第五章随机过程

窄带高斯随机过程的产生

本科实验报告 实验名称：窄带高斯随机过程的产生

一、实验目的 熟悉窄带随机过程的定义，了解窄带随机过程产生的原理与方法，最后估计实验产生的窄带随机过程的功率谱；掌握具有指定功率谱的随机过程产生方法，并以此产生窄带随机过程。 二、实验内容 本实验模拟产生一段时长为5ms 的窄带高频随机过程X(t)的样本函数。根据窄带随机过程的理论，X(t)可表示为 t f t A t f t A t X s c 002cos )(2cos )()(ππ-= 其中，A c (t)和A s (t)均为低频的高斯随机过程，因此，要模拟产生X(t)，首先要产生两个相互独立的高斯随机过程Ac(t)和As(t)，然后用两个正交载波cos2πf 0t 和sin2πf 0t 进行调制，如图所示。 假定Ac(t)和As(t)的功率谱密度均为4 ) /(11 )()(f f f G f G s c ?+= =，其中f ?为功率谱密度的3dB 带宽。在3.7节中介绍了有色高斯随机过程的产生，请按照频域法或时域滤波器法分别产生时长5ms 的低通过程Ac(t)和As(t)，然后按图所示合成X(t)，其中f 0=1000/π，要求分别画出模拟产生的Ac(t)、As(t)、X(t)的波形。 三、实验原理 （一）、有色高斯随机过程的模拟——频域法

首先将X(t)进行周期延拓，得到一个周期信号，再对周期信号进行傅里叶级数展开，即 ∑∞ -∞ == k k f j k e X t X 02~ )(π)1(0d T f = 由于傅里叶级数是X k 的线性组合，所以，如果X k 是零均值的高斯随机变量，那么)(~ t X 也是零均值高斯过程，如果{X k }是两两正交的序列，则周期信号的功率谱为线谱，即 ∑∞ -∞ =-= k k X kf f g f G )()(02~δ))|(|(22 k k X E g = 通过选择g k 就可以得到期望的功率谱。 假定Gx(f)是带限的，即 0)(=f G x (|f|>B) 那么，{g k 2}只有有限项，即{2 2120212,,...,,...,,M M M M g g g g g -+--}，其中M=[B/f 0]，[· ]表示取整，与此对应的傅里叶级数系数{Xk}也是2M+1项。因此，只需产生2M+1个相互正交的零均 值高斯随机变量{M M M M X X X X X ,,...,,...,,101-+--}，其方差22)|(|k k g X E =，并在1式中将时间限定为(0,Td)就可以得到模拟过程X(t)。2k g 应与)(0kf G x 成比例，即)(02kf G g x k β=， 系数β的选择满足下式： ∑? ∑∑-=-=-=== = M M k X B B M M k M M k k k X kf G g X E df f G )(]|[|)(0-2 2 β 即 ∑?-== M M k X B B X kf G df f G ) ()(0 -β 总结如下： 1.根据所需过程的时长Td 确定频率f 0，并确定傅里叶级数系数的长度M=[B/f 0]； 2.根据∑?-==M M k X B B X kf G df f G ) ()(0 -β确定β； 3.产生2M+1个独立的高斯随机变量，即 M M M M k kf G N X X k ,1,...,0,...,1,)),(,0(~0-+--=β

随机过程 第五章 连续时间的马尔可夫链

第五章 连续时间的马尔可夫链 5.1连续时间的马尔可夫链 考虑取非负整数值的连续时间随机过程}.0),({≥t t X 定义5.1 设随机过程}.0),({≥t t X ,状态空间}0,{≥=n i I n ,若对任意 121...0+<<<≤n t t t 及I i i i n ∈+121,...,,有 })(,...)(,)()({221111n n n n i t X i t X i t X i t X P ====++ =})()({11n n n n i t X i t X P ==++ (5.1) 则称}.0),({≥t t X 为连续时间马尔可夫链. 由定义知,连续时间马尔可夫链是具有马尔可夫性的随机过程,即过程在已知现在时刻n t 及一切过去时刻所处状态的条件下,将来时刻1+n t 的状态只依赖于现在状态而与过去无关. 记(5.1)式条件概率一般形式为 ),(})()({t s p i s X j t s X P ij ===+ (5.2) 它表示系统在s 时刻处于状态i,经过时间t 后转移到状态j 的转移概率. 定义5.2 若(5.2)式的转移概率与s 无关,则称连续时间马尔可夫链具有平稳的或齐次的转移概率,此时转移概率简记为 ),(),(t p t s p ij ij = 其转移概率矩阵简记为).0,,()),(()(≥∈=t I j i t p t P ij 以下的讨论均假定我们所考虑的连续时间马尔可夫链都具有齐次转移概率.简称为齐次马尔可夫过程. 假设在某时刻,比如说时刻0,马尔可夫链进入状态i,而且接下来的s 个单位时间单位中过程未离开状态i,(即未发生转移),问随后的t 个单位时间中过程仍不离开状态i 的概率是多少呢?由马尔可夫我们知道,过程在时刻s 处于状态i 条件下,在区间[s,s+t]中仍然处于i 的概率正是它处于i 至少t 个单位的无条件概率..若记 i h 为记过程在转移到另一个状态之前停留在状态i 的时间,则对一切s,t 0≥有 },{}{t h P s h t s h P i i i >=>+> 可见,随机变量i h 具有无记忆性,因此i h 服从指数分布. 由此可见,一个连续时间马尔可夫链,每当它进入状态i,具有如下性质: (1) 在转移到另一状态之前处于状态i 的时间服从参数为i v 的指数分布;

