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第一讲 数与式的运算

辅导1 数与式的运算(李月群辅导专用)

一、乘法公式

【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 证明:

【例1】计算:22

)3

12(+-

x x

说明:多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列. 【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)

证明: 3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算:))((22b ab a b a ++-

【公式3】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)

请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系,公式1、2、3均称为乘法公式. 【例3】计算:

(1))416)(4(2

m m m +-+

(2))4

1

101251)(2151(22n mn m n m ++-

(3))164)(2)(2(24

++-+a a a a (4)2

22

2

2

))(2(y xy x y xy x +-++

说明:(1)在进行代数式的乘法、除法运算时,要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结

构.

(2)为了更好地使用乘法公式,记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、

10的立方数,是非常有好处的.

【例4】已知0132

==-x x ,求3

3

1

x x +

的值. 说明:本题若先从方程0132==-x x 中解出x 的值后,再代入代数式求值,则计算较烦琐.本题是根据条件式与求值式的联系,用整体代换的方法计算,简化了计算.请注意整体代换法.本题的解法,体现了“正难则反”的解题策略,根据题求利用题知,是明智之举.

【例5】已知0=++c b a ,求111111

()()()a b c b c c a a b

+++++的值.

二、根式

0)a ≥叫做二次根式,其性质如下:

【例6】化简下列各式:

(1) + (2)

1)x +≥

说明||a =的使用:当化去绝对值符号但字母的范围未知时,要对字母的取值分类讨论.

【例7】计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数):

(1)

(2)

(3)

说明:(1)二次根式的化简结果应满足:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

(2)二次根式的化简常见类型有下列两种:①被开方数是整数或整式.化简时,先将它分解因数

或因式,然后把开得尽方的因数或因式开出来;②分母中有根式(

或被开方数有分母(如

() ,转化为 “分母中有根式”的情况.化简时,要把分母中的根式化为有理式,采取分子、分母同乘以一个根式进行化简.(如

化为

2+2).

【例8】计算:

(1) 21)(1+-+ (2)

+

说明:有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算.

【例9

】设x y =

=

,求33x y +的值.

说明:有关代数式的求值问题:(1)先化简后求值;(2)当直接代入运算较复杂时,可根据结论的结构特点,倒推几步,再代入条件,有时整体代入可简化计算量.

三、分式

当分式

A B 的分子、分母中至少有一个是分式时,A

B

就叫做繁分式,繁分式的化简常用以下两种方法:(1) 利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质.

【例10】化简

11x

x x x x

-+

-

说明:解法一的运算方法是从最内部的分式入手,采取通分的方式逐步脱掉繁分式,解法二则是利用分式的基本性质

A A m

B B m

?=

?进行化简.一般根据题目特点综合使用两种方法. 【例11】化简222

3961

62279x x x x x x x x

++-+-+--

说明:(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行,当分子、分母为多项式时,应先因式分解再进行约分化简;(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式.

A 组

1a =-成立的条件是( )

A .0a >

B .0a <

C .0a ≤

D .a 是任意实数

2.若3x <|6|x -的值是( )

A .-3

B .3

C .-9

D .9

3.计算: (1) 2(34)x y z --

(2) 2(21)()(2)a b a b a b +---+

(3) 222()()()a b a ab b a b +-+-+

(4) 22

1(4)(4)4

a b a b ab -++

4.化简(下列a 的取值范围均使根式有意义):

(1) (2) a

(3)

(4)

+

-

5.化简:

(1)

102m + (2)

0)x y >>

B 组

1.若

112x y -=,则33x xy y

x xy y +---的值为( ): A .

3

5

B .35

-

C .53

-

D .

53

2.计算:

(1)

(2) 1

÷-

3.设

x y ==,求代数式22

x xy y x y +++的值.

4.当2

2

320(0,0)a ab b a b +-=≠≠,求22

a b a b b a ab

+--的值.

5.设x 、y 为实数,且3xy =,求+

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