第三章三角函数
【知识导读】
【方法点拨】
三角函数是一种重要的初等函数,它与数学的其它部分如解析几何、立体几何及向量等有着广泛的联系,同时它也提供了一种解决数学问题的重要方法——“三角法”.这一部分的内容,具有以下几个特点:1.公式多.公式虽多,但公式间的联系非常密切,规律性强.弄清公式间的相互联系和推导体系,是记住这些公式的关键.
2.思想方法丰富.化归、数形结合、分类讨论和函数与方程的思想贯穿于本单元的始终,类比的思维方法在本单元中也得到充分的应用.如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题,将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题,将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等.
3.变换灵活.有角的变换、公式的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、三角函数表达形式的变换及一些常量的变换等,并且有的变换技巧性较强.
4.应用广泛.三角函数与数学中的其它知识的结合点非常多,它是解决立体几何、解析几何及向量问题的重要工具,并且这部分知识在今后的学习和研究中起着十分重要的作用,比如在物理学、天文学、测量学及其它各门科学技术都有广泛的应用.
第1课 三角函数的概念
【考点导读】
1. 理解任意角和弧度的概念,能正确进行弧度与角度的换算.
角的概念推广后,有正角、负角和零角;与α终边相同的角连同角α本身,可构成一个集合
{}
Z k k S ∈?+==,360 αββ;把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为1弧度的角,熟练掌握角度
与弧度的互换,能运用弧长公式r l α=
及扇形的面积公式S =lr 2
1(l 为弧长)解决问题.
2. 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.
角的概念推广以后,以角的顶点为坐标原点,角的始边为x 轴的正半轴,建立直角坐标系,在角的终边上任取一点(,)P x y (不同于坐标原点),设OP r =
(0r =>),则α的三个三角函数值定
义为:sin ,cos ,tan y x y
r r x
ααα=
==. 从定义中不难得出六个三角函数的定义域:正弦函数、余弦函数的定义域为R ;正切函数的定义域为
{|,,}2
R k k Z π
αααπ∈≠+
∈.
3. 掌握判断三角函数值的符号的规律,熟记特殊角的三角函数值.
由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号,可以简记为:一正(第一象限内全为正值),二正弦(第二象限内只有正弦值为正),三切(第三象限只有正切值为正),四余弦(第四象限内只有余弦值为正).另外,熟记0、
6π、4π、3π、2
π
的三角函数值,对快速、准确地运算很有好处. 4. 掌握正弦线、余弦线、正切线的概念.
在平面直角坐标系中,正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线,并能运用正弦线、余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题. 【基础练习】
1. 885-
化成2(02,)k k Z πααπ+≤≤∈的形式是 .
2.已知α为第三象限角,则2α
所在的象限是 . 3.已知角α的终边过点(5,12)P -,则cos α= , tan α= .
4.
tan(3)sin 5
cos8
-的符号为 .
5.已知角θ的终边上一点(,1)P a -(0≠a ),且a -=θtan ,求θsin ,θcos 的值.
解:由三角函数定义知,1a =±,当1a =
时,sin θ=
cos θ=; 13
612ππ-+
第二或第四象限 513-
125- 正
当1a =-时,sin 2
θ=-cos 2θ=-.
【范例解析】
例1.如图,α,β分别是终边落在OM ,ON 位置上的两个角, 且30α=?,300β=?.
(1)求终边落在阴影部分(含边界)时所有角的集合; (2)终边落在阴影部分,且在区间[0,360]??时所有角的集合; (3)求始边在OM 位置上,终边在ON 位置上所有角的集合. 解:(1){6036030360,}k k k Z θθ-?+??≤≤?+??∈; (2){030}{300360}θθθθ?≤≤???≤≤?; (3)270βα-=? ,{270360,}k k Z θ
θ∴=?+??∈.
点评:三角函数中应注意文字语言与符号语言的转化;第(3)问要注意角的方向. 例2.(1)已知角α的终边经过一点(4,3)(0)P a a a -≠,求2sin cos αα+的值;
(2)已知角α的终边在一条直线y =上,求sin α,tan α的值. 分析:利用三角函数定义求解.
