第二章 平面向量

第二章 平面向量

§2.1 平面向量的实际背景及基本概念

1．向量：既有________，又有________的量叫向量．

2．向量的几何表示：以A 为起点，B 为终点的向量记作________． 3．向量的有关概念：

(1)零向量：长度为__________的向量叫做零向量，记作______． (2)单位向量：长度为______的向量叫做单位向量．

(3)相等向量：__________且__________的向量叫做相等向量．

(4)平行向量(共线向量)：方向__________的________向量叫做平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量a 平行于b ，记作________． ②规定：零向量与__________平行．

1．下列物理量：①质量②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．下列条件中能得到a ＝b 的是( )

A ．|a |＝|b |

B ．a 与b 的方向相同

C ．a ＝0，b 为任意向量

D ．a ＝0且b ＝0 3．下列说法正确的有( )

①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 4．命题“若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ”( )

A ．总成立

B ．当a ≠0时成立

C ．当b ≠0时成立

D ．当c ≠0时成立 5．下列各命题中，正确的命题为( )

A ．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同

B ．模为0的向量与任一向量平行

C ．向量就是有向线段

D ．|a |＝|b |?a ＝b 6．下列说法正确的是( )

A ．向量A

B →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →

所在的直线 B ．长度相等的向量叫做相等向量 C ．零向量长度等于0 D ．共线向量是在一条直线上的向量

7．给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a ∥b 成立的是________．(填序号)

8．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →

|，则四边形的形状为________．

9．下列各种情况中，向量的终点在平面内各构成什么图形．①把所有单位向量移到同一起点；

②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点； ③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点． ①__________；②____________；③____________.

10．如图所示，E 、F 分别为△ABC 边AB 、AC 的中点，则与向量EF →

共线的向量有________________(将图中符合条件的向量全写出来)．

11. 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1. (1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；

(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？

12. 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．

(1)写出与EF →

共线的向量；

(2)写出与EF →

的模大小相等的向量；

(3)写出与EF →

相等的向量．

13. 如图，已知AA ′→＝BB ′→＝CC ′→

. 求证：(1)△ABC ≌△A ′B ′C ′； (2)AB →＝A ′B ′→，AC →＝A ′C ′→.

14. 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →

＝c . (1)与a 的模相等的向量有多少个？

(2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与a 共线的向量有哪些？

(4)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．

1．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑． 2．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．如a >b 没有意义，而|a |>|b |有意义． 3．共线向量与平行向量

2.2.1 向量加法运算及其几何意义

1．向量的加法法则 (1)三角形法则

如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →

＝b ，则向量________叫做a 与b 的

和(或和向量)，记作__________，即a ＋b ＝AB →＋BC →

＝________.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．

对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝________＋______＝______. (2)平行四边形法则

如图所示，已知两个不共线向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →

＝b ，则O 、A 、B 三点不共线，以______，______为邻边作__________，则对角线上的向量________＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量求和

的平行四边形法则． 2．向量加法的运算律

(1)交换律：a ＋b ＝______________.

(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝______________________.

1．已知向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向南航行1 km ”，则a ＋b 表示( )

A ．向东南航行 2 km

B ．向东南航行2 km

C ．向东北航行 2 km

D ．向东北航行2 km 2．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )

A.AB →＝CD →，BC →＝AD →

B.AD →＋OD →＝DA →

C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →

D.AB →＋BC →＋CD →＝DA →

3．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →

，则( )

A ．四边形ABCD 一定是矩形

B ．四边形ABCD 一定是菱形

C ．四边形ABC

D 一定是正方形 D ．四边形ABCD 一定是平行四边形 4．a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( )

A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同

B ．a ，b 是共线向量且方向相反

C ．a ＝b

D ．a ，b 无论什么关系均可

5. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →

等于( )

A. BD →

B. DB →

C. BC →

D. CB →

6. 如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →

|等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3

7．在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →

＝________.

8．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，则AB →＋BC →＋AC →

的模等于________． 9．已知|a |＝3，|b |＝5，则向量a ＋b 模长的最大值是____．

10. 设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式 (1)DE →＋EA →

＝________；

(2)BE →＋AB →＋EA →

＝________； (3)DE →＋CB →＋EC →

＝________； (4)BA →＋DB →＋EC →＋AE →

＝________.

11．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．

12. 如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线和反向延长线上取点F ，E ，使BE ＝DF .

求证：四边形AECF 是平行四边形．

13．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →

＝______.

14．在水流速度为4 3 km /h 的河中，如果要船以12 km/h 的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．

1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．

2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．是同一概念，规定：零向量与任一向量都平行

2.2.2 向量减法运算及其几何意义

向量的减法

(1)定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的__________．

(2)作法：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →

＝b ，则向量a －b ＝________.如图所示． (3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点

为________，被减向量的终点为________的向量．例如：OA →－OB →

＝________.

1. 在如图四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →

等于( )

A ．a －b ＋c

B ．b －(a ＋c )

C ．a ＋b ＋c

D ．b －a ＋c

2．化简OP →－QP →＋PS →＋SP →

的结果等于( ) A.QP → B.OQ → C.SP → D.SQ →

3．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE → D.EF →＝－OF →－OE →

4．在平行四边形ABCD 中，|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →

|，则有( )

A. AD →＝0

B. AB →＝0或AD →

＝0 C ．ABCD 是矩形 D ．ABCD 是菱形

5．若|AB →|＝5，|AC →|＝8，则|BC →

|的取值范围是( )

A ．[3,8]

B ．(3,8)

C ．[3,13]

D ．(3,13)

6．边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →

|的值为( )

A ．1

B ．2 C.3

2

D. 3

7. 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点， 则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →

＝________.

8．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →

)的结果是________．

9. 如图所示，已知O 到平行四边形的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a ，b ，c ， 则OD →

＝____________(用a ，b ，c 表示)．

10．已知非零向量a ，b 满足|a |＝7＋1，|b |＝7－1，且|a －b |＝4，则 |a ＋b |＝_____.

11. 如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →

＝c ，

求证：b ＋c －a ＝OA →

.

12. 如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →

＝c ，试作出下列向量并分别求出其长度，(1)a ＋b ＋c ； (2)a －b ＋c .

13．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，先用a ，b 表示向量AC →和DB →

，并回答：当a ，b 分别满足什么条件时，四边形ABCD 为矩形、菱形、正方形？

1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →

就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a －b ＝a ＋(－b )．

2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．

3．以向量AB →＝a 、AD →＝b 为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量为AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，DB →

＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

1．向量数乘运算

实数λ与向量a 的积是一个__________，这种运算叫做向量的__________，记作________，其长度与方向规定如下：

(1)|λa |＝__________.

