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基本不等式经典例题(学生用)

基本不等式经典例题(学生用)
基本不等式经典例题(学生用)

基本不等式

知识点:

1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤ (当且仅当b a =时取“=”)

2. (1)若*,R b a ∈,则ab b

a ≥+2 (2)若*,R

b a ∈,则ab b a 2≥+ (当且仅当b a =时取“=”)

(3)若*,R b a ∈,则2

2??

? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”)

3.若0x >,则1

2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”)

若0x <,则1

2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”)

若0x ≠,则1

1

1

22-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”)

4.若0>ab ,则2≥+a b

b a

(当且仅当b a =时取“=”)若0ab ≠,则22-2

a

b

a b a b

b a b a b a +≥+≥+≤即或 (

当且仅当b a =时取“=”)

5.若R b a ∈,,则2)2(2

22b a b a +≤+(当且仅当b a =时取“=”)

注意:

(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,

当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.

(2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一:求最值

例:求下列函数的值域

(1)y =3x 2+1

2x 2 (2)y =x +1

x

技巧一:凑项

例 已知5

4x <,求函数1

4245y x x =-+-的最大值。

技巧二:凑系数

例: 当时,求(82)y x x =-的最大值。

变式:设2

30<

技巧三: 分离换元 例:求2710(1)1

x x y x x ++=>-+的值域。

技巧五:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,结合函数()a f x x x =+的单调性。 例:求函数224y x =

+的值域。

技巧六:整体代换(“1”的应用)

多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。。 例:已知0,0x y >>,且

191x y +=,求x y +的最小值。

技巧七

例:已知x ,y 为正实数,且x 2+

y 22 =1,求x 1+y 2 的最大值.

技巧八:

已知a ,b 为正实数,2b +ab +a =30,求函数y =1ab

的最小值.

__________________________________________________ 技巧九、取平方

例: 求函数15

()22

y x =<<的最大值。 应用二:利用均值不等式证明不等式 例:已知a 、b 、c R +∈,且1a b c ++=。求证:1111118a b c ??????---≥ ???????????

应用三:均值不等式与恒成立问题 例:已知0,0x y >>且191x y

+=,求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

应用四:均值定理在比较大小中的应用: 例:若

)2

lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=

?=>>,则R Q P ,,的大小关系是.

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