解:(1)由已知4x a =,5r a =.当0a >时,5r a =,3sin 5α=-
,4
cos 5
α=,则2
2
s i n c o s 5
αα+=-;
当0a <时,5r a =-,3sin 5α=,4cos 5α=-,则2
2sin cos 5
αα+=.
(2)设点()(0)P a a ≠是角α的终边y =上一点,则tan α=
当0a >时,角α是第一象限角,则sin α=
;
当0a <时,角α是第三象限角,则sin 2
α=-. 点评:要注意对参数进行分类讨论.
例3.(1)若sin cos 0θθ?>,则θ在第_____________象限.
(2)若角α是第二象限角,则sin 2α,cos 2α,sin
2α,cos 2α,tan 2
α
中能确定是正值的有____个. 解:(1)由sin cos 0θθ?>,得sin θ,cos θ同号,故θ在第一,三象限.
(2)由角α是第二象限角,即
222
k k π
παππ+<<+,得
4
2
2
k k π
α
π
ππ+<
<
+,
4224k k ππαππ+<<+,故仅有tan
2
α
为正值.
点评:准确表示角的范围,由此确定三角函数的符号.
例4. 一扇形的周长为20cm ,当扇形的圆心角α等于多少时,这个扇形的面积最大?最大面积是多少? 分析:选取变量,建立目标函数求最值.
解:设扇形的半径为x ㎝,则弧长为(202)l x =-㎝,故面积为21
(202)(5)252
y x x x =-=--+, 当5x =时,面积最大,此时5x =,10l =,2l
x
α=
=, 所以当2α=弧度时,扇形面积最大252
cm .
点评:由于弧度制引入,三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数. 【反馈演练】
1.若sin cos θθ>且sin cos 0θθ?<则θ在第_______象限. 2.已知6α=,则点(sin ,tan )A αα在第________
象限. 3.已知角θ
是第二象限,且(P m
为其终边上一点,若cos 4
m θ=
,则m 的值为
. 4.将时钟的分针拨快30min ,则时针转过的弧度为 .
5.若46παπ<<,且α与23
π
-终边相同,则α= . 6.已知1弧度的圆心角所对的弦长2,则这个圆心角所对的弧长是_______,这个圆心角所在的扇形的面
积是___________.
7.已知sin 20θ<,θθcos cos -=,则点1
(tan ,
)cos P θθ
在第 象限. 8.已知6
π
α=,角β的终边与α的终边关于直线y x =对称,则角β的集合为____________________.
9.设θ是第二象限角,且满足|sin
|sin
2
2
θ
θ
=-,则
2
θ
是第_______
象限的角. 10.(1)已知扇形AOB 的周长是6cm ,该扇形中心角是1弧度,求该扇形面积.
(2)若扇形的面积为82
cm ,当扇形的中心角α(0)α>为多少弧度时,该扇形周长最小. 简解:(1)该扇形面积22cm ;
二 三 12π
-
163π
11
sin
2
11cos1- 三 5
{2,}6k k Z ββππ=+∈ 三
(2)2182
r l y
rl +=??
?=??
,得162y r r =+≥
,当且仅当r =
l =2l r α==. 11.已知角
α的顶点在原点,始边为x 轴的非负半轴,终边在直线x y 3=上,求
1
sin cos tan tan αααα
?+-
的值. 解:当角α在第一象限时,tan 3α=
,sin 10α=
,cos 10
α=, 则189
sin cos tan tan 30
αααα?+-
=; 当角α在第三象限时,tan 3α=
,sin 10α=-
,cos 10
α=-, 则189
sin cos tan tan 30
αααα?+-
=. 12.已知cos cos θθ=-,且tan 0θ<,判断
sin(cos )
cos(sin )
θθ的符号.
解:由已知θ是第二象限,则1cos 0θ-<<,0sin 1θ<<,cos(sin )0θ∴>,sin(cos )0θ<,故
sin(cos )
0cos(sin )
θθ<.
