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2018年江苏南通市中考数学考试(考试+答案+解析)

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2018年江苏省南通市中考数学试卷

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题要求的)

1．(3分)6的相反数为()

A．﹣6 B．6 C．﹣D．

2．(3分)计算x2?x3结果是()

A．2x5B．x5C．x6D．x8

3．(3分)若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是()

A．x＜1 B．x≤1C．x＞1 D．x≥1

4．(3分)2017年国内生产总值达到827 000亿元，稳居世界第二．将数827 000用科学记数法表示为()

A．82.7×104B．8.27×105C．0.827×106D．8.27×106

5．(3分)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是()

A．3，4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，12

6．(3分)如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数﹣2，﹣1，0，1，2，则表示数2﹣的点P应落在()

A．线段AB上B．线段BO上C．线段OC上D．线段CD上

7．(3分)若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为()

A．4 B．5 C．6 D．7

8．(3分)一个圆锥的主视图是边长为4cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于()

A．16πcm2B．12πcm2C．8πcm2D．4πcm2

9．(3分)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，按下列步骤作图：

步骤1：分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；

步骤2：作直线MN，分别交AC，BC于点E，F；

步骤3：连接DE，DF．

若AC=4，BC=2，则线段DE的长为()

A．B．C．D．

10．(3分)如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠DCE=．设AB=x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为()

A．B．C．D．

二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程)

11．(3分)计算：3a2b﹣a2b=．

12．(3分)某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数比为2：7：3，绘制成如图所示的扇形统计图，则甲地区所在扇形的圆心角度数为度．

13．(3分)一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为cm．

14．(3分)如图，∠AOB=40°，OP平分∠AOB，点C为射线OP上一点，作CD⊥OA于点D，在∠POB的内部作CE∥OB，则∠DCE=度．

15．(3分)古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为．

16．(3分)如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若从三个条件：①AB=AC；②AB=BC；

③AC=BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是(填序号)．

17．(3分)若关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4m+1=0有两个相等的实数根，则(m﹣2)2﹣2m(m﹣1)的值为．18．(3分)在平面直角坐标系xOy中，已知A(2t，0)，B(0，﹣2t)，C(2t，4t)三点，其中t＞0，函数y=的图象分别与线段BC，AC交于点P，Q．若S△P AB﹣S△PQB=t，则t的值为．

三、解答题(本大题共10小题，共96分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步驟)

19．(10分)计算：

(1)(﹣2)2﹣+(﹣3)0﹣()﹣2；

(2)÷．

20．(8分)解方程：．

21．(8分)一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把他们分别标号为1，2，3．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸

出一个小球．用列表或画树状图的方法，求两次取出的小球标号相同的概率．

22．(8分)如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=120°，BD=520m，∠D=30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一直线上(取1.732，结果取整数)？

23．(9分)某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额(单位：万元)，数据如下：17181613241528261819

22171619323016141526

15322317151528281619

对这30个数据按组距3进行分组，并整理、描述和分析如下．

频数分布表

组别一二三四五六七

销售额13≤x＜1616≤x＜1919≤x＜2222≤x＜2525≤x＜2828≤x＜3131≤x＜34

频数793a2b2

数据分析表

平均数众数中位数

20.3c18

请根据以上信息解答下列问题：

(1)填空：a=，b=，c=；

(2)若将月销售额不低于25万元确定为销售目标，则有位营业员获得奖励；

(3)若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由．

24．(8分)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，且交⊙O于点E．连接OC，BE，相交于点F．

(1)求证：EF=BF；

(2)若DC=4，DE=2，求直径AB的长．

25．(9分)小明购买A，B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表：

次数购买数量(件)购买总费用(元)

A B

第一次2155

第二次1365

根据以上信息解答下列问题：

(1)求A，B两种商品的单价；

(2)若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

26．(10分)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2﹣2(k﹣1)x+k2﹣k(k为常数)．

(1)若抛物线经过点(1，k2)，求k的值；

(2)若抛物线经过点(2k，y1)和点(2，y2)，且y1＞y2，求k的取值范围；

(3)若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值﹣，求k的值．27．(13分)如图，正方形ABCD中，AB=2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．

