文档视界 最新最全的文档下载
当前位置:文档视界 › 毕业论文-二阶常微分方程解存在的问题

毕业论文-二阶常微分方程解存在的问题

2012届毕业生

毕业论文

题目: 二阶常微分方程解的存在问题分析

院系名称:专业班级:

学生姓名:学号:

指导教师:教师职称:

2012年5月25日

摘要

在科学研究、工程技术中,常常需要将某些实际问题转化为二阶常微分方程问题。因此,研究不同类型的二阶常微分方程的求解方法及探讨其解的存在唯一性问题,是十分重要的。本文首先介绍了二阶常系数齐次线性微分方程的一般解法——特征方程法,及二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法,然后又介绍了一些可降阶的微分方程类型。接着讨论了二阶变系数微分方程的幂级数解法,并论述了如何利用变量代换法将某些变系数方程化为常系数方程。另外,本文还介绍了求解初值问题的另一种方法——拉普拉斯变换法。最后,给出了二阶微分方程的存在唯一性定理的证明以及它的一些应用。

关键词:二阶线性微分方程,常系数,变系数,通解,特解,存在唯一性

Title: Analysis of the solution existence problem for Second order ordinary differential equation

Abstract

In science, engineering technology, we often need to conversion some practical problems into second-order ordinary differential equations. Therefore, to study the methods of different types of second order ordinary differential equation and to investigate the existence and uniqueness of the solution is very important. The paper first introduces the general solution of the second order constant coefficient homogeneous linear differential equations - the characteristic equation method, and the method for solving second order constant coefficient non-homogeneous linear differential equation undetermined coefficients, then describes some types of differential equation which can be reduced -order . Followed it, this article also discusses the utilization of power series solution to solve the second-order variable coefficient differential , and discusses how to use variable substitution to conversion certain equations with variable coefficients into constant coefficient. In addition, the article also describes another method for solving initial value problems - Laplace transform method. Finally, there gives the proof of the existence and uniqueness theorem of the second-order differential equations as well as some of its applications.

Keywords:Second order linear differential ,Constant Coefficients ,Variable Coefficients ,General solution ,Particular solution ,Existence and Uniqueness .

目 录

§1 引言 (1)

§2 常系数线性微分方程的解法 (1)

2.1 二阶常系数齐次线性微分方程的解法——特征方程法 (1)

2.2 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 (3)

2.2.1类型Ⅰ:x n e x P x f λ)()(= (3)

2.2.2类型Ⅱ:x n m e x x P x x P x f λωω)sin )(cos )(()(+= (6)

§3 二阶微分方程的降阶和幂级数解法 (7)

3.1 可将阶的一些方程类型 (7)

3.2 二阶线性微分方程的幂级数解法 (10)

3.3 二阶变系数线性微分方程的常系数化 (12)

3.3.1 欧拉方程 (12)

3.3.2 二阶线性微分方程的常系数化 (13)

§4 拉普拉斯变换 (14)

§5 二阶微分方程的存在唯一性 (16)

5.1 存在唯一性定理 (16)

5.2 应用举例 (21)

5.2.1 关于二阶线性齐次方程解的零点 (21)

5.2.2 二阶线性非齐次方程的边值问题 (21)

致 谢 (24)

参考文献 (25)

§1 引言

二阶线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程。这不仅是因为其一般理论已经研究地比较清楚,而且还因为它是研究非线性微分方程的基础,在工程技术和自然科学中有着广泛的应用。本文将主要介绍几种不同类型的二阶线性微分方程的解法,及二阶微分方程的初值问题的存在唯一性定理。

§2 常系数线性微分方程的解法

2.1 二阶常系数齐次线性微分方程的解法——特征方程法

若21,y y 是二阶常系数齐次线性微分方程

0'''=++qy py y ,其中q p ,均为常数 (2.1)

的两个线性无关的解,那么(2.1)的通解就可表示成

2211y C y C y +=(21,C C 为任意常数)

由此可知,只要找到方程(2.1)的两个线性无关的解,就能求出(2.1)的通解。

我们知道,当r 为常数时,函数rx e y =和它的各阶导数只相差一个常数。因此,可以设想(2.1)有形如rx e y =的解,将rx e y =代入方程(2.1)得:

0)(2=++q pr r e rx

又0≠rx e ,则必有

02=++q pr r (2.2)

即如果rx e y =是(2.1)的解,则r 必满足方程(2.2).