三角公式汇总 一、任意角的三角函数 在角α的终边上任取..一点),(y x P ,记:22y x r +=, 正弦:r y =αsin 余弦:r x =αcos 正切:x y = αtan 注:我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数:如图,与单位圆有关的有向..线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、同角三角函数的基本关系式 商数关系:α α αcos sin tan = , 平方关系:1cos sin 22=+αα, 三、诱导公式 ⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成..锐角时原函数值的符号。(口诀:函数名不变,符号看象限) ⑵ απ +2、απ-2 、απ+23、απ -23的三角函数值,等于α的异名函数值, 前面加上一个把α看成..锐角时原函数值的符号。(口诀:函数名改变,符号看象限) 四、和角公式和差角公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+
βαβαβαsin sin cos cos )cos(?+?=- βαβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+ β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?+-= - 五、二倍角公式 αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* α α α2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形:(规律:降幂扩角,升幂缩角) αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=- 六、万能公式(可以理解为二倍角公式的另一种形式) ααα2tan 1tan 22sin +=,ααα22tan 1tan 12cos +-=,α α α2 tan 1tan 22tan -=。 万能公式告诉我们,单角的三角函数都可以用半角的正切.. 来表示。 七、辅助角公式 )sin(cos sin 22?++=+x b a x b x a () 其中:角?的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同, 2 2sin b a b += ?,2 2cos b a a += ?,a b = ?tan 。 八、正弦定理
三角函数的图像与性质
π??
据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2)); (3)换元法:把sin x 或cos x 看作一个整体,可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2)). 以题试法 1. (1)函数y = 2+log 1 2 x +tan x 的定义域为________. (2)(2012·山西考前适应性训练)函数f (x )=3sin ? ????2x -π6在区间??????0,π2上的值域为( ) A.??????-32,32 B.??????-32,3 C.??????-332,332 D.???? ??-332,3 解析:(1)要使函数有意义 则????? 2+log 1 2 x ≥0, x >0,tan x ≥0, x ≠k π+π2 ,k ∈Z ?? ???? 0 课题锐角三角函数——正弦 一、教学目标 1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值都固定(即正弦值不变)这一事实。 2、能根据正弦概念正确进行计算 3、经历当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值是固定值这一事实,发展学生的形象思维,培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。 二、教学重点、难点 重点:理解认识正弦(sinA)概念,通过探究使学生知道当锐角固定时,它的对边与斜边的比值是固定值这一事实. 难点:引导学生比较、分析并得出:对任意锐角,它的对边与斜边的比值是固定值的事实。 三、教学过程 (一)复习引入 操场里有一个旗杆,老师让小明去测量旗杆高度。(演示学校操场上的国旗图片) 小明站在离旗杆底部10米远处,目测旗杆的顶部,视线与水平线的夹角为34度,并已知目高为1米.然后他很快就算出旗杆的高度了。 你想知道小明怎样算出的吗? 师:通过前面的学习我们知道,利用相似三角形的方法可以测 算出旗杆的大致高度; 实际上我们还可以象小明那样通过测量一些角的度数和一些线 段的长度,来测算出旗杆的高度。 这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法。 下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种:锐角的正弦 (二)实践探索 为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30o,为使出水口的高度为35m,那么需要准备多长的水管? 分析: 问题转化为,在Rt△ABC中,∠C=90o,∠A=30o,BC=35m,求AB 根据“再直角三角形中,30o角所对的边等于斜边的一半”,即 34 1米 10米 ? (数学4必修)第一章 三角函数(上)[基础训练] 一、选择题 1.设α角属于第二象限,且2cos 2cos α α -=,则2 α角属于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 2.给出下列各函数值:①)1000sin(0-;②)2200cos(0 -; ③)10tan(-;④9 17tan cos 107sin πππ.其中符号为负的有( ) A .① B .② C .③ D .④ 3.02120sin 等于( ) A .23± B .23 C .23- D .2 1 4.已知4sin 5 α= ,并且α是第二象限的角,那么 tan α的值等于( ) A .43- B .34 - C .43 D .34 5.若α是第四象限的角,则πα-是( ) A .第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 6.4tan 3cos 2sin 的值( ) A .小于0 B .大于0 C .等于0 D .不存在 二、填空题 1.