辅导1 数与式的运算(李月群辅导专用)
一、乘法公式
【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 证明:
【例1】计算:22
)3
12(+-
x x
说明:多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列. 【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)
证明: 3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算:))((22b ab a b a ++-
【公式3】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)
请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系,公式1、2、3均称为乘法公式. 【例3】计算:
(1))416)(4(2
m m m +-+
(2))4
1
101251)(2151(22n mn m n m ++-
(3))164)(2)(2(24
++-+a a a a (4)2
22
2
2
))(2(y xy x y xy x +-++
说明:(1)在进行代数式的乘法、除法运算时,要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结
构.
(2)为了更好地使用乘法公式,记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、
10的立方数,是非常有好处的.
【例4】已知0132
==-x x ,求3
3
1
x x +
的值. 说明:本题若先从方程0132==-x x 中解出x 的值后,再代入代数式求值,则计算较烦琐.本题是根据条件式与求值式的联系,用整体代换的方法计算,简化了计算.请注意整体代换法.本题的解法,体现了“正难则反”的解题策略,根据题求利用题知,是明智之举.
【例5】已知0=++c b a ,求111111
()()()a b c b c c a a b
+++++的值.
二、根式
0)a ≥叫做二次根式,其性质如下:
【例6】化简下列各式:
(1) + (2)
1)x +≥
说明||a =的使用:当化去绝对值符号但字母的范围未知时,要对字母的取值分类讨论.
【例7】计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数):
(1)
(2)
(3)
说明:(1)二次根式的化简结果应满足:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
(2)二次根式的化简常见类型有下列两种:①被开方数是整数或整式.化简时,先将它分解因数
或因式,然后把开得尽方的因数或因式开出来;②分母中有根式(
或被开方数有分母(如
() ,转化为 “分母中有根式”的情况.化简时,要把分母中的根式化为有理式,采取分子、分母同乘以一个根式进行化简.(如
化为
2+2).
【例8】计算:
(1) 21)(1+-+ (2)
+
、
说明:有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算.
【例9
】设x y =
=
,求33x y +的值.
说明:有关代数式的求值问题:(1)先化简后求值;(2)当直接代入运算较复杂时,可根据结论的结构特点,倒推几步,再代入条件,有时整体代入可简化计算量.
三、分式
当分式
A B 的分子、分母中至少有一个是分式时,A
B
就叫做繁分式,繁分式的化简常用以下两种方法:(1) 利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质.
【例10】化简
11x
x x x x
-+
-
说明:解法一的运算方法是从最内部的分式入手,采取通分的方式逐步脱掉繁分式,解法二则是利用分式的基本性质
A A m
B B m
?=
?进行化简.一般根据题目特点综合使用两种方法. 【例11】化简222
3961
62279x x x x x x x x
++-+-+--
说明:(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行,当分子、分母为多项式时,应先因式分解再进行约分化简;(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式.
A 组
1a =-成立的条件是( )
A .0a >
B .0a <
C .0a ≤
D .a 是任意实数
2.若3x <|6|x -的值是( )
A .-3
B .3
C .-9
D .9
3.计算: (1) 2(34)x y z --
(2) 2(21)()(2)a b a b a b +---+
(3) 222()()()a b a ab b a b +-+-+
(4) 22
1(4)(4)4
a b a b ab -++
4.化简(下列a 的取值范围均使根式有意义):
(1) (2) a
(3)
(4)
+
-
5.化简:
(1)
102m + (2)
0)x y >>
B 组
1.若
112x y -=,则33x xy y
x xy y +---的值为( ): A .
3
5
B .35
-
C .53
-
D .
53
2.计算:
(1)
(2) 1
÷-
3.设
x y ==,求代数式22
x xy y x y +++的值.
4.当2
2
320(0,0)a ab b a b +-=≠≠,求22
a b a b b a ab
+--的值.
5.设x 、y 为实数,且3xy =,求+