反之,若r 满足方程(2.2),则rx e y =就是(2.1)的一个特解。

我们称方程(2.2)是方程(2.1)的特征方程,它的根就称为特征根,且特征根

2

422,1q p p r -±-=.

下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。

1)有两个不相等的实根)0(>?:

2421q p p r -+-=,2

422q p p r ---= 易知x r e y 1=和x r e y 2=是方程(2.1)的两个线性无关的特解,则方程(2.1)的通解为:

x r x r e C e C y 2121+=;

2)有两个相等的实根)0(=?:

2

21p r r -== 易知x r e y 1=是方程(2.1)的一个特解,设另一特解为rx e x C y )(2=,将222',''y y y 和代入到(2.1)得:

0)(')2(''1211=+++++C q pr r C p r C (2.3) 又2

21p r r -==,q p 42=,则可得0''=C ,不妨取x x C =)(,代入(2.3)得: x r xe y 12=,则方程(2.1)的通解为:

x r e x C C y 1)(21+= ;

3)有一对共轭复根)0(

βαi r +=1,βαi r -=2

易知x i e

y )(~1βα+=与x i e y )(~

2βα-=是方程(2.1)的两个线性无关的复值解。 而 )sin (cos )(x i x e e x x i ββαβα+=+,)sin (cos )(x i x e e x x i ββαβα-=-

若取

x e y y y x βαcos )(21~2~11=+=,x e y y y x βαsin )(2

1~2~12=-= 由解的叠加性知,21,y y 也是方程(2.1)的两个特解,又

常数≠==x x

e x e y y x x βββααcot sin cos 21, 于是,21,y y 就是方程(2.1)的两个线性无关的实值解。从而方程(2.1)的通解为:

)sin cos (21x C x C e y x ββα+=。

2.2 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

现在讨论二阶常系数非齐次线性微分方程

)('''x f qy py y =++ (2.4)

的求解问题。这里q p ,是常数,)(x f 是连续函数。

我们可以由其对应的齐次线性微分方程(2.1)的通解出发,使用常数变易法求出(2.4)的特解。因而,只要能求出(2.1)的特征根,(2.4)的求解问题就已经解决。但是,这样的方法往往是比较繁琐的,而且必须经过积分运算。事实上,只要求得方程(2.1)的通解,再求出该方程的一个特解,就可得出它的通解表达式。

下面,我们讨论当)(x f 是某些特殊形式的连续函数时,所适用的求解其特解的简便方法——待定系数法。

2.2.1类型Ⅰ:x n e x P x f λ)()(=

设)(x P n 是n 次多项式,即

n n n n n p x p x p x p x P ++++=--1110)( (1≥n )

下面来证明:

1)当λ不是特征根时,(2.4)有形如x n e x Q x y λ)()(=的特解,其中)(x Q n 是关于x 的n 次待定的多项式,即

n n n n n q x q x q x q x Q ++++=--1110)( .

2)当λ是)1(≥k 重特征根时,(2.4)有形如x n k e x Q x x y λ)()(=的特解,其中)(x Q n 也是形如上述的n 次多项式。)(x y 中)(x Q n 的系数可以由待定系数法求得。

证: 1 若0=λ,此时

n n n n n p x p x p x p x P x f ++++==--1110)()( ,

下面分两种情况进行讨论。

(i )若0=λ不是特征根,(2.4)的特征方程为0)(2=++=q p F λλλ, 则0)0(≠=q F .

)(x f 是n 次多项式,∴方程(2.4)有如下形式的特解:

)(1110x Q q x q x q x q y n n n n n =++++=-- (2.5)

将(2.5)代人(2.4)得:

)2()62()(21321110------+++++++++n n n n n n n n q pq qq x q pq qq x npq qq x qq

n n n n p x p x p x p ++++=--1110

等式两边x 的同次幂系数相等,得到一个确定待定系数n q q q ,,,10 的方程组:

?????????=++=++=+=------n

n n n n n n n p q pq qq p q pq qq p npq qq p qq 211321

10100262

由于0≠q ,所以上述方程组有唯一解),,,(10n q q q

(ii )若0=λ是k 重特征根)2,1(=k

当1=k 时,有0)0(',0)0(≠=F F ,则0=q ,0≠p ,方程(2.4)变为:

)('''x f py y =+ (2.6)

令z y =',则(2.6)式变为:

)('x f pz z =+ (2.7)

0≠p ,0=∴λ不是(2.7)的特征根。

由(i )知,方程(2.7)有形如:

n n n n q x q x

q x q z ~

1~11~0~++++=-- 的特解。

从而, 1110++++++=n n n n q x q x q x q y ,

其中,.,,,)1(~

1~10~0n n q q nq q q n q ==+=

我们只需求出(2.4)的一个特解,故可取01=+n q ,此时,(2.4)的一个特解为 :

)()(110x xQ q x q x q x y n n n n =+++=- 2=k 时,有0)0(',0)0(==F F ,则0=q ,0=p ,方程(2.4)变为:

)(''x f y =

等式两边积分两次得:

211120++++++++=n n n n q x q x q x q y ,

其中,n n p q p nq n p q n n ==+=++2,,)1(,)1)(2(1100 .

取012==++n n q q ,则

)()(21102x Q x q x q x q x y n n n n =+++=-

所以,0=λ是k 重特征根时,方程(2.4)有形如)(x Q x y n k =的特解。

2 若0≠λ,作变量变换x ze y λ=,代入方程(2.4)可化为:

)()'''(321x P e A z A z A z e n x x λλ=+++

)('''321x P A z A z A z n =+++, (2.8)

其中,q A p A p A +=+=+=λλλλ3221,,.

由变换知,当(2.8)的特征根为μ时,(2.4)的特征根就为μλ+。从而,

方程(2.4)的非零特征根λ就对应于方程(2.8)的零特征根μ,并且重数也相同。因此,利用 1的结果就有如下结论:

当λ不是特征根时,(2.4)有形如x n e x Q x y λ)()(=的特解;当λ是)1(≥k 重特征根时,(2.4)有形如x n k e x Q x x y λ)()(=的特解。

2.2.2类型Ⅱ:x n m e x x P x x P x f λωω)sin )(cos )(()(+=

其中,)

(、x P x P n m )(分别为两个已知的关于x 的m 次和n 次多项式,ωλ,为常数。

由欧拉公式,得

i

e e x e e x x

i x i x i x i 2sin ,2cos ωωωωωω---=+=. 故)(x f 可以改写成

i e e e x P e e e x P x f x i x i x n x i x i x

m 2)(2)()(ωωλωωλ---++= x iw n x i m e x P e

x P )(~)(~)()(-++=λωλ (2.9) 其中,)(),(~~x P x P n m 分别是m 次和n 次多项式。

可以看出,(2.9)式就相当于两个类型Ⅰ形状的函数相加。由非齐次方程的叠加原理,就可求出类型Ⅱ的特解了。

叠加原理 设有二阶非齐次方程

)()('''21x f x f qy py y +=++ (2.10)

且)(),(21x y x y 分别是方程

),('''1x f qy py y =++)('''2x f qy py y =++

的解,则函数)()(21x y x y +是方程(2.10)的解。

根据叠加原理及类型Ⅰ讨论的结果,我们有

1)当ωλi ±不是特征根时,(2.4)有如下形式的特解

x i l x i l e x p e x p x y )()2*()()1*()()()(ωλωλ-++=

]sin )(cos )([)()2()1(x x p x x p e x y l l x ωωλ+= (2.11)

2)当ωλi ±是)1(≥k 重特征根时,(2.4)有如下形式的特解

])()([)()()2*()()1*(x i l x i l k e x p e x p x x y ωλωλ-++=

]sin )(cos )([)()2()1(x x p x x p e x x y l l x k ωωλ+= (2.12)

其中)(),(),(),()

2()1()2*()1*(x P x P x P x P l l l l 为两个待定多项式,),max (n m l =. 注意:当)

(、x P x P n m )(中有一个恒为零时,方程(2.4)仍具有形如(2.11)、(2.12)的特解。即不能当0)(≡x P m 时,就令0)()

1(=x P l ,而0)(≡x P n 时,就令0)()2(=x P l . §3 二阶微分方程的降阶和幂级数解法

3.1 可将阶的一些方程类型

1.方程不显含未知函数y 和未知函数的一阶导数'y ,即)(''x f y =

(3.1) 若令p y =',那么'''p dx

dp y ==,则方程(3.1)即降为关于p 的一阶微分方程 )('x f p =,

两边积分得:1)(C dx x f p +=?,两边再次积分,就能得到方程(3.1)的通解.