设θ分别是第二、三、四象限角,则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限. 2.设MP 和OM 分别是角18 17π的正弦线和余弦线,则给出的以下不等式: ①0< 4.设扇形的周长为8cm ,面积为2 4cm ,则扇形的圆心角的弧度数是 。 5.与02002-终边相同的最小正角是_______________。 三、解答题 1.已知1tan tan αα, 是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根, 且παπ273< <,求ααsin cos +的值. 2.已知2tan =x ,求 x x x x sin cos sin cos -+的值。 3.化简:)sin()360cos() 810tan()450tan(1)900tan()540sin(00000x x x x x x --?--?-- 4.已知)1,2(,cos sin ≠≤ =+m m m x x 且, 求(1)x x 33cos sin +;(2)x x 44cos sin +的值。 数学4(必修)第一章 三角函数(上) [基础训练] 一、选择题 1.C 22,(),,(),2422k k k Z k k k Z π π α π παππππ+<<+∈+<<+∈ 当2,()k n n Z =∈时, 2α在第一象限;当21,()k n n Z =+∈时,2α在第三象限; 而cos cos cos 0222α αα =-?≤,2α∴在第三象限; 2.C 00sin(1000)sin 800-=>;000 cos(2200)cos(40)cos 400-=-=> 三角函数公式 1.正弦定理: A a sin = B b sin =C c sin = 2R (R 为三角形外接圆半径) 2.余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注:奇变偶不变,符号看象限。 注:三角函数值等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时,原三角函数值的符号;即:函数名不变,符号看象限 注:三角函数值等于α的 异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时,原三角函数值的符号;即: 函数名改变,符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式:(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式:(符号的选择由 2 θ 所在的象限确定) ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式: [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式: 4.7 三角函数的图象与性质(三) ●知识梳理 1.能利用“五点法”作三角函数的图象,并能根据图象求解析式. 2.能综合利用性质,并能解有关问题. ●点击双基 1.(2003年春季上海)关于函数f (x )=sin 2 x -(3 2)|x | + 2 1,有下面四个结论,其中正 确结论的个数为 ①f (x )是奇函数 ②当x >2003时,f (x )>21 恒成立 ③f (x )的最大值是 2 3 ④f (x ) 的最小值是- 2 1 A.1 B.2 C.3 D.4 解析:显然f (x )为偶函数,结论①错. 对于结论②,当x =1000π时,x >2003,sin 2 1000π=0,∴f (1000π)=2 1-(3 2) 1000π < 2 1,因此结论②错. 又f (x )=22cos 1x -( 3 2)|x |+ 2 1=1- 2 1cos2x -( 3 2)|x |,-1≤cos2x ≤1, ∴- 2 1≤1- 2 1cos2x ≤ 2 3. 故1- 2 1cos2x -(3 2)|x |< 2 3,即结论③错. 而cos2x ,( 3 2)|x |在x =0时同时取得最大值,所以f (x )=1- 2 1cos2x -( 3 2)|x |在x =0 时可取得最小值- 2 1,即结论④是正确的. 答案:A 2.(2004年天津,12)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数.若f (x )的最小正周期是π,且当x ∈[0, 2 π]时,f (x )=sin x ,则f (3 π5)的值为 A.- 2 1 B. 2 1 C.- 2 3 D. 2 3 解析:f (3 π5)=f (3 π5-2π)=f (-3 π)=f (3 π)=sin 3 π=2 3. 答案:D 3.(2004年全国Ⅱ,10)函数y =x cos x -sin x 在下面哪个区间内是增函数 A.( 2 π, 2 π3) B.(π,2π) 【锐角三角函数全章教案】 锐角三角函数(第一课时) 教学三维目标: 一.知识目标:初步了解正弦、余弦、正切概念;能较正确地用siaA 、cosA 、tanA 表示直角三角形中两边的比;熟记功30°、45°、60°角的三角函数,并能根据这些值说出对应的锐角度数。 二.能力目标:逐步培养学生观察、比较、分析,概括的思维能力。 三.情感目标:提高学生对几何图形美的认识。 教材分析: 1.教学重点: 正弦,余弦,正切概念 2.教学难点:用含有几个字母的符号组siaA 、cosA 、tanA 表示正弦,余弦,正切 教学程序: 一.探究活动 1.课本引入问题,再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。 2.归纳三角函数定义。 siaA= 斜边的对边A ∠,cosA=斜边的邻边A ∠,tanA=的邻边 的对边 A A ∠∠ 3例1.求如图所示的Rt ⊿ABC 中的siaA,cosA,tanA 的值。 4.学生练习P21练习1,2,3 二.探究活动二 1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30°cos45° tan60° 2. 求下列各式的值 (1)sia 30°+cos30°(2)2sia 45°-21cos30°(3)0 4530cos sia +ta60°-tan30° 三.拓展提高P82例4.(略) 1. 如图在⊿ABC 中,∠A=30°,tanB=2 3 ,AC=23,求AB 四.小结 五.作业课本p85-86 2,3,6,7,8,10 解直角三角形应用(一) 一.教学三维目标 (一)知识目标 使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. (二)能力训练点 通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力. (三)情感目标 渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯. 