随机过程-习题-第6章

6.1 6.2 6.3 6.4设有n 维随机矢量)(21n ξξξξτ =服从正态分布，各分量的均值为 n i a E i ,,2,1, ==ξ，其协方差矩阵为 ????? ? ??? ? ?=22 2 2 2 2 2000000σσσσσσσ a a a B 试求其特征函数。 解：n 元正态分布的特征函数为 }2 1 e x p {),,,(21][Bt t t j t t t n '-'=μφξ n i a E i ,,2,1, ==ξ ),,,(21n t t t t =' ，则 ∑== 'n i i jat t j 1 μ ()()),,,(2 1 2 23222 2212 1' ++='n n t t t t t a t t a t t Bt t σσσσσσ =22223232222221221σσσσσσn t t a t t t a t t t ++++++ =∑∑ -=+=+ 1 1 2112 2n i i i n i i a t t t σσ

∴]21exp[)]21(exp[),,,(1 1 211 2221][∑ ∑ -=+=- -=n i i i n i i i n a t t t jat t t t σσφξ 6.5. 设n 维正态分布随机矢量)(21n T ξξξξ =各分量的均值为i E i =ξ， n i ,3,2,1=，各分量间的协方差为 n i m i m n b i m ,3,2,1,|,|,=--= 设有随机变量∑==n i i 1 ξη，求η的特征函数。 解：易得：???? ? ???????=n ξξξη 21]111[ 2 ) 1(][][1 1 += ==∑∑==n n i E E n i n i i ξη 协方差矩阵为： ??????? ??? ? ?? ???------=n n n n n n n n n n 321 312211121B 所以 ]111[]111['??= B ηD =2 2 3n n + 由于高斯分布的随机变量的线形组合依旧是高斯分布的，所以η的特征函数为： ?? ? ???????++-+=2456822)1(exp )(t n n n t n n j t ηΦ 6.6 设有三维正态分布随机矢量)(321ξξξξ=T ，其各分量的均值为零，即0][=i E ξ )3,2,1(=i ，其协方差矩阵为 ???? ? ??=333231232221131211b b b b b b b b b B

第5章 窄带随机过程

第五章 窄带随机过程 5.1 窄带随机过程的概念 1． 通信工程中的信号频率 在通信工程中，如雷达、广播、电视等信号，在传输中信号有相对固定的信号频率。对 于有相对固定频率的信号，其数学表达方法的研究是非常重要的。 2． 窄带随机过程 （1） 带通随机过程的定义 若随机过程)(t X 的谱密度满足： ?? ??<-=其它0 )()(0ω ωωωωS S X 则称)(t X 为带通过程。 带通过程的谱密度的图解如下图。 （2） 窄通随机过程的定义 若)(t X 为带通过程，且0ωω<

4． 窄带随机过程的解析表达方法之二：准正弦振荡表示法 定理：实窄带随机过程)(t X 都可表示为下式： ))(cos()()(0t t t A t X Φ+=ω 证明：由莱斯表示法有： )()()(2 2 t b t a t A += ， ) ()()(t a t b arctg t =Φ )(t A 与)(t Φ都是慢变化的随机过程。慢变化是指)(t A 与)(t Φ随时间变化比) cos(0t ω随时间的变化要缓慢得多。 其中：称0ω这载波频率。 称)(t A 为)(t X 的包络。 称)(t Φ为)(t X 的相位（初相）。 这一表达式称为准正弦振荡表示法。 5.2 窄带高斯过程包络与相位的概率密度 在工程应用中，假定系统的输出是一个窄带高斯随机过程，可使问题的解决得到简化。 实际上，有许多工程实际的系统输出是窄带高斯随机过程。 对于窄带随机过程，包络)(t A 与相位)(t Φ的检测是首要工作。 1． 包络与相位的一维概率密度 （1） 先求)(t a 与)(t b 的联合概率密度),(t t ab b a f 当t 确定后，)(t a 与)(t b 都是高斯随机变量，且相互正交，所以有 ? ?????+-= 2 222 2exp 21),(σπσ t t t t ab b a b a f （2） 求)(t A 与)(t Φ的联合概率密度 定理： ),(),(t t ab t t A b a f J A f =ΦΦ，J 为雅可比行列式。 由 )()()(2 2 t b t a t A += ， ) ()()(t a t b arctg t =Φ 可得 )(t A J =

