2010北京朝阳区高三一模数学(理)试题及答案

朝阳区2009～2010学年度高三年级第二学期统一考试（一）

数学学科测试（理工类） 2010.4

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分

第I 卷（选择题 共40分）

注意事项：

1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。

一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数1i

1i 2++等于

（A ）1i 2+ （B ）1i 2

- （C ）－21 （D ）21

（2）右图是2010年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两 名选手打出的分数的茎叶图（其中m 为数字0～9中的 一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选

手得分的平均数分别为a 1，a 2，则一定有

（A ）a 1>a 2 （B ）a 2>a 1

（C ）a 1=a 2 （D ）a 1，a 2的大小与m 的值有关

（3）下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3

π

=

x 对称的是 （A ）sin(2)6π=+y x （B ）sin()23π

=+x y

（C ）sin(2)3π=-y x （D ）sin(2)6

π

=-y x

（4）一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为．．．．①长方形；②正方 形；③圆；④椭圆. 其中正确的是 （A ）①② （B ） ②③ （C ）③④ （D ） ①④

079

54551844647

93m

甲 乙

（5）在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数22()2π=+-+f x x ax b

有零点的概率为 （A ）

78 （B ）34 （C ）12 （D ）14

（6）已知点(3,4)-P 是双曲线22

221 (0, 0)x y a b a b

-=>>渐近线上的一点，,E F 是左、右

两个焦点，若0EP FP ?=

，则双曲线方程为

（A ）

22134x y -= （B ）22

143x y -= （C ）

221916x y -= （D ）22

1169

x y -= （7）设min{, }p q 表示p ，q 两者中的较小的一个，若函数221

()min{3log , log }2

f x x x =- ，则满足()1f x <的x 的集合为

（A ）(0, （B ）(0, +)￥ （C ）(0, 2)(16,)+ U （D ）1

(, )16

+

（8）一个空间四边形ABCD 的四条边及对角线AC D AC B --的

余弦值为

1

3

，则下列论断正确的是 （A ）空间四边形ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为3π （B ）空间四边形ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为4π

（C ）空间四边形ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 （D ）不存在这样的球使得空间四边形ABCD 的四个顶点在此球面上

第II 卷（非选择题 共110分）

二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.

（9）已知圆的极坐标方程为2cos ρθ=，则圆心的直角坐标是 ；半径长

为 ． （10）圆422=+y x 被直线

0323=-+y x 截得的劣弧所对的圆心角的大小

为

.

（11）已知向量 1)，θ=a ，(1 cos )，θ=b ，则?a b 的最大值为 .

（12）如图，圆O 是ABC ?的外接圆，过点C 的切线交

AB

的延长线于点D ，CD =3AB BC ==.则BD 的长为 ；AC 的长为 ．

（13）右边程序框图的程序执行后输出的结果是 .

（14）一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后

每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一

个是 x -，另一个是3x +．设第n 次生成的数的个数为n a ， 则数列{}n a 的前n 项和n S = ；若1x =，前n 次 生成的所有数．．．中不同的数的个数为n T ，则n T = ．

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本小题满分13分）

在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且34

C π=，sin A =. （Ⅰ）求

sin B 的值；

（Ⅱ）若5c a -=，求ABC ?的面积.

(16) （本小题满分13分）

在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮. 现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是

13，1

2

.两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮. 假设每人每次投

篮命中与否均互不影响.

（Ⅰ）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；

（Ⅱ）若投篮命中一次得1分，否则得0分. 用ξ表示甲的总得分，求ξ的分布列和数学期望．

(17) （本小题满分14分）

如图，在三棱柱111ABC A B C -中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱1CC 的中点.

（Ⅰ）求证：CD ∥平面1A EB ； （Ⅱ）求证：1AB ⊥平面1A EB ；

（Ⅲ）求直线1B E 与平面11AAC C 所成角的正弦值.

(18)（本小题满分13分）

已知函数3

22()(1)3

mx f x ax b x =++-，, , m a b ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的导函数()f x '；

（Ⅱ）当1m =时，若函数()f x 是R 上的增函数，求z a b =+的最小值； （Ⅲ）当1a =

，b =

()f x 在(2, )+∞上存在单调递增区间，求m 的取值范围．

(19)（本小题满分13分）

已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点3(1, )2

-，过点(2, 1)P 的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）求直线l 的方程以及点M 的坐标；

（Ⅲ）是否存在过点P 的直线1l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，满足2

PA PB PM ?= ？若

存在，求直线1l 的方程；若不存在，请说明理由．

(20)（本小题满分14分）

若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个数列为调和数列．已知数列{}n a 是调和数列，对于各项都是正数的数列{}n x ，满足12

12

n n n a

a

a n n n x x x ++++==()n *∈N ．

（Ⅰ）证明数列{}n x 是等比数列；

（Ⅱ）把数列{}n x 中所有项按如图所示的规律排成一个三角形

数表，当378, 128x x ==时，求第m 行各数的和； （Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列{}n x ，证明：12231111

1231112

n n x x x n n x x x +----<+++<--- ．

（考生务必将第Ⅱ卷所有题目的答案写在答题卡上，在试卷上作答无效）

12345678910 x x x x x x x x x x

朝阳区2009～2010学年度高三年级第二学期统一考试（一）

数学测试（理工类）答案 2010.4

一、选择题:

三、解答题:

(

15) 解：（Ⅰ）因为34C π=

，sin A =，

所以cos 5

A ==. 由已知得4

B A

π

=

-.