二、教学重点、难点和疑点 1.重点:直角三角形的解法. 2.难点:三角函数在解直角三角形中的灵活运用. 3.疑点:学生可能不理解在已知的两个元素中,为什么至少有一个是边. 三、教学过程 (一)知识回顾 1.在三角形中共有几个元素? 2.直角三角形ABC 中,∠C=90°,a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢? (1)边角之间关系 sinA=c a cosA=c b tanA=b a (2)三边之间关系 a 2 + b 2 = c 2 (勾股定理) (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°. 以上三点正是解直角三角形的依据,通过复习,使学生便于应用. (二) 探究活动 1.我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系,利用这些关系,在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后,就可求出其余的元素.这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念,同时又陷入思考,为什么两个已知元素中必有一条边呢?激发了学生的学习热情. 2.教师在学生思考后,继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边?”让全体学生的思维目标一致,在作出准确回答后,教师请学生概括什么是解直角三角形?(由直角三角形中除直角外的两个已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形). 3.例题评析 三角函数专题复习 在三角函数复习过程中,认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支,要注意与其它知识的联系。 一、研究考题,探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中,和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于:①课本是试题的基本来源,是高考命题的主要依据,大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴,有先例可循。 二、典例剖析 例1:函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A .2(,)33ππ B .(,)62ππ C .(0,)3π D .(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --,从复合函数的角度看,原函数看作2()1g t t t =--,cos t x =,对于2()1g t t t =--,当1[1,]2t ∈-时,()g t 为减函数,当1[,1]2 t ∈时,()g t 为增函数,当2(,)33x ππ∈时,cos t x =减函数,且11(,)22 t ∈-, ∴ 原函数此时是单调增,选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时,需掌握复合函数的性质,以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是:①求定义域;②确定复合过程;③根据外层函数f(μ)的单调性,确定φ(x)的单调性;④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子,并解出x 的范围;⑤得到原函数的单调区间(与定义域求交).求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=. (Ⅰ)求tan 4πθ??+ ??? 的值; (Ⅱ)求cos2θ的值. 【解析】 (Ⅰ)∵tan 2θ=, tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???- 高中常用三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos( 2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc= a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin (2kπ+α)= sinα cos (2kπ+α)= cosα tan (2kπ+α)= tanα cot (2kπ+α)= cotα 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin (π+α)= -sinα cos (π+α)= -cosα tan (π+α)= tanα cot (π+α)= cotα 公式三: 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: 第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数 【2013年高考会这样考】 1.考查三角函数的定义及应用. 2.考查三角函数值符号的确定. 【复习指导】 从近几年的高考试题看,这部分的高考试题大多为教材例题或习题的变形与创新,因此学习中要立足基础,抓好对部分概念的理解. 基础梳理 1.任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ②按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2)终边相同的角 终边与角α相同的角可写成α+k2360°(k∈Z). (3)弧度制 ①1弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. ②规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,|α|=,l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长,r为半径. ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制,比值与所取的r的大小无关,仅与角的大小有关. ④弧度与角度的换算:360°=2π弧度;180°=π弧度. ⑤弧长公式:l=|α|r, 扇形面积公式:S扇形=lr=|α|r2. 