实验二：窄带高斯随机过程的产生

本科实验报告实验名称：窄带高斯随机过程的产生

一、实验目的 熟悉窄带随机过程的定义，了解窄带随机过程产生的原理与方法，最后估计实验产生的窄带随机过程的功率谱；掌握具有指定功率谱的随机过程产生方法，并以此产生窄带随机过程。 二、实验原理 （一）窄带随机过程的产生原理 窄带随机过程可以表示为下面的准正弦振荡的形式： cos X t A t ωτ?τ0()=()[+()] 或者表示为同相分量与正交分量的合成： 00cos sin c s X t A t t A t t ωω()=()-() 其中c A t ()与s A t ()均为低频变化的随机过程，可以通过模拟其分布及功率谱特性来实现窄带随机过程的产生。 （二）用频域法模拟任意随机过程 模拟一个时长为d T 的高斯随机过程的一个样本函数()X t , 要求功率谱密度满足指定的形式，先将()X t 进行周期性延拓，并做DFS ()0201 ()j k k f k d X e f T X t π∞ ∞ =-== ∑ 若k X 是零均值的高斯随机变量，那么()X t 也是零均值的高斯随机过程。若{}k X 是两两正交的序列 ()2 2 2 0()(())k k k k X g f k G f E X f g δ=-∞ ∞ = -=∑ 即可以控制k g 得到期望的功率谱。 假定()(0 )X G f B f =>，即()X G f 带限，则{}2k g 为有限项，对应的DFS 系数{}k X 也为21M +项0()B M f ?? =???? ，因此只需产生21M +个相互正交的零均值 高斯随机变量{}101,,,,,,M M M M X X X X X --+- ，其方差为2 2()k k E X g =。2 k g 应 与()0X G kf 成比例，即()20X k G g kf β=，则有

MATLAB 窄带随机过程

中山大学移动学院本科生实验报告 （2015学年春季学期） 课程名称：通信原理 任课教师：刘洁 教学助理（TA ）：朱焱 1、 实验要求 1.产生窄带随机过程和其概率谱密度 2.产生多个窄带随机过程 3.求出窄带随机过程的均值和自相关函数 2、 设计思路 00)()sin(2) f t b t f t p p - 对于第一个实验： 首先便是要搞懂如何产生一个窄带随机过程，按照TA 的提示，循序而进，从定义出发，获得答案。按照上面的结构框图 ，由公式： t t b t t a t X 00sin )(cos )()(ωω-= 可以较为轻松的得到窄带随机过程（先产生高斯白噪声g = randn(1,1001)，产生低通[b,a] = butter(1,wn)的B/A 系数，由Y = filter （B ，A ,X ），得到a （t ）和 b （t ），之后zt = a(t)cos(wt) - b(t)sin(wt)，通过这个公式就容易了，再通过plot(zt);便可以得到窄带随机过程），后面的两个实验，是基于第一个实验来做的； 对第二个实验： 加入for 循环，生成五个窄带随机过程，并且利用subplot 画小图。 对第三个实验： 产生窄带随机过程，利用函数mean 和xcorr 两个函数分别产生均值和

自相关函数。 3、运行与测试 Lab1：产生窄带随机过程和其概率谱密度 在command命令框里写入：zhaidai，这是基于随机过程的莱斯表达式，产生一个1000个点的高斯窄带随机过程，和其概率谱密度（基本呈现正态分布）。 Lab2：产生多个窄带随机过程

窄带随机过程的产生及其性能测试

实验四 窄带随机过程的产生及其性能测试 一、实验目的 1、基于随机过程的莱斯表达式产生窄带随机过程。 2、掌握窄带随机过程的特性，包括均值（数学期望）、方差、相关函数及功率谱密度等。 二、实验原理 窄带随机过程的产生如下图所示： 00)()sin(2) f t b t f t p p - 三、实验内容 1、按照上面的结构框图，基于随机过程的莱斯表达式t t b t t a t X 00sin )(cos )()(ωω-=，用Matlab 产生一满足条件的窄带随机过程。 m.文件如下： %产生一个p 个点的高斯窄带随机过程 function f=suiji1(p) n=1:p; w=-pi:2*pi/1000:pi; R=100; C=0.001; wn=1/2*pi*R*C; [b,a]=butter(1,wn); g=randn(1,1001); y=filter(b,a,g); at=y.*cos(w.*n); bt=y.*sin(w.*n); ft=at-bt; subplot(211) plot(ft) subplot(212) ksdensity(ft) 在command 命令框里写入： suiji1(1000) 即产生一个1000个点的高斯窄带随机过程 窄带随机过程波形及其概率密度图分别如下所示：