所以sin sin(

)sin

cos cos

sin 4

4

4

B A A A π

π

π

=-=-

=

=

. …………………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知34C π=

，所以 sin 2C =且sin 10

B =. 由正弦定理得

sin A sin 5

a c C ==. 又因为5c a -=， 所以 5c =，a =

所以

15

sin5

22

ABC

S ac B

?

===. …………………………13分(16)（Ⅰ）解：记“3次投篮的人依次是甲、甲、乙” 为事件A.

由题意，得

122

()

339

P A=?=．

答：3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是

2

9

．…………………… 5分

（Ⅱ）解：由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，则

212125

(0)

323239

Pξ==?+??=，

211121

(1)

323333

Pξ==??+?=，

1122

(2)

33327

Pξ==??=，

1111

(3)

33327

Pξ==??=．

所以，x的分布列为：

x的数学期望0123

93272727

Eξ=?+?+?+?=. ……………13分

(17)解法一：证明：（Ⅰ）设

11

AB A B

和的交点为O,连接EO，连接OD.

因为O为

1

AB的中点，D为AB的中点,

所以OD∥

1

BB且

1

1

2

OD BB

=.又E是

1

CC

所以EC∥

1

BB且

1

1

2

EC BB

=,

所以EC∥OD且EC OD

=.

所以，四边形ECOD为平行四边形.所以EO∥

又CD?平面

1

A BE,EO?平面

1

A BE,则CD∥平面

1

A BE. ………………5分

(Ⅱ)因为三棱柱各侧面都是正方形，所以

1

BB AB

⊥，

1

BB BC

⊥.

所以

1

BB⊥平面ABC.

因为CD?平面ABC，所以

1

BB CD

⊥.

由已知得AB BC AC ==，所以CD AB ⊥, 所以CD ⊥平面11A ABB .

由（Ⅰ）可知EO ∥CD ，所以EO ⊥平面11A ABB . 所以EO ⊥1AB .

因为侧面是正方形，所以11AB A B ⊥.

又1EO A B O = ，EO ?平面1A EB ，1A B ?平面1A EB ,

所以1AB ⊥平面1A BE . ………………………………………10分

（Ⅲ）解: 取11AC 中点

F ，连接1, B F EF . 在三棱柱111ABC A B C -中，因为1BB ⊥平面ABC ，

所以侧面11ACC A ⊥底面111A B C .

因为底面111A B C 是正三角形，且F 是11AC 中点， 所以111B F AC ⊥，所以1B F ⊥侧面11ACC A

.

所以EF 是1B E 在平面11ACC A 上的射影. 所以1FEB ∠是1B E 与平面11AAC C 所成角.

111sin B F BE F B E ∠=

=

…………………………………………14分 解法二：如图所示，建立空间直角坐标系. 设边长为2，可求得(0,0,0)A ，(0,2,0)C 1(0,2,2)C ，1(0,0,2)A ，,0)B ，1B (0,2,1)E ，1,0)2D ，1

,1)2

O . （Ⅰ）易得，3

,0)2

CD =- ，

3

,0)2

EO =- . 所以CD EO = ， 所以EO ∥CD .

又CD ?平面1A BE ,

EO ?平面1A BE ,则CD ∥平面1A BE . ………………5分

（Ⅱ）易得，1,2)AB =

，1,2)A B =- ，1(0,2,1)A E =-

所以11110, 0AB A B AB A E ?=?= .

所以1111, .AB A B AB A E ⊥⊥

又因为111A B A E =A ，111,A B A E A BE ?平面，

所以1AB ⊥平面1A BE . …………………………………………… 10分 （Ⅲ）设侧面11AAC C 的法向量为(,,)x y z =n ,

因为(0,0,0)A , (0,2,0)C ,1(0,2,2)C ，1(0,0,2)A ，

所以1(0,2,0), (0,2,2)AC AC ==

，1(,1)B E =-

.

由 10,0,

AC AC ??=???=?? n n 得0,0.y y z =??+=?解得0,0.y z ì=??í?=?? 不妨令(1,0,0)=n ，设直线1B E 与平面11AAC C 所成角为α．

所以111sin cos ,B E B E B E

α?=<>==

=?

n n n . 所以直线1B E 与平面11AAC C

………………………14分 (18)（Ⅰ）解：22()2(1)f x mx ax b '=++-． …………………………………3分 （Ⅱ）因为函数()f x 是R 上的增函数，所以()0f x '≥在R 上恒成立.