(2)λa (a ≠0)的方向?

????

当 时，与a 方向相同

当 时，与a 方向相反；

特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝________或λ0＝________. 2．向量数乘的运算律

(1)λ(μa )＝________(2)(λ＋μ)a ＝____________.(3)λ(a ＋b )＝____________. 特别地，有(－λ)a ＝____________＝________；λ(a －b )＝____________.

3．共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______________． 4．向量的线性运算

向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝__________________.

1．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( )

A ．k ＝0

B ．k ＝1

C ．k ＝2

D ．k ＝1

2

2．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →

＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．B 、C 、D B ．A 、B 、C C ．A 、B 、D D ．A 、C 、D

3．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，且P A →＋PB →＋PC →＝AB →

，则( )

A ．P 在△ABC 内部

B ．P 在△AB

C 外部 C ．P 在AB 边上或其延长线上

D ．P 在AC 边上

4．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →

成立，则m 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

5．在△ABC 中，点D 在直线CB 的延长线上，且CD →＝4BD →＝rAB →＋sAC →

，则r －s 等于( )

A ．0 B.45 C.8

3

D ．3

6．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →

|等于( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．1

7．若2????y －13a －1

2

(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量y ＝_______. 8．已知平面内O ，A ，B ，C 四点，其中A ，B ，C 三点共线，且OC →＝xOA →＋yOB →

，则x ＋y ＝________.

9. 如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →

＝______.(填写正确的序号)

①－BC →＋12BA →②－BC →－12BA →③BC →－12BA →④BC →＋12

BA →

10. 如图所示，在?ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →

，M 为BC 的中点， 则MN →

＝______.(用a ，b 表示)

11．两个非零向量a 、b 不共线．

(1)若A B →＝a ＋b ，B C →＝2a ＋8b ，C D →

＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)求实数k 使k a ＋b 与2a ＋k b 共线．

12. 如图所示，在?ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →

＝____.(用a ，b 表示)

13．已知O 是平面内一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →

＋λ? ??

??AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0，＋∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

14．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →

等于( ) A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b

1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的．

2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a

|a |

表示与向量a 同

向的单位向量．

3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．

2．3.1 平面向量基本定理

1．平面向量基本定理

(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的______向量a ，__________实数λ1，λ2，使a ＝____________________________.

(2)基底：把________的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内________向量的一组基底． 2.两向量的夹角与垂直

(1)夹角：已知两个__________a 和b ，作OA →＝a ，OB →

＝b ，则________＝θ (0°≤θ≤180°)，

叫做向量a 与b 的夹角．

①范围：向量a 与b 的夹角的范围是______________． ②当θ＝0°时，a 与b ________. ③当θ＝180°时，a 与b ________.

(2)垂直：如果a 与b 的夹角是________，则称a 与b 垂直，记作______________．

1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )

A ．e 1－e 2，e 2－e 1

B ．2e 1＋e 2，e 1＋1

2

e 2 C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2 D ．e 1＋e 2，e 1－e 2、

2．等边△ABC 中，AB →与BC →

的夹角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 3．下面三种说法中，正确的是( )

①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③

4．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →

等于( )

A ．a ＋λb

B ．λa ＋(1－λ)b

C ．λa ＋b D.11＋λa ＋λ

1＋λ

b

5．如果e 1、e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的有( )

①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α中的任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ、μ有无数多对；③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；

④若实数λ、μ使λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0.

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．②

6．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF FD ＝1

5

，连结CF 并

延长交AB 于E ，则AE

EB

等于( )

A.112

B.13

C.15

D.110

7．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，试用m ，n 表示p ，p ＝________.

8．设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________．(写出所有满足条件的序号)

9．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →

＝____________.

10．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →

，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.

11. 如图所示，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →

＝a ，

AC →＝b ，用a ，b 表示AD →，AE →，AF →.

12. 如图所示，已知△AOB 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，OD →＝2DB →

，DC 和OA 交于点E ，设

OA →＝a ，OB →

＝b .

(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →

；

(2)若OE →＝λOA →

，求实数λ的值．

13. 如图所示，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域

内(不含边界)运动，且OP →＝xOA →＋yOB →

，则x 的取值范围是________；当x ＝－12

时，y

的取值范围是____________．

14. 如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1.

1．对基底的理解 (1)基底的特征

基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2．准确理解平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．

(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．

2.3.3 平面向量的坐标运算．

1．平面向量的坐标表示

(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．

(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个____________i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝____________，则________________叫作向量a 的坐标，________________叫作向量的坐标表示．

(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝________，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →

＝_____________.

2．平面向量的坐标运算

(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．

(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．

(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝_______，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．

1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －3

2

b 等于( )

A ．(－2，－1)

B ．(－2,1)

C ．(－1,0)

D ．(－1,2)

2．已知a －1

2

b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( )

A ．(－2，－2)

B ．(2,2)

C ．(－2,2)

D ．(2，－2) 3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( ) A ．－2,1 B ．1，－2 C ．2，－1 D ．－1,2

4．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12

MN →

，则点P 的坐标为( )

A ．(－8,1) B.????1，32 C.?

???－1，－3

2 D ．(8，－1) 5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →

等于( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5) D ．(2,4)

6．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1,2)，则顶点D 的坐标为( ) A ．(－7,0) B ．(7,6) C ．(6,7) D ．(7，－6)

7．已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC →

的坐标是________．

8．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →

，则x ＋y ＝________.

9．若向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →

相等，其中A (1,2)，B (3，2)，则x ＝________.

10．函数y ＝x 2＋2x ＋2按向量a 平移所得图象的解析式为y ＝x 2，则向量a 的坐标是________． 11．已知a ＝(－2,3)，b ＝(3,1)，c ＝(10，－4)，试用a ，b 表示c .

12．已知平面上三个点坐标为A (3,7)，B (4,6)，C (1，－2)，求点D 的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．

13．已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于( ) A ．{(1,1)} B ．{(－1,1)} C ．{(1,0)} D ．{(0,1)}

14．函数y ＝cos ?

???2x ＋π

6－2的图象F 按向量a 平移到F ′，F ′的函数解析式为y ＝f (x )，当y ＝f (x )为奇函数时，向量a 可以等于( )

A.????－π6，－2

B.????－π6，2

C.????π6，－2

D.???