(1)求证：AE=CF；

(2)若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长．

(3)求线段OF长的最小值．

28．(13分)【定义】如图1，A，B为直线l同侧的两点，过点A作直线1的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．

【运用】如图2，在平面直坐标系xOy中，已知A(2，)，B(﹣2，﹣)两点．

(1)C(4，)，D(4，)，E(4，)三点中，点是点A，B关于直线x=4的等角点；

(2)若直线l垂直于x轴，点P(m，n)是点A，B关于直线l的等角点，其中m＞2，∠APB=α，求证：tan=；

(3)若点P是点A，B关于直线y=ax+b(a≠0)的等角点，且点P位于直线AB的右下方，当∠APB=60°时，求b的取值范围(直接写出结果)．

2018年江苏省南通市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题要求的)

1．(3分)6的相反数为()

A．﹣6 B．6 C．﹣D．

【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．

【解答】解：6的相反数为：﹣6．

故选：A．

2．(3分)计算x2?x3结果是()

A．2x5B．x5C．x6D．x8

【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．

【解答】解：x2?x3=x5．

故选：B．

3．(3分)若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是()

A．x＜1 B．x≤1C．x＞1 D．x≥1

【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．

【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，

∴x﹣1≥0，解得x≥1．

故选：D．

4．(3分)2017年国内生产总值达到827 000亿元，稳居世界第二．将数827 000用科学记数法表示为()

A．82.7×104B．8.27×105C．0.827×106D．8.27×106

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：827 000=8.27×105．

故选：B．

5．(3分)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是()

A．3，4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，12

【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．

【解答】解：A、∵32+42=52，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；

B、∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；

C、∵42+62≠72，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；

D、∵52+112≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误；

故选：A．

6．(3分)如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数﹣2，﹣1，0，1，2，则表示数2﹣的点P应落在()

A．线段AB上B．线段BO上C．线段OC上D．线段CD上

【分析】根据2＜＜3，得到﹣1＜2﹣＜0，根据数轴与实数的关系解答．

【解答】解：2＜＜3，

∴﹣1＜2﹣＜0，

∴表示数2﹣的点P应落在线段BO上，

故选：B．

7．(3分)若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为()

A．4 B．5 C．6 D．7

【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到(n﹣2)×180°=720°，然后解方程即可．

【解答】解：设这个多边形的边数为n，则

(n﹣2)×180°=720°，

解得n=6，

故这个多边形为六边形．

故选：C．

8．(3分)一个圆锥的主视图是边长为4cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于()

A．16πcm2B．12πcm2C．8πcm2D．4πcm2

【分析】根据视图的意义得到圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．

【解答】解：根据题意得圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，

所以这个圆锥的侧面积=×4×2π×2=8π(cm2)．

故选：C．

9．(3分)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，按下列步骤作图：

步骤1：分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；

步骤2：作直线MN，分别交AC，BC于点E，F；

步骤3：连接DE，DF．

若AC=4，BC=2，则线段DE的长为()

A．B．C．D．

【分析】由作图可知，四边形ECFD是正方形，根据S△

=S△ADC+S△CDB，可得×AC×BC=×AC×DE+×BC×DF，由此即可解

ACB

决问题．

【解答】解：由作图可知，四边形ECFD是正方形，

∴DE=DF=CE=CF，∠DEC=∠DFC=90°，

∵S△ACB=S△ADC+S△CDB，

∴×AC×BC=×AC×DE+×BC×DF，

∴DE==，

故选：D．

10．(3分)如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠DCE=．设AB=x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为()

A．B．C．D．

【分析】根据折叠，可证明∠AFB=90°，进而可证明△AFB∽△EBC，由tan∠DCE=，分别表示EB、BC、CE，根据相似三角形面积之比等于相似比平方，表示△ABF的面积．

【解答】解：设AB=x，则AE=EB=

由折叠，FE=EB=

则∠AFB=90°

由tan∠DCE=

∴BC=，EC=

∵F、B关于EC对称

∴∠FBA=∠BCE

∴△AFB∽△EBC

∴

△

∴y=

故选：D．

二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程)