则有22

44(1)0a b ?=--≤，即2

2

1a b +≤．

设cos ,sin a r b r θθ=??=?

（θ为参数，01r ≤≤），

则(cos sin )sin()4

z a b r π

θθθ=+=+=

+.

当sin()14

π

θ+

=-，且1r =时，z a b =+

取得最小值

（可用圆面的几何意义解得z a b =+

的最小值 ………………………8分 （Ⅲ）①当0m >时，2()21f x mx x '=+-是开口向上的抛物线，显然()f x '在(2, )+∞上存在子区间使得()0f x '>，所以m 的取值范围是(0, )+∞．

②当0m =时，显然成立．

③当0m <时，2()21f x mx x '=+-是开口向下的抛物线，要使()f x '在(2, )+∞上存

在子区间使()0f x '>，应满足 0, 12, 1()0,m m f m

≥<--> 或0,

12,(2)0. m m f

-??

解得102m -

<≤，或3142m -<<-，所以m 的取值范围是3

(, 0)4

-． 则m 的取值范围是3

(, )4

-+∞． …………………………………………13分

(19)解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22

221(0)x y a b a b +=>>，由题意得22222191,41,2.

a b c a a b c ?+=???=??=+?

解得2

4a =，2

3b =，故椭圆C 的方程为22

143

x y +=． ……………………4分 （Ⅱ）因为过点(2, 1)P 的直线l 与椭圆在第一象限相切，所以l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为(2)1y k x =-+．

由22

1,43

(2)1,x y y k x ?+=???=-+?

得222

(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=． ① 因为直线l 与椭圆相切，所以2

2

2

[8(21)]4(34)(16168)0k k k k k ?=---+--=. 整理，得32(63)0k +=.

解得12

k =-

． 所以直线l 方程为11

(2)1222

y x x =--+=-+． 将12k =-

代入①式，可以解得M 点横坐标为1，故切点M 坐标为3

(1, )2

．……9分 （Ⅲ）若存在直线1l 满足条件，设直线1l 的方程为1(2)1y k x =-+，代入椭圆C 的方程得

22211111(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=．

因为直线1l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，设,A B 两点的坐标分别为

1122(,),(,)x y x y ，

所以222111111[8(21)]4(34)(16168)32(63)0k k k k k k ?=---+--=+>． 所以11

2

k >-

． 又1112218(21)34k k x x k -+=+，211122

116168

34k k x x k --=+，

因为2

PA PB PM ?= ，即12125

(2)(2)(1)(1)4

x x y y --+--=， 所以2

2

1215(2)(2)(1)||4

x x k PM --+==． 即 2

121215[2()4](1)4

x x x x k -+++=

， 所以222

111111222

111161688(21)445[24](1)3434344

k k k k k k k k k ---+-++==+++，解得112k =±． 因为,A B 为不同的两点，所以11

2

k =

. 于是存在直线1l 满足条件，其方程为1

2y x =

． …………………………13分 (20)解：（Ⅰ）证明：因为1

2

1

2n n n a a

a n n n x x x ++++==，且数列{}n x 中各项都是正数，

所以 1122lg lg lg n n n n n n a x a x a x ++++==． 设1122lg lg lg n n n n n n a x a x a x p ++++===， ① 因为数列{}n a 是调和数列，故0n a ≠，

12

211

n n n a a a ++=+．

所以，

12

2n n n p p p

a a a ++=+

． ② 由①得

1212

lg , lg , lg n n n n n n p p p x x x a a a ++++===，代入②式得， 所以12 2lg lg lg n n n x x x ++=+，即2

12 lg lg()n n n x x x ++=.

故212 n n n x x x ++=，所以数列{}n x 是等比数列． …………………………5分

（Ⅱ）设{}n x 的公比为q ，则437x q x =，即48128q =．由于0n x >，故2q =． 于是333822n n n n x x q --==?=． 注意到第 (1,2,3,)n n = 行共有n 个数，

所以三角形数表中第1行至第1m -行共含有(1)

123(1)2

m m m -++++-=

个数. 因此第m 行第1个数是数列{}n x 中的第2(1)2

122

m m m m --++=项. 故第m 行第1个数是222

2

22

2

m m m m x -+-+=，

所以第m 行各数的和为22

2

22

2

2

(21)

2

(21)21

m m m

m m m m S -+-+-=

=--． ………… 9分

（Ⅲ）因为2n

n x =，所以

11121211

11212

2(2)2

k k k k k k x x ++---==<---. 所以

122311111111112222

n n x x x n

x x x +---+++<+++=--- ． 又 11

11211112122(21)

k k k k k x x +++--==----， 1111123222232k k k

≥=

--??+-(1,2,3,,)k n = ， 所以

2122311111111111()[()()]1112223222

n

n n x x x x x x ≥+---++++++-+++---

11[1()]

11112

2[1()]1232322312

n n n n n -=-?=-?->--. 所以 12231111

1231112

n n x x x n n x x x +----<+++<--- ． ………………………14分