?π

6，2

1．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一

一对应关系．关系图如图所示：

2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．

2.3.4 平面向量共线的坐标表示

1．两向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)． (1)当a ∥b 时，有______________________．

(2)当a ∥b 且x 2y 2≠0时，有____________________．即两向量的相应坐标成比例．

2．若P 1P →＝λPP 2→

，则P 与P 1、P 2三点共线．

当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的内部，特别地λ＝1时，P 为线段P 1P 2的中点； 当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的延长线上； 当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的反向延长线上．

1．已知三点A (－1,1)，B (0,2)，C (2,0)，若AB →和CD →

是相反向量，则D 点坐标是( ) A ．(1,0) B ．(－1,0) C ．(1，－1) D ．(－1,1) 2．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( ) A ．平行于x 轴 B ．平行于第一、三象限的角平分线 C ．平行于y 轴 D ．平行于第二、四象限的角平分线

3．若a ＝(2cos α，1)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan α等于( )

A ．2 B.12 C ．－2 D ．－1

2

4．已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )

A ．k ＝1且c 与d 同向

B ．k ＝1且c 与d 反向

C ．k ＝－1且c 与d 同向

D ．k ＝－1且c 与d 反向 5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为( )

A ．－1

B ．－12 C.1

2

D ．1

6．已知A 、B 、C 三点在一条直线上，且A (3，－6)，B (－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐( ) A ．－13 B ．9 C ．－9 D ．13

7．已知向量a ＝(2x ＋1,4)，b ＝(2－x,3)，若a ∥b ，则实数x 的值等于________． 8．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________. 9．若三点P (1,1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线，则x 的值为________．

10．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________.

11．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？

12．如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，O (0,0)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．

13．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1)，B (－1，3)，若点C 满足OC →＝mOA →＋nOB →

，其中m ，n ∈R 且m ＋n ＝1，则点C 的轨迹方程为( )

A ．3x ＋2y －11＝0

B ．(x －1)2＋(y －2)2＝5

C ．2x －y ＝0

D ．x ＋2y －5＝0

14．已知点A (－1，－3)，B (1,1)，直线AB 与直线x ＋y －5＝0交于点C ，则点C 的坐标为________.

1．两个向量共线条件的表示方法 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)

(1)当b ≠0，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.

(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1

y 2

，即两向量的相应坐标成比例．

2．向量共线的坐标表示的应用

两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．

(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．

(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．

2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

1．平面向量数量积

(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量______________叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角． (2)规定：零向量与任一向量的数量积为____．

(3)投影：设两个非零向量a 、b 的夹角为θ，则向量a 在b 方向的投影是____________，向量b 在a 方向上的投影是______________． 2．数量积的几何意义 a ·b 的几何意义是数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影________________的乘积． 3．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝________(交换律)； (2)(λa )·b ＝________＝________(结合律)； (3)(a ＋b )·c ＝______________________(分配律)．

1．|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．－1

2．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( ) A.32 B ．－32 C ．±3

2 D ．1 3．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |等于( ) A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．8

4．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →

＝c ，则a·b ＋b·c ＋c·a 等于( )

A ．－32

B ．0 C.3

2

D ．3

5．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 6．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 7．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为________． 8．给出下列结论： ①若a ≠0，a·b ＝0，则b ＝0；②若a·b ＝b·c ，则a ＝c ；③(a·b )c ＝a (b·c )；④a·[b (a ·c )－c (a·b )]＝0. 其中正确结论的序号是________．

9．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝________. 10．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________． 11．已知|a |＝4，|b |＝3，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ； (3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与b 的数量积．

12．已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π

3

，求|a ＋b |，|a －b |.

13．已知|a |＝1，|b |＝1，a ，b 的夹角为120°，计算向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影．

14．设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．

1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)． 2．数量积对结合律一般不成立，因为(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉·c 是一个与c 共线的向量，而(a ·c )·b ＝|a |·|c |cos 〈a ，c 〉·b 是一个与b 共线的向量，两者一般不同．

3．向量b 在a 上的射影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，注意a 在b 方向上的射影与b 在a 方向上的射影是不同的，应结合图形加以区分．

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

1．平面向量数量积的坐标表示 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝____________.即两个向量的数量积等于________________． 2．两个向量垂直的坐标表示

设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ?________________. 3．平面向量的模

(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝________________.

(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →

|＝________________________. 4．向量的夹角公式

设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝________＝__________.

1．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 2．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．12

3．已知a ，b 为平面向量，a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865 C.1665 D ．－1665

4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.????79，73 B.????－73，－79 C.????73，79 D.????－79，－73 5．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝( ) A. 5 B.10 C ．5 D ．25

6．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )

A ．－17 B.17 C ．－16 D.16

7．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.

8．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________. 9．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为______．

10．已知a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，则λ的取值范围为________． 11．已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10. (1)求a 的坐标；

(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .

12．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， (1)求证：AB ⊥AD ；

(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值．

13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，a )，其中a 为实数，O 为原点，当此两向量夹角在???

?0，π

12变动时，a 的范围是( )

A ．(0,1) B.????33，3 C.???

?3

3，1∪(1，3) D ．(1，3)

14．若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →

＝________.

1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．

2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．

2．5.1 平面几何中的向量方法

1．向量方法在几何中的应用

(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a ∥b (b ≠0)?________?______________________.

(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a ，b ，a ⊥b ?____________?______________.

(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝______________＝___________________. (4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a |＝_______ 2．直线的方向向量和法向量

(1)直线y ＝kx ＋b 的方向向量为________，法向量为________．

(2)直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量为________，法向量为________．

1．在△ABC 中，已知A (4,1)、B (7,5)、C (－4,7)，则BC 边的中线AD 的长是( )

A ．2 5 B.52 5 C ．3 5 D.7

2

5

2．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →

，则点O 是△ABC 的( ) A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点 3．已知直线l 1：3x ＋4y －12＝0，l 2：7x ＋y －28＝0，则直线l 1与l 2的夹角是( ) A ．30° B ．45° C ．135° D ．150°

4．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →

|，则△ABC 的形状是( )

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等边三角形

5．已知点A (3，1)，B (0,0)，C (3，0)，设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC →＝λCE →

，其中λ等于( )

A ．2 B.12 C ．－3 D ．－1

3

6．已知非零向量AB →与AC →

满足? ????AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|

＝12，则△ABC 的形状是( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰(非等边)三角形 D ．等边三角形

7．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两

点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →

，则m ＋n 的值为__________________．

8．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5.则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →

＝_____________.