020040060080010001200 -2 -101 2-2.5 -2-1.5-1-0.500.51 1.52 00.5 1 1.5 2、画出该随机过程的若干次实现，观察其形状。 该随机过程的四次实现，代码如下： >> for i=1:1:4 syms R C; n=1:1001; w=-pi:2*pi/1000:pi; R=100; C=0.001; wn=1/2*pi*R*C; [b,a]=butter(1,wn); g=randn(1,1001); y=filter(b,a,g); at=y.*cos(w.*n); bt=y.*sin(w.*n); ft=at-bt; subplot(4,2,2*i-1) plot(ft) subplot(4,2,2*i) ksdensity(ft) end 形状如下：

第二章随机过程的基本概念

第二章随机过程的基本概念 §1随机过程及其概率分布 、随机过程概念： 一、随机过程概念： 初等概率论所研究的随机现象，基本上可以用随机变量或随机向量来描述.但在实际中有些随机现象要涉及(可列或非可列)无穷多个随机变量.

例1．某人扔一枚硬币，无限制的重复地扔下去，要表示无限多次扔的结果，我们不妨记正面为1，反面为0.第次扔的结果是一个，其分布，无限多次扔n n r vX ?{}{}1012n n P X P X ====，无限制的重复地扔，要表示无限多次扔的结果，我们不妨反面为其分布无限多次扔的结果是一个随机过程，可用一族相互独 立，，或表示.r v ?1X ，2X {},1n X n ≥

n n X 0n n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 ……

例2．当固定时，电话交换站在时间内来到的呼叫次数是，记， ，其中是单位时间内平均来到的呼叫次数，而，若从变到，时刻来到的呼叫次数需用一族随机变量表 它为非降的阶，在有呼唤来到的时刻阶跃地增加，假定在任一呼唤来到的时刻不可能来到多）(0)t t ≥[0,] t r v ?()X t ()()X t P t λ λ0λ>t 0∞t {}(),[0,)X t t ∈∞()X t ，电话交换站在记，若时刻示， 是一个随机过程. 对电话交换站作一次观察可得到一条表示以前来到的呼唤曲线，它为非降的阶梯曲线，在有呼唤来到的时刻阶跃地增加，（假定在任一呼唤来到的时刻不可能来到多于一次呼唤）. E t 1()x t

同理，第二次观察，得到另一条阶梯形曲线； 同理，第n 次观察，得到另一条阶梯形曲线. 2()x t ()n x t ，第二次观察，得到另一条阶梯形曲，第，得到另一条阶梯形曲 总之，一次试验得到阶梯形曲线形状具有随机性

第2章 随机过程习题及答案

第二章 随机过程分析 1.1 学习指导 1.1.1 要点 随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1. 随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。 2. 随机过程的分布函数和概率密度函数 如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为 F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1) 如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为 1111111 (,) (, ) (2 - 2)?=?F x t f x t x 对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率 {}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤ 称为随机过程ξ (t )的二维分布函数。如果 2212122121212 (,;,) (,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ?=??? 存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程ξ (t )的二维概率密度函数。 对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(), ,() (2 - 5) =≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程ξ (t )的n 维分布函数。如果 n n 12n 12n n 12n 12n 12n (x ) () (2 - 6)?=???F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，， 存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程ξ (t )的n 维概率密度函数。 3. 随机过程的数字特征 随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。 随机过程ξ (t )在任意给定时刻t 的取值ξ (t )是一个随机变量，其均值为 []1()(, )d (2 - 7)E t xf x t x ξ∞ -∞ =?

