27.2.1 第2课时 三边成比例的两个三角形相似

27.2.1 相似三角形的判定

第2课时 三边成比例的两个三角形相似

1．理解“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法；(重点)

2．会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题．

一、情境导入

我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应角是否相等，对应边是否成比例．那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？

在如图所示的方格上任画一个三角形，再画第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？

二、合作探究

探究点：三边对应成比例的两个三角形相似

【类型一】 直接利用定理判定两个三角形相似

在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，在Rt △EDF 中，∠F ＝90°，DF

＝3，EF ＝4，则△ABC 和△EDF 相似吗？为什么？

解析：已知△ABC 和△EDF 都是直角三角形，且已知两条边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边的长，看对应边是否对应成比例．

解：△ABC ∽△EDF .在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝6，∠C ＝90°，由勾股定理得AC ＝AB 2－BC 2＝102－62＝8.在Rt △DEF 中，DF ＝3，EF ＝4，∠F ＝90°，由勾股定理得

ED ＝DF 2＋EF 2＝32＋42＝5.在△ABC 和△EDF 中，BC DF ＝63＝2，AC EF ＝84＝2，AB ED ＝105

＝2，所以BC DF ＝AC EF ＝AB ED

，所以△ABC ∽△EDF . 方法总结：利用三边对应成比例判定两个三角形相似时，应说明三角形的三边对应成比例，而不是两边对应成比例． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题

【类型二】 网格中的相似三角形

如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，

判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由．

解析：首先由勾股定理，求得△ABC 和△DEF 的各边的长，即可得AB DE ＝AC DF ＝BC EF

，然后由三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可判定△ABC 和△DEF 相似．

解：△ABC 和△DEF 相似．由勾股定理，得AB ＝25，AC ＝5，BC ＝5，DE ＝4，DF

＝2，EF ＝25，∵AB DE ＝AC DF ＝BC EF ＝254＝52

，∴△ABC ∽△DEF . 方法总结：在网格中计算线段的长，运用勾股定理是常用的方法．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第8题 【类型三】 利用相似三角形证明角相等

如图，已知AB

AD ＝BC DE ＝AC AE

，找出图中相等的角，并说明你的理由．

解析：由AB AD ＝BC DE ＝AC AE

，证明△ABC ∽△ADE ，再利用相似三角形对应角相等求解． 解：在△ABC 和△ADE 中，∵AB AD ＝BC DE ＝AC AE

，∴△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∠B ＝∠D ，∠C ＝∠E .

方法总结：在证明角相等时，可通过证明三角形相似得到．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题 【类型四】 利用相似三角形的判定证明线段的平行关系

如图，某地四个乡镇A ，B ，C ，D 之间建有公路，已知AB ＝14千米，AD ＝28千

米，BD ＝21千米， BC ＝42千米， DC ＝31.5千米，公路AB 与CD 平行吗？说出你的理由．

解析：由图中已知线段的长度，可求两个三角形的对应线段的比，证明三角形相似，得出角相等，通过角相等证明线段的平行关系．

解：公路AB 与CD 平行．∵AB BD ＝1421＝23，AD BC ＝2842＝23，BD DC ＝2131.5＝23

，∴△ABD ∽△BDC ，∴∠ABD ＝∠BDC ，∴AB ∥DC .

方法总结：如果在已知条件中边的数量关系较多时，可考虑使用“三边对应成比例，两三角形相似”的判定方法． 【类型五】 利用相似三角形的判定解决探究性问题

要制作两个形状相同的三角形教具，其中一个三角形教具的三边长分别为50cm ，

60cm ，80cm ，另一个三角形教具的一边长为20cm ，请问怎样选料可使这两个三角形教具相似？想想看，有几种解决方案．

解析：要使两个三角形相似，已知一个三角形的三边和另一个三角形的一边，则我们可以采用三边分别对应成比例的两个三角形相似来判定．

解：①当长为20cm 的边长的对应边为50cm 时，∵50∶20＝5∶2，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm ，60cm ，80cm ，∴另一个三角形对应的三边分别为：20cm ，24cm ，32cm ；②当长为20cm 的边长的对应边为60cm 时，∵60∶20＝3∶1，且第一个三角形教具

的三边长分别是50cm ，60cm ，80cm ，∴另一个三角形对应的三边分别为：503cm ，20cm ，803

cm ；③当长为20cm 的边长的对应边为80cm 时，∵80∶20＝4∶1，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm ，60cm ，80cm ，∴另一个三角形对应的三边分别为：12.5cm ，15cm ，20cm.∴有三种解决方案．

方法总结：解答此题的关键在于分类讨论，当对应比不确定时，采用分类讨论的方法可避免漏解．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

三、板书设计

1．三角形相似的判定定理：

三边对应成比例的两个三角形相似；

2．利用相似三角形的判定解决问题．

因为本课时教学过程中主要是让学生采用类比的方法先猜想出命题，然后证明猜想的命题是否正确．课堂上教师主要还是以提问的形式，逐步引导学生去证明命题．从课后作业情况看出学生对这节课的知识总体掌握得较好.