机版地址https://www.docsj.com/doc/783629080.html,]

例18.已知,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。

点拨:根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域。

解:∵,上述分式不等式与不等式同解,解之得-1≤x≤3/2,

又x+y=1,将y=1-x代入z=xy+3x中,得(-1≤x≤3/2),

∴且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大

小。

当x=-1时,z=-5;当x=3/2时,z=15/4。

∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4}。

点评:本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间,若存在最值,也可通过求出最值而获得函数的值域。

12.构造法

根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合。

例19.求函数的值域。

点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。

解:原函数变形为

作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成12个单位正方形。设HK=x,则EK=2-x,KF=2+x,,。

由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。

∴原函数的知域为{y|y≥5}。

点评:对于形如函数(a,b,c均为正数),均可通过构造几何图形,由几何的性质,直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。

13.比例法

对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原函数的值域。

例20.已知x,y∈R,且3x-4y-5=0,求函数的值域。

点拨:将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式,设置参数,代入原函数。

解:由3x-4y-5=0变形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)

∴x=3+4k,y=1+3k,

∴。

当k=-3/5时,x=3/5,y=-4/5时,。

函数的值域为{z|z≥1}.

点评:本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数,可将原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法,具有一定的创新意识。14.利用多项式的除法

例21.求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。

点拨:将原分式函数,利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。

解:y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。

∵1/(x+1)≠0,故y≠3。

∴函数y的值域为y≠3的一切实数。

点评:对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。

15. 多种方法综合运用

例22. 求函数的值域。

解:令,则

(1)当t>0时,,当且仅当t=1,即x=-1时取等号,所以

(2)当t=0时,y=0。

综上所述,函数的值域为:

注:先换元,后用不等式法

例23. 求函数的值域。

解:

令,则

∴当时,

当时,

此时都存在,故函数的值域为

注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用的有界性。

总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。

高中函数值域的12种求法

高中函数值域的12种求法 一.观察法 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。 点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x)的值域。解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0, 故3+√(2-3x)≥3。 ∴函数的知域为. 点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。 练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5}) 二.反函数法 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。

点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域为{y∣y-1或y1}) 三.配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域。 点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。 解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4] ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习:求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为 {y∣y≤3}) 四.判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

函数定义域值域求法十一种

高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式 或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。 解:要使函数有意义,则必须满足 x 2 2x 15 0 ① 11 或 x>5。 3且x 11} {x |x 5}。 1 例2求函数y ' 定义域。 *16 x 2 解:要使函数有意义,则必须满足 sinx 0 ① 16 x 2 0 ② 由①解得2k x 2k ,k Z ③ 由②解得 4x4 ④ 由③和④求公共部分,得 4 x 或 0 x 故函数的定义域为(4, ] (0,] 评注:③和④怎样求公共部分?你会吗? 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。 (1)已知f(x)的定义域,求f [g(x)]的定义域。 (2)其解法是:已知f (x)的定义域是]a , b ]求f [g(x)]的定义域是解a g(x) b , 即为所求的定义域。 例3已知f(x)的定义域为[—2, 2],求f (x 2 3 x 3,故函数的定义域是{x | x (2)已知f [g(x)]的定义域,求f(x)的定义域。 其解法是:已知f [g(x)]的定义域是]a , b ],求f(x)定义域的方法是:由 a x b ,求 g(x)的值域,即所求f(x)的定义域。 例4已知f(2x 1)的定义域为]1,2],求f(x)的定义域。 解:因为 1 x 2,2 2x 4,3 2x 1 5。 即函数f(x)的定义域是{x 13 x 5}。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为 R ,求 参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5已知函数y . mx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析:函数的定义域为 R ,表明mx 2 6mx 8 m 0 ,使一切x € R 都成立,由x 2项 例1求函数y ,x 2 2x 15 |x 3| 8 的定义域。 |x 3| 8 0 ② 由①解得 x 3或x 5。 由②解得 x 5或x 11 解:令 2 x 2 1 2 ,得 1 x 2 3,即 0 x 2 3,因此0 | x | 3,从而 1)的定义域。 3}。 ③和④求交集得x 3且x 故所求函数的定义域为 {x |x

函数值域的求法(精选例题)

