函数定义域,值域求法情况总结

函数定义域、值域求法总结

一、定义域是函数()y f x =中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零

（2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1

（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠

二、值域是函数()y f x =中y 的取值范围。

常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法

（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等

这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

三、典例解析 1、定义域问题

例1 求下列函数的定义域：

① 21)(-=

x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x

x x f -++=21

1)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式2

1

-x 无意义，

而2≠x 时，分式21

-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .

②∵3x+2<0，即x<-32

时，根式23+x 无意义，

而023≥+x ，即3

2

-≥x 时，根式23+x 才有意义，

∴这个函数的定义域是{x |3

2

-≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x

-21

同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ???≠-≥+0

20

1x x ? ???≠-≥21x x

例2 求下列函数的定义域：

①14)(2

--=

x x f ②2

14

3)(2-+--=

x x x x f

③=

)(x f x

11111++

④x

x x x f -+=

0)1()(

⑤3

7

3132+++-=

x x y

解：①要使函数有意义，必须：142

≥-x 即： 33≤≤-x

∴函数14)(2--=

x x f 的定义域为： [3,3-

]

②要使函数有意义，必须：??

?≠-≠-≤≥????≠-+≥--131

40

210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--

③要使函数有意义，必须： 0

11110110≠++≠+≠?

??

?

?

?

???x

x x ?

2

110-≠-≠≠??

?

??x x x ∴函数的定义域为：}2

1

,1,0|{--≠∈x R x x 且

④要使函数有意义，必须： ?

??≠-≠+001x x x ???<-≠?01

x x

∴定义域为：{}011|<<--

⑤要使函数有意义，必须： ???≠+≥+-073032x x ??

??

?-≠∈?37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}3

7

|{-≠x x

例3 若函数a

ax ax y 1

2+

-=

的定义域是R ，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，01

2

≥+

-a

ax ax ∴??

???≤2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41

(+=x f y )4

1(-?x f 的定义域

解：要使函数有意义，必须：

4343454

34345

14111411≤≤-??????≤

≤-≤≤-??????≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )4

1(-?x f 的定义域为：?

???

??≤≤-

434

3

|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。

分析：法则f 要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x －1上必也要求2x －1在 [－1，1]

内取值，即－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x －1)中2x －1与f(x)中的x 位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域。

（注意：f(x)中的x 与f(2x －1)中的x 不是同一个x ，即它们意义不同。） 解：∵f(x)的定义域为[－1，1]， ∴－1≤2x －1≤1，解之0≤x ≤1， ∴f(2x －1)的定义域为[0，1]。

例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x 2)的定义域。

答案：－1≤x 2≤1? x 2≤1?－1≤x ≤1

练习：设)(x f 的定义域是[-3，2]，求函数)2(-x f 的定义域

解：要使函数有意义，必须：223≤-≤-x 得： 221+≤≤-x

∵

x ≥0 ∴ 220+≤≤x 2460+≤≤x

∴ 函数)2(-x f 的定域义为：{}

2460|+≤≤x x

例7已知f(2x －1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域

因为2x －1是R 上的单调递增函数，因此由2x －1， x ∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定义域。

已知f(3x －1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。[2,2

5

-）

（提示：定义域是自变量x 的取值范围） 练习：

已知f(x 2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域

若()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()121f x f x ++-的定义域是 （ ）

Ａ．[]1,1-

Ｂ??

?

???-

21,21

Ｃ．??

????1,2

1

Ｄ．10,2

??????

已知函数()11x

f x x

+=

-的定义域为Ａ，函数()y f f x =????的定义域为Ｂ，则

（ ）

Ａ．A B B =U Ｂ．B A ∈ Ｃ．A B B =I Ｄ． A B =

2、求值域问题

利用常见函数的值域来求（直接法）

一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=

k x

k

y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，

当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{a

b a

c y y 4)4(|2

-≤

}. 例1 求下列函数的值域

① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②）（3x 1x

32

)(≤≤-=x f ③ x

x y 1

+

=（记住图像） 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3，

∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②略

③ 当x>0，∴x x y 1

+

==2)1(2+-

x

x 2≥， 当x<0时，)1

(x x y -+

--==－2)1(2---

-x

x -≤ ∴值域是Y ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法） 函数x

x y 1

+

=的图像为： 二次函数在区间上的值域(最值)：

例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：

①142+-=x x y ； ②；]4,3[,142∈+-=x x x y ③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；

解：∵3)2(1422--=+-=x x x y ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R ，

∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y ≥-3 }. ②∵顶点横坐标2?[3,4]，

当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；

∴在[3,4]上，min y =-2，m ax y =1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标2? [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上，min y =-2，m ax y =1；值域为[-2，1].

