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圆与组合图形(二)

第四讲圆与组合图形(二)

一、训练目标

知识传递:运用整体代换法、旋转、平移、等积变形、及等腰三角形的特殊性来解题。

能力强化:分析能力、综合能力、观察能力、操作能力。

思想方法:转化思想、比较思想、恒等思想。

二、知识与方法归纳

数量代换法。有些图形,数量关系比较隐蔽,可以利用题中数量间的关系,相互代换,求出其中一个数量,把未知条件转化成已知条件。

旋转平移变形法。面积的大小具有恒定性,有时图形的位置或方向不利于解题,可以把某一部分能力旋转平移来使条件之间有关联,从而为解题创造条件。

等积变形法。在三角形中,如果两个三角形(或平行四边形)等底等高,则这两个三角形(或平行四边形)面积相等。除去这两个图形的公共部分,则它们剩余部分面积相等。我们经常要用到这种思想方法。

等腰直角三角形的特殊性。在等腰直角三角形中,两直角边相等。斜边上的高等于斜边的一半。斜边上的高恰好是等腰直角三角形的对称轴。

三、经典例题

类型5 利用R2代换

例1已知正方形ABCD的对角线AC长为10厘米,求阴影部分的面积。

圆与组合图形(二)

圆与组合图形(二)

例2 如图,已知下图中阴影部分面积为200平方厘

米,求两圆之间的环形面积。

圆与组合图形(二)

类型6 利用等积变形求面积

例3 如图,已知大正方形边长为10分米,求阴影

部分的面积。

圆与组合图形(二)

A B C D

E F

G

H

类型7 利用等腰直角三角形的特殊性求面积

例4 如图,已知等腰直角三角形ABC 的面积为12

平方厘米,求阴影部分的面积。

A B C

类型8 利用平移与旋转来求面积

例5

如图是个对称图形,求阴影部分的面积。

圆与组合图形(二)

圆与组合图形(二)

四、内化练习

1、 圆内有一最大的正方形,已知圆的面积是50.24

平方厘米,请计算四个弓形的面积之和。

圆与组合图形(二)

2、 如图,已知三角形ABC 为等腰直角三角形,BC

为圆的直径且 BC=12厘米,求阴影部分的面积。

A B

圆与组合图形(二)

C

3、 已知正方形的边长为10厘米,求阴影部分的面

积。

圆与组合图形(二)

圆与组合图形(二)

4、 已知直角三角形ABC ,其中AC=20厘米。求阴

影部分的面积是多少。

圆与组合图形(二)

5、 如图,已知阴影部分的面积为30平方厘米,求

圆环的面积。

A

B C

D

圆与组合图形(二)

6、如图,求阴影部分的面积。

圆与组合图形(二)

圆与组合图形(二)

7、如图中,正方形面积为50,求阴影部分的面积。

圆与组合图形(二)

圆与组合图形(二)

8、如图,已知AB为小圆的直径,AB垂直CO,∠

ACB=90°,三角形ABC的面积为29平方分米,求阴影部分的面积。

圆与组合图形(二)

圆与组合图形(二)

9、如图,已知平行四边形面积为40平方厘米,求

阴影部分的面积。

圆与组合图形(二)

10、在羊圈外面的一角用长30米的绳子拴着一只羊

(见下图)。问:这只羊能够活动的范围有多大?

(π取3.14)

五、家庭交流内容

类型5 利用R2代换

例6已知正方形ABCD的对角线AC长为10厘米,求阴影部分的面积。

圆与组合图形(二)

圆与组合图形(二)

解答提示:作四个同样的ADC扇形,则可以拼成一个完整的圆,中间有一个正方形。正方形的面积容易求出来,正方形面积除以4容易得到一个三角形的面积。又因为三角形面积也可以等于半径乘以半径再除以2,由此容易求出半径的平方。继而容易求出扇形的面

积。再就容易求出阴影面积。

专家点评:利用R 2来替换是一种重要的思想方法,大

家要熟练掌握。

例7 如图,已知下图中阴影部分面积为200平方厘

米,求两圆之间的环形面积。

圆与组合图形(二)

圆与组合图形(二)

解答提示:作如图的辅助线,则辅助线将阴影部分分

成了4个部分,则每个部分阴影面积为50平方厘米,

每个阴影部分面积恰好等于R 2-r 2。由此问题可解。

专家点评:利用整体来替换是一种重要的思想方法,

大家要熟练掌握。

类型6 利用等积变形求面积

例8 如图,已知大正方形边长为10分米,求阴影

部分的面积。

A B C D

E F

G

H

圆与组合图形(二)

解答提示:连结DB ,则三角形DBG 与三角形DBE 等底

等高,所以面积相等,所以三角形DHG 面积等于BEH 。

所以求阴影面积等于求扇形BEG 的面积。

专家点评:在求不规则图形面积时,经常要用到等积

变形。

类型7 利用等腰直角三角形的特殊性求面积

例9 如图,已知等腰直角三角形ABC 的面积为12

平方厘米,求阴影部分的面积。

A

B C

解答提示:连结OC ,设圆的半径为r 厘米,则有 2r

×r ÷2=12

所以可以得 r 2=12,由此容易求出半圆面积,进而容

易求出阴影部分面积。

专家点评:同一个三角形,它的面积有三种不同的表

达方式(因为它有三条底和三条对应的高),这种思想

在数学中要经常用到。

类型8 利用平移与旋转来求面积

例10 如图是个对称图形,求阴影部分的面积。

圆与组合图形(二)

圆与组合图形(二)

O

解答提示:将右半边图形以中心点顺时针旋转180度,则刚好可以拼成一个半圆。阴影部分刚好是半圆减去一个等腰直角三角形。

专家点评:在图形中,旋转与平移是常用的思想方法。

六、学习反思

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