9．设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →

)＝0，则△ABC 的形状一定__．

10．在直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)和点B (－3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC →|＝2，则OC →

＝ 11．在△ABC 中，A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，求∠A 的平分线的方程．

12．P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PFCE 为矩形．求证：P A ＝EF 且P A ⊥EF .

1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．

2．在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)上任取两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2→

(λ∈R 且λ≠0)也是直线l 的方向向量．所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线．同理，与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直的向量都叫直线l 的法向量．一条直线的法向量也有无数多个．熟知以下结论，在解题时可以直接应用．

①y ＝kx ＋b 的方向向量v ＝(1，k )，法向量为n ＝(k ，－1)．

②Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的方向向量v ＝(B ，－A )，法向量n ＝(A ，B )．

章末复习课

1．若向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)，则(a ·b )(a ＋b )等于( )

A ．20

B ．(－10,30)

C ．54

D ．(－8,24)

2．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa ＋b 与a 垂直，则λ等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2

3．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →

＝0，那么( )

A. AO →＝OD →

B. AO →＝2OD →

C. AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD →

4．在平行四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－3,2)，则AD →·AC →

等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3

5．若向量a 与b 不共线，a·b ≠0，且c ＝a －????

a·a a·

b b ，则向量a 与

c 的夹角为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π

2

6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则AP →·(PB →＋PC →

)等于( ) A.49 B.43 C ．－43 D ．－49

7．过点A (2,3)且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程是____________． 8．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是______． 9．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________. 10．已知平面向量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．

11．已知A (1，－2)、B (2,1)、C (3,2)和D (－2,3)，以AB →、AC →为一组基底来表示AD →＋BD →＋CD →

.

12．设a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R .

(1)若a 与b 起点相同，t 为何值时a ，t b ，1

3

(a ＋b )三向量的终点在一直线上？

(2)若|a |＝|b |且a 与b 夹角为60°，那么t 为何值时，|a －t b |的值最小？

高中数学必修4知识点总结：第二章 平面向量

高中数学必修4知识点总结 第二章 平面向量 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ； ②结合律：()() a b c a b c ++=++ ；③00a a a +=+= ． ⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1 212 ,x x y y A B=-- ． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ= ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③() a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ== ． 20、向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= ． 设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠ 共线． 21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+ ．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B

(完整word版)高三一轮复习平面向量复习优秀教案

平面向量 第一课时 平面向量的概念 【重要知识】 知识点一：向量的概念 既有大小又有方向的量叫向量。 注意数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 知识点二：向量的表示法 ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ （黑体，印刷用）等表示；①用有向线段表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ； ④向量的大小――长度称为向量的模，记作||. 知识点三：有向线段 （1）有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. （2）向量与有向线段的区别： ①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； ②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 知识点四：两个特殊的向量 （1）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0r . 0r 的方向是任意的. 注意0r 与0的含义与书写区别. （2）单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。 知识点五：平行向量、共线向量 （1） 定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量。 （2） 规定：规定0r 与任一向量平行. （3）共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）. 说明：①综合(1)、(2)才是平行向量的完整定义; ②向量,,a b c r r r 平行，记作a r ∥b r ∥c r ③平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； ④共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 知识点六：相等向量

平面向量单元测试题

2016-2017第二学期第七章单元测试题 班级__________ 座位_________ 姓名_________ 成绩_____________ 一、选择题(每题3分,共30分) 1.下列说法错误的是（ ） A. 零向量与任一非零向量平行 B. 零向量与单位向量的模不相等 C. 平行向量方向相同 D. 平行向量一定是共线向量 2.下列四式不能化简为 的是（ ） A.( )+ B.( )+( ) C. + - D. - + 3．已知 =（3，4）， =（5，12）， 与 则夹角的余弦为（ ） A. 65 63 B.65 C. 513 D. 13 4.已知 、 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么∣ +3 ∣=( ) A. 7 B. 10 C. 13 D.4 5.点P （-2,6）关于点M(1，2)的对称点C 的坐标为（ ） A.(0，-2 ) B.(0，10) C.(4，-2) D.(-4，2) 6.设 ， 为不共线向量， = , =-4 - , =-5 -3 ,则下列关系式中正确的是（ ） A. B. C. D. 7.与向量a=（-5,4）平行的向量是（ ） A.(-5K,4K) B.( k 5-，k 4 -) C.(-10，2) D.(5K,4K) 8. 线段AB 的中点为C ，若AB =BC l ，则l =（ ） A 2、 B -2、 C 2或-2、 D -2或 1 2 、 9.与向量（2,3）垂直的向量是（ ） A.(-2，3 ) B.(-2，-3) C.(-3，2 ) D.(2，-3) 10.已知点M （3.-3），N （8，y ），且∣ ∣=13，则y 的值为（ ）

平面向量及其应用单元测试题doc

一、多选题 1．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是 （ ） A ．() 0a b c -?= B ．() 0a b c a +-?= C ．()0a c b a --?= D ．2a b c ++= 2．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 2sin c A =，且 02 C << π ，4b =，则以下说法正确的是（ ） A ．3 C π = B ．若72 c = ，则1cos 7B = C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC 是等边三角形 D ．若ABC 的面积是3，则该三角形外接圆半径为4 3．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ） A ．a 与b 的夹角为钝角 B ．向量a 在b C ．2m +n =4 D ．mn 的最大值为2 4．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且 AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ） A ．1A B CE ?=- B ．0OE O C += C ．32 OA OB OC ++= D ．ED 在BC 方向上的投影为 76 5．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=?，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4. B ．若4A C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC = D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC << 6．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A ．10,45,70b A C ==?=? B ．45,48,60b c B ===?

(完整版)必修4第2章平面向量典型例题及练习

第二章平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念 【知识点归纳】 1. 平面向量的概念: 2. 向量的表示： （常见的2个向量） 3. 相等向量与共线向量: 【典型例题】 题型一向量的基本概念 例1.给出下列命题： ①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上； ②两个单位向量是相等向量；③若a=b, b=c,则a=c； ④若一个向量的模为0,则该向量的方向不确定； ⑤若|a|=|b|贝U a=b。⑥若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 其中正确命题的个数是（） A . 1个 B . 2个C. 3个D . 4个 例2下列命题正确的有_________________ ①a与b共线，b与c共线，则a与c也共线 ②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 ③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 ④有相同起点的两个非零向量不平行 题型二向量的表示 例3.一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向，向西偏北45°走了200km到 uuu uuu uuu UULT 达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D点.（1）作出向量AB , BC ,CD ;（2）求AD

