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基本不等式经典例题(学生用)

基本不等式经典例题(学生用)
基本不等式经典例题(学生用)

基本不等式

知识点:

1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤ (当且仅当b a =时取“=”)

2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2

(2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ (当且仅当b a =时取“=”) (3)若*,R b a ∈,则22??? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”)

3.若0x >,则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”)

若0x <,则12x x

+≤- (当且仅当1x =-时取“=”)

若0x ≠,则1

1122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”)若0ab ≠,则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”)

5.若R b a ∈,,则2)2(222b a b a +≤+(当且仅当b a =时取“=”)

注意:

(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,

当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.

(2)求最值的条件“一正,二定,三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用

应用一:求最值 例:求下列函数的值域 (1)y =3x 2

+12x 2 (2)y =x +1x

技巧一:凑项

例 已知54x <,求函数14245

y x x =-+

-的最大值。

技巧二:凑系数

例: 当

时,求(82)y x x =-的最大值。

变式:设2

30<

技巧三: 分离换元

例:求2710(1)1

x x y x x ++=>-+的值域。

性。

例:求函数2

y=的值域。

技巧六:整体代换(“1”的应用)

多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。。

例:已知0,0

x y

>>,且19

1

x y

+=,求x y

+的最小值。

技巧七

例:已知x,y为正实数,且x 2+y 2

2

=1,求x1+y2的最大值.

技巧八:

已知a,b为正实数,2b+ab+a=30,求函数y=1

ab

的最小值.

技巧九、取平方

例: 求函数15

()22

y x <<的最大值。 应用二:利用均值不等式证明不等式

例:已知a 、b 、c R +∈,且1a b c ++=。求证:111

1118a b c ??????---≥ ???????????

应用三:均值不等式与恒成立问题

例:已知0,0x y >>且1

91x y +=,求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

应用四:均值定理在比较大小中的应用: 例:若

)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=?=>>,则R Q P ,,的大小关系是 .

基本不等式经典例题精讲

新课标人教A 版高中数学必修五典题精讲(3.4基本不等式) 典题精讲 例1(1)已知0<x <3 1,求函数y=x(1-3x)的最大值; (2)求函数y=x+ x 1的值域. 思路分析:(1)由极值定理,可知需构造某个和为定值,可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数;(2)中,未指出x >0,因而不能直接使用基本不等式,需分x >0与x <0讨论. (1)解法一:∵0<x <3 1,∴1-3x >0. ∴y=x(1-3x)= 3 1·3x(1-3x)≤3 1[ 2) 31(3x x -+]2= 12 1,当且仅当3x=1-3x ,即x= 6 1时,等号成 立.∴x= 6 1时,函数取得最大值 12 1 . 解法二:∵0<x <3 1,∴ 3 1-x >0. ∴y=x(1-3x)=3x(3 1-x)≤3[ 23 1x x -+ ]2= 12 1,当且仅当x= 3 1-x,即x= 6 1时,等号成立. ∴x= 6 1时,函数取得最大值12 1. (2)解:当x >0时,由基本不等式,得y=x+x 1≥2x x 1? =2,当且仅当x=1时,等号成立. 当x <0时,y=x+ x 1=-[(-x)+ ) (1x -]. ∵-x >0,∴(-x)+ ) (1x -≥2,当且仅当-x= x -1,即x=-1时,等号成立. ∴y=x+x 1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). 绿色通道:利用基本不等式求积的最大值,关键是构造和为定值,为使基本不等式成立创造条件,同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x >-1时,求f(x)=x+ 1 1+x 的最小值. 思路分析:x >-1?x+1>0,变x=x+1-1时x+1与1 1+x 的积为常数.

(完整版)初一不等式难题-经典题训练(附答案)