11．(3分)计算：3a2b﹣a2b=2a2b．

【分析】根据合并同类项法则计算可得．

【解答】解：原式=(3﹣1)a2b=2a2b，

故答案为：2a2b．

12．(3分)某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数比为2：7：3，绘制成如图所示的扇形统计图，则甲地区所在扇形的圆心角度数为60度．

【分析】甲部分扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°．

【解答】解：甲部分圆心角度数是×360°=60°，

故答案为：60．

13．(3分)一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为22cm．

【分析】等腰三角形两边的长为4cm和9cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．

【解答】解：①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．

②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22cm．

故填22．

14．(3分)如图，∠AOB=40°，OP平分∠AOB，点C为射线OP上一点，作CD⊥OA于点D，在∠POB的内部作CE∥OB，则∠DCE=130度．

【分析】依据∠AOB=40°，OP平分∠AOB，可得∠AOC=∠BOC=20°，再根据CD⊥OA于点D，CE∥OB，即可得出∠DCP=90°+20°=110°，∠PCE=∠POB=20°，依据∠DCE=∠DCP+∠PCE进行计算即可．

【解答】解：∵∠AOB=40°，OP平分∠AOB，

∴∠AOC=∠BOC=20°，

又∵CD⊥OA于点D，CE∥OB，

∴∠DCP=90°+20°=110°，∠PCE=∠POB=20°，

∴∠DCE=∠DCP+∠PCE=110°+20°=130°，

故答案为：130．

15．(3分)古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为240x=150x+12×150．

【分析】设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程即可．

【解答】解：设快马x天可以追上慢马，

据题题意：240x=150x+12×150，

故答案为：240x=150x+12×150

16．(3分)如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若从三个条件：①AB=AC；②AB=BC；

③AC=BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是②(填序号)．

【分析】当BA=BC时，四边形ADCE是菱形．只要证明四边形ADCE是平行四边形，DA=DC即可解决问题．

【解答】解：当BA=BC时，四边形ADCE是菱形．

理由：∵AE∥CD，CE∥AD，

∴四边形ADCE是平行四边形，

∵BA=BC，

∴∠BAC=∠BCA，

∵AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，

∴∠DAC=∠DCA，

∴DA=DC，

∴四边形ADCE是菱形．

17．(3分)若关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4m+1=0有两个相等的实数根，则(m﹣2)2﹣2m(m﹣1)的值为．

【分析】根据根的判别式即可求出答案．

【解答】解：由题意可知：△=4m2﹣2(1﹣4m)=4m2+8m﹣2=0，

∴m2+2m=

∴(m﹣2)2﹣2m(m﹣1)

=﹣m2﹣2m+4

=+4

故答案为：

18．(3分)在平面直角坐标系xOy中，已知A(2t，0)，B(0，﹣2t)，C(2t，4t)三点，其中t＞0，函数y=的图象分别与线段BC，AC交于点P，Q．若S△P AB﹣S△PQB=t，则t的值为4．

【分析】先根据题意画出，因为函数y=的图象分别与线段BC，AC交于点P，Q．可确定P和Q在第一象限，根据Q在AC

上可得Q的坐标，根据反比例函数和直线BC的解析式列方程可得P的坐标，根据S△

P AB ﹣S△

PQB

=t，列关于t的方程可得结论．

【解答】解：如图所示，

∵A(2t，0)，C(2t，4t)，

∴AC⊥x轴，

当x=2t时，y==，

∴Q(2t，)，

∵B(0，﹣2t)，C(2t，4t)，

易得直线BC的解析式为：y=3x﹣2t，

则3x﹣2t=，

解得：x

=t，x2=﹣t(舍)，

∴P(t，t)，

∵S△P AB=S△BAC﹣S△APC，S△PQB=S△BAC﹣S△ABQ﹣S△PQC，∵S△P AB﹣S△PQB=t，

∴(S△BAC﹣S△APC)﹣(S△BAC﹣S△ABQ﹣S△PQC)=t，

S△ABQ+S△PQC﹣S△APC=+﹣=t，

t=4，

故答案为：4．

三、解答题(本大题共10小题，共96分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步驟)

