《曲线运动》导学案
第1节 第一章 运动学
第2节 质点运动的基本概念
一.质点运动的基本概念 1．位置、位移和路程：
位置指运动质点在某一时刻的处所，在直角坐标系中，可用质点在坐标轴上的投影坐标（x,y,z ）来
表示。在定量计算时，为了使位置的确定与位移的计算一致，人们还引入位置矢量（简称位矢）的概念，如图所示，在直角坐标系中，位矢r 定义为自坐标原点到质点位置P(x,y,z)所引的有向线段，故有222z y x r ++=,r 的方向为自原
点O 点指向质点P 。
位移指质点在运动过程中，某一段时间t ?内的位置变化，即位矢的增量t t t r r s _)(?+=，它的方向为自始位置指向末位置。在直角坐标系中，在计算位移时，通常先求得x 轴、y 轴、z 轴三个方向上位移的三个分量后，再按矢量合成法则求合位移。
路程指质点在时间内通过的实际轨迹的长度，它是标量，只有在单方向的直线运动中，路程才等于位移的大小。
2．平均速度和平均速率：
平均速度是质点在一段时间内通过的位移和所用时间之比：t
s
v ?=平，平均速度是矢量，方向与位移s 的方向相同。
平均速率是质点在一段时间内通过的路程与所用时间的比值，是标量。
3．瞬时速度和瞬时速率：
瞬时速度是质点在某一时刻或经过某一位置是的速度，它定义为在时的平均速度的极限，简称为速度，即t
s v t ?=→?0lim
。
瞬时速度是矢量，它的方向就是平均速度极限的方向。瞬时速度的大小叫瞬时速率，简称速率。 4．加速度：
加速度是描述物体运动速度变化快慢的物理量，等于速度对时间的变化率，即t
v
a ??=，这样求得的加速度实际上是物体运动的平均加速度，瞬时加速度应为t
v
a t ??=→?0lim 。加速度是矢量。
5．匀变速直线运动：
质点运动轨迹是一条直线的运动称为直线运动，而加速度又恒定不变的直线运动称为匀变速直线运动，若a 的方向与v 的方向一致称为加速运动，否则称为减速运动。匀变速直线的运动规律为：
2002
1at t v s s ++= )(202
2s s a v v t -=-
二、解题指导：
例1：如图所示，物体A 置于水平面上，A 前固定一滑轮B ，高台上有一定滑轮D ，一根轻绳一端固定在C
两段绳子的夹角为ɑ时，A 的运动速度。
例2：如图所示为两个光滑的斜面，两斜面高度相同，且1
1C A BC AB =+，今让小球分别从斜面的A 点
和斜面的A 1
点无初速度释放，若不计在B 点损失的能量，试问哪种情况下，小球滑至斜面底端历时较短？
例3：蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距巢中心m L 11=的A 点处时，速度是1
12-?=s cm v ，试问蚂蚁从A 点爬到距巢中心m L 22=的B 点所而的时间为多少？
例4：如图所示，一串相同汽车以等速度v 沿宽度为c 的直公路行驶，每车宽为b ，头尾间距为a ，则人能以最小速率沿一直线穿过马路所用的时间为多少？
三、巩固练习：
1、以初速2v 0竖直上抛一物体后，又以初速v 0竖直上抛另一物体，若要使两物体能在空中相遇，两物体抛出的时间间隔必须满足什么条件？
2、在听磁带录音机的录音时发觉 ：带轴上带卷的半径经过时间m in 201=t 减少一半，问此后半径又减少一半而要多少时间？
3、小球从高m h 1200=处自由落下，着地后跳起又落下，每与地面相碰一次，速度减少
n
1
(n 是大于等于2的整数)。(1)作出小球的t v -图像(向上为正)；(2)求小球从下落到停止的总时间和总路程(g=10m/s 2
)。
4、在以速度v 0行驶的小汽车正前方L 处有一辆载重卡车。由于大雾，使得公路上能见度很低，当小车司机发现这一情况时，卡车正以加速度a 由静止开始做匀加速运动，其方向和小车运动方向一致，于是小车司机立即以加速度2a 作匀减速运动，那么小车速度v 0必须满足什么条件，小车才不致于和卡车相撞？
5、如图所示，当杆的A 端以恒定速度沿水平方向运动时，接触点M 则向B 端移动，当h AM 2=时，接触点M 向B 端移动的速度v 为多少？
第2节、运动的合成和分解
一、运动的合成和分解基础知识： 1．标量和矢量：
物理量分为两大类：凡是只须数值就能决定的物理量叫做标量；凡是既有大小，又需要方向才能决定的物理量叫做矢量。标量和矢量在进行运算是遵守不同的法则：标量的运算遵守代数法则；矢量的运算遵守平行四边形法则（或三角形法则）。