2. 方程不显含未知函数y ,即

)',(''y x f y = (3.2)

若令p y =',则方程(3.2)就变为

),('p x f p =,

这是一个关于p x ,的一阶微分方程.

3. 方程不显含自变量x ,即

)',(''y y f y =

(3.3) 若令p y =',那么

dy dp

p dx dy

dy dp

dx dp

y =?==''

则方程(3.3)就变为

),(p y f dy dp

p =

这是一个关于p y ,的一阶微分方程.

4.恰当导数方程型

二阶微分方程也可以表示成0)'',',,(=y y y x F 的形式。

若方程

0)'',',,(=y y y x F

(3.4) 的左端恰为某一函数0)',,(=y y x G 对x 的全导数,即

)'',',,()',,(y y y x F y y x G dx d

=

则称方程(3.4)为恰当导数方程。

于是,方程(3.4)可写成

0)',,(=y y x G dx d

则有

C y y x G =)',,(,(C 为任意常数)

这样就把原方程降为了一阶微分方程。

5.关于未知函数及其各阶导数都是齐次的方程

方程0)'',',,(=y y y x F 关于未知函数及其各阶导数都是齐次的是指

)'',',,(y y y x F 满足

)'',',,()'',',,(y y y x F t ty ty ty x F k ≡.

作变换?=zdx e y (z 是新未知函数),则有

?=zdx ze dx dy ,?+=zdx e dx dz z dx

y d )(222 代入到(3.4)中,有

0))(,,())(,,(22=?+=?+?zdx k zdx zdx e dx

dz z z x F e dx dz z ze x F 因为方程0)'',',,(=y y y x F 关于未知函数及其各阶导数都是齐次的,约去非零公因子?zdx e ,得到

0))(,,(2=+dx

dz z z x F 上式经整理后可化为0)',,(=z z x f 的形式,这就是关于新未知函数z 的一阶微分方程。

注意:若0

-=zdx e y 。实际问题中,我们作变换?±=zdx e y 后,还要考虑0=y 是不是方程的解。

6.二阶变系数齐次线性方程

0)(')(''21=++y x a y x a y (3.5)

若已知方程(3.5)的一个非零特解)(1x y ,我们作变换?=zdx y y 1,方程(3.5)就化为一阶变系数齐次微分方程:

0])('2['1111=++z y x a y z y

0)]('2['111=++z x a y y z (3.6)

其通解为:

?=-dx x a e y c z )(21

1(c 为任意常数) 我们取1=c ,则方程(3.6)的一个特解为:

?=-dx x a e y z )(21

211

从而(3.5)的一个特解为:

dx e y y dx z y y dx x a ?

??==-)(21121211 ≠?=?-dx e y y y dx x a )(21

1211 常数,21,y y ∴线性无关。 故方程(3.5)的通解为:

??+=+=-]1[)(21

21122111dx e y C C y y C y C y dx x a (21,C C 为任意常数) 3.2 二阶线性微分方程的幂级数解法

二阶线性微分方程

0)(')('')(210=++y x p y x p y x p (3.7)

在近代物理学以及工程技术中有着广泛的应用,但是,当它的系数)(),(),(210x p x p x p 不为常数时,它的解往往不能用“有限形式”表示出来。而幂级数解法就解决了这个问题,它不但对于求解方程有意义,而且由此引出了很多新的超越函数,在理论上具有很重要的地位。

定理 1 如果)(),(),(210x p x p x p 在某点0x 的邻域内解析,即它们可以展成)(0x x -的幂级数,且0)(00≠x p ,则(3.7)的解在0x 的邻域内也能展成)(0x x -的幂级数

.)(00n n n x x a y -=∑∞=

(3.8)

定理 2 如果)(),(),(210x p x p x p 在某点0x 的邻域内解析,而0x 是)(0x p 的s 重零点,是)(1x p 的不低于1-s 重的零点(若1>s ),是)(2x p 的不低于2-s 重的零点(若2>s ),则方程(3.7)至少有一个形如

n n n r x x a

x x y )()(000--=∑∞= (3.9)