题型三相等向量与共线向量例4如图，设0是正六边形ABCDEF的中心，分别 写出图中与向量OA，OB，OC相等的向量，共线的向量。 题型四利用向量解决多点共线的问题 uuu uuir 例5.如图，四边形ABCD中，AB DC，P,Q是AD，BC上的 uuu uuir uuu uur 点，且BP QD,求证：AP QC 综合练习： 1. 下列命题中，正确的是（） A. 若|a|=|b|,则a=b B.若a=b，则a与b是平行向量 C.若|a|>|b|则a>b D.若a与b不相等，则向量a与b是不共线向量 2?下列说法中错误.的是（） A.零向量是没有方向的B?零向量的长度为0 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的 3?把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是_______ 4. ________________________________________________________ 已知非零向量a // b,若非零向量c // a,则c与b关系是_____________________________________________ . 5?已知a、b是两非零向量，且a与b不共线，若非零向量c与a共线,则c与b必定__________ 6. 判定下列命题的正误： ①零向量是惟一没有方向的向量。（） ②平面内的单位向量只有一个。（） ③方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量。（） ④向量a与b是共线向量，b // C,则a与c是方向相同的向量。（） ⑤相等的向量一定是共线向量。（） 7. 下列四个命题中，正确命题的个数是_________ ①共线向量是在同一条直线上的向量 ②若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点

高中数学苏教版必修4教案：第二章 平面向量 第10课时 2.4向量的数量积(3)

第10课时 §2.4 向量的数量积（3） 【教学目标】 一、知识与技能 掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示. 二、过程与方法 让学生充分经历，体验数量积的运算律以及解题的规律 三、情感、态度与价值观 通过师生互动，自主探究，交流与学习培养学生探求新知识以及合作交流 【教学重点难点】平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 【教学过程】 一、复习： 1．两平面向量垂直条件； 2．两向量共线的坐标表示； 3．轴上单位向量，轴上单位向量，则：，，． 二、新课讲解： 1．向量数量积的坐标表示：设 ，则， ∴. 从而得向量数量积的坐标表示公式：． 2．长度、夹角、垂直的坐标表示： ①长度： ； ②两点间的距离公式：若，则 ③夹角：； ④垂直的充要条件：∵，即 （注意与向量共线的坐标表示的区别） 三、例题分析： 例1、设，求 x i y j 1i i ?=1j j ?=0i j j i ?=?=1122(,),(,)a x y b x y ==1122,a x i y j b x i y j =+=+22 112212121212()()a b x i y j x i y j x x i x y i j y x j i y y j ?=++=+?+?+1212x x y y =+1212a b x x y y ?=+(,)a x y =22222||||a x y a x y =+?=+1122(,),(,)A x y B x y 222121()()AB x x y y =-+-0a b a b ⊥??=12120x x y y +=(5,7),(6,4)a b =-=--a b ?

平面向量单元测试题(含答案)

平面向量单元检测题 学校学号成绩 一、选择题（每小题5分，共60分） 1.若ABCD是正方形，E是CD的中点，且AB a =，AD b =，则BE =（） A． 1 2 b a +B．1 2 b a - C． 1 2 a b +D．1 2 a b - 2.下列命题中，假命题为（） A．若0 a b -=，则a b = B．若0 a b ?=，则0 a =或0 b = C．若k∈R，k0 a =，则0 k=或0 a = D．若a，b都是单位向量，则a b ?≤1恒成立 3.设i，j是互相垂直的单位向量，向量13 () a m i j =+-，1 () b i m j =+-，()() a b a b +⊥-，则实数m为（） A．2 -B．2 Ｃ． 1 2 -Ｄ．不存在 4.已知非零向量a b ⊥，则下列各式正确的是（）A．a b a b +=-B．a b a b +=+ ... . .

... . . C ．a b a b -=- D ．a b +=a b - 5. 在边长为1的等边三角形ABC 中，设BC a =，CA b =，AB c =，则a b b c c a ?+?+?的值为 （ ） A ． 32 B ．32 - C ．0 D ．3 6. 在△OAB 中，OA =（2cos α，2sin α）， OB =（5cos β，5sin β），若5OA OB ?=-，则S △OAB （ ） A B ． 2 C ．5 D ． 52 7. 在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，则四边形ABCD 的形状是 （ ） A ．长方形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．梯形 8. 把函数23cos y x =+的图象沿向量a 平移后得到函数 的图象，则向量 是 （ ） A ．（ 33 ,π-） B ．（ 36 ,π） C ．（ 312 ,π-） D ．（312 ,π- ） 9. 若点1F 、2F 为椭圆 的两个焦点，P 为椭圆上的点，当△12 F PF 的面积为1时， 的值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．3 D ．6 2sin()y x π =-6 a 2214 x y +=1 2 PF PF ?

人教版必修四第二章平面向量教案

人教版必修四第二章平面向量教案 教学目标： 三维目标 1、知识与技能 （1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示； （2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念； 并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系 （3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 2、过程与方法 引导发现法与讨论相结合。这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。体现了在老师的引导下，学生的的主体地位和作用。 3、情感目标与价值观 通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。 教学重点：理解向量、相等向量等相关的概念，向量的几何表示等是本节课的重点。 教学难点：难点是学生对向量的概念和共线向量的概念的理解。 学情和教材分析：向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景及代数意义，因此向量具有数形结合的特征，是深入学习数学及解决各类数学问题的有效工具，在其他学科中也有广泛应用。所以向量是历年高考的必考内容，本节课是向量的第一节课，是新知识的一个起点，所以这是十分关键、重要的一节课。本节教学内容的特点是：概念多，有向量、平行向量、相等向量、单位向量等相关概念及向量的几何表示。学生在学习过程中，诸多概念容易混淆，它们之间关系不易理清，这些是学习中的难点。 教法设计：引导启发式教学 学法设计：指导学生自主学习 课时计划：一课时 教具学具：多媒体、彩笔、三角板 教学过程 一、创设情景、导入新课 1.我们知道物理中的力、速度，位移等都是矢量，不同与路程、质量等量，他们具有什么样的共同特征？………（学生讨论作答） 2.你能举出几个具有以上特征的量吗？年龄、身高、体重、长度等具有这些特征吗？（学生思考作答） 3.在数学上，我们把具有这种特征的量称为向量，（教师在黑板上书写课题，然后大屏幕展示课题，学生阅读课本P74） 二、推进新课 1.定义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度等。 注意：1?数量与向量的区别：数量只有大小，可以比较大小；向量既有方向又 有大小，不能比较大小（强调）。 2.向量的表示方法： 1?几何表示法：有向线段——具有一定方向的线段