函数值域的求法 1、(观察法)求下列函数的值域 (1)求函数y1=121 1x +的值域 (]1,0 (2)求函数y1=2-x 的值域。 (]2-,∞ 2、(配方法)求下列函数的值域 (1)求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域 ][84, (2)求函数y =的值域: ][20, (3),x y 是关于m 的方程2260m am a -++=的根,则()()2211x y -+-的最小值是( ) C A.-1241 B.18 C.8 D.43

3、(换元法)求下列函数的值域 (1)21y x =+[)∞+,3 (2)4y x =++ ][234,1+ (3)求函数y=32 ++x x 的值域 ??????21,0 (4)求函数y = ][2,1 (5)求函数 y=12243++-x x x x 的值域 ??????41,41-

4、(分离常数法)求下列函数的值域 (1)求值域(1)1 (4)2x y x x -=≥-+ ()??? ???∞+∞,,251- (2)求函数122+--=x x x x y 的值域。 ?????? 131 -, 5、(判别式法)求下列函数的值域 (1)求函数的值域2222 1x x y x x -+=++ ][51, (2)求函数3274222++-+=x x x x y 的值域。 ?????? 229 -, (3)已知函数12)(22 +++=x b ax x f x 的值域是[1,3 ],求实数a , b 的值. a=2或-2,b=2

6、(单调性法)求下列函数的值域 (1)求函数32()2440f x x x x =+-,[3,3]x ∈-的最小值。 (2)-48f = (2)设函数f(x)=ln(2x +3)+x 2.求f(x)在区间???? ??-34,14上的最大值和最小值. max 171()=ln +4216()f f x = min 11(-)=ln 2+24()f f x = 7、(数形结合法)求下列函数的值域 (1)求函数y=4 1362+-x x 4-542++x x 的值域 (]265-, (2)求函数y=4 12++x x 4-1 - 2 +x x 的值域 ()1,1-

函数定义域值域求法(全十一种)

创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解:要使函数有意义,则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解:要使函数有意义,则必须满足 ???>-≥②①0 x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π, ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分,得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--,, 评注:③和④怎样求公共部分?你会吗? 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。 (1)已知)x (f 的定义域,求)]x (g [f 的定义域。 (2)其解法是:已知)x (f 的定义域是[a ,b ]求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤,即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为[-2,2],求)1x (f 2-的定义域。 解:令21x 22≤-≤-,得3x 12≤≤-,即3x 02≤≤,因此3|x |0≤≤,从而3x 3≤≤-,故函数的定义域是}3x 3|x {≤ ≤-。

函数值域的13种求法

函数值域十三种求法 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 例1. 求函数 x 1 y =的值域 解:∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是:),0()0,(+∞-∞ 例2. 求函数x 3y -=的值域 解:∵0x ≥ 3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是:]3,[-∞ 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数 ]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解:将函数配方得: 4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知:当x=1时,4y min =,当1x -=时,8y max = 故函数的值域是:[4,8] 3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用) 例4. 求函数 22 x 1x x 1y +++=的值域 解:原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2=-+- (1)当1y ≠时,R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2≥----=? 解得:23y 21≤≤ (2)当y=1时,0x =,而??????∈23,211 故函数的值域为????? ?23,21

例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域 解:两边平方整理得: 0y x )1y (2x 222=++-(1) ∵R x ∈ ∴ 0y 8)1y (42≥-+=? 解得:21y 21+≤≤- 但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-,得2x 0≤≤ 由0≥?,仅保证关于x 的方程: 0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由 0≥?求出 的范围可能比y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为????? ?23,21。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵2x 0≤≤ 0)x 2(x x y ≥-+=∴ 21y ,0y min +==∴代入方程(1) 解得:] 2,0[22 222x 41∈-+= 即当22222x 41-+=时, 原函数的值域为:]21,0[+ 注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。 4. 反函数法 直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6. 求函数6x 54 x 3++值域 解:由原函数式可得: 3y 5y 64x --= 则其反函数为:3x 5y 64y --=,其定义域为:53x ≠ 故所求函数的值域为:33(,)(,)55 -∞?+∞