窄带随机过程的模拟与分析

实验报告 实验题目：窄带随机过程的模拟 窄带随机过程的模拟 一、实验目的 （1）了解具有任意功率谱（低频）的正态随机过程的模拟； （2）了解窄带随机过程的模拟方法。 二、实验原理 （1）任意功率谱的正态随机过程的模拟 假定需要产生一个持续时间为d T 的高斯随机过程的一个样本()X t ，要求功率谱

满足()X G f 。为此，可以先将()X t 进行周期延拓，得到一个周期信号，然后对周期信号进行傅里叶级数展开。即 0201 ()()j f k k k d X t X e f T π∞ =-∞ == ∑ 由于傅里叶级数是k X 的线性组合，所以，如果k X 是零均值的高斯随机变量，那么()X t 也是零均值高斯过程，如果{} ()X t 是两两正交的序列，则周期信号的功率谱为线谱。即 2 220 ()()(())k k k X k G f g f kf g E X δ∞ =-∞ = - =∑ 通过选择k g 就可以得到期望的功率谱。 假定()X G f 是带限的，即 ()0()X G f f B = > 那么，{} 2 k g 只有有限项，共21M +项，与此对应的傅里叶级数也是21M +项。因此，只需产生21M +个互相正交的零均值高斯随机变量{}11,,,,M M M M X X X X --+- 。然后据此构造时域样本函数即可，有 02()[]()M j f k i t k k M X i X i t X e π?=-=?= ∑ 其中t ?为任意小的时间间隔。 （2）窄带随机过程的模拟 对于窄带系统，当系统输入白噪声或宽带噪声时，输出可以表示为 0()()cos[()]Y t A t t t ω=+Φ 其中0ω为中心频率，()A t 和()t Φ是满变化的随机过程，对上式展开得 00()()cos ()sin c s Y t A t t A t t ωω=- 其中，()()cos (),()()sin ()c s A t A t t A t A t t =Φ=Φ，是慢变化的随机过程，分别称为窄带随机过程的同向分量和正交分量。 三、实验内容

6.窄带随机过程的产生 - 随机信号分析实验报告

计算机与信息工程学院综合性实验报告 一、实验目的 1、基于随机过程的莱斯表达式产生窄带随机过程。 2、掌握窄带随机过程的特性，包括均值（数学期望）、方差、概率密度函数、相关函数及功率谱密度等。 3、掌握窄带随机过程的分析方法。 二、实验仪器或设备 1、一台计算机 2、MATLAB r2013a 三、实验内容及实验原理 基于随机过程的莱斯表达式 00()()cos ()sin y t a t t b t t ωω=- (3.1) 实验过程框图如下：

理想低通滤波器如图所示： 图1 理想低通滤波器 ()20 A H ?ω ?ω≤ ?ω=? ??其它 (3.2) 设白噪声的物理谱0=X G N ω（） ,则系统输出的物理谱为 2 2 0=()=20 Y X N A G H G ?ω ?0≤ω≤ ?ωωω???（）（） 其它 (3.3) 输出的自相关函数为: 01()()cos 2Y Y R G d τωωτωπ∞ = ? /22 1cos 2N A d ωωτωπ?=? (3.4) 2 0sin 242 N A ωτωωτπ ??=? ? 可知输出的自相关函数()Y R τ是一个振荡函数。计算高斯白噪声x(t)、限带白噪声()a t 、 ()b t 及窄带随机过程()y t 的均值，并绘出随机过程各个随机过程的自相关函数，功率谱密 度图形。 四、MATLAB 实验程序 function random(p,R,C) %产生一个p 个点的随机过程 %--------------------------高斯窄带随机过程代码--------------------------% n=1:p; w=linspace(-pi,pi,p); wn=1/2*pi*R*C; [b,a]=butter(1,wn,'low'); %产生低通滤波器 Xt=randn(1,p); %产生p 个点均值为0方差为1的随机数，即高斯白噪声 at=filter(b,a,Xt); %让高斯白噪声通过低通滤波器

6窄带随机过程的产生

——————————————————窄带随机过程的产生 学院：计算机与信息工程学院 专业：通信工程 姓名： 学号：1108224070

计算机与信息工程学院验证性实验报告 一、实验目的 1、基于随机过程的莱斯表达式产生窄带随机过程。 2、掌握窄带随机过程的特性，包括均值（数学期望）、方差、相关函数及功率谱密度等。 二、实验仪器 装MATLAB 软件微机一台 三、实验原理 窄带随机过程的产生原理： 00)()sin(2) f t b t f t p p - 四、实验内容 1、基于随机过程的莱斯表达式X （t)=a(t)coswt-b(t)sinwt,用matlab 产生一满足条件的窄带随机过程。 2、画出该随机过程的若干次实现，观察其形状。 3、编写matlab 程序计算该随机过程的均值函数，自相关函数，功率谱，包络，包络平方及相位的一维概率密度画出相应的图形并给出解释。 五、实验步骤 根据实验内容，利用matlab 编写程序。 1、 n=1500; a=randn(1,n); %产生随机数 b=randn(1,n); wsize = 9;