19．(10分)计算：

(1)(﹣2)2﹣+(﹣3)0﹣()﹣2；

(2)÷．

【分析】(1)先计算乘方、立方根、零指数幂及负整数指数幂，再计算加减可得；

(2)先因式分解、除法转化为乘法，再约分即可得．

【解答】解：(1)原式=4﹣4+1﹣9=﹣8；

(2)原式=?=．

20．(8分)解方程：．

【分析】本题的最简公分母是3(x+1)，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．

【解答】解：方程两边都乘3(x+1)，

得：3x﹣2x=3(x+1)，

解得：x=﹣，

经检验x=﹣是方程的解，

∴原方程的解为x=﹣．

21．(8分)一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把他们分别标号为1，2，3．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．用列表或画树状图的方法，求两次取出的小球标号相同的概率．

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号相同时的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：画树状图得：

则共有9种等可能的结果，两次摸出的小球标号相同时的情况有3种，

所以两次取出的小球标号相同的概率为．

【分析】根据三角形内角与外角的关系可求出∠AED的度数，再根据勾股定理即可求出DE的长．

【解答】解：∵∠ABD=120°，∠D=30°，

∴∠AED=120°﹣30°=90°，

在Rt△BDE中，BD=520m，∠D=30°，

∴BE=260m，

∴DE==260≈450(m)．

答：另一边开挖点E离D450m，正好使A，C，E三点在一直线上．

22171619323016141526

15322317151528281619

对这30个数据按组距3进行分组，并整理、描述和分析如下．

频数分布表

组别一二三四五六七

销售额13≤x＜1616≤x＜1919≤x＜2222≤x＜2525≤x＜2828≤x＜3131≤x＜34

频数793a2b2

数据分析表

平均数众数中位数

20.3c18

请根据以上信息解答下列问题：

(1)填空：a=3，b=4，c=15；

(2)若将月销售额不低于25万元确定为销售目标，则有8位营业员获得奖励；

(3)若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由．

【分析】(1)从表中数出落在22≤x＜25和28≤x＜31范围内的数据个数得到a、b的值，利用众数定义确定c的值；

(2)利用频数分布表，后面三组的频数和为获得奖励的营业员的数量；

(3)利用中位数的意义进行回答．

【解答】解：(1)在22≤x＜25范围内的数据有3个，在28≤x＜31范围内的数据有4个，

15出现的次数最大，则中位数为15；

(2)月销售额不低于25万元为后面三组数据，即有8位营业员获得奖励；

故答案为3，4，15；8；

(3)想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为18万合适．

因为中位数为18，即大于18与小于18的人数一样多，

所以月销售额定为18万，有一半左右的营业员能达到销售目标．

24．(8分)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，且交⊙O于点E．连接OC，BE，相交于点F．

(1)求证：EF=BF；

(2)若DC=4，DE=2，求直径AB的长．

【分析】(1)根据题意和平行线的性质、垂径定理可以证明结论成立；

(2)根据题意，利用矩形的性质和勾股定理可以解答本题．

【解答】(1)证明：∵OC⊥CD，AD⊥CD，

∴OC∥AD，∠OCD=90°，

∴∠OFE=∠OCD=90°，

∵OB=OE，

∴EF=BF；

(2)∵∵AB为⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，

∵∠OCD=∠CFE=90°，

∴四边形EFCD是矩形，

∴EF=CD，DE=CF，

∵DC=4，DE=2，

∴EF=4，CF=2，

设⊙O的为r，

∵∠OFB=90°，

∴OB2=OF2+BF2，

即r2=(r﹣2)2+42，

解得，r=5，

∴AB=2r=10，

即直径AB的长是10．

25．(9分)小明购买A，B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表：

次数购买数量(件)购买总费用(元)