2.任意角的三角函数定义 设α是一个任意角,角α的终边上任意一点P(x,y),它与原点的距离为r(r>0),那么角α的正弦、余弦、正切分别是:sin α=,cos α=,tan α=,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数. 3.三角函数线 设角α的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P,过P作PM垂直于x轴于M,则点M是点P在x轴上的正射影.由三角函数的定义知,点P的坐标为(cos_α,sin_α),即P(cos_α,sin_α),其中cos α= OM,sin α=MP,单位圆与x轴的正半轴交于点A,单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T,则tan α=AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线. 一条规律 三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦.(2)终边落在x轴上的角的集合{β|β=kπ,k∈Z};终边落在y轴上的角的集合;终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为. 两个技巧 (1)在利用三角函数定义时,点P可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点,|OP|=r一定是正值. (2)在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧. 三个注意 (1)注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角,第一类是象限角,第二类、第三类是区间角. (2)角度制与弧度制可利用180°=π rad进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用. (3)注意熟记0°~360°间特殊角的弧度表示,以方便解题. 双基自测 1.(人教A版教材习题改编)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是 ( ).A.2kπ+45°(k∈Z) B.k2360°+π(k∈Z) C.k2360°-315°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z) 解析与的终边相同的角可以写成2kπ+π(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,所以只有答案C正确. 答案 C 2.若α=k2180°+45°(k∈Z),则α在( ). A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 1.将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动02π???? << ?? ? 个单位长度, 所得的部分图象如右图所示,则?的值为( ) A .6 π B .3 π C .12 π D .23 π 2.已知函数()sin 23f x x π??=+ ?? ? ,为了得到()sin 2g x x =的图象,则 只需将()f x 的图象( ) A .向右平移3π个长度单位 B .向右平移6 π个长度单位 C .向左平移6π个长度单位 D .向左平移3 π 个长度单位 3.若113sin cos αα +=sin cos αα=( ) A .13- B .13 C .13-或1 D .13或-1 4.2014cos()3 π的值为( ) A .12 B . 3 2 C .12- D .32 - 5.记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A 2 1k -.2 1k - C 2 1k -.2 1k k -- 6.若sin a = -45 ,a 是第三象限的角,则sin()4 a π +=( ) (A )-7210 (B ) 7210 (C )2 - 10 (D ) 210 7 .若 55 2) 4 sin(2cos -=+ π αα,且)2 ,4(ππα∈,则α2tan 的值为( ) A .3 4- B .4 3- C .4 3 D .3 4 8.已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=,则下列结论正确的是 ( ) A .)(x f 的周期为π B .)(x f 在)0,2 (π-上单调递减 C .)(x f 的最大值为2 D .)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9.如图是函数2(ωφ),φ<2 π的图象,那么 A.ω=11 10,φ=6 π B.ω=10 11,φ6π C.ω=2,φ=6 π D.ω =2,φ6 π 10.要得到函数sin(4)3 y x π=-的图象,只需要将函数sin 4y x =的 图象( ) A .向左平移3 π个单位 B .向右平移3 π 个单位 C .向左平移12π个单位 D .向右平移12 π个单位 11.要得到12cos -=x y 的图象,只需将函数x y 2sin =的图象 高中三角函数公式大全 2009年07月12日星期日19:27 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan( 3+a)·tan(3-a) 半角公式 sin(2 A )=2cos 1A cos(2 A )=2cos 1A tan(2 A )=A A cos 1cos 1cot(2A )= A A cos 1cos 1tan(2A )=A A sin cos 1=A A cos 1sin 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a cos 2 b a sina-sinb=2cos 2b a sin 2 b a cosa+cosb = 2cos 2b a cos 2 b a cosa-cosb = -2sin 2b a sin 2 b a tana+tanb=b a b a cos cos )sin(积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2-a) = cosa cos( 2-a) = sina sin( 2+a) = cosa cos(2 +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2)2 (tan 12tan 2a a cosa=22)2 (tan 1)2(tan 1a a 《三角函数》复习教案 【知识网络】 学法: 1.