④∵顶点横坐标2∈ [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,

∴在[0,1]上，min y =-3，m ax y =6；值域为[-3，6]. 注：对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ,

⑴若定义域为R 时，

①当a>0时，则当a b x 2-=时，其最小值a b ac y 4)4(2

min -=； ②当a<0时，则当a b x 2-=时，其最大值a

b a

c y 4)4(2max -=. ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若0x ∈[a,b],则)(0x f 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时， 再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大（小）值.

②若0x ?[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内，只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大（小）值.

注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；

②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.

练习：1、求函数y =3+√(2－3x)的值域

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，

故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的值域为 [)+∞,3 .

2、求函数[]5,0,522

∈+-=x x x y 的值域

解： Θ对称轴 []5,01∈=x

[]

20,420,54

,1max min 值域为时时∴====∴y x y x 例3 求函数y=4x －√1-3x(x ≤1/3)的值域。 解：法一：（单调性法）设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x ≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x

－√1-3x

在定义域为x ≤1/3上也为增函数，而且y ≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此， 所求的函数值域为｛y|y ≤4/3｝。

小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其

函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。 练习：求函数y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y ≥3｝) 法二：换元法(下题讲)

例4 求函数x x y -+=12 的值域

解：（换元法）设t x =-1，则)0(122

≥++-=t t t y

[)(]

2,2

1,01max ∞-∴==∴+∞∈=值域为，时当且开口向下

，对称轴y t t Θ

点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种

解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 练习：求函数y=√x-1 –x 的值域。（答案：｛y|y ≤－3/4｝ 例5 （选）求函数x x y -+-=

53 的值域

解：（平方法）函数定义域为：[]5,3∈x

[][][]

[]

2

,24,21,0158,5,315

82)5()3(2

222原函数值域为得由∴∈∴∈-+-∈-+-+-+-=y x x x x x x x y

例6 （选不要求）求函数21x x y -+=的值域

解：（三角换元法） 11≤≤-x Θ

∴设[]πθθ,0cos ∈=x

[]

[]

2

,12,1)4

sin(2sin cos sin cos -∴-∈+=+=+=原函数的值域为π

θθθθθy 小结：（1）若题目中含有1≤a ，则可设

)0,cos (2

2

,sin πθθπ

θπ

θ≤≤=≤

≤-

=a a 或设

（2）若题目中含有12

2

=+b a 则可设θθsin ,cos ==b a ，其中πθ20<≤

（3）若题目中含有21x -，则可设θcos =x ，其中πθ≤≤0 （4）若题目中含有21x +，则可设θtan =x ，其中2

2

π

θπ

<

<-

（5）若题目中含有)0,0,0(>>>=+r y x r y x ，则可设θθ22sin ,cos r y r x ==

其中??

?

?

?

∈2,

0πθ 例7 求13+--=x x y 的值域

解法一：（图象法）可化为 ??

?

??>-≤≤---<=3,431,221,4

x x x x y 如图，

观察得值域{}

44≤≤-y y

可得。

解法三：（选）（不等式法）

4

14114)1(134

)1()3(13-=+--+≥+--+=+--=+--≤+--x x x x x x x x x x Θ 同样可得值域

练习：1y x x =++的值域呢？ （)[∞+,1）（三种方法均可） 例8 求函数[])1,0(239∈+-=x y x

x

的值域

解：（换元法）设t x

=3 ，则 31≤≤t 原函数可化为

[][]

8,28,3;2,13,12

1

,2max min

2值域为时时对称轴∴====∴?=

+-=y t y t t t t y Θ

例9求函数x

x y 2231+-?

?

? ??= 的值域

解：（换元法）令1)1(22

2+--=+-=x x x t ，则)1(31≤??

? ??=t y t

由指数函数的单调性知，原函数的值域为??

????+∞,31 例10 求函数 )0(2

≤=x y x

的值域

解：（图象法）如图，值域为(]1,0 例11 求函数2

1

+-=

x x y 的值域 解法一：（逆求法）{}1121,≠-+=

y y y

y

x x 原函数值域为观察得解出 解法二：（分离常数法）由123

1232≠+-=+-+=

x x x y ，可得值域{}1≠y y

小结：已知分式函数)0(≠++=

c d

cx b

ax y ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为

???

?

??≠c a y y ；如果是条件定义域（对自变量有附加条件）

，采用部分分式法将原函数化为)(bc ad d

cx c ad b c a y ≠+-

+

=，用复合函数法来求值域。 例12 求函数1

33+=x x

y 的值域

解法一：（逆求法）10013<<∴>-=

y y

y

x

Θ ()1,0原函数的值域为∴

小结：如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围，可采用逆求法。 解法二：（换元法）设t x

=+13 ，

则()11

11

31113113>-=+-=+-+=t t y x

x x 101

1

01<<∴<<∴>y t

t Θ

()01原函数的值域为∴

练习：y =121

2+-x x ；（y ∈(-1，1)）.