函数值域求法十一种

函数值域求法十一种 尚化春 在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下,供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 例1. 求函数 x 1 y = 的值域。 解:∵0x ≠ ∴0 x 1 ≠ 显然函数的值域是:),0()0,(+∞-∞ 例2. 求函数x 3y - =的值域。 解:∵0x ≥ 3x 3,0x ≤- ≤-∴ 故函数的值域是:]3,[-∞ 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-=的值域。 解:将函数配方得:4)1x (y 2 +-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知:当x=1时,4y m i n =,当1x -=时,8y m a x = 故函数的值域是:[4,8] 3. 判别式法 例4. 求函数2 2 x 1x x 1y +++= 的值域。 解:原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2 =-+- (1)当1y ≠时,R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2 ≥----=? 解得:23y 2 1 ≤ ≤ (2)当y=1时,0x =,而? ?? ???∈23,211

专题一:求函数值域十六法

求函数值域方法 求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一,也是考试的热点和难点之一。遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题,而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容,技巧性强,有很高的难度,因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。本文谈一些求函数值域的方法,仅作抛砖引玉吧。 一、基本知识 1. 定义:因变量y 的取值范围叫做函数的值域(或函数值的集合)。 2. 函数值域常见的求解思路: ⑴.划归为几类常见函数,利用这些函数的图象和性质求解。 ⑵.反解函数,将自变量x 用函数y 的代数式形式表示出来,利用定义域建立函数y 的不等式,解不等式即可获解。 ⑶.可以从方程的角度理解函数的值域,如果我们将函数()y f x =看作是关于自变量x 的方程,在值域中任取一个值0y ,0y 对应的自变量0x 一定为方程()y f x =在定义域中的一个解,即方程()y f x =在定义域内有解;另一方面,若y 取某值0y ,方程()y f x =在定义域内有解0x ,则0y 一定为0x 对应的函数值。从方程的角度讲,函数的值域即为使关于x 的方程()y f x =在定义域内有解的y 得取值范围。 特别地,若函数可看成关于x 的一元二次方程,则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件,利用判别式求出函数的值域。 ⑷.可以用函数的单调性求值域。 ⑸.其他。 3. 函数值域的求法 (1)、直接法:从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围。或由函数的定义域结合图象,或直观观察,准确判断函数值域的方法。 例1:求函数()1y x =≥的值域。 ) +∞ 例2:求函数y = [)1,+∞ 例3:求函数1y = 的值域。 0≥11≥, ∴函数1y = 的值域为[1,) +∞。 (2)、配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2 ()()()F x a f x b f x c =++的函数的值域问题,均可使用配方法。 例1:求函数2 42y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域。 解:2 2 42(2)6y x x x =-++=--+,

高中数学求函数值域的方法十三种审批稿

高中数学求函数值域的 方法十三种 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

高中数学:求函数值域的十三种方法 一、观察法(☆ ) 二、配方法(☆) 三、分离常数法(☆) 四、反函数法(☆) 五、判别式法(☆) 六、换元法(☆☆☆) 七、函数有界性 八、函数单调性法(☆) 九、图像法(数型结合法)(☆) 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、 十三、一一映射法 十四、 多 种 方 法 综 合 运 用 一、观察法:从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围。 【例1】 求函数1y =的值域。 11≥, ∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【例2】求函数 x 1 y = 的值域。 【解析】∵0x ≠ ∴0 x 1≠ 显然函数的值域是: ),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ,{}2,1,0,1-∈x ,求函数的值域。

【解析】因为{}2,1,0,1- =f f,()1 1- f所以: = 2 0= f,()()0 ∈ 3 x,而()()3 -f = 1= {}3,0,1- ∈ y 注意:求函数的值域时,不能忽视定义域,如果该题的定义域为R x∈,则函数的值域为{}1 y。 y ≥ |- 二.配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2 =++的 F x af x bf x c ()()() 函数的值域问题,均可使用配方法。 【例1】求函数225,[1,2] y x x x =-+∈-的值域。 【解析】将函数配方得:∵由二次函数的性质可知:当x=1 ∈[-1,2]时,,当时,故函数的值域是:[4,8] 【变式】已知,求函数的最值。 【解析】由已知,可得,即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得,其对称轴方程,顶点坐标,且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内,如图2所示。函数的最小值为,最大值为。 图2

