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高中函数定义域,值域,解析式求法大全

抽象函数定义域的类型及求法

函数概念及其定义域函数的概念：设是,A B 非空数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为集合A 到集合B 的函数，记作：(),y f x x A =∈。其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值. 复合函数的定义

一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.

例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+；复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，

22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+

问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。

一、已知

()

f x 的定义域，求

[]()f g x 的定义域

其解法是：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．

例1 已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．

分析：该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤410

x ∴

≤≤．故函数(35)f x -的定义域为41033??

????

，．练习1.已知()f x 的定义域为](

3,5-，求函数(32)f x -的定义域；17,33

- ???

练习2.已知)(x f 的定义域为]30(，

，求)2(2x x f +定义域。[)(]1,02,3 -- 二、已知

[]

()f g x 的定义域，求()f x 的定义域

其解法是：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域．

例1.已知函数2

(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域．

分析：令2

22u x x =-+，则2

(22)()f x x f u -+=，由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取

值范围即为()f x 的定义域．

解：由03x ≤≤，得21225x x -+≤≤．令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，

15u ≤≤．

故()f x 的定义域为[]15，．

练习1若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域[]4,11- 例2.已知)1(+x f 的定义域为)32[，-，求()2-x f 的定义域。

解由)1(+x f 的定义域为)32[，-得32<≤-x ，故411<+≤-x 即得()x f 定义域为)41[，-，从而得到421<-≤-x ，所以61<≤x 故得函数()2-x f 的定义域为[)6,1 三、运算型的抽象函数

求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．

例1. 若()f x 的定义域为[]3

5-，，求()()(25)x f x f x ?=-++的定义域．解：由()f x 的定义域为[]35-，，则()x ?必有353255x x --??

-+?，

，

≤≤≤≤解得40x -≤≤．

所以函数()x ?的定义域为[]

40-，

例2已知函数()x f 定义域为是],[b a ，且0>+b a ,求函数()()()m x f m x f x h -++=()0>m 的定义域

解: ??

?+≤≤+-≤≤-???

?≤-≤≤+≤m b x m a m

b x m a b m x a b m x a ，m a m a m +<-∴>,0 m b m b +<-，又m b m a +<-

要使函数()x h 的定义域为非空集合，必须且只需m b m a -≤+，即2

b m -≤<，这时函数

()x h 的定义域为],[m b m a -+

总结解题模板

1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域

由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。

2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域

方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。

3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域

结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得

()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。

4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域

若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

函数解析式的七种求法

一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则

ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([

∴???=+=342b ab a ∴?????

?=-===32

12b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或二、

配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成

()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而

是()g x 的值域。

例2 已知221

)1(x x x x f +=+

)0(>x ，求 ()f x 的解析式解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21

≥+x

x 2)(2-=∴x x f )2(≥x

三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 解：令1+=

x t ，则1≥t ，2)1(-=t x x x x f 2)1(+=+ ∴,

1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1

)(2-=∴x x f

)1(≥x

x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例4已知：函数)(2

x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点

则?????=+'-=+'32

22y y x

x ，解得：???-='--='y y x x 64 ，点),(y x M '''在)(x g y =上 x x y '+'='∴2

把???-='--='y

y x x 64代入得：)4()4(62--+--=-x x y 整理得672---=x x y ∴67)(2---=x x x g

五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例5 设,)1(2)()(x x

f x f x f =-满足求)(x f 解 x x f x f =-)1(2)( ① 显然,0≠x 将x 换成x 1，得x

x f x f 1

)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得x

x x f 32

3)(--

= 例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,1

)()(-=

+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式解 )(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，)()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴ 又1

1)()(-=+x x g x f ① ，

用x -替换x 得：11)()(+-

=-+-x x g x f 即11)()(+-=-x x g x f ② 解① ②联立的方程组，得11)(2-=x x f ， x

x x g -=21

)(

六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量

进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f

解对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，不妨令0x =，则有

1)1(1)1()0()(2+-=-+=+--=-y y y y y y f y f 再令 x y =- 得函数解

析式为：1)(2

++=x x x f

七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭

乘或者迭代等运算求得函数解析式。

例8 设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有

ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f

解

+∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，，∴不妨令1,==b x a ，得：

x x f f x f -+=+)1()1()(，

又1)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故 ①

分别令①式中的1,21x n =-

得：(2)(1)2

(3)(2)3,()(1),

f f f f f n f n n -=-=--= 将

上述各式相加得：

n f n f ++=-32)1()(，

2)1(321)(+=+++=∴n n n n f +∈+=∴N x x x x f ,2

21)(2 2. 1．}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（）

A 、 0个

B 、 1个

C 、 2个

D 、3

2．求下列函数的定义域:

(1) 21

x y x

(2) y = (4) y=a x (a>0,a ≠1) (5) y=x 0

3．设函数3,(10)

()(5),(10)x x f x f x x -≥?=?