例13 函数1

1

22+-=x x y 的值域

解法一：（逆求法）110112

<≤-∴≥-+=

y y

y

x Θ

[)1,1-∴原函数的值域为

解法二：（换元法）设t x =+12

，则

原函数值域即得∴<≤-∴≤<

∴≥1

122

01y t

t Θ

解法三：（判别式法）原函数可化为 010)1(2

=++?+-y x x y 1） 1=y 时 不成立

2） 1≠y 时，110)1)(1(400≤≤-?≥+--?≥?y y y

11<≤-∴y

综合1）、2）值域}11|{<≤-y y

0 1

1 t

1

t

2

0 1

t

2

t

解法四：（三角换元法）∴∈R

x Θ设??

?

??-∈=2,2tan ππθθx ，则

()(]1,12cos ,22cos tan 1tan 12

2-∈∴-∈-=+--=θππθθθ

θΘy ∴原函数的值域为}11|{<≤-y y 例14 求函数3

425

2

+-=

x x y 的值域 解法一：（判别式法）化为0)53(422

=-+-y yx yx

1）0=y 时，不成立 2）0≠y 时，0≥?得

500)53(8)4(≤≤?≥--y y y y 50≤<∴y

综合1）、2）值域}50|{≤

解法二：（复合函数法）令t x x =+-3422

，则t

y 5

=

11)1(22≥+-=x t Θ

50≤<∴y 所以，值域}50|{≤

例15 函数11

++

=x

x y 的值域 解法一：（判别式法）原式可化为 01)1(2

=+-+x y x

(][)∞+-∞-∴-≤≥∴≥--∴≥?,31,130

4)1(0

2Y Θ原函数值域为

或y y y

解法二：（不等式法）1）当0>x 时，321

≥∴≥+y x

x 2） 0

综合1）2）知，原函数值域为(][)∞+-∞-,31,Y

例16 (选) 求函数)1(1

2

22->+++=

x x x x y 的值域 解法一：（判别式法）原式可化为 02)2(2

=-+-+y x y x

[)∞+∴-≤∴->-≤≥?≥---∴≥?,2212

20

)2(4)2(02原函数值域为

舍去

或y x y y y y ΘΘ

解法二：（不等式法）原函数可化为 当且仅当0=x 时取等号，故值域为[)∞+,2

例17 （选） 求函数)22(1

2

22≤≤-+++=

x x x x y 的值域

解：（换元法）令t x =+1 。。 小结：已知分式函数)0(222

2≠+++++=d a f

ex dx c

bx ax y ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为

（选）)(二次式

一次式

或一次式二次式==

y y 的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果

不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数)0(≠+

=x x

a

x y 的单调性去解。 练习：

1 、)0(91

22≠++

=x x

x y ； 解：∵x ≠0，11)1(912

2

2+-=++

=x x x

x y ，∴y ≥11. 另外，此题利用基本不等式解更简捷：119291

22=+≥++=x

x y (或利用对勾函数图像法) 2 、3

425

2+-=x x y

0

3 、求函数的值域

①x x y -+=2； ②242x x y --= 解：①令x u -=

2≥0,则22u x -=,

原式可化为4

9)2

1(22

2

+--=+-=u u u y ,

②解：令 t=4x -2

x ≥0 得 0≤x ≤4

在此区间内 (4x -2

x )m ax =4 ，(4x -2

x )m in =0

∴函数242x x y --=的值域是{ y| 0≤y ≤2} 4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

解法1：将函数化为分段函数形式：??

?

??≥-<≤--<+-=)2(12)21(3)1(12x x x x x y ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是

{y|y ≥3}.

解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1，2的距离之和，∴易见y 的最小值是3，∴函数的值域是[3，+∞]. 如图

5、求函数x x y -+=142的值域

解：设 x t -=1 则 t ≥0 x=1-2

t

代入得 t t t f y 4)1(2)(2

+-?==4)1(224222+--=++-=t t t

∵t ≥0 ∴y ≤4

6、（选）求函数6

6

522-++-=x x x x y 的值域

方法一：去分母得 (y -1)2

x +(y+5)x -6y -6=0 ① 当 y ≠1时 ∵x ∈R ∴△=(y+5)2

+4(y -1)×6(y+1)≥0 由此得 (5y+1)2

≥0

检验 51-=y （有一个根时需验证）时 2)

5

6

(2551=-?+-

-=x （代入①求根）

∵2 ? 定义域 { x| x ≠2且 x ≠3} ∴5

1-≠y 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y ≠1

综上所述，函数6

6

522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠51-}

方法二：把已知函数化为函数3

6

133)3)(2()3)(2(--

=+-=+---=

x x x x x x x y (x ≠2) 由此可得 y ≠1，∵ x=2时51-=y 即 51-≠y ∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠5

1

-}