初一不等式难题,经典题训练(附答案) 1. 已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰好是1,2,3,则a 的取值范围是_______ 2. 已知关于x 的不等式组0 521 x a x ->?? -≥-?无解,则a 的取值范围是_________ 3. 若关于x 的不等式(a-1)x-2 a +2>0的解集为x<2,则a 的值为( ) A 0 B 2 C 0或2 D -1 4. 若不等式组2 20 x a b x ->?? ->?的解集为11x -<<,则2006()a b +=_________ 5. 已知关于x 的不等式组的解集41320 x x x a +?>+? ??+- 7. 不等式组951 1 x x x m +<+?? >+?的解集是2x >,则m 的取值范围是( ) A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m f 8.不等式()()20x x x +-<的解集是_________ 9.当a>3时,不等式ax+2<3x+b 的解集是,则b=______ 10.已知a,b 为常数,若ax+b>0的解集是1 3 x <,则的0bx a -<解集是( ) A. 3x >- B 3x <- C. 3x > D. 3x < 11.如果关于x 的不等式组的整70 60x m x n -≥?? -? p 数解仅为1,2,3,那么适合不等式组的整数(m,n)对共 有( )对 A 49 B 42 C 36 D 13 12.已知非负数x,y,z 满足123 234 x y z ---==,设345x y z ω=++,求的ω最大值与最小值

高考不等式经典例题

高考不等式经典例题 【例1】已知a >0,a ≠1,P =log a (a 3-a +1),Q =log a (a 2-a +1),试比较P 与Q 的大小. 【解析】因为a 3-a +1-(a 2-a +1)=a 2(a -1), 当a >1时,a 3-a +1>a 2-a +1,P >Q ; 当0<a <1时,a 3-a +1<a 2-a +1,P >Q ; 综上所述,a >0,a ≠1时,P >Q . 【变式训练1】已知m =a + 1a -2 (a >2),n =x - 2(x ≥12),则m ,n 之间的大小关系为( ) A.m <n B.m >n C.m ≥n D.m ≤n 【解析】选C.本题是不等式的综合问题,解决的关键是找中间媒介传递. m =a + 1a -2=a -2+1a -2 +2≥2+2=4,而n =x - 2≤(12)-2=4. 【变式训练2】已知函数f (x )=ax 2-c ,且-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5,求f (3)的取值范围. 【解析】由已知-4≤f (1)=a -c ≤-1,-1≤f (2)=4a -c ≤5. 令f (3)=9a -c =γ(a -c )+μ(4a -c ), 所以???-=--=+1,94μγμγ???? ??? ? =-=38 ,35μγ 故f (3)=-53(a -c )+8 3(4a -c )∈[-1,20]. 题型三 开放性问题 【例3】已知三个不等式:①ab >0;② c a >d b ;③b c >a d .以其中两个作条件,余下的一个作结论,则能组 成多少个正确命题? 【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:c a >d b ?bc -ad ab >0. (1)由ab >0,bc >ad ?bc -ad ab >0,即①③?②; (2)由ab >0, bc -ad ab >0?bc -ad >0?bc >ad ,即①②?③; (3)由bc -ad >0, bc -ad ab >0?ab >0,即②③?①. 故可组成3个正确命题. 【例2】解关于x 的不等式mx 2+(m -2)x -2>0 (m ∈R ). 【解析】当m =0时,原不等式可化为-2x -2>0,即x <-1; 当m ≠0时,可分为两种情况: (1)m >0 时,方程mx 2+(m -2)x -2=0有两个根,x 1=-1,x 2=2 m . 所以不等式的解集为{x |x <-1或x >2 m }; (2)m <0时,原不等式可化为-mx 2+(2-m )x +2<0,

基本不等式练习题及标准答案

基本不等式练习题及答案

————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:

双基自测 1.(人教A 版教材习题改编)函数y =x +1 x (x >0)的值域为( ). A .(-∞,-2]∪[2,+∞) B .(0,+∞) C .[2,+∞) D .(2,+∞) 2.下列不等式:①a 2+1>2a ;②a +b ab ≤2;③x 2+1 x 2+1≥1,其中正确的个数是 ( ). A .0 B .1 C .2 D .3 3.若a >0,b >0,且a +2b -2=0,则ab 的最大值为( ). A.1 2 B .1 C .2 D .4 4.(2011·重庆)若函数f (x )=x + 1 x -2 (x >2)在x =a 处取最小值,则a =( ). A .1+ 2 B .1+ 3 C .3 D .4 5.已知t >0,则函数y =t 2-4t +1 t 的最小值为________. 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x >0,y >0,且2x +y =1,则1x +1 y 的最小值为________; (2)当x >0时,则f (x )= 2x x 2+1 的最大值为________. 【训练1】 (1)已知x >1,则f (x )=x + 1 x -1 的最小值为________. (2)已知0<x <2 5,则y =2x -5x 2的最大值为________. (3)若x ,y ∈(0,+∞)且2x +8y -xy =0,则x +y 的最小值为________. 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a >0,b >0,c >0,求证:bc a +ca b +ab c ≥a +b +c . .