，则(5)f ＝．

4.求下列函数的解析式:

(1)已知f (x+1)=x 2

-3x+2，求f (x ). (2)已知f (x )+2f (

)=3x ,求f (x )的解析式反馈型题组

5．.(08年,全国Ⅰ高考题)

函数y ）

A ．{}

|0x x ≥

B ．{}

|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥

D ．{}

|01

x x ≤≤6.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是

7.(08年德州)对任意整数x,y,函数()f x 满足()()()1f x y f x f y xy +=+++,若()f x =1,那么

A ．

B ．

C ．

D ．

(8)f -等于 ( )

A. -1

B. 1

C. 19 D 43

8.已知f （x ）是一次函数，且2f(x)+f(-x)=3x+1对x R 恒成立，则f （x ）=__________.

函数值域求法十一种

1. 直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1. 求函数x 1

y =

的值域。

解：∵0x ≠

∴0x 1≠

显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞

例2. 求函数x 3y -

=的值域。

解：∵0x ≥

3x 3,0x ≤-≤-∴

故函数的值域是：]3,[-∞

2. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数

]2,1[x ,5x 2x y 2

-∈+-=的值域。解：将函数配方得：4)1x (y 2

+-= ∵]2,1[x -∈

由二次函数的性质可知：当x=1时，4y m i n =，当1x -=时，8y m a x =

故函数的值域是：[4，8]

3. 判别式法

例4. 求函数

22x 1x x 1y +++=

的值域。

解：原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2=-+- （1）当1y ≠时，R x ∈

0)1y )(1y (4)1(2≥----=?

解得：23y 2

1≤

≤ （2）当y=1时，0x =，而?

???∈23,211 故函数的值域为?

?????23,21

例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。

解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 22

2=++-（1） ∵R x ∈

∴0y 8)1y (42

≥-+=? 解得：21y 21+≤≤-

但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤

由0≥?，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 22

2=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥?求出的

范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为?

?????23,21。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵2x 0≤≤

0)x 2(x x y ≥-+=∴

21y ,0y min +==∴代入方程（1）

解得：

]

2,0[2

222x 41∈-+=

即当

22222x 41-+=

时，

原函数的值域为：]21,0[+

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例6. 求函数6x 54

x 3++值域。

解：由原函数式可得：3

y 5y 64x --=

则其反函数为：

3x 5y 64y --=

，其定义域为：53

x ≠

故所求函数的值域为：?

?? ?

∞-53,

5. 函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例7. 求函数1e 1e y x

x +-=的值域。

解：由原函数式可得：1y 1

y e x -+=

∵0e x >

∴01y 1

y >-+

解得：1y 1<<-

故所求函数的值域为)1,1(-

例8. 求函数3x s i n x

c o s y -=

的值域。

解：由原函数式可得：y 3x cos x sin y =-，可化为：

y 3)x (x sin 1y 2=β++ 即

1y y 3)x (x sin 2+=

β+

∵R x ∈

∴]1,1[)x (x sin -∈β+

即1

1y y 312

≤+≤

解得：

42y 42≤≤-

故函数的值域为????

???-42,42

6. 函数单调性法

例9. 求函数)10x 2(1x log 2y 35

x ≤≤-+=-的值域。

解：令

1x log y ,2y 325

x 1-==- 则21y ,y 在[2，10]上都是增函数所以21y y y +=在[2，10]上是增函数

当x=2时，

12l o g

2y 3

3m i n =

-+=-

当x=10时，

339log 2y 35

max =+=

故所求函数的值域为：?

?????33,81

例10. 求函数1x 1x y --+=

的值域。

解：原函数可化为：

1x 1x 2

y -++=

令1x y ,1x y 21-=+=，显然21y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数所以1y y =，2y 在],1[+∞上也为无上界的增函数

所以当x=1时，21y y y +=有最小值2，原函数有最大值2

显然0y >，故原函数的值域为]2,0(

7. 换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例11. 求函数1x x y -+=的值域。解：令t 1x =-，)0t (≥ 则1t x 2+=

∵

)21t (1t t y 22+

+=++= 又0t ≥，由二次函数的性质可知

当0t =时，1y m i n = 当0t →时，+∞→y 故函数的值域为),1[+∞

例12. 求函数

)1x (12x y +-++=的值域。

解：因0)1x (12

≥+-

即

1)1x (2

≤+ 故可令],0[,cos 1x π∈ββ=+ ∴1cos sin cos 11cos y 2+β+β=β-+

+β=

)4sin(2+π

+β=

∵

π≤π+

β≤π≤β≤45

40,0

11)4sin(201)4

sin(22+≤+π

+β≤∴≤π+β≤-

∴ 故所求函数的值域为]21,0[+

例13. 求函数1x 2x x x y 24

3++-=的值域。

解：原函数可变形为：

222

x 1x 1x 1x 221y +-?+?=

可令β=tg x ，则有β=+-β=+2222cos x 1x 1,2sin x 1x 2

-=β?β-=∴4sin 41

2cos 2sin 21y

当

82k π-π=

β时，

41y m a x =

当82k π+π=

β时，

y m i n -

= 而此时βtan 有意义。故所求函数的值域为?

????

?-41,41

例14. 求函数)1x )(c o s 1x (s i n y ++=，?