在研究物体运动时，将碰到一些较复杂的运动，我们常把它分解为两个或几个简单的分运动来研究。任何一个方向上的分运动，都按其本身的规律进行，不会因为其它方向的分运动的存在而受到影响，这叫做运动的独立性原理。运动的合成和分解包括位移、速度、加速度的合成和分解，他们都遵守平行四边形法则和三角形法则。
物体的运动是相对于参照系而言的，同一物体的运动相对于不同的参照系其运动情况不相同，这就是运动的相对性。我们通常把物体相对于基本参照系（如地面等）的运动称为“绝对运动”，把相对于基本参照系运动着的参照系称为运动参照系，运动参照系相对于基本参照系的运动称为“牵连运动”，而物体相对于运动参照系的运动称为“相对运动”。显然绝对速度和相对速度一般是不相等的，它们之间的关系是：绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和。即
v v v +=相绝或乙对地甲对乙甲对地v v v +=
位移、加速度之间也存在类似关系。但要注意具体运算是按平行四边形法则或三角形法则进行的。只有在一条直线上，矢量式才可化为代数式。
3．物系相关速度：
正确分析物体(质点)的运动，除可以用运动的合成或分解知识外，还可充分利用物系相关速度之间的关系简捷求解。以下三个结论在实际解题中十分有用：
a 、刚性杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度；
b 、接解物系在接触面法线方向的分速度相同，切向分速度在无相对滑动时相同；
c 、线状交叉物系交叉点的速度是相交物系双方沿双方切向运动分速度的矢量和。
二、解题指导：
例1、有A, B 两球，A 从距地面高度为h 处自由下落，同时将B 球从地面以初速度0v 竖直上抛，两球沿同一条竖直线运动。试分析： （1）B 球在上升过程中与A 球相遇；
（2）B 球在下落过程中与A 球相遇。两种情况中B 球初速度的取值范围
例2、一人站在距平直公路 m h 50=的B 处，公路上有一汽车以s m v /101=的速度行驶，如图所示，当汽车在与人相距m l 200=的A 处时，人以速度s m v /32=奔跑(可认为人一开始就可达这个速度)，为了使人跑到公路上时，能与车相遇，问：(1)奔跑应取什么方向？(2)需要多少时间才能赶上汽车？(3)若其它条件不变，人在原处开始匀速奔跑时，该人可以与汽车相遇的最小奔跑速度是多少？
例3、直线AB 以大小为v 1的速度沿垂直于AB 的方向向下移动，而直线CD 以大小为v 2的速度沿垂直于CD 的方向向右下方移动，两条直线交角为θ，如图所示，求它们的交点P 的速度大小与方向。
例4、如图所示，AB 杆的A 端以匀速度v 运动，在运动时杆恒与半圆周相切，半圆周的半径为R ，当杆与水平线的交角为θ时，求杆的角速度ω及杆上与半圆相切点C 的速度和杆与圆柱接触点C 1的速度大小。
例5、如图所示装置，设杆OA 以角速度ω绕O 转动，其A 端则系以绕过滑轮B 的绳，绳子的末端挂一重
物M 0。已知h OB =，当α=∠OBA 时，求物体M 的速度。
例6、细杆OP 长l ，绕0点以角速度ω在如图所示平面内匀速转动，并推动光滑小环C 在固定的水平钢丝
AB 上滑动，已知d AO =，试求小环通过细杆中点的速度。
三、巩固练习：
1、某人驾船从河岸A 处出发横渡，如果使船头保持跟河岸垂直的方向航行，则经10min 后到达正对岸下游120m 的C 处，如果他使船逆向上游，保持跟河岸成ɑ角的方向航行，则经12.5min 恰好到达正对岸的B 处，求河岸的宽度是多少？
2、雨滴落在静止的电车窗口，其径迹与竖直线成300
的倾角，电车以h km v /18=的速度运动时，窗上的径迹恰是竖直的，求雨滴在无风时的速度和风向。
3、如图所示，质点P 1以v 1由A 向B 作匀速运动，同时点P 2以v 2从B 指向C 作匀速运动，
l AB =,α=∠ABC 且为锐角，试确定何时刻t ，P 1P 2的间距d 最短为多少？
4、一只船在河的正中航行，如图所示，河宽m l 100=，流速s m u /5=，并在距船m s 150=的下游形成瀑布，为了使小船靠岸时，不至被冲进瀑布中，船对水的最小速度为多少？
??