(完整版)基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)

基本不等式 一. 基本不等式 ①公式:(0,0)2 a b a b +≥≥≥,常用a b +≥ ②升级版:22222a b a b ab ++??≥≥ ??? ,a b R ∈ 选择顺序:考试中,优先选择原公式,其次是升级版 二.考试题型 【题型1】 基本不等式求最值 求最值使用原则:一正 二定 三相等 一正: 指的是注意,a b 范围为正数。 二定: 指的是ab 是定值为常数 三相等:指的是取到最值时a b = 典型例题: 例1 .求1(0)2y x x x =+<的值域 分析:x 范围为负,提负号(或使用对钩函数图像处理) 解:1()2y x x =--+- 00x x <∴->Q 1 2x x ∴-+≥=-1 2x x ∴+≤ 得到(,y ∈-∞

例2 .求12(3)3 y x x x =+>-的值域 解:123 y x x =+- (“添项”,可通过减3再加3,利用基本不等式后可出现定值) 12(3)63 x x =+-+- 330x x >∴->Q 12(3)3x x ∴ +-≥- 6y ∴≥, 即)6,y ?∈+∞? 例3.求2sin (0)sin y x x x π=+<<的值域 分析:sin x 的范围是(0,1),不能用基本不等式,当y 取到最小值时,sin x 不在范围内 解:令sin (0,1)t x t =∈, 2y t t =+ 是对钩函数,利用图像可知: 在(0,1)上是单减函数,所以23t t + >,(注:3是将1t =代入得到) (3,)y ∴∈+∞ 注意:使用基本不等式时,注意y 取到最值,x 有没有在范围内, 如果不在,就不能用基本不等式,要借助对钩函数图像来求值域。

高考数学百大经典例题——不等式解法

典型例题一 例1 解不等式:(1)01522 3>--x x x ;(2)0)2()5)(4(3 2 <-++x x x . 分析:如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f (或 0)(-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3 ,2 5 , 0321=-==x x x 顺次标上数轴.然后从右上开始画线顺次经过三个根,其解集如下图的阴影部分. ∴原不等式解集为? ?????><<-3025x x x 或 (2)原不等式等价于 ?? ?>-<-≠????>-+≠+?>-++2450)2)(4(0 50 )2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{} 2455>-<<--

①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 (1)解:原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 (2)解法一:原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二:原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三

不等式典型例题之基本不等式的证明

5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——(6例题) 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法:比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用,比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质:“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”.其一般步骤为:①作差:考察不等式左右两边构成的差式,将其看作一个整体;②变形:把不等式两边的差进行变形,或变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一个或几个平方的和等等,其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围:当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是:“若a,b∈R + ,a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”.其一般步骤为:①作商:将左右两端作商;②变形:化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系,就是判定商大于1或小于1.应用范围:当被证的不等式两端含有幂、指数式时,一般使用商值比较法. 2.综合法:利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后推出所要证明的不等式,其特点和思路是“由因导果”,从“已知”看“需知”,逐步推出“结论”.即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B. 3.分析法:是指从需证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,进而转化为判定那个条件是否具备,其特点和思路是“执果索因”,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是:为了证明命题B成立,只需证明命题B1为真,从而有…,这只需证明B2为真,从而又有…,……这只需证明A为真,而已知A为真,故B必为真.这种证题模式告诉我们,分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法:有些不等式的证明,从正面证不好说清楚,可以从正难则反的角度考虑,即要证明不等式A>B,先假设A≤B,由题设及其它性质,推出矛盾,从而肯定A>B.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时,可以考虑用反证法. 5.换元法:换元法是对一些结构比较复杂,变量较多,变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换,以便简化原有的结构或实现某种转化与变通,给证明带来新????