函数解析式求法和值域求法总结

2[()]()()f f x af x b a ax b b a x ab b =+=++=++函 数 解 析 式 及值域专题 一、 待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法. 例1 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f . 解:设b ax x f +=)()0(≠a ,则 ∴?? ?=+=3 42b ab a , ∴????? ?=-===3212b a b a 或 . 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 . 二、 配凑法:已知复合函数[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式常用配凑法.但要注 意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域,而是()g x 的值域. 例2 已知221 )1(x x x x f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式. 解:2)1()1(2-+=+x x x x f , 21≥+x x , 2)(2 -=∴x x f )2(≥x . 三、换元法:已知复合函数[()]f g x 的表达式时,还可以用换元法求()f x 的解析式.与配 凑法一样,要注意所换元的定义域的变化. 例3 已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f . 解:令1+= x t ,则1≥t ,2)1(-=t x . x x x f 2)1(+=+, ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x , x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x . 四、代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法. 例4已知:函数)(2 x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称,求)(x g 的解析式. 解:设),(y x M 为)(x g y =上任一点,且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点. 则 ?????=+'-=+'32 22y y x x ,解得:???-='--='y y x x 64 , 点),(y x M '''在)(x g y =上 , x x y '+'='∴2.

专题三 函数的值域的求法

专题三例谈函数值域的求法 【本课重点】1、理解函数值域与函数定义域和解析式之间的关系 2、掌握常见函数的值域, 3、借助常见函数(一次函数、反比例函数、二次函数)的值域及它们的图象来研究一些可化为它们的函数的值域 【预习导引】 1.函数11 y x =+的的值域是()A.R B.(,1)(1,)-∞-?-+∞ C.(0,)+∞ D.(,0)(0,)-∞?+∞ 2.函数y = ()A.[1,) +∞ B.[0,3] C.[0,3]D[0,1]3(1)}{) 5,4,3,2,1(,12∈+=x x y (2)y=|x-1|-1,x ∈[-1,2](3)2,[1,4]y x x =-∈(4)2241,([0,5)) y x x x =-+∈4.函数23(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤??=+<≤??-+>?的最大值是____________. 【三基探讨】 【典例练讲】 1.配方法 主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题. 例1.设02x ≤≤,求函数1()432 1x x f x +=-+ 的值域.解:12()4321(23)8x x x f x +=-+=-- , 02x ∵≤≤,24x 1∴≤≤.

∴当23x =时,函数取得最小值8-;当21x =时,函数取得最大值4-, ∴函数的值域为[84]--,. 评注:配方法往往需结合函数图象求值域. 2.单调性法 单调性法是求函数值域的常用方法,就是利用我们所学的基本初等函数的单调性,再根据所给定义域来确定函数的值域. 例2.函数2 1()f x x x =+,(1)x -≤的值域是.解析:函数2y x =和1y x =在(1]-∞-,上都是减函数,所以min (1)0y f =-=,所以函数()f x 的值域为[0)+∞,. 3.数形结合法 对于一些函数(如二次函数、分段函数等)的求值域问题,我们可以借助形象直观的函数图象来观察其函数值的变化情况,再有的放矢地通过函数解析式求函数最值,确定函数值域,用数形结合法,使运算过程大大简化. 例3.求函数2223(20)()23(03) x x x f x x x x ?+--

高中函数值域的12种解法(含练习题)

高中函数值域的12种求法 一、观察法 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。 点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x) 的值域。 解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0, 故3+√(2-3x)≥3。 ∴函数的知域为[3,+∞]。 点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。 练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5}) 二、反函数法 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。

练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域为{y∣y<-1或y >1}) 三、配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。 例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域。 点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。 解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4], ∴0≤√(-x2+x+2)≤3/2,函数的值域是[0,3/2]。 点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习:求函数y=2x-5+√(15-4x)的值域。(答案:值域为{y∣y≤3}) 四、判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。 点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域。 解:将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*) 当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)(y-3)≥0,解得:2<x≤10/3 当y=2时,方程(*)无解。∴函数的值域为2<y≤10/3。 点评:把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可