的广义幂级数解,其中r 是某一常数。

注意:利用定理1、2求解方程(3.7)的过程如下:首先,判断)(),(),(210x p x p x p 在某点0x 的邻域内是否解析,也即是将)(),(),(210x p x p x p 展成)(0x x -的幂级数。再根据0)(00≠x p 或0)(00=x p 两种情况,分别在形式上假定(3.7)有形如(3.8)或(3.9)的幂级数解。将(3.8)或(3.9)微分后代人方程(3.7),并令等式两端x 的同次幂系数相等,从而得到关于(3.8)或(3.9)的系数k a 的方程组,解出k a 代人(3.8)或(3.9)中,便可得到(3.7)的形式解。另外,还要求出(3.8)或(3.9)的收敛区间,由于在收敛区间上才可以进行逐次微分与积分,这说明在前面将(3.8)或(3.9)代人(3.7)中是合理的。即最后所得的幂级数(3.8)或(3.9)在收敛区间上确是我们要求的解。

下面举个例子进行简单说明。

例:求0''=-xy y 的通解。

解:1)(,1)(20-==x p x p 在0=x 点解析且0)0(0≠p ,由定理1可设其有级数解

++++=n n x a x a a y 10

++++++-++?+?=+-+-n n n n n n x a n n x na n x a n n x a a y 211232)1)(2()1()1(2312'' 将'',y y 代入原方程中,得:

++++++-++?+?+-+-n n n n n n x a n n x na n x a n n x a a 211232)1)(2()1()1(2312 0][10=++++- n n x a x a a x

比较等式两端x 的的同次幂的系数,有:

,045,034,023,0122514032=-?=-?=-?=?a a a a a a a

解之得:

,4

5,34,23,02514032?=?=?==a a a a a a a 更一般地有

0,)

13(37643,3)13(65322311303=+???=-???=++k k k a k k a a k k a a ,

其中,10,a a 是任意的。 则]3)13(65326532321[3630 +-???++???+?+=n

n x x x a y n ])

13(37643764343[1

3741 ++???++???+?+++n n x x x x a n 这个幂级数的收敛半径是无穷大,则上式就是原方程的通解。

3.3 二阶变系数线性微分方程的常系数化

3.3.1 欧拉方程

形如

0'1)1(11)(=++++---y a xy a y x a y x n n n n n n , (3.10)

的方程称为欧拉方程,其中n a a a ,,21都是常数。此方程可以通过变量变换化为常系数线性方程。

下面以二阶欧拉方程为例介绍一下此类方程常系数化的过程。

我们在开区间),0(∞上考虑二阶欧拉方程

0'''212=++y a xy a y x (3.11)

令t e x =,即x t ln =,引进新的变量t (如果在)0,(-∞上,则令t e x -=,所得结果与上述情况一样)。则有

dt

dy x dx dt dt dy dx dy 1==, x dt dy dx d dt dy dx x d dt dy x dx d dx dy dx d dx y d 1)()1()1()(22

+=== )(1222dt dy dt y d x -= 于是,我们可得到

dt

dy dx dy x =,dt dy dt y d dx y d x -=22222 将其代入方程(3.11)中,得

0)1(2122=+-+y a dt dy a dt y d , (3.12)

这样,方程(3.11)就化为了二阶常系数线性方程。

根据二阶常系数线性方程的特征方程解法,我们就可以求得方程(3.12)的通解,再将t 换成原来的变量x (注意:||ln x t =),就可得出方程(3.11)的通解。

由上述推导过程,我们知道方程(3.12)有形如Kt e y =的解,从而方程(3.11)就有形如K x y =的解。将K x y =代入(3.11)并约去因子K x ,就得到确定K 的代数方程

0)1(21=++-a K a K K (3.13)

我们称(3.13)为二阶欧拉方程的特征方程,它的根就称为特征根。

类似于二阶常系数线性微分方程的特征方程法中特征根与通解之间的对应关系,我们可以得到:

1)当(3.13)有两个不同的实根21,K K 时,方程(3.11)的通解为

2121K K x C x C y +=;

2)当(3.13)有两个相同的实根21K K =时,方程(3.11)的通解为

||ln 1121x x C x C y K K +=;