高中不等式所有知识及典型例题(超全)

一.不等式的性质: 二.不等式大小比较的常用方法: 1.作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; 2.作商(常用于分数指数幂的代数式);3.分析法;4.平方法;5.分子(或分母)有理化; 6.利用函数的单调性;7.寻找中间量或放缩法 ;8.图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。 三.重要不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2≥+ (2)若R b a ∈,,则2 22b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=”) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”); 若0x <,则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2 (2 22b a b a +≤+(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求 它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 5.a 3+b 3+c 3≥3abc (a,b,c ∈ R +), a +b +c 3 ≥3abc (当且仅当a =b =c 时取等号); 6. 1 n (a 1+a 2+……+a n )≥12n n a a a (a i ∈ R +,i=1,2,…,n),当且仅当a 1=a 2=…=a n 取等号; 变式:a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca; ab ≤( a +b 2 )2 (a,b ∈ R +) ; abc ≤( a +b +c 3 )3(a,b,c ∈ R +) a ≤ 2a b a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 2 2 ≤b.(0b>n>0,m>0; 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域(1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1 x

高考均值不等式经典例题

高考均值不等式经典例题 1.已知正数,,a b c 满足2 15b ab bc ca +++=,则58310a b c +++的最小值为 。 2.设M 是ABC V 内一点,且30AB AC A =∠=?u u u r u u u r g ,定义()(,,)f M m n p =,其中,,m n p 分别是 ,,MBC MCA MAB V V V 的面积,若1()(,,)2 f M x y =,则14x y +的最小值为 . 3.已知实数1,12 m n >>,则224211n m m n +--的最小值为 。 4.设22110,21025() a b c a ac c ab a a b >>>++-+-的最小值为 。 5.设,,a b c R ∈,且222 ,2222a b a b a b c a b c ++++=++=,则c 的最大值为 。 6.已知ABC V 中,142, 10sin sin a b A B +=+=,则ABC V 的外接圆半径R 的最大值为 。 7.已知112,,339 a b ab ≥≥=,则a b +的最大值为 。 8. ,,a b c 均为正数,且222412a ab ac bc +++=,则a b c ++的最小值为 。 9. ,,,()4a b c R a a b c bc +∈+++=-2a b c ++的最小值为 。 10. 函数()f x =的最小值为 。 11.已知0,0,228x y x y xy >>++=,则2x y +的最小值为 。 12.若*3()k k N ≥∈,则(1)log k k +与(1)log k k -的大小: 。 13.设正数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=,则当xy z 取最大值时,212x y z +-的最大值为 。 14.若平面向量,a b r r 满足23a b -≤r r ,则a b ?r r 的最小值为 。 15. 的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段,则a b +的最大值为 。 16.设{}n a 是等比数列, 公比q =n S 为{}n a 的前n 项和,记*21 17()n n n n S S T n N a +-=∈,设0n T 为数列{}n T 的最大项,则0n = 。

必修5--基本不等式几种解题技巧及典型例题

均值不等式应用(技巧)技巧一:凑项 1、求y = 2x+ 1 x - 3 (x > 3)的最小值 2、已知x > 3 2 ,求y = 2 2x - 3 的最小值 3、已知x < 5 4 ,求函数y = 4x – 2 + 1 4x - 5 的最大值。 技巧二:凑系数 4、当0 < x < 4时,求y = x(8 - 2x)的最大值。 5、设0 < x < 3 2 时,求y = 4x(3 - 2x)的最大值,并求此时x的值。 6、已知0 < x < 1时,求y = 2x(1 - x) 的最大值。 7、设0 < x < 2 3 时,求y = x(2 - 3x) 的最大值 技巧三:分离 8、求y = x2 + 7x + 10 x + 1 (x > -1)的值域; 9、求y = x2 + 3x + 1 x (x > 0)

的值域 10、已知x > 2,求y = x2 - 3x + 6 x - 2 的最小值 11、已知a > b > c,求y = a - c a - b + a - c b - c 的最小值 12、已知x > -1,求y = x + 1 x2 + 5x + 8 的最大值 技巧四:应用最值定理取不到等号时利用函数单调性 13、求函数y = x2 + 5 x2 + 4 的值域。 14、若实数满足a + b = 2,则3a + 3b的最小值是。 15、若 + = 2,求1 x + 1 y 的最小值,并求x、y的值。 技巧六:整体代换 16、已知x > 0,y > 0,且1 x + 9 y = 1,求x + y的最小值。