?==θ
θsin cos 00v v v v y x ??
???-==20021sin cos gt t v y t v x θθ??
?-==g a a y x 0
5、如图所示，半径为R 的半圆凸轮以等速v 0沿水平面向右运动，带动从动杆AB 沿竖直方向上升，O 为凸轮圆心，P 为其顶点，求当α=∠AOP 时，AB 杆的速度。
第3节 抛体运动
一、抛体运动的基础知识：
1、平抛运动：
可看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体两个分运动的合成，落地时间由竖直方向分运动决定。
2、斜抛运动：
分斜上抛和斜下抛(由初速度方向确定)两种，根据运动的叠加原理，抛体运动可看成是由两个直线运动叠加而成。
常用的处理方法是:
①、将抛体运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。
如图所示，取抛物轨迹所在平面为平面，抛出点为坐标原点，水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴。则抛体运动的规律为：
其轨迹方程为：
2
22
cos 2x v g xtg y o θθ-
=
这是开口向下的抛物线方程。
在抛出点和落地点在同一水平面上的情况下，飞行时间T ，射程R 和射高H 分别为:
g v T θ
sin 20= g v R θ2sin 20=
g v H 2sin 220θ=
抛体运动具有对称性，上升时间和下降时间（抛出点与落地点在同一水平面上）相等（一般地，从某
一高度上升到最高点和从最高点下降到同一高度的时间相等）；上升和下降时经过同一高度时速度大小相等，速度方向与水平方向的夹角大小相等。
②、分解沿v 0方向的速度为v 0的匀速直线运动和沿竖直方向的自由落体运动二个分运动。 ③、将沿斜面和垂直斜面方向作为x 、y 轴，分别分解初速和加速文革后 用运动学公式解题。
二、解题指导：
例1：如图所示，从A点以v0的初速度抛出一个小球，在离A点水平距离为s处有一堵高度为h的墙BC，要求小球能越过B点。问小球以怎样的角度抛出，才能使v
0最小？
例2、大炮在山脚直接对着倾角为ɑ的山坡发射炮弹，炮弹初速度为v0，要在山坡上达到尽可能远的射程，则大炮的瞄准角为多少？最远射程为多少？
例3、在掷铅球时，铅球出手时距地面的高度为h，若出手时的速度为v0，求以何角度掷球时，水平射程最远？最远射程为多少？
例4、从高H处的一点O先后平抛两个小球1和2，球1直接恰好越过竖直挡板A落到水平地面上的B点，球2则与地面碰撞一次后，也恰好越过竖直挡板，尔后也落在B点，如图所示，设球2与地面碰撞遵循类似光的反射定律，且反弹速度大小与碰前相同，求竖直挡板的高度h。
例5、如图所示，在水平面上，有两个竖直的光滑墙壁A 和B 间距为d ，一个小球以初速v 0从两墙之间 的O 点斜向上抛出，与A 和B 各发生一次弹性碰撞后正好落回抛出点，求小球的抛射角。
例6、从底角为θ的斜面顶端，以初速度v 0水平抛出一小球，不计空气阻力，若斜面足够长，则小抛出后离开斜面的最大距离H 是多少？
三、巩固练习：
1、y 轴为过抛出点的竖直线(物体做平抛运动)，但抛出点未知，AB 是平抛的一段轨迹，已知A 、B 两点到y 轴的水平距离分别为x 1、x 2，AB 两点的竖直距离为h ，如图所示，求小球抛出时的初速度是多大？
2、两质点从地面上同一点以相同速度v 0速率和不同抛射角抛出，忽略空气阻力，试证明当两质点的射程R 相同时，它所在空中飞行时间的乘积为
g
R 2。 3、如图所示，从O 点以初速度v 0射出一颗子弹，同时从距地面高为h 的A 点自由落下一物体，若两者在B 点相同(B 点离O 点的水平距离为L)，求子弹的初速度与水平方向的夹角θ。
4、在倾角为φ的斜面上，斜向上抛出一个物体，它的初速度和斜面的夹角为α，如果最后恰好垂直落到斜面上，求证α?ctg tg 2
1
=
。
5、某物体以一定初速度v 0沿斜面向上运动，它所能达到的最大位移x 与斜面倾角θ的关系如图所示，试求θ为多少时，x 的值最小。(g=10m/s 2)
