2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学文科 免费 高清

绝密★启用前 试卷类型：A

2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、若集合()(){}410x x x M =++=，()(){}410x x x N =--=，则M N =（ ）

A ．{}1,4

B ．{}1,4--

C ．{}0

D ．?

2、若复数()32z i i =-（i 是虚数单位），则z =（ ）

A ．

23i - B ．23i + C ．32i + D ．32i - 3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）

A ．y =

B ．1y x x =+

C ．122

x x y =+ D ．x y x e =+ 4、袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个

球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）

A ．521

B ．1021

C ．1121

D ．1 5、平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ）

A ．250x y ++=或250x y +-= B

．20x y +=

或20x y +=

C ．250x y -+=或250x y --= D

．20x y -=

或20x y -=

6、若变量x ，y 满足约束条件4581302x y x y +≥??≤≤??≤≤?

，则32z x y =+的最小值为（ ）

A ．4

B ．235

C ．6

D ．315

7、已知双曲线C :22

221x y a b

-=的离心率54e =，且其右焦点为()2F 5,0，则双曲线C 的方程为（ ）

A ．22143x y -=

B ．221916x y -=

C ．221169x y -=

D ．22

134

x y -= 8、若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）

A ．至多等于3

B ．至多等于4

C ．等于5

D ．大于5

二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）

（一）必做题（11~13题）

9

、在)41的展开式中，x 的系数为 ．

10、在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ． 11、设C ?AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c

．若a =1sin 2B =，C 6π=，则b = ．

12、某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了

条毕业留言．（用数字作答）

13、已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()D 20X =，则p = ．

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）

14、（坐标系与参数方程选做题）已知直线l

的极坐标方程为2sin 4πρθ??-= ??

?，点A 的

极坐标为74π??A ??

?，则点A 到直线l 的距离为 ． 15、（几何证明选讲选做题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，

4AB =，C E 是圆O 的切线，切点为C ，C 1B =．过圆心O 作

C B 的平行线，分别交C E 和C A 于点

D 和点P ，

则

D O = ．

三、解答题

16.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xoy 中，已知向量22(

,),(sin ,cos ),(0,)222m n x x x π=-=∈ (1) 若m n ⊥，求tan x 的值；

(2) 若m 与n 的夹角为

3π，求x 的值. 17. （本小题满分12分）

某工厂36名工人年龄数据如下表

（1） 用分成抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄

数据为44，列出样本的年龄数据；

（2） 计算（1）中样本的均值x 和方差2s ；

（3） 36名工人中年龄在x s -

和x s +之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01％）？ 18.（本小题满分14分）

如图2，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4,6,3PD PC AB BC ====，点E 是CD 的中点，点、F G 分别在线段、AB BC 上，且2,2AF FB CG GB ==.

(1) 证明：PE FG ⊥；

(2) 求二面角P AD C --的正切值；

(3) 求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.

19. （本小题满分14分）

设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+

- (1) 求()f x 的单调区间；

(2) 证明()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点；

(3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m,n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是

坐标原点），证明：1m ≤

-. 20. （本小题满分14分）

已知过原点的动直线l 与圆221:

650C x y x +-+=相交于不同的两点A 、B.

(1) 求圆1C 的圆心坐标；

(2) 求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；

(3) 是否存在实数k,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范

围；若不存在，说明理由.

21. （本小题满分14分） 数列{a }n 满足：*12122......

3,2n n n a a na n N -+++=-∈. (1) 求3a 的值；

(2) 求数列{a }n 的前 n 项和n T ；

(3) 令111111,(1......)(2),23n n n

T b a b a n n n -==+++++≥证明：数列{}n b 的前n 项和S n 满足22ln n S n <+

20. （本小题满分14分）

已知过原点的动直线l 与圆221:

650C x y x +-+=相交于不同的两点A 、B.

(4) 求圆1C 的圆心坐标；

(5) 求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；

(6) 是否存在实数k,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范

围；若不存在，说明理由.

21. （本小题满分14分） 数列{a }n 满足：*12122......

3,2n n n a a na n N -+++=-∈. (4) 求3a 的值；

(5) 求数列{a }n 的前 n 项和n T ； 令111111,(1......)(2),23n n n

T b a b a n n n -==+++++≥证明：数列{}n b 的前n 项和S n 满足22ln n S n <+