17、若x、y∈R+且2x + y = 1,求1 x + 1 y 的最小值 18、已知a,b,x,y∈R+ 且a x + b y = 1,求x + y的最小值。 19、已知正实数x,y满足2x + y = 1,求1 x + 2 y 的最小值 20、已知正实数x,y,z满足x + y + z = 1,求1 x + 4 y + 9 z 的最小值 技巧七:取平方 21、已知x,y为正实数,且x2 + y2 2 = 1,求x 1 + y2的最大值。 22、已知x,y为正实数,3x + 2y = 10,求函数y = 3x + 2y的最值。 23、求函数y = 2x - 1 + 5 - 2x(1 2 < x < 5 2 )的最大值。 技巧八:已知条件既有和又有积,放缩后解不等式 24、已知a,b为正实数,2b + ab + a = 30,求函数y = 1 ab 的最小值。

高中基本不等式经典例题教案

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例1:(2)1 2,33 y x x x =+>-。 变式:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值 。 技巧二:凑系数 例1.当 时,求(82)y x x =-的最大值。 解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此 题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值,故只需将 (82)y x x =-凑上一个系数即可。 评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。 变式:1、设2 3 0< -+的值域。 技巧四:换元 解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x +1,化简原式在分离求最值。 当 ,即t= 时,4 259y t t ≥? +=(当t=2即x =1时取“=”号)。 评注:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为()(0,0)() A y mg x B A B g x =++>>,g(x)恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。 变式 (1)231 ,(0)x x y x x ++= > 技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函 数()a f x x x =+的单调性。 例:求函数22 5 4 x y x +=+的值域。 解:令24(2)x t t +=≥,则2 254 x y x +=+221 1 4(2)4 x t t t x =++ =+≥+ 因10,1t t t >?=,但1 t t =解得1t =±不在区间[)2,+∞,故等号不成立,考虑单调 性。 因为1 y t t =+在区间[)1,+∞单调递增,所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数, 故52 y ≥。

最新基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析)-(1)

基本不等式专题 知识点: 1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ (当且仅当 b a =时取“=”) 2. (1)若* ,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+ (当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ) 若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”)若0ab ≠,则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 5.若R b a ∈,,则2 )2(222b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注意: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值, 当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一:求最值 例:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+ 1 2x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+ 1 2x 2 ≥23x 2· 1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2;

第课基本不等式经典例题练习附答案

第9课基本不等式 ◇考纲解读 ①了解基本不等式的证明过程. ②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. ◇知识梳理 1.常用的基本不等式和重要的不等式 ①0,0,2≥≥∈a a R a 当且仅当,②22,______,2a b a b ab ∈+≥则 ③,_____a b ∈,则ab b a 2≥+,④222)2 (2b a b a +≤+ 2.最值定理:设,0,x y x y >+≥由 ①如积(xy P x y =+定值),则积有______②如积2(2S x y S x y += 定值),则积有______() 运用最值定理求最值的三要素: ________________________________________________ ◇基础训练 1.若1a b +=,恒有 () A .41 ≤ab B .41≥ab C .1622≤b a D .以上均不正确

2.当1 2x >时,821 y x x =+-的最小值为. 3.已知01x <<,则(12)y x x =-的最大值为. 4.实数,a b 满足22a b +=,则39a b +的最小值为. ◇典型例题 例1.求函数(5)(2)(1)1x x y x x ++= >-+的最小值. 例2.已知+∈R b a ,,且191,a b +=求a b +最小值. ◇能力提升 1.若+∈R b a ,,1)(=+-b a ab ,则b a +的最小值是() A .222+ B.25+ C.222- D.22 2.下列命题中正确的是() A .x x y 1+=的最小值是2 B .2 322++=x x y 的最小值是2 C .45 22++=x x y 的最小值是25D .x x y 432--=的最大值是342- 3.若+∈R b a ,满足3ab a b =++,则ab 的取值范围是________________. 4.若1x >时,不等式11x a x + ≥-恒成立,则实数a 的取值范围是____________. 5.若(4,1)x ∈-,求2221 x x x -+-的最大值.