A B

第一次2155

第二次1365

根据以上信息解答下列问题：

(1)求A，B两种商品的单价；

(2)若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

【分析】(1)根据表格中数据进而得出等式组成方程组求出答案；

(2)利用A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，得出商品数量的取值范围，进而求出答案．

【解答】解：(1)设A种商品的单价为x元，B种商品的单价为y元，根据题意可得：

，

解得：，

答：A种商品的单价为20元，B种商品的单价为15元；

(2)设第三次购买商品A种a件，则购买B种商品(12﹣a)件，根据题意可得：

a≥2(12﹣a)，

得：8≤a≤12，

∵m=20a+15(12﹣a)=5a+180

∴当a=8时所花钱数最少，即购买A商品8件，B商品4件．

26．(10分)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2﹣2(k﹣1)x+k2﹣k(k为常数)．

(1)若抛物线经过点(1，k2)，求k的值；

(2)若抛物线经过点(2k，y1)和点(2，y2)，且y1＞y2，求k的取值范围；

(3)若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值﹣，求k的值．

【分析】(1)把点坐标代入解析式即可；

(2)分别把点(2k，y1)和点(2，y2)代入函数解析式，表示y1、y2利用条件构造关于k的不等式；

(3)根据平移得到新顶点，用k表示顶点坐标，找到最小值求k．

【解答】解：(1)把点(1，k2)代入抛物线y=x2﹣2(k﹣1)x+k2﹣k，得

k2=12﹣2(k﹣1)+k2﹣k

解得k=

(2)把点(2k，y1)代入抛物线y=x2﹣2(k﹣1)x+k2﹣k，得

y1=(2k)2﹣2(k﹣1)?2k+k2﹣k=k2+k

把点(2，y

)代入抛物线y=x2﹣2(k﹣1)x+k2﹣k，得

y2=22﹣2(k﹣1)×2+k2﹣k=k2﹣k+8

∵y1＞y2

∴k2+k＞k2﹣k+8

解得k＞1

(3)抛物线y=x2﹣2(k﹣1)x+k2﹣k解析式配方得

y=(x﹣k+1)2+(﹣)

将抛物线向右平移1个单位长度得到新解析式为

y=(x﹣k)2+(﹣)

当k＜1时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴右侧，y随x的增大而增大，

∴x=1时，y最小=(1﹣k)2﹣k﹣1=k2﹣k，

∴k2﹣k=﹣，解得k1=1，k2=

都不合题意，舍去；

当1≤k≤2时，y最小=﹣k﹣1，

∴﹣k﹣1=﹣

解得k=1；

当k＞2时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴左侧，y随x的增大而减小，

∴x=2时，y最小=(2﹣k)2﹣k﹣1=k2﹣k+3，

∴k2﹣k+3=﹣

解得k

=3，k2=(舍去)

综上，k=1或3．

27．(13分)如图，正方形ABCD中，AB=2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．

(1)求证：AE=CF；

(2)若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长．

(3)求线段OF长的最小值．

【分析】(1)根据旋转的性质，对应线段和对应角相等，可证明△ADE≌△DCF，即可得到AE=CF；

(2)先利用：△ADE≌△DCF，求得CF的长，再利用△ABO∽△CPF，求得CP、PF的长，即可求得OF的长；

(3)当O、E、P三点共线时，PE最小，即OF最小，根据勾股定理可得OP的长，从而得PE的长．和OF的最小值．

【解答】(1)证明：如图1，由旋转得：∠EDF=90°，ED=DF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC=90°，AD=CD，