含根式函数值域的求法

含根式函数值域的几何求法 函数值域和最大值、最小值问题是高中数学中重要的问题,其求解的方法很多,常见的解法有:观察法、配方法、均值不等式法、反函数法、换元法、判别式法、单调函数法、图解法等。其中,利用数形结合来求函数的值域,尤其是含根式函数的值域,具有其独特的效果,它能够把满足题意的几何图形画出来,生动形象的直观图,提示和启发我们的解题思路,有时,图形式直接提供了我们寻求的答案,因此,几何法既可以使题意更加明确,又可以使运算得到简化。 例1 求函数312+-+=x x y 的最小值. 解:由03≥+x 得:3-≥x . 令???≥+=-≥+=) 0(3)5(12v x v u x u ,消去x 得:)0,5()5(212≥-≥+=v u u v 则点()v u ,在)5(2 12+=u v 的抛物线段上,又在直线y u v -=上,如图1,易知,当直线与抛物线相切时,-y 取最大值,取y 最小值。 联立方程组?????-=+=y u v u v )5(212, 消去u 整理得: 0522=---y v v ,由△=0, 即:0)5(24)1(2=--??--y 解得:=y 8 41-. ∴ 原函数的最小值为841- . 评注:本题可以利用代数换元法,将含根式函数的值域问题转化为二次型函数在某区间上的值域问题,其解题过程中运算量并不大,而且不难接受理解。因此,本题利用构造直线与抛物线进行求解,并没有真正体现出几何解法的优越性。 图1

例2 求函数131-++-=x x y 的值域. 分析:本题不能用换元法进行求解,因此,我们也来尝试利用几何解法。 解:由???≥+≥-0301x x 解得:13≤≤-x . 令???≤≤+=≤≤-=)20(3)20(1v x v u x u ,消去x 得:)20,20(422≤≤≤≤=+v u v u 则点()v u ,在422=+v u 的园弧上,又在直线1++-=y u v 上, 如图2,显然OB y OA ≤+≤1 又 ∵ 22,2==OB OA ∴ 1221-≤≤y 即为原函数所求的值域。 例3 求函数106422+-++=x x x y 的最小值. 分析:当我们把106422+-++=x x x y 化为: y 2222)10()3()20()0(-+-+-+-=x x 时,容易联想到两点间距离。 解: 106422+-++=x x x y 2222)10()3()20()0(-+-+-+-=x x 设P (x , 0),A (0, 2),B (3, 1),则问题转化 为在x 轴上找一点P ,使得P 到A 、B 两点的 距离之和最小。如图3,易求得点A 关于x 轴 的对称点A / 的坐标为(0, -2),则: B A BP P A BP AP //=+=+即为最小. ∴ 32)12()30(22/min =--+-==B A y . 评注:本题可用判别式法以及构造复数由模的重 要不等式进行求解,但是判别式法计算量很大,不易 图2 图3

高中数学-函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 2 1 )(-=x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -+ +=211)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式 2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式 21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解:①要使函数有意义,必须:142 ≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为: [3,3-] ②要使函数有意义,必须:???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

高中数学求值域的10种方法

求函数值域的十种方法 一.直接法(观察法):对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 例1.求函数1y = 的值域。 【解析】0≥11≥,∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【练习】 1.求下列函数的值域: ①32(11)y x x =+-≤≤; ②x x f -+=42)(; ③1 += x x y ; ○ 4()112 --=x y ,{}2,1,0,1-∈x 。 【参考答案】①[1,5]-;②[2,)+∞;③(,1)(1,)-∞+∞U ;○4{1,0,3}-。 二.配方法:适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如 2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题,均可使用配方法。 例2.求函数2 42y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域。 【解析】22 42(2)6y x x x =-++=--+。 ∵11x -≤≤,∴321x -≤-≤-,∴21(2)9x ≤-≤,∴2 3(2)65x -≤--+≤,∴35y -≤≤。 ∴函数2 42y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域为[3,5]-。 例3.求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解,为便于计算不妨设: )0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得:][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得 ][4,0)(∈x f ,从而得出:]0,2y ?∈?。 说明:在求解值域(最值)时,遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制,本题为: 0)(≥x f 。 例4.若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。

高中数学求函数值域的类题型和种方法

高中数学求函数值域的类 题型和种方法 Last updated on the afternoon of January 3, 2021

求函数值域的 7类题型和16种方法 一、函数值域基本知识 1.定义:在函数()y f x =中,与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域(或函数值的集合)。 2.确定函数的值域的原则 ①当函数()y f x =用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y 的集合; ②当函数()y f x =用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合; ③当函数()y f x =用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定; ④当函数()y f x =由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域,这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地,常见函数的值域: 1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R. 2.二次函数()2 0y ax bx c a =++≠,当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞?? ?? ,当0a <时的值域为24,4ac b a ?? --∞ ???., 3.反比例函数()0k y k x = ≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.