高中数学第二章平面向量第2课时2.2向量的加法教案苏教版必修4

第2课时§2.2 向量的加法 【教学目标】 一、知识与技能 （1）理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和；（2）掌握两个向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量运算 二、过程与方法 从物体位移变化规律的探知中总结出向量加法规律 三、情感、态度与价值观 感受数学和生活的联系，增强学习数学的兴趣 【教学重点难点】：：1．如何作两向量的和向量； 2．向量加法定义的理解。 【教学过程】 一、复习： 1．向量的概念、表示法。 2．平行向量、相等向量的概念。 3．已知点是正六边形的中心，则下列向量组中含有相等向量的是（）（）、、、（）、、、 （）、、、 （） 、、 、 二、创设情景 利用向量的表示，从景点O到景点A的位移为OA，从景点A到景点B的位移为AB，那么经过这两次位移后游艇的合位移是OB，向量OA，AB，OB三者之间有何关系？ O ABCDEF A O B CD FE CB B AB CD FA DE C FE AB CB OF D AF AB OC OD

O B A 三、讲解新课： 1 ．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示： 作法：在平面内任取一点 （如图（ 2）） ，作，，则 . （1）（2） 2．向量加法的法则： （1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。表示：． （2）平行四边形法则：以同一点为起点的两个已知向量，为邻边作平行四边形ABCD，则以为起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。 3．向量的运算律： 交换律：． 结合律：． 说明：多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行： AB BC AC += O OA a =AB b =OB a b =+ AB BC AC += A a b A AC a b a b b a +=+ ()() a b c a b c ++=++

高中数学必修知识点总结：第二章平面向量

高中数学必修知识点总 结：第二章平面向量 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

高中数学必修4知识点总结 第二章 平面向量 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式： a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+； ②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则 ()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． b a C B A a b C C -=A -AB =B

《平面向量》单元测试卷A含答案

《平面向量》单元测试卷A （含答案） 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列命题中的假命题是（ ） A 、A B BA -→ -→ 与的长度相等； B 、零向量与任何向量都共线； C 、只有零向量的模等于零； D 、共线的单位向量都相等。 2．||||a b a b a b → → → → → → >若是任一非零向量，是单位向量；①；②∥； ||0||1|| a a b b a → →→ → → >=±=③；④；⑤ ，其中正确的有（ ） A 、①④⑤ B 、③ C 、①②③⑤ D 、②③⑤ 3．0a b c a b c a b c → → → → → → → → → → ++=设，，是任意三个平面向量，命题甲：；命题乙：把，， 首尾相接能围成一个三角形。则命题甲是命题乙的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、非充分也非必要条件 4．AD -→ 下列四式中不能化简为的是（ ） A 、A B CD B C -→ -→ -→ ++（） B 、AM MB B C C D -→ -→ -→ -→ +++（）（） C 、AC AB A D CB -→ -→ -→ -→ ++-（）（） D 、OC OA CD -→ -→ -→ -+

5．） ，则（ ），（，），（设21b 42a -=-=→ → A 、共线且方向相反与→ →b a B 、共线且方向相同与→ →b a C 、不平行与→ → b a D 、是相反向量与→ → b a 6．如图1，△ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 和AB 的中点，G 是△ABC 中的重心，则下列各等式中不成立的是（ ） A 、→-→ -=BE 3 2BG B 、→-→ -=AG 2 1DG C 、→ -→--=FG 2CG D 、→ -→ -→ -=+BC 2 1FC 3 2DA 3 1 7． ）（，则锐角∥，且），（，），（设=-+=--=→→→→θθθb a 4 1 cos 1b cos 12a A 、4 π B 、 6 π C 、3 π D 、 3 6ππ或 8．） 所成的比是（ 分，则所成比为分若→ -→--CB A 3AB C A 、2 3 - B 、3 C 、3 2- D 、-2 9．） 的范围是（ 的夹角与，则若θ→ →→→

必修4《第二章平面向量》单元测试卷(答案)

必修4《第二章平面向量》单元测试卷（答案） 必修4《第二章平面向量》单元测试卷（答案） 20 单元测试卷 时间：90分钟满分150分 班级________ 姓名________ 分数________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量→(AB)在向量→(CD)上的投影为( ) A.5(10) B.5(10) C.5(10) D.5(10) 答案：B

＝4，向量→(AB)在向量→(CD)上的投影为|(CD)＝10(4)＝5(10)，故选B. 2．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝( ) A．5 B．25 C. D. 答案：A 解析：因为|a＋b|＝5，所以a2＋2a·b＋b2＝50，即5＋2×10＋b2＝50，所以|b|＝5. 3．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，－2)，则c＝( ) A．－2(1)a－2(3)b B．－2(1)a＋2(3)b C.2(3)a－2(1)b D．－2(3)a＋2(1)b 答案：D 4．若非零向量a，b满足|a－b|＝|b|，则( )

C．|2a|＞|2a－b| D．|2a|＜|2a－b| 答案：A 5．已知平面上不共线的四点O、A、B、C.若→(OA)－4→(OB)＋3→(OC)＝0，则|(CB)＝( ) A.3(1) B.2(1) C．2 D．3 答案：D 解析：∵→(OA)－4→(OB)＋3→(OC)＝0， ∴(→(OA)－→(OB))－3→(OB)＋3→(OC)＝0，即→(OA)－→(OB)＝3(→(OB)－→(OC))， ∴→(BA)＝3→(CB)， ∴|(CB)＝3.

平面向量单元测试题及答案第七章

平面向量单元测试题2 一，选择题：（5分×8=40分） 1，下列说法中错误的是 （ ） A ．零向量没有方向 B ．零向量与任何向量平行 C ．零向量的长度为零 D ．零向量的方向是任意的 2，下列命题正确的是 （ ） A. 若→a 、→b 都是单位向量，则 →a ＝→ b B . 若AB =D C , 则A 、B 、C 、 D 四点构成平行四边形 C. 若两向量→ a 、→ b 相等，则它们是始点、终点都相同的向量 D. AB 与BA 是两平行向量 3，下列命题正确的是 （ ） A 、若→ a ∥→ b ，且→ b ∥→ c ，则→ a ∥→ c 。 B 、两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同。 C 、向量AB 的长度与向量BA 的长度相等 , D 、若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线。 4，已知向量(),1m =a ，则 m = （ ） A ．1 C. 1± D. 5，若→ a =（1x ，1y ），→ b =（2x ，2y ），，且→ a ∥→ b ，则有 （ ） A ，1x 2y +2 x 1y =0， B ， 1x 2y ―2x 1y =0， C ，1x 2x +1y 2y =0， D ， 1x 2x ―1y 2y =0， 6，若→ a =（1x ，1y ），→ b =（2x ，2y ），，且→ a ⊥→ b ，则有 （ ） A ，1x 2y +2 x 1y =0， B ， 1x 2y ―2x 1y =0， C ，1x 2x +1y 2y =0， D ， 1x 2x ―1y 2y =0， 7，在ABC ?，则ABC ?一定是 （ ） A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定 8，已知向量,,a b c 满足||1,||2,,a b c a b c a ===+⊥，则a b 与的夹角等于 （ ） A ．0 120 B 0 60 C 0 30 D 90o