6、一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3m 的墙外，从喷口算起，墙高4m ，若不计空气阻力，取g=10m/s 2，求所需的最小初速度及对应的喷射仰角。
7、t=0时刻从水平面上的O 点，在同一铅垂面上同时朝两方向发射初速度分别为v A =10m/s 、v B =20m/s 的两个质点A 、B ，如图所示，求： (1)t=1s 时A 、B 相距多远？
(2)在铅垂面x0y 上，从原点O 出发朝平面各方向射出相同速率v 0的粒子，今以朝x 正向(水平)射出的粒子为参考点，确定其他粒子在未落地前的t 时刻的位置组成的曲线。
第4节 质点的圆周运动与刚体绕定轴的转动
一、质点的圆周运动与刚体绕定轴的转动的基础知识： 1、质点的圆周运动：
a 、匀速圆周运动 ：质点P 在半径为R 的圆周上运动时，它的位置可用角度θ表示（习惯上以逆时针转角正，顺时针转角为负），转动的快慢用角速度表示：
t t ??=→?θω0lim
质点P 的速度方向在圆的切线方向，大小为：
R t R t l
v t t ωθ=?=??=→?→?000lim lim
ω（或v ）为常量的圆周运动称为匀速圆周运动。这里的“匀速”是指匀角速度或匀速率，速度的方
向时刻在变。因此，匀速圆周运动的质点具有加速度，其加速度沿半径指向圆心，称为向心加速度（法向加速度）： v
R R v n ωωω===22/
向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。
b 、变速圆周运动：ω（或v ）随时间变化的圆周运动，称为变速圆周运动，描述角速度变化快慢的物理量为角加速度：
t t ??=→?ω
β0lim
质点作变速圆周运动时，速度的大小和方向都在变化。将速度增量?分解为与2v 平行的分量//v ?和
2v 垂直的分量⊥?v ，质点P 的加速度为：
n t t t a a t
v
t v t +=??+??=??=⊥→?→?→?τ0//00lim lim lim
其中τa ，n a 就是切向加速度和法向加速度。
R a βτ
= 22
ωR R
v a n == β为常量的圆周运动，称为匀变速圆周运动，类似于变速直线运动的规律，有：
t βωω+=0
2
021
t t βωθ+=
R v 00ω=
t a v Rt v R v r +=+==00βω
二、解题指导：
圆弧对应的圆心角β之间存在如下关系：βα2=tg
例2、A 、B 、C 三个芭蕾演员同时从边长l 的三角形顶点A 、B 、C 出发，以相同的速率v 运动，运动中始终保持A 朝着B ，B 朝着C ，C 朝着A ，试问经多少时间三人相聚？每个演员跑了多少路径？
例3、如图所示，一个直径为D 的圆柱体，其侧面刻有螺距为h 的螺旋形凹槽，槽内有一小球，为使小球能自由落下，必须要以多大的加速度来拉缠在圆柱体侧面的绳子？
例4、如图所示，一个圆台上底半径为r 1，下底半径为r 2，其母线AB 长为l ，放置在水平地面上，推动它之后，它自身以角速度ω旋转，整体绕O 点作匀速圆周运动，若接触部分不打滑，求旋转半径OA 及旋转一周所需时间。
例5、如图所示，直杆AB 以匀速v 搁在半径为r 的固定圆环上作平动，试求图示位置时，杆与环的交点M 的速度和加速度。
三、巩固练习：
1、圆环在水平面上匀速滚动，跟平面没有相对滑动，已知环心对地的速度为v，则环上的各点中相对于地的最大速度和最小速度分别为多少？
2、当人在电影屏幕上看到汽车向前行驶，而如图所示的车轮却没有转动时，已知电影每秒钟放映24个画面，园子半径为0.5m。则汽车运动的可能速度为多少？