基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)

基本不等式 .基本不等式 ①公式: -_b ab (a 0,b 0),常用 a b 2. ab 2 2 ■ 2 2 ②升级版: a b a b ab a,b R 2 2 选择顺序:考试中,优先选择原公式,其次是升级版 二?考试题型 【题型1】 基本不等式求最值 求最值使用原则:一正 二定三相等 一正: 指的是注意a,b 范围为正数。 二定: 指的是ab 是定值为常数 三相等:指的是取到最值时 a b 典型例题: 1 例1?求 y x £;(x 0)的值域 分 x 范围为负,提负号(或使用对钩函数图像处 1 解:y (x ) Q x 0 2x 2x 1 x 2x 得到y ( , &]

1 分析:sinx 的范围是(0,1),不能用基本不等式,当 y 取到最小值时,sinx 的值是.2,但「2不 在范围内 解:令 t sinx , t (0,1) 是对钩函数,禾U 用图像可知: 2 在(0,1)上是单减函数,所以t 3,(注:3是将t 1代入得到) y (3,) 注意:使用基本不等式时,注意 y 取到最值,x 有没有在范围内, 如果不在,就不能用基本不等式 ,要借助对钩函数图像来求 值域。 例2 ?求y 2x (x 3)的值域 解:y 2x (“添项”,可通过减3再加3,利用基本不等式后可出现定值 ) 2(x 3) 22 即 y 2.2 6, 例3?求 y sin x 2 sin x (0 x )的值域

y t f (p 为常数)型函数,要注意t 的取值范围; 【失误与防范】 1.使用基本不等式求最值,其失误的真正原因 是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视. 要利 用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可. 2 ?在运用重要不等式时, 要特别注意“拆” “拼” “凑” “正” “定” “等”的条件. 3.连续使用公式时取 等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致. 【题型2】条件是a b 或ab 为定值,求最值(值域)(简) x 2 2x 1 例 4.求 y (x 2)的值域 分析:先换元,令t x 2 ,t 0,其中x 解:y (t 2)2 2(t 2) 1 t 2 6t 1 t Qt 0 [8, 总之:形如y 2 CX ax b dx f (a 0,c 0)的函数,一般可通过换元法等价变形化为 等技巧,使其满足重要不等式中 例5. 0, y 0且x y 18,则xy 的最大值是 解析: 由于 x 0,y 0,则x y 2 xy ,所以2 xy 18,则xy 的最大值为81 例6. 已知 x,y 为正实数,且满足 4x 3y 12,则xy 的最大值为

基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案)

基本不等式及其应用 1.基本不等式 若a>0,,b>0,则 a + b 2 ≥ab ,当且仅当 时取“=”. 这一定理叙述为:两个正数的算术平均数 它们的几何平均数. 注:运用均值不等式求最值时,必须注意以下三点: (1)各项或各因式均正;(一正) (2)和或积为定值;(二定) (3)等号成立的条件存在:含变数的各项均相等,取得最值.(三相等) 2.常用不等式 (1)a 2+b 2≥ab 2(a ,b ∈R ). 2 a b +()0,>b a 注:不等式a 2+b 2≥2ab 和 2 b a +≥a b 它们成立的条件不同,前者只要求a 、b 都是实数,而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形:ab≤(2 b a +)2 .

(3)ab≤ 2 2 ? ? ? ? ?+b a (a,b∈R). (4) b a + a b ≥2(a,b同号且不为0). (5) 2 2 ? ? ? ? ?+b a ≤ a2+b2 2 (a,b∈R). (6) b a ab b a b a 1 1 2 2 2 2 2 + ≥ ≥ + ≥ +()0 ,> b a (7)abc≤ a3+b3+c3 3 ;() ,,0 a b c> (8) a+b+c 3 ≥ 3 abc;() ,,0 a b c> 3.利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值:a>0,b>0,当ab为定值时,a+b,a2+b2有,即a +b≥,a2+b2≥. (2)求最大值:a>0,b>0,当a+b为定值时,ab有最大值,即;或a2+b2为定值时,ab有最大值(a>0,b>0),即.

设a,b∈R,且a+b=3,则2a +2b的最小值是( ) 解:因为2a>0,2b>0,由基本不等式得2a+2b≥22a·2b=22a+b=42, 当且仅当a=b=3 2 时取等号,故选B. 若a>0,b>0,且a+2b-2=0, 则ab的最大值为( ) 解:∵a>0,b>0,a+2b=2,∴a+2b=2≥22ab,即ab≤1 2 .当且仅当a =1,b=1 2 时等号成立.故选A.