???ππ-∈2,12x 的值域。

解：)1x )(c o s 1x (s i n y ++=

1x cos x sin x cos x sin +++=

令t x cos x sin =+，则)

1t (21

x c o s x s i n 2-=

2)1t (21

1t )1t (21y +=++-=

由)4/x sin(2x cos x sin t π+=

且??????ππ-∈2,12x

可得：2t 22

≤≤ ∴当2t =

时，

y m a x +=

，当2

2t =时，

43y +=

故所求函数的值域为???????

?++223

,2243。

例15. 求函数2

x 54x y -++=的值域。

解：由0x 52≥-，可得5|x |≤ 故可令],0[,cos 5x π∈ββ=

)4sin(10sin 54cos 5y +π

+β=β++β=

∵π≤β≤0 4544π≤π+β≤π∴

当4/π=β时，104y max += 当π=β时，54y m i n -=

故所求函数的值域为：]104,54[+

8. 数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例16. 求函数

2)8x ()2x (y ++-=的值域。

解：原函数可化简得：|8x ||2x |y ++-=

上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），)8(B -间的距离之和。由上图可知，当点P 在线段AB 上时，10|AB ||8x ||2x |y ==++-=

当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，10|AB ||8x ||2x |y =>++-= 故所求函数的值域为：],10[+∞

例17. 求函数5x 4x 13x 6x y 22

+++

+-=的值域。

解：原函数可变形为：

222)10()2x ()20()3x (y ++++-+-=

上式可看成x 轴上的点)0,x (P 到两定点)1,2(B ),2,3(A --的距离之和，

由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，

43)12()23(|AB |y 2

2min =+++==，故所求函数的值域为],43[+∞

例18. 求函数5x 4x 13x 6x y 22++-+-=

的值域。

解：将函数变形为：

222)10()2x ()20()3x (y -++--+-=

上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0）的距离与定点)1,2(B -到点)0,x (P 的

距离之差。

即：|BP ||AP |y -=

由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点'P ，则构成'A B P ?，根据三角形两边之差小于第三边，有

26)12()23(|AB |||'BP ||'AP ||22=-++=<-

即：26y 26<<-

（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有26|AB |||BP ||AP ||==-

综上所述，可知函数的值域为：]26,26(-

注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A 、B 两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A ，B 两点在x 轴的同侧。

如：例17的A ，B 两点坐标分别为：（3，2），)1,2(--，在x 轴的同侧；例18的A ，B 两点坐标分别为（3，2），)1,2(-，在x 轴的同侧。

9. 不等式法

利用基本不等式abc 3c b a ,ab 2b a 3≥++≥+)R c ,b ,a (+

∈，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例19. 求函数

4)x c o s 1x (c o s )x s i n 1x (s i n y 2

2-+++

=的值域。

解：原函数变形为：

2x cot x tan 3x cot x tan 3x sec x ces 1x

cos 1x sin 1)x cos x (sin y 22322222222=+≥++=++=+

++=

当且仅当x cot x tan =

即当

4k x π

π=时)z k (∈，等号成立故原函数的值域为：),5[+∞

例20. 求函数x 2s i n x s i n 2y =的值域。解：x c o s x s i n x s i n 4y = x cos x sin 42=

64]3/)x sin 22x sin x [(sin 8)x sin 22(x sin x sin 8x cos x sin 16y 322222224=-++≤-==

当且仅当x sin 22x sin 22-=，即当32

x sin 2=

时，等号成立。

由

2764

y 2≤

可得：938y 9

38≤

≤- 故原函数的值域为：???????

?-938,938

10. 一一映射法

原理：因为

)0c (d cx b

ax y ≠++=

在定义域上x 与y 是一一对应的。故两个变量中，

若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。例21. 求函数

1x 2x

31y +-=

的值域。

解：∵定义域为??

????

->-<21x 21x |x 或由1x 2x 31y +-=

得3y 2y 1x +-=

故

213y 2y 1x ->+-=

或21

3y 2y 1x -<+-=

解得

23y 23y -

>-<或故函数的值域为?

??+∞-??? ?

?-∞-,2323,

11. 多种方法综合运用

例22. 求函数3

x 2x y ++=

的值域。解：令)0t (2x t ≥+=，则1t 3x 2+=+

（1）当0t >时，

t 1t 11t t y 2≤+=+=，当且仅当t=1，即1x -=时取等号，所以

21y 0≤

（2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为：?

?????21,0

注：先换元，后用不等式法

例23. 求函数

42432x x 21x x x 2x 1y ++++-+=

的值域。

解：423

242x x 21x x x x 21x x 21y +++++++-=

x 1x x 1x 1++???

? ?

?+-=

令2tan x β=，则β=?

??? ??+-22

c o s x 1x 1

β=+sin 21

x 1x 2

sin 21

sin sin 21cos y 22+β+β-=β+β=∴

161741sin 2

??? ?

-β-= ∴当

s i n =

β时，

1617y max =

当1sin -=β时，2y m i n

此时

2t a n

β都存在，故函数的值域为?????

?-1617,2 注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用βsin 的有界性。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。