注重化归思想的运用.如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题,将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题,将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等 2.注意数形结合思想的运用.如讨论函数性质等问题时,要结合函数图象思考,便易找出解题思路和问题答案. 第1课 三角函数的概念 【学习目标】 理解任意角的概念、弧度的意义. 能正确地进行弧度与角度的换算. 掌握终边相同角的表示方法. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义.了解余切、正割、余割的定义. 掌握三角函数的符号法则. 【考点梳理】 考点一、角的概念与推广 1.任意角的概念:正角、负角、零角 2.象限角与轴线角: 与α终边相同的角的集合:},2|{Z k k ∈+=απββ 三角函数知识框架图 第一象限角的集合:{|22,}2 k k k Z π βπβπ<<+∈ 第二象限角的集合:{| 22,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 第三象限角的集合:3{|22,}2 k k k Z π βππβπ+<<+∈ 第四象限角的集合:3{| 222,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 终边在x 轴上的角的集合:{|,}k k Z ββπ=∈ 终边在y 轴上的角的集合:{|,}2 k k Z π ββπ=+∈ 终边在坐标轴上的角的集合:{|,}2 k k Z π ββ=∈ 要点诠释: 要熟悉任意角的概念,要注意角的集合表现形式不是唯一的,终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同,还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 考点二、弧度制 1.弧长公式与扇形面积公式: 弧长l r α= ?,扇形面积21122 S lr r α==扇形(其中r 是圆的半径,α是弧所对圆心 角的弧度数). 2.角度制与弧度制的换算: 180π=;180 10.017451()57.305718'180 rad rad rad π π = ≈=≈=; 要点诠释: 要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数 1. 定义:在角α上的终边上任取一点(,)P x y ,记r OP ==则sin y r α= , cos x r α=, tan y x α=,cot x y α=,sec r x α=,csc r y α=. 2. 三角函数线:如图,单位圆中的有向线段MP ,OM ,AT 分别叫做α的正弦线,余弦线,正切线. 【锐角三角函数全章教案】 锐角三角函数(第一课时) 教学三维目标: 一.知识目标:初步了解正弦、余弦、正切概念;能较正确地用siaA 、cosA 、tanA 表示直角三角形中两边的比;熟记功30°、45°、60°角的三角函数,并能根据这些值说出对应的锐角度数。 二.能力目标:逐步培养学生观察、比较、分析,概括的思维能力。 三.情感目标:提高学生对几何图形美的认识。 教材分析: 1.教学重点: 正弦,余弦,正切概念 2.教学难点:用含有几个字母的符号组siaA 、cosA 、tanA 表示正弦,余弦,正切 教学程序: 一.探究活动 1.课本引入问题,再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。 2.归纳三角函数定义。 siaA= 斜边的对边A ∠,cosA=斜边的邻边A ∠,tanA=的邻边 的对边 A A ∠∠ 3例1.求如图所示的Rt ⊿ABC 中的siaA,cosA,tanA 的值。 4.学生练习P21练习1,2,3 二.探究活动二 1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30°cos45° tan60° 2. 求下列各式的值 (1)sia 30°+cos30°(2)2sia 45°-21cos30°(3)0 45 30cos sia +ta60°-tan30° 三.拓展提高P82例4.(略) 1. 如图在⊿ABC 中,∠A=30°,tanB=2 3 ,AC=23,求AB 四.小结 五.作业课本p85-86 2,3,6,7,8,10 解直角三角形应用(一) 一.教学三维目标 (一)知识目标 使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. (二)能力训练点 通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力. (三)情感目标 渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯. 二、教学重点、难点和疑点 1.重点:直角三角形的解法. 2.难点:三角函数在解直角三角形中的灵活运用. 3.疑点:学生可能不理解在已知的两个元素中,为什么至少有一个是边. 三、教学过程 (一)知识回顾 1.在三角形中共有几个元素? 2.直角三角形ABC 中,∠C=90°,a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢? (1)边角之间关系 sinA= c a cosA=c b tanA=b a (2)三边之间关系 a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理) 高中三角函数公式大全 sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3 cot30°=√3 cot45°=1 cot60°=√3/3 sin15°=(√6-√2)/4 sin75°=(√6+√2)/4 cos15°=(√6+√2)/4 cos75°=(√6-√2)/4(这四个可根据sin (45°±30°)=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出) sin18°=(√5-1)/4 (这个值在高中竞赛和自招中会比较有用,即黄金分割的一半) 正弦定理:在△ABC 中,a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R (其中,R 为△ABC 的外接圆的半径。) 