∴∠ADC=∠EDF，

即∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDF，

∴∠ADE=∠CDF，

在△ADE和△DCF中，

∵，

∴△ADE≌△DCF，

∴AE=CF；

(2)解：如图2，过F作OC的垂线，交BC的延长线于P，

∵O是BC的中点，且AB=BC=2，

∵A，E，O三点共线，

∴OB=，

由勾股定理得：AO=5，

∵OE=2，

∴AE=5﹣2=3，

由(1)知：△ADE≌△DCF，

∴∠DAE=∠DCF，CF=AE=3，

∵∠BAD=∠DCP，

∴∠OAB=∠PCF，

∵∠ABO=∠P=90°，

∴△ABO∽△CPF，

∴==2，

∴CP=2PF，

设PF=x，则CP=2x，

由勾股定理得：32=x2+(2x)2，

x=或﹣(舍)，

∴FP=，OP=+=，

由勾股定理得：OF==，

(3)解：如图3，由于OE=2，所以E点可以看作是以O为圆心，2为半径的半圆上运动，延长BA到P点，使得AP=OC，连接PE，

∵AE=CF，∠P AE=∠OCF，

∴△P AE≌△OCF，

∴PE=OF，

当PE最小时，为O、E、P三点共线，

OP===5，

∴PE=OF=OP﹣OE=5﹣2，

∴OF的最小值是5﹣2．

28．(13分)【定义】如图1，A，B为直线l同侧的两点，过点A作直线1的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．

【运用】如图2，在平面直坐标系xOy中，已知A(2，)，B(﹣2，﹣)两点．

(1)C(4，)，D(4，)，E(4，)三点中，点C是点A，B关于直线x=4的等角点；

(2)若直线l垂直于x轴，点P(m，n)是点A，B关于直线l的等角点，其中m＞2，∠APB=α，求证：tan=；

(3)若点P是点A，B关于直线y=ax+b(a≠0)的等角点，且点P位于直线AB的右下方，当∠APB=60°时，求b的取值范围(直接写出结果)．

【分析】(1)求B点的对称点B′，连AB′，求直线AB′解析式，得到与直线x=4；

(2)由对称证明△AGP∽△BHP，求∠A′度数，利用锐角三角形函数函数求正切值；

(3)构造以AB为弦，所对圆周为60°，且圆心在AB下方的圆，点P为圆上的点，利用P点为直线y=ax+b的等角点情况讨论直线y=ax+b相切的情况．

【解答】解：(1)点B关于直线x=4的对称点为B′(10，﹣)

∴直线AB′解析式为：y=﹣

当x=4时，y=

故答案为：C

(2)如图，过点A作直线l的对称点A′，连A′B′，交直线l于点P

作BH⊥l于点H

∵点A和A′关于直线l对称

∴∠APG=∠A′PG

∵∠BPH=∠A′PG

∴∠AGP=∠BPH

∵∠AGP=∠BHP=90°

∴△AGP∽△BHP

∴，即

∴mn=2，即m=

∵∠APB=α，AP=AP′

∴∠A=∠A′=

在Rt△AGP中，tan

(3)如图，当点P位于直线AB的右下方，∠APB=60°时，

点P在以AB为弦，所对圆周为60°，且圆心在AB下方

若直线y=ax+b(a≠0)与圆相交，设圆与直线y=ax+b(a≠0)的另一个交点为Q 由对称性可知：∠APQ=∠A′PQ，

又∠APB=60°

∴∠APQ=∠A′PQ=60°

∴∠ABQ=∠APQ=60°，∠AQB=∠APB=60°

∴∠BAQ=60°=∠AQB=∠ABQ

∴△ABQ是等边三角形

∵线段AB为定线段

∴点Q为定点

若直线y=ax+b(a≠0)与圆相切，易得P、Q重合

∴直线y=ax+b(a≠0)过定点Q

连OQ，过点A、Q分别作AM⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为M、N

∵A(2，)，B(﹣2，﹣)

∴OA=OB=

∵△ABQ是等边三角形

∴∠AOQ=∠BOQ=90°，OQ=

∴∠AOM+∠NOD=90°

又∵∠AOM+∠MAO=90°，∠NOQ=∠MAO

∵∠AMO=∠ONQ=90°

∴△AMO∽△ONQ

∴

∴ON=2，NQ=3，∴Q点坐标为(3，﹣2)

设直线BQ解析式为y=kx+b

将B、Q坐标代入得

解得

∴直线BQ的解析式为：y=﹣

设直线AQ的解析式为：y=mx+n

将A、Q两点代入

解得

∴直线AQ的解析式为：y=﹣3

若点P与B点重合，则直线PQ与直线BQ重合，此时，b=﹣若点P与点A重合，则直线PQ与直线AQ重合，此时，b=7又∵y=ax+b(a≠0)，且点P位于AB右下方

∴b＜﹣且b≠﹣2或b＞