at=filter(ones(1,wsize)/wsize,1,a);%经过滤波器 bt=filter(ones(1,wsize)/wsize,1,b); sf=1500; t=1/sf; f0=1000; y=at*cos(2*pi*f0*t)-bt*sin(2*pi*f0*t);%形成窄带波形tt=[0:t:(n-1)*t]; plot(tt,a); %绘制产生的白躁声 2、 n=1500; a=randn(1,n); %产生随机数 b=randn(1,n); wsize = 9; at=filter(ones(1,wsize)/wsize,1,a);%经过滤波器 bt=filter(ones(1,wsize)/wsize,1,b); sf=1500; t=1/sf; f0=1000; y=at*cos(2*pi*f0*t)-bt*sin(2*pi*f0*t);%形成窄带波形tt=[0:t:(n-1)*t]; plot(tt,b); %绘制产生的白躁声 3、 n=1500; a=randn(1,n); %产生随机数 b=randn(1,n); wsize = 9; at=filter(ones(1,wsize)/wsize,1,a);%经过滤波器 bt=filter(ones(1,wsize)/wsize,1,b); sf=1500; t=1/sf; f0=1000; y=at*cos(2*pi*f0*t)-bt*sin(2*pi*f0*t);%形成窄带波形tt=[0:t:(n-1)*t]; plot(tt,at); %绘制经过滤波器后的白躁声 4、 n=1500;

随机过程-习题-第5章

5.1设有周期信号如图题5-1所示，求它相关函数和功率谱密度。 解：首先， ] [211d 1d 12/32/002/52/302/32/4/54/34/34/00ππππππωωωωωjn jn jn jn jn jn T T t jn T T t jn n e e T jn jn e e T jn e e T t e T t e T a ---------= ---=-= ? ? 于是， ?? ???? ?=-=为偶数 为奇数n n n n n a n ,0 ,)(4 )]cos(1[)(42 22πππ 所以，该信号的时间相关函数为 τ ωτ0)12(2 12)(+∞ -∞ =+∑= n j n n e a R 确定性周期信号的功率谱密度是其时间相关函数的傅氏变换，即 ) )12(()(02 12f n f a f n n +-= Φ∑ ∞ -∞ =+δ 或者

5.2 5.3 5.4设有二平稳随机过程，它们的功率谱密度分别为， （1） 2 )2(3)2()2()(2 4 2 ++= f f f f S πππξ （2） 6 )2(5)2(1)2()(2 4 2+++= f f f f S πππξ 求其相应的相关函数及其均方值。 (1) 解：因为 2)2(3)2()2()(2 4 2 ++= f f f f S πππξ 1 )2(12 )2(222+- +=f f ππ 所以，相关函数为 ||| |22 12 2)(ττξξτ--- = e e R 均方值为 2 122)0()|)(E(|2-= =ξξξR t (2) 解：因为

6)2(5)2(1)2()(2 42+++= f f f f S πππξ 2 )2(13 )2(2 2 2 +- += f f ππ 所以相关函数为： ||| |24 23 3)(ττξξτ--- = e e R 均方值为： 4 233)0()|)(E(|2-= =ξξξR t 5.5 设一平稳随机过程的功率谱密度如图题5-5所示，即， （其它频率） ) ({ )(000 f f f f f S f S ?+<

《随机过程》第五章习题

第五章 平稳过程的谱分析 习题 1、 设有一线性系统，其输入为零均值白高斯噪声)(t n ，其功率谱密度为 2 0N ，系统的冲激响应为： ???<≥=-0 ,00,)(t t e t h t α 此线性系统的输出为)(t ξ。令：)()()(T t t t --=ξξη，其中0>T 为一常数，试求过程)(t η的一维概率密度函数。 2、 设)(t s 为一确定性信号，在),0(T 内具有能量?=T s dt t s E 02)(，)(t n 为一零均值的白高 斯过程，其相关函数为：)(2 )(0τδτN R n =。令：?+=T dt t n t s t s 01)]()()[(η，?=T dt t n t s 02)()(η。试求： （1） 给定一常数γ，求概率}{1γη>P ； （2） 给定一常数γ，求概率}{2γη>P 。 3、 设有一非线性系统，其输入为零均值平稳实高斯过程，其协方差函数为： ταξτ-=Pe C )( 其中0>P 为一常数。系统的输出为： ?= T dt t T 02)(1ξζ 试求： （1） 输出均值：}{ζE ； （2） 输出方差：}{ζD ； （3） 设2 }]{[}{ζζE D y =，T x α=，画出y 对x 的关系简图。 4、 设有一线性系统，输入输出分别为)(t ξ和)(t η，其中输入过程)(t ξ为零均值平稳实高斯过程，它的相关函数为：)0()(2>=-αστταξξe R 。系统的单位冲激响应为： ???<≠>≥=-0000)(t , αβ,β,t ,e t h t β 若)(t ξ在-∞=t 时接入系统，试求：