6.正,余弦函数的值域为[]1,1-,正,余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型 题型一:一次函数()0y ax b a =+≠的值域(最值) 1、一次函数:()0y ax b a =+≠当其定义域为R ,其值域为R ; 2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值,只需分别求出()(),f m f n ,并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时,需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二:二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域(最值) 1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ,当其定义域为R 时,其值域为 ()()22 4 044 04ac b y a a ac b y a a ?-≥>???-?≤时,()2b f a -是函数的最小值,最大值为(),()f m f n 中 较大者;当0a <时,()2b f a -是函数的最大值,最大值为 (),()f m f n 中较小者。 (2)若[],2b m n a - ?,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大(小)值。 特别提醒: ①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值; ②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时,要结合图像来确函数的值域; ③当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。 例1:已知()22f x x --的定义域为[)3,-+∞,则()f x 的定义域为(],1-∞。 例2:已知()211f x x -=+,且()3,4x ∈-,则()f x 的值域为()1,17。 题型三:一次分式函数的值域 1、反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{}0x x ≠,值域为{}0y y ≠ 2、形如:cx d y ax b +=+的值域:

函数值域求法十一种

函数值域求法十一种 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 例1. 求函数x 1y = 的值域。 解:∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是:),0()0,(+∞-∞ 例2. 求函数x 3y - =的值域。 解:∵0x ≥ 3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是:]3,[-∞ 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-=的值域。 解:将函数配方得: 4)1x (y 2 +-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知:当x=1时,4y min =,当1x -=时,8y max = 故函数的值域是:[4,8] 3. 判别式法 例4. 求函数 22x 1x x 1y +++= 的值域。 解:原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2=-+- (1)当1y ≠时,R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2≥----=? 解得:23y 2 1≤ ≤

(2)当y=1时,0x =,而? ?????∈23,211 故函数的值域为? ?????23,21 例5. 求函数) x 2(x x y -+ =的值域。 解:两边平方整理得: 0y x )1y (2x 22 2=++-(1) ∵R x ∈ ∴ 0y 8)1y (42 ≥-+=? 解得:21y 21+≤≤- 但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-,得2x 0≤≤ 由0≥?,仅保证关于x 的方程: 0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由 0 ≥?求出的围可能比y 的实际围大,故不能确定此函数的值域为? ?? ???23,21。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵2x 0≤≤ )x 2(x x y ≥-+=∴ 21y ,0y min + ==∴代入方程(1) 解得:] 2,0[2 2 222x 41∈-+= 即当 22222x 41-+= 时, 原函数的值域为:]21,0[+ 注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。 4. 反函数法 直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6. 求函数6x 54 x 3++值域。 解:由原函数式可得: 3 y 5y 64x --=

专题_高中函数值域的求法(讲义与练习)+

专题 求函数值域的常用方法及值域的应用 三、值域的概念和常见函数的值域 ........................................................................................ - 1 - 四、求函数值域(最值)的常用方法 ..................................................................................... - 1 - 4.1.直接法 ................................................................................................................. - 1 - 4.2配方法 .................................................................................................................. - 2 - 4.3换元法 .................................................................................................................. - 3 - 4.4基本不等式法 ........................................................................................................ - 4 - 4.5函数的单调性(导数)法 ......................................................................................... - 5 - 4.6数形结合法 ........................................................................................................... - 7 - 4.7函数的有界性法 ..................................................................................................... - 8 - 4.8分离常数法 ........................................................................................................... - 9 - 4.8 三角函数中的值域问题 ......................................................................................... - 10 - 五、高考真题汇编 ............................................................................................................ - 11 - 三、值域的概念和常见函数的值域 1、定义:函数值y 的取值围叫做函数的值域(或函数值的集合)。 函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 2、常见函数的值域: 一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R. 二次函数()2 0y ax bx c a =++≠,当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞?? ?? ,当0a <时的值域为24,4ac b a ?? --∞ ?? ?., 反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R. 正,余弦函数的值域为[]1,1-,正,余切函数的值域为R. 四、求函数值域(最值)的常用方法 4.1.直接法 从自变量x 的围出发,推出()y f x =的取值围。或由函数的定义域结合图象,或直观观察,准确判断函数值域的方法。

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