3)当(3.13)有一对共轭复根βαi K +=1,βαi K -=2时,方程(3.11)的通 解为

|)|ln sin(|)|ln cos(21x x C x x C y ββαα+=。

3.3.2 二阶线性微分方程的常系数化

对二阶变系数齐次线性微分方程

0)(')(''=++y x q y x p y (3.14)

(其中)(),(x q x p 均为连续函数)

作变换z x f y )(=,则有

')()(''z x f z x f y +=,'')(')('2)(''''z x f z x f z x f y ++=

代入到(3.14)中,得

0))(')(''('))('2(''=+++++z f x q f x p f z f x p f fz (3.15)

不妨令'z 的系数等于零,即

0)('2=+f x p f

从而

?=-dx x p e

f )(2

1 则 f x p x p f f x p f )]('2

1)(41['',)(21'2-=-= 代入到方程中,整理得 0)(''=+z x Q z ().('2

1)(41)()(2x p x p x q x Q --=) 当)(x Q 取某些特殊的函数时。我们有:

1)2)(x

C x Q =(C 为常数),方程(3.15)可化为欧拉方程。 2)C x Q =)((C 为常数),方程(3.15)可化为常系数线性方程。

§4 拉普拉斯变换

我们已经知道二阶常系数线性方程

)('''x f qy py y =++ (4.1)

的通解结构和求解方法,但是,在实际问题中往往还要求(4.1)的满足初始条件0000')(',)(y x y y x y ==的解。我们当然可以先求出(4.1)的通解,然后由初始条件确定其中的任意常数。此外,还有另外一种方法可以求解初值问题,即拉普拉斯(Laplace )变换法.因为它无需求出已知方程的通解,而是直接求出它的特解来,从而在运算上得到很大简化。

1拉普拉斯变换的定义

设函数)(t f 在区间),0[+∞上有定义,如果含参量s 的无穷积分

??-+∞

∞→-=T

st T st dt t f e dt t f e 00)(lim )( 对s 的某一取值范围是收敛的,则称

?+∞-=0)()(dt t f e s F st (4.2)

为函数)(t f 的拉普拉斯变换,)(t f 称为原函数,)(s F 称为象函数,并且记为

)()]([s F t f =

2一些特殊函数的拉普拉斯变换

1))0(Re 1]1[>=s s

2))0(Re 1][2>=s s

t 3))0Re ,(!][1>=+s n s

n t n n 是正整数 4))Re (Re 1][a s a

s e at >-= 5))Re Re ,()

(!][1a s n a s n e t n at n >-=+是正整数 6))0(Re ][sin 22>+=

s s t ωωω 7))0(Re ][cos 22>+=s s s t ω

ω 3拉普拉斯变换的基本性质

1)线性性质:设函数)(1t f ,)(2t f 满足定理3的条件,则在它们的象函数共同的定义域上,有

)]([)]([)]()([22112211t f C t f C t f C t f C +=+

其中21,C C 为任意常数。

2)原函数的微分性质:如果)(),(''),(')(t f t f t f n 均满足定理3的条件,则

),0()]([)]('[f t f s t f -=

).0()0(')0()]([)]([)1(21-------=n n n n n f f s f s t f s t f

3)象函数的微分性质:如果)()]([s F t f = ,则

)],([)(t tf s F ds

d -= )].([)1()(t f t s F ds d n n n n

-= 4)如果)]([)(t f s F =,则).()]([a s F t f e at -=

4拉普拉斯变换的应用举例

下面运用拉普拉斯变换法来求解二阶常系数线性方程的初值问题:

.')0(',)0();('''00y y y y t f qy py y ===++

)]([)()],([)(t f s F t y s Y ==

方程两端同取拉普拉斯变换,得到:

)].([]'''[t f qy py y =++

由拉普拉斯变换的性质,整理得:

).()]([)]([)]('[)](''[s F t f t y q t y p t y ==++

也即

).()())(()')((0002s F s qY y s sY p y sy s Y s =+-+--

解之得:

.)

(')()(200q ps s s F y y p s s Y +++++=

上式使用拉普拉斯逆变换即可求出初值问题的解)(t y 。

注:由象函数)(s Y 求原函数)(t y 的运算称为拉普拉斯逆变换,记为

).()]([1t y s Y =-

§5 二阶微分方程的存在唯一性

5.1 存在唯一性定理

如果在二阶微分方程

)',,(''y y x f y =

(5.1)

相关文档