窄带随机过程的模拟

实验报告 实验题目：窄带随机过程的模拟 一、实验目的 了解随机过程特征估计的基本概念和方法，学会运用MATLAB软件产生各种随机过程，对随机过程的特征进行估计，并通过实验了解不同估计方法所估计出来的结果之间的差异。 二、实验原理 （1）高斯白噪声的产生 提示：利用MATLAB函数randn产生 （2）自相关函数的估计

1 1 1 ()()?()1?()N m n x N m x n m n n x n m x n N R m R m x x N m --=--+=?+??=??=?-? ∑∑对有偏估计 对无偏估计 提示：MATLAB 自带的函数为xcorr()，阐述xcorr 的用法 （3）功率谱的估计 利用周期图方法估计功率谱，2 1?()()x G X N =ωω 其它谱估计方法：……. 提示：MATLAB 自带的函数为periodogram()，阐述periodogram()的用法; 阐述其它谱估计方法的用法。 （4）均值的估计 1 1 1?()N x n m x n N -==∑ 提示：MATLAB 自带的函数为mean() （5）方差的估计 1 22 1 1?[()] N x n x n x N -==-∑σ 提示：MATLAB 自带的函数为var() (6)AR(1)模型的理论自相关函数和理论功率谱 对于AR(1)模型()(1)()X n aX n W n =-+，自相关函数为2|| 2 ()1m X a R m a = -σ，其功率谱 为2 2 ()(1)X j G ae ωσω-= -。 三、实验内容 1. 相关高斯随机序列的产生 按如下模型产生一组随机序列()(1)()x n ax n w n =-+，其中()w n 为均值为1，方差为4的正态分布白噪声序列。 （1）产生并画出a=0.8和a=0.2的x(n)的波形； （2）估计x(n)的均值和方差； （3）估计x(n)的自相关函数，并画出相关函数的图形。

随机过程期末复习题

随机过程期末复习题库（2015） 一、填空题 1.对于具有常数均值的二阶矩过程，为宽平稳过程当且仅当二元函 数只与有关, 而与和无关。 2.对于具有常数均值的二阶矩过程，为宽平稳过程当且仅当二元函 数只与有关, 而与和无关。 3.设随机变量服从泊松分布，且，则 2 . 4.已知随机变量的二阶矩存在，且的矩母函数为，则. 5.已知随机变量的二阶矩存在，且的特征函数为，则 . 6.设是平稳序列，其协方差函数为，请给出的均值具有遍 历性的一个充分条件：． 7.设是平稳过程，其协方差函数为，请给出的均值具有遍历性 的一个充分条件：． 8.已知平稳过程的均值，协方差函数为，则该过程的自相关函数 ． 9.设为两个随机事件，，则 0.6 ． 10.设为二随机变量，，则 2 ． 11.已知随机变量的矩母函数为，则服从的分布是参数为的 泊松分布． 12.是二维正态分布，即，． 13.设随机变量的数学期望均存在，则． 14.为随机事件，随机变量的数学期望存在，则 ． 15.在强度为的泊松过程中，相继事件发生的间隔时间是相互独立的随机变量，且服从均 值为的同一指数分布. 16.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则的分布函 数为. 17.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则． 18.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则

． 解由定理3.2.3，在已知的条件下，事件发生的个时刻的条件联合分布函数与个在区间上相互独立同均匀分布的随机变量的顺序统计量的联合分布函数相同．故对，有 从而， 19.是强度为的泊松过程，表示第个事件与第个事件发 生的时间间隔.则. 解题思路：注意到与独立，且同服从参数为的指数分布即得． 20.设，是速率为的泊松过程. 则对于， . 21.设，是速率为的泊松过程. 对于， . 解对于，有 增量与独立 22.是强度为的泊松过程，表示第个事件与第个事件发 生的时间间隔.则对，. 解题思路：注意到与独立，且同服从参数为的指数分布即得． 23.设是强度为的泊松过程，表示第个事件与第个事件发 生的时间间隔，则. 24.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则 . 25.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则服从参 数为和的分布. 26.非齐次泊松过程，其强度函数为，则 . 解对于，有

随机过程习题及答案

随机过程习题及答案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

第二章随机过程分析 学习指导 1.1.1要点 随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1.随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。 2.随机过程的分布函数和概率密度函数 如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ξ(t 1)≤x 1]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为 F 1(x 1,t 1)=P [ξ(t 1)≤x 1](2-1) 如果F 1(x 1,t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为 对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1)≤x 1和ξ(t 2)≤x 2同时成立的概率 称为随机过程(t )的二维分布函数。如果 存在，则称f 2(x 1,x 2;t 1,t 2)为随机过程(t )的二维概率密度函数。 对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(), ,() (2 - 5) =≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程(t )的n 维分布函数。如果 存在，则称f n (x 1,x 2,…,x n ;t 1,t 2,…,t n )为随机过程(t )的n 维概率密度函数。 3.随机过程的数字特征