高一数学《平面向量》单元测试.docx

高一数学《平面向量》单元测试 姓名 : 班级 : 一、 选择题 (共 8 小题 ,每题 5 分 ) 1. 下列命题正确的是 （ ） A ．单位向量都相等 B ． 任一向量与它的相反向量不相等 C ．平行向量不一定是共线向量 D ．模为 0 的向量与任意向量共线 2．已知向量 a ＝（ 3,4）， b ＝（ sin α， cos α），且 a ∥ b ，则 tan α等于（ ） A ． 3 B ． 3 C ． 4 D ． 4 4 4 3 3 3．在以下关于向量的命题中，不正确的是 （ ） A ．若向量 a=(x ， y)，向量 b=(－ y ， x)(x 、 y ≠ 0)，则 a ⊥ b B ．四边形 ABCD 是菱形的充要条件是 AB = DC ，且 | AB |=| AD | C ．点 G 是△ ABC 的重心，则 GA + GB + CG =0 D ．△ ABC 中， AB 和 CA 的夹角等于 180°－ A 4．设 P （ 3， 6）， Q （ 5， 2）， R 的纵坐标为 9，且 P 、 Q 、 R 三点共线，则 R 点的横坐标为 （ ） A ． 9 B ． 6 C ． 9 D ． 6 r r r r r r r r r ) 5．若 | a | 1,| b | 2, c a b ，且 c a ，则向量 a 与 b 的夹角为 ( A ． 30° B ．60° C ．120° D ． 150° 6．在△ ABC 中， A ＞B 是 sinA ＞ sinB 成立的什么条件（ ） A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要 7．若将函数 y sin 2x 的图象按向量 a 平移后得到函数 y sin( 2x ) -1 的图象 ,则向量 a 可以是： 4 （ ） A ． ( , 1) B ． ( ,1) C ． ( ,1) D ． ( , 1) 8 8 4 4 8．在△ ABC 中，已知 | AB | 4,| AC | 1, S ABC 3,则 AB AC 的值为（ ） A ．－ 2 B ． 2 C ．± 4 D ．± 2 二、 填空题 (共 4 小题 ,每题 5 分 ) 9．已知向量 a 、 b 的模分别为 3，4，则｜ a - b ｜的取值范围为 ． r r r r r 10．已知 e 为一单位向量， a 与 e 之间的夹角 是 120O ,而 a 在 e 方向上的投影为－ 2，则 r a . 11．设 e 1、e 2 是两个单位向量，它们的夹角是 60 ，则 (2e 1 e 2 ) ( 3e 1 2e 2 ) 12．在 ?ABC 中， a =5， b= 3,C= 1200 ,则 sin A 三、 解答题 (共 40 分 ) 13．设 e 1 ,e 2 是两个垂直的单位向量，且 a ( 2e 1 e 2 ) ,b e 1 e 2 (1)若 a ∥ b ，求 的值； (2) 若 a b ，求 的值 .（ 12 分）

人教版高中数学必修4第二章平面向量第二章 2.2.2

2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算 一、基础过关 1． 已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －3 2 b 等于 ( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1) C ．(－1,0) D ．(－1,2) 2． 已知a －1 2 b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于 ( ) A ．(－2，－2) B ．(2,2) C ．(－2,2) D ．(2，－2) 3． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为 ( ) A ．－2,1 B ．1，－2 C ．2，－1 D ．－1,2 4． 已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12 MN → ，则点P 的坐标为 ( ) A ．(－8,1) B.????1，32 C.? ???－1，－3 2 D ．(8，－1) 5． 已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC → 的坐标是________． 6． 已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD → ，则x ＋y ＝________. 7． 设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有 向线段首尾相接能构成四边形，求向量d . 8． 已知a ＝(2,1)，b ＝(－1,3)，c ＝(1,2)，求p ＝2a ＋3b ＋c ，并用基底a 、b 表示p . 二、能力提升 9． 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD → 等于 ( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5) D ．(2,4)

高中数学必修4第二章平面向量教案完整版

§ 平面向量的实际背景及基本概念 1、数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：； ④向量的大小――长度称为向量的模，记作||. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别： （1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段．．．．． 的起点无关．．．．． . 7、共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．． . 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. A(起点) B （终点） a

平面向量单元测试题及答案解析

平面向量单元测试题２ 一，选择题: 1，下列说法中错误得就是( ) A.零向量没有方向? B.零向量与任何向量平行 C.零向量得长度为零? D.零向量得方向就是任意得 2,下列命题正确得就是( ） Ａ、若、都就是单位向量,则＝ Ｂ、若＝, 则A、B、C、D四点构成平行四边形 Ｃ、若两向量、相等,则它们就是始点、终点都相同得向量 D、与就是两平行向量 3,下列命题正确得就是( ) A、若∥,且∥,则∥。 B、两个有共同起点且相等得向量,其终点可能不同。 Ｃ、向量得长度与向量得长度相等， Ｄ、若非零向量与就是共线向量,则A、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点共线。 ４,已知向量,若，=2,则 ( ) A.１B、Ｃ、 D、 5，若=(，）,=(,),,且∥，则有（ ) A,+=０, B，―=０, Ｃ，＋＝0，Ｄ, ―=0, 6,若=(,),＝(,),,且⊥,则有( ） Ａ,+＝0, B，―＝0, C，+=0， D, ―=０, 7,在中，若,则一定就是 ( ) A.钝角三角形? B.锐角三角形C．直角三角形 D．不能确定 8,已知向量满足,则得夹角等于（ ) Ａ. B C D 二,填空题:(５分×4=２0分） 9。已知向量、满足＝=1，=３,则＝ １0,已知向量=(4,2）,向量=(,3）,且//,则=