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2Sin A?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA Tan3A=)3tan()3tan(tan )(tan 1)(tan 3tan 32 3A A A A A A +-=--ππ 半角公式 第4课时 三角函数的图象和性质 1.能画出y =sin x ,y =cos x ,y =tan x 的图象,了解三角函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在区间『0,2π』上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间??? ?-π2,π 2内的单调性. 『梳理自测』 1.(教材改编)函数y =|sin x|的一个单调增区间是( ) A.????-π4,π4 B.????π4,3π 4 C.????π,3π2 D.??? ?3π 2,2π 2.(教材习题改编)设函数f(x)=sin ????2x -π 2,x ∈R ,则f (x )是( ) A .最小正周期为π的奇函数 B .最小正周期为π的偶函数 C .最小正周期为π 2的奇函数 D .最小正周期为π 2 的偶函数 3.y =sin ????x -π 4的图象的一个对称中心是( ) A .(-π,0) B.????-3π 4,0 C.????3π2,0 D.??? ?π 2,0 4.(教材精编题)函数y =tan ????π4-x 的定义域为________. 5.函数y =cos ????x -π3,x ∈????0,π 3的值域为________. 『答案』1.C 2.B 3.B 4.??? x ?????x ≠k π-π4(k ∈Z) 5.????12,1 ◆以上题目主要考查了以下内容: (1)三角函数的图象和性质 (2)周期性 ①一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期. 三角函数复习专题 一、核心知识点归纳: ★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ?? ≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当22 x k π π=+ () k ∈Z 时,max 1y =; 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时,min 1y =-. 当()2x k k π=∈Z 时, max 1y =; 当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时,min 1y =-. 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在2,22 2k k π πππ? ? - + ??? ? ()k ∈Z 上是增函数;在 32,222k k ππππ??++??? ? ()k ∈Z 上是减函数. 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数;在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数. 在,2 2k k π πππ? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数. 对称性 对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ? ?+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心 (),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 ★★2.正、余弦定理:在ABC ?中有: 函 数 性 质 ①正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===(R 为ABC ?外接圆半径) 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =??=??=? ? sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ? =?? ? =?? ? =?? 注意变形应用 ②面积公式:111 sin sin sin 222 ABC S abs C ac B bc A ?= == ③余弦定理: 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ?=+-?=+-??=+-? ? 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? 二、练习题 1、角α的终边过点 b b 则且(,5 3 cos ),4,--=α的值( ) A 、3 B 、-3 C 、3± D 、5 2、已知2π θπ<<,3 sin()25 πθ+=-,则tan(π-θ)的值为( ) A .34 B .43 C .34- D .4 3 - 3、2(sin cos )1y x x =--是 ( ) A .最小正周期为2π的偶函数 B .最小正周期为2π的奇函数 4、为得到函数πcos 3y x ? ?=+ ?? ?的图象,只需将函数sin y x =的图像( ) A .向左平移π 6个长度单位 B .向右平移 π 6 个长度单位 C .向左平移5π 6 个长度单位 D .向右平移 5π 6 个长度单位 5、()sin()(0,0,||)2 f x A x A ωφωφπ =+>>< 是( ) A. y = 2sin(x -4π) B. y = 2sin(x +4π) C. y = 2sin (2x -8π) D. y = 2sin (2x +8 π )第28章_锐角三角函数全章教案
高三数学三角函数复习测试题
高中数学三角函数公式大全全解
2014年高考一轮复习数学教案:4.7 三角函数的图象与性质(三)
省优秀课一等奖:锐角三角函数全章教案
2020年高考数学三角函数专题解题技巧
高中常用三角函数公式大全
最新高考创新方案一轮复习教案(新课标版)(数学理第1讲+任意角、弧度制及任意角的三角函数名师优秀教案
高三数学三角函数经典练习题及复习资料精析
高中三角函数公式大全
《三角函数》复习教案
第二十八章锐角三角函数-教案全章 (1)
(完整版)高中三角函数公式大全整理版
高三数学一轮复习精品教案3:三角函数的图象和性质教学设计
高考数学三角函数复习专题