窄带随机信号的产生及分析

信息与通信工程学院实验报告 （软件仿真性实验） 课程名称：随机信号分析 实验题目：窄带随机信号的产生及分析 班级：学号： 实验目的和任务 1?掌握窄带随机信号的产生方法以及窄带滤波器的设计 2?掌握窄带随机信号包络相位的提取 实验内容及原理 （一）实验原理 在一般无线电接收机中，通常都有高频或中频放大器，它们的通频带往往远小于中心频 率，既有 这种线性系统通称为窄带线性系统 在通信、雷达等许多电子系统中，都常常用一个宽带平稳随机过程来激励一个窄带滤波 器，这是在滤波器输出端得到的便是一个窄带随机过程。若用示波器观测此波形，则可看到, 它接近一个正弦波，但此正弦波的幅度和相位都在缓慢的随机变化。我们可以证明，任何一 个是窄带随机过程X(t)都可以表示为： 成绩 指导教师：陈友兴 学生姓名：

X(t) = A(t)cos( .0t ⑴) 式中，「。是固定值，对于窄带随机过程来说，0 一般取窄带滤波器的中心频率或载波频率。 在实际应用中，常常需要检测出包络A(t)和「t的信息。若将窄带随机过程X(t)送入包络检波器，则在检波器的输出端可得到包络A(t)，若将窄带随机过程X(t)，送入一个相位检波器，便可检测出相位信息」t，如图3.1所示。 (二)实验内容 1.产生一输入信号X(t)二A(t)cos[ st (t)] N(t)，其中A(t戶1 cqst， ?■i=2n二1000( n 为学号)，，'。「'i，：(t)与A(t) 一样，N(t)为高斯白噪声； 2?按图3.1的系统，设计一个低通滤波器，使得X(t)通过系统后的输出W(t)为窄带信号。 三、实验步骤或程序流程 1. 输入信号，求输入信号的均值、方差、自相关函数、傅里叶变换、功率谱密度，分析各参数的 特性；

第三章随机过程作业

第三章 随机过程 A 简答题： 3-1 写出一维随机变量函数的均值、二维随机变量函数的联合概率密度（雅克比行列式）的定义式。 3-2 写出广义平稳（即宽平稳）随机过程的判断条件，写出各态历经随机过程的判断条件。 3-3 平稳随机过程的自相关函数有哪些性质功率谱密度有哪些性质自相关函数与功率谱密度之间有什么关系 3-4 高斯过程主要有哪些性质 3-5 随机过程通过线性系统时，输出与输入功率谱密度之间的关系如何 3-6 写出窄带随机过程的两种表达式。 3-7 窄带高斯过程的同相分量和正交分量的统计特性如何 3-8 窄带高斯过程的包络、正弦波加窄带高斯噪声的合成包络分别服从什么分布 3-9 写出高斯白噪声的功率谱密度和自相关函数的表达式，并分别解释“高斯”及“白”的含义。 3-10 写出带限高斯白噪声功率的计算式。 B 计算题： 一、补充习题 3-1 设()()cos(2)c y t x t f t πθ=?+，其中()x t 与θ统计独立，()x t 为0均值的平稳随机过程，自相关函数与功率谱密度分别为：(),()x x R P τω。 ①若θ在（0，2π）均匀分布，求y()t 的均值，自相关函数和功率谱密度。 ②若θ为常数，求y()t 的均值，自相关函数和功率谱密度。 3-2 已知()n t 是均值为0的白噪声，其双边功率谱密度为：0 ()2 N P ω= 双，通过下图()a 所示的相干解调器。图中窄带滤波器（中心频率为c ω）和低通滤波器的传递函数1()H ω及2()H ω示于图()b ，图()c 。

试求：①图中()i n t （窄带噪声）、()p n t 及0()n t 的噪声功率谱。 ②给出0()n t 的噪声自相关函数及其噪声功率值。 3-3 设()i n t 为窄带高斯平稳随机过程，其均值为0，方差为2 n σ，信号[cos ()]c i A t n t ω+经过下图所示电路后输出为()y t ，()()()y t u t v t =+，其中()u t 是与cos c A t ω对应的函数，()v t 是与()i n t 对应的输出。假设()c n t 及()s n t 的带宽等于低通滤波器的通频带。 求()u t 和()v t 的平均功率之比。