1１,、已知三点Ａ(1,0)，B(0,1)，C(２,5),求cｏs∠BAC = 1２,、把函数得图像按向量经过一次平移以后得到得图像, 则平移向量就是(用坐标表示) 三,解答题:(１0分×6 = 6０分） 13,设且在得延长线上，使,,则求点 得坐标 14，已知两向量求与所成角得大小, 15，已知向量=(6，2),=(-３,k）,当k为何值时,有 （1）,∥ ? (2)，⊥ ? (3），与所成角θ就是钝角 ? １6,设点A(2,2）,B(5，4）,Ｏ为原点，点P满足=+,(t为实数)； （１),当点Ｐ在x轴上时,求实数t得值; (2)，四边形OAＢＰ能否就是平行四边形？若就是，求实数t得值；若否,说明理由, 1７,已知向量＝(３, －4), ＝(6, －３）,=(5－m，－3-m）, （1)若点Ａ、Ｂ、C能构成三角形,求实数m应满足得条件; (２）若△ABＣ为直角三角形,且∠Ａ为直角,求实数m得值. 1８,已知向量 （1)求向量； (２)设向量,其中， 若,试求得取值范围、 平面向量单元测试题2答案: 一,选择题: A D C D B C C A 二,填空题: 9,2; 10,6; 11, １２, 三,解答题: 13,解法一：设分点P(x,y),∵=―2，λ=―2 ∴ (x―4，y+3)＝―2(―2―x,6―y), x―4=2x+4, y＋3=２ｙ―12，∴ x=―8,ｙ＝15, ∴Ｐ(―8,1５）解法二：设分点P（x,y),∵=―2，λ=―２ ∴x＝=―8, y==15, ∴ P(―8,１5) 解法三:设分点P（x,y)，∵, ∴―2=, ｘ=―8, 6＝， y=15, ∴Ｐ（―８,15) 1４,解:＝2， = , coｓ＜,>=―, ∴＜，>=1200, 15,解:(1),ｋ=－1； (２), k＝9; （3)， k<9, k≠－1

高一数学必修四第二章平面向量测试题(卷)与答案解析

一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）。 A、-9 B、-6 C、9 D、6 2．已知=(2,3), b=(-4,7)，则在b上的投影为（）。 A、B、C、D、 3．设点A（1，2），B（3，5），将向量按向量=（-1，-1）平移后得 向量为（）。 A、（2，3） B、（1，2） C、（3，4） D、（4，7）4．若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ΔABC是（）。 A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形5．已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则| +b|等于（）。 A、B、C、D、 6．已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，则（）。 A、B、 C、D、 7．O是ΔABC所在平面上一点，且满足条件，则点O是ΔABC的（）。 A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心8．设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题：(1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b|≥| -b|(3)| +b|2=( +b)2 (4)(b) -(a)b与不一定垂直。其中真命题的个数是（）。 A、1 B、2 C、3 D、4

9．在ΔABC 中，A=60°，b=1， ，则 等于（ ）。 A 、 B 、 C 、 D 、 10．设 、b 不共线，则关于x 的方程 x 2+b x+ =0的解的情况是（ ）。 A 、至少有一个实数解 B 、至多只有一个实数解 C 、至多有两个实数解 D 、可能有无数个实数解 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）. 11．在等腰直角三角形ABC 中，斜边AC=22，则CA AB =_________ 12．已知ABCDEF 为正六边形，且AC =a ，AD =b ，则用a ，b 表示AB 为______. 13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为 的小船要从河的一边驶向 对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。 14．如果向量 与b 的夹角为θ，那么我们称 ×b 为向量 与b 的“向量积”， ×b 是一个向量，它的长度| ×b |=| ||b |sin θ，如果| |=3, |b |=2, ·b =-2，则| ×b |=______。 三、解答题：（本大题共4小题，满分44分.） 15．已知向量 = , 求向量b ，使|b |=2| |，并且 与b 的夹角为 。（10分）

第二章平面向量教案新人教A版必修4

第二章平面向量 教学目标三维目标 1、知识与技能 (1)了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示； (2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念； 并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系 (3)通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别 2、过程与方法 引导发现法与讨论相结合。这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适引导之后，应 当的让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提 高学生学习的积极性。体现了在老师的引导下，学生的的主体地位和作用。 3、情感目标与价值观 通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。 教学重点：理解向量、相等向量等相关的概念，向量的几何表示等是本节课的重点。 教学难点：难点是学生对向量的概念和共线向量的概念的理解。 学情和教材分析：向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景及代数意义，因此向量具有数形结合的特征，是深入学习数学及解决各类数学问题的有效工具，在其他学科中也有广泛应用。所以向量是历年高考的必考内容，本节课是向量的第一节课，是新知识的一个起点，所以这是十分关键、重要的一节课。本节教学内容的特点是：概念多，有向量、平行向量、相等向量、单位向量等相关概念及向量的几何表示。学生在学习过程中，诸多概念容易混淆，它们之间关系不 易理清，这些是学习中的难点。 教法设计：引导启发式教学 学法设计：指导学生自主学习 课时计划：一课时 教具学具：多媒体、彩笔、三角板

(完整版)平面向量单元测试卷含答案

平面向量单元达标试卷 一、选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1．化简BC AC AB --等于( ) A ．0 B ．2BC C ．BC 2- D ．AC 2 2．已知四边形ABCD 是菱形，有下列四个等式：①BC AB =②||||BC AB =③ ||||BC AD CD AB +=-④||||BC AB BC AB -=+，其中正确等式的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 3．如图，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD ＝( ) A ．2 1 +- B ．2 1-- C ．21 - D ．2 1 + 4．已知向量a 、b ，且b a 2+=，b a 65+-=，b a 27-=，则一定共线的三点是( ) A ．M 、N 、Q B ．M 、N 、R C ．N 、Q 、R D ．M 、Q 、R 5．下列各题中，向量a 与b 共线的是( ) A ．a ＝e 1＋e 2，b ＝e 1－e 2 B ．2121e e a += ，2121e e b += C ．a ＝e 1，b ＝－e 2 D ．2110131e e a -=，215 1 32e e b +-= 二、填空题 6．一飞机从甲地按南偏东15°的方向飞行了2000千米到达乙地，再从乙地按北偏西75°的方向飞行2000千米到达丙地，则丙地相对于甲地的位置是________. 7．化简 =?? ????--+-)76(4131)34(32b a b b a ________. 8．已知数轴上三点A 、B 、C ，其中A 、B 的坐标分别为－3、6，且｜CB ｜＝2，则｜ ｜＝________，数轴上点C 的坐标为________． 9．已知2a ＋b ＝3c ，3a －b ＝2c ，则a 与b 的关系是________． 三、解答题