3、如图所示，湖中有一小岛A，A与直湖岸的距离为d，湖岸边的一点B，B沿湖岸方向与A点的距离为l，一人自A点出发，要到达B点。已知他在水中游泳的速度为v1，在岸上行走的速度为v2，且v1 4、一质点在平面上作匀变速运动，在时刻t=1s、3s、5s时，质点分别位于平面上的A、B、C三点，已知 =，且BC AB⊥。试求此质点运动的加速度是多少？ BC6 AB8 m =，m 5、用一根长L的铁丝绕成一个高为H的等螺距螺旋线圈，把线圈固定，使其轴保持竖直，一个小珠子可以沿螺旋线无摩擦地下滑，现将小珠子由静止开始从螺旋线最高点释放，问经过多少时间小珠子可以到达螺旋线底。 6、弹性小球从高h处自由落下，落到与水平面成θ角的长斜面上，碰撞后以同样大的速度反弹回来。求每个弹回点(第一点和第二点，第二点和第三点，…，第n点和第(n+1)点)间的距离x1，x2，x3，…，x n。 7、A质点以速度v1作匀速直线运动，B质点以等速率v2始终向着A运动，当B的运动方向垂直于v1时，AB相距l，则这时B的加速度大小为多少？ 8、在某铅垂面上有一固定的光滑直角三角形细管轨道ABC，光滑小球从顶点A处沿斜边轨道自静止出发自由地滑到端C处所需的时间，恰好等于小球从顶点A处自静止出发自由地经两直角边轨道滑到端点C 且拐弯时间可忽略不计。 在直角三角形范围内可构建一系列如图所示虚线的光滑轨道，每一轨道是由若干铅垂线与水平部分交接而成，交接处有极小圆弧(作用同上)，轨道均从A 点出发到C 点终止，且不越出该直角三角形边界，试求小球在各条轨道中，由静止出发自由地从A 点滑行到C 点所经时间的上限与下限之比值。 9、如图所示，河两岸有A 、B 两个码头，相距1200m ，AB 连线和河岸成0 60=θ角，且B 在A 的下游，水流速度为2m/s ，一艘汽艇想要在最短时间t=5min 往返两码头间，问船应取怎样的方向航行？船速多大？ 10、均匀光滑细棒AB 长L ，A 、B 两端分别靠在光滑墙和地板上，如图所示，由于光滑，棒将开始滑动，当A 端滑动到离O 点距离为y 时，A 端速度为v ，问此时B 端速度多大？ 第二章 力与平衡 第一节 力学中常见的几种力 一、力学中常见的几种力的基础知识： 1、静摩擦 当两个相互接触的物体之间存在相对滑动的趋势（就是说：假如它们之间的接触是“光滑的”，将发生相对滑动）时，产生的摩擦力为静摩擦力，其方向与接触面上相对运动趋势的指向相反，大小视具体情 况而定，由平衡条件或从动力学的运动方程解算出来，最大静摩擦力为： N f 0max μ= 式中0μ 称为静摩擦因数，它取决于接触面的材料与接触面的状况等，N 为两物体间的正压力。 2、滑动摩擦 当两个相互接触的物体之间有相对滑动时，产生的摩擦力为滑动摩擦力。滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反,其大小与两物体间的正压力成正比：N f μ=，μ为滑动摩擦因数，取决于接触面的材料与接触面的表面状况，在通常的相对速度范围内，可看作常量，在通常情况下，μμ与0可不加区别，两物 体维持相对静止的动力学条件为静摩擦力的绝对值满足： N f f μ=≤max 在接触物的材料和表面粗糙程度相同的条件下，静摩擦因数0μ略大于动摩擦因数μ。 3、摩擦角 令静摩擦因数 0μ等于某一角?的正切值，即?μtg =0，这个?角就称为摩擦角。在临界摩擦（将要 发生滑动状态下）,tg N f ==0max μ?。支承面作用于物体的沿法线方向的弹力N 与 最大静摩擦力 m ax f 的合力F （简称全反力）与接触面法线方向的夹角等于摩擦角，如图 所示（图中未画其他力）。在一般情况下，静摩擦力 0f 未达到最大值，即： ?μμtg N f N f N f ≤≤≤00000,, 因此接触面反作用于物体的全反力F '的作用线与面法线的夹角 N f arctg =α，不会 大于摩擦角，即?α≤。物体不会滑动。由此可知，运用摩擦角可判断物体是否产生滑动的条件。如图放在平面上的物体A ，用力F 去推它，设摩擦角为?，推力F 与法线夹角为α，当?α<时，无论F 多大，也不可能推动物块A ，只有?α>时，才可能推动A 。 4、摩擦力作用的时间 因为只有当两个物体之间有相对运动或相对运动趋势时，才有摩擦力，所以要注意摩擦力作用的时间。如一个小球竖直落下与一块在水平方向上运动的木块碰撞后，向斜 上方弹出，假设碰撞时间为t ?，但可能小球不需要t ?时间，在水平方向上便已具有了与木块相同的速度，则在剩下的时间内小球和木块尽管还是接触的，但互相已没有摩擦力。 二、解题指导： 例1：如图，小木块和水平地面之间的动摩擦因数为μ，用一个与水平方向成多大角度的力F 拉着木块匀速直线运动最省力？ 