基本不等式经典例题学生用

基本不等式 知识点: 1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤ (当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ (当且仅当b a =时取“=”) (3)若*,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=” ) 3.若0x >,则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”) 若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11 1 22-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”)若0ab ≠,则22-2 a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 ( 当且仅当b a =时取“=”) 5.若R b a ∈,,则2)2(2 2 2b a b a +≤+(当且仅当b a =时取“=”) 注意: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值, 当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一:求最值 例:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+1 2x 2 (2)y =x +1 x 技巧一:凑项 例 已知5 4x <,求函数1 4245y x x =-+-的最大值。 技巧二:凑系数 例: 当时,求(82)y x x =-的最大值。 变式:设23 0<-+的值域。 技巧五:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,结合函数()a f x x x =+的单调性。 例:求函数224y x =+的值域。

高中数学不等式解法15种典型例题

不等式解法15种典型例题 例1 解不等式:(1)01522 3>--x x x ;(2)0)2()5)(4(3 2 <-++x x x . 分析:如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f (或0)(-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,2 5,0321=-==x x x 顺次标上数轴.然后从右上开始画线顺次经过三个根,其解集如下图的阴影部分. ∴原不等式解集为? ?????><<- 3025x x x 或 (2)原不等式等价于 ?? ?>-<-≠????>-+≠+?>-++2 450)2)(4(050 )2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{} 2455>-<<--+-+-x x x x 2 12 1 310 2730 132027301320 )273)(132(2 22222><<+->+-?>+-+-?x x x x x x x x x x x x x x x 或或或∴原不等式解集为),2()1,21()31,(+∞??-∞。 解法二:原不等式等价于 0) 2)(13() 1)(12(>----x x x x 0)2()13)(1)(12(>-?---?x x x x 用“穿根法”∴原不等式解集为),2()1,2 1()31 ,(+∞??-∞ 典型例题三 例3 解不等式242+<-x x 分析:解此题的关键是去绝对值符号,而去绝对值符号有两种方法:一是根据绝对值的意义? ??<-≥=)0() 0(a a a a a 二是根据绝对值的性质:a x a x a x a a x >?<<-?<.,或a x -<,因此本题有如下两种解法. 解法一:原不等式?????+<-<-?????+<-≥-?2 40 4240422 22x x x x x x 或 即? ? ?>-<<<-???<<--≤≥1222222x x x x x x x 或或或 ∴32<≤x 或21<-+<-) 2(42 422x x x x ∴312132<<<-x x x x 故或. 典型例题四 例4 解不等式 04125 62 2<-++-x x x x . 分析:这是一个分式不等式,其左边是两个关于x 二次式的商,由商的符号法则,它等价于下列两个不等式组: ?????>-+<+-041205622x x x x 或?????<-+>+-0 4120 562 2x x x x 所以,原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集.也可用数轴标根法求解.

不等式经典题型专题练习(含答案)

不等式经典题型专题练习(含答案) 姓名:__________ 班级:___________ 一、解答题 1.解不等式组: ()13x 2x 11{ 2 5233x x -+≤-+≥-,并在数轴上表示不等式组的解集. 2.若不等式组21 { 23x a x b -<->的解集为-1

3.已知关于x ,y 的方程组?? ?=+=+3135y x m y x 的解为非负数,求整数m 的值. 4.由方程组212x y x y a +=?? -=?得到的x 、y 的值都不大于1,求a 的取值范围. 5.解不等式组: 并写出它的所有的整数解.

6.已知关于x、y的方程组 521118 23128 x y a x y a +=+ ? ? -=- ? 的解满足x>0,y>0,求实数a的取 值范围. 6.求不等式组 x20 x 1x3 2 -> ? ? ? +≥- ?? 的最小整数解. 7.求适合不等式﹣11<﹣2a﹣5≤3的a的整数解.

8.已知关于x的不等式组3的整数解共有5个,求a的取值范围. 9.若二元一次方程组 2 { 24 x y k x y -= += 的解x y >,求k的取值范围. 10.解不等式组 5134 1 2 2 x x x x ->- ? ? ? -- ??≤ 并求它的整数解的和. 23 x y m +=- ?①

12.解不等式组?? ???<+-+≤+12312)2(352x x x x ,把不等式组的解集在数轴上表示出来,并写出不等式组的非负整数集. 14.若方程组2225x y m x y m +=+??-=-? 的解是一对正数,则: (1)求m 的取值范围 (2)化简:42 m m -++

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