例2、如图所示皮带速度为v 0，物A 在皮带上以速度v 1垂直朝皮带边运动，试求物A 所受摩擦力的方向。 质量为m的物体压在圆柱侧面，能使物体m以速度v匀速下滑，已知物体m在水平方向受光滑挡板的作用使之不能随圆柱体一起转动。求物体与圆柱之间的滑动摩擦系数大小。 例4、如图所示，拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具．设拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g，某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ． （1）若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小． （2）设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ．已知存在一临界角θ0，若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动．求这一临界角的正切tanθ0 例5、一架均匀梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在竖直的墙上，梯子与地面及梯子与墙的静摩擦系数分别为μ 1和μ2，求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。 例6、如图所示，每侧梯子长为l的折梯置于铅垂平面内，已知A、B两处的动摩擦因数分别为μA=0.2, μ B=0.6，不计梯重，求人能爬多高而梯不滑倒。 三、巩固练习： 1、如图所示，用绳通过定滑轮连接物块，使物块在水平面上从图示位置开始沿地面匀速直线运动，若物 A.绳子的拉力将保持不变 B.绳子的拉力将不断增大 C.地面对物块的摩擦力不断减小 D.物块对地面的压力不断减小 2、如图所示，倾角450 的斜面上，放置一质量m 的小物块，小物块与斜面的动摩擦因素μ= ，欲使小物块能静止在斜面上，应对小物块再施加一力，该力最小时大小与方向是： A. 0 sin15mg ，与水平成15o斜向右 B. 0 sin 30mg ，竖直向上 C. 0 sin 75mg ，沿斜面向上 D. 0 tan15mg ，水平向右 3、如图所示，质量为m 的物体放在水平地面上，物体与地面的动摩擦因素3 μ= ，想用力F 推动物体 沿水平地面滑动，推力方向与水平夹角在什么范围内是可能的？ 4、一物体质量为m ，置于倾角为α的斜面上，如图所示，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值。 5、结构均匀的梯子AB ，靠在光滑竖直墙上，已知梯子长为L ，重为G ，与地面间的动摩擦因数为μ，如 图所示， （1）求梯子不滑动，梯子与水平地面夹角θ的最小值θ0； （2）当θ=θ0时，一重为P的人沿梯子缓慢向上，他上到什么位置，梯子开始滑动？ 6、压延机由两轮构成，两轮的直径均为d=50mm，轮间的间隙为a=5mm，两轮按反方向转动，如图中箭头所示。已知烧红的铁板和铸铁轮之间的摩擦因数为μ=0.1，问能压延的铁板厚度b是多少？ 7、两本书A、B交叉叠放在一起，放在光滑水平桌面上，设每页书的质量为5克，两本书均为200页，纸与纸之间的动摩擦因数为0.3，若A固定不动，用水平力把B抽出来，求水平力F的最小值。 8、一根橡皮绳长3m，劲度系数为100N?m-1，现将其首尾相连，围成如图所示的正三角形，并用同样大小的对称力来拉它，现欲使橡皮绳所围成的正三角形的面积增大一倍，拉力F应为多大？ 9、质量m=1kg的物体在如图所示的斜面上受水平横力F=5N的作用时，恰好做匀速直线运动，则斜面与物体的动摩擦因数μ为多大？ 10、三根不可伸长的相同轻绳，一端系在半径为r0的环上，彼此间距相等。绳子穿过半径为的第三个圆环，另一端用同样的方法系在半径为2r0的圆环上，如图所示，环1固定在水平面上，整个系统处于平衡。试求第2个环中心与第3个环中心之间的距离。(三个环都是用同种金属丝制作而成的，摩擦不计)