专题02分段函数及其应用第三季
1.已知函数若方程
有且仅有一个实数根,则实数m 的
取值范围是( )
A .11m -<<
B . 或1m =
C .
D .
或1m =
【答案】D
【解析】原问题等价于在区间(]1,1-内只有一个实数根, 即函数()f x 与函数
的图象在区间(]1,1-内只有一个交点,
据此绘制函数图象如图所示,结合函数图象可知:
或()01g =,
由
可得,
由()01g =可得1m =,
综上可得:实数m 的取值范围是或1m =.
本题选择D 选项.
2.已知函数,设方程的四个不等实根从小到大依次为
1234,,,x x x x ,则下列判断中一定成立的是( )
A .
12
12
x x += B .1214x x << C .3449x x << D .
【答案】C 【解析】
方程
的四个实根从小到大依次为函数
与函数x
y e
b -=+的图象有四个不同的交点,且交点的横坐标从左到右为
1234,,,x x x x ,作函数
与函数x
y e
b -=+的图象如下,
由图可知,
,故344x x ?>, 3412x x ?<,
易知,即,即
,即,即
,又,
,故
,故选C.
3.设函数,若恰有2个零点,则实数的取值范围是( )
A .
B .
C .
D .
【答案】B 【解析】当时,
在
上单调递增,
,
当
时,令
得
或.
(1)若,即时,
在
上无零点,此时
,
∴
在[1,+∞)上有两个零点,符合题意;
(2)若
,即
时,
在(?∞,1)上有1个零点,
∴在上只有1个零点,
4.定义在R 上的函数
若关于x 的方程
(其中2m >)
有n 个不同的实根1x ,2x ,…, n x ,则( )
A .5e
B .4e
C .14e
D .13e
【答案】C
【解析】画出函数
的图象,如图,由图可知函数()f x 的图象关于,x e =对称,
解方程方程
,得()1f x =或
, ()1f x =时有三个根,
,
时有两个根452x x e += ,所以关于x 的方程
共有五个根,
455x x e
+=,
,故选C.
5.为自然对数的底数,已知函数,则函数有唯一零点的充要条件是( )
A .或或
B .或
C .或
D .或
【答案】A
【解析】作出函数
的图像如图所示,其中
,则
,设直线
与曲线
相切,则,即,设,则,
当时,,分析可知,当时,函数有极大值也是最大值,,所以当时,
有唯一解,此时直线
与曲线
相切.
分析图形可知,当或或时,函数的图像与函数的图像只有一个交点,即函数
有唯一零点.故选.
6.已知定义在R 上的函数
且,若方程有
三个不相等的实数根,则实数k 的取值范围是 A .1,13?? ??? B .11,34??--
???
C .
D .
【答案】C 【解析】因为,所以函数()f x 是以2为周期的周期函数,作出函数()f x 的图象(如图所示),方程
有三个不相等的实数根,即直线2y kx =+与()y f x =的图象有3个不同
的交点,当0k > 时,由图象得
1
13
k <<,同理得,即或
1
13
k <<.故选C.
7.已知函数
,若函数的图象与轴的交点个数不少于2个,
则实数的取值范围为( ) A . B . C . D .
【答案】A
【解析】由题可知函数
的图象与轴的交点个数不少于2个,即为函数y=f(x)的图像与
函数y=mx+m 的图像的交点个数不少于2个,由于函数y=mx+m 的图像过定点P (-1,0),且斜率为m,作出函数y=f(x)的图像如图所示,
数形结合可知,当动直线过点A时有2个交点,当动直线为的切线时,即过点B时有两个交点,在这两种极限位置之间有3个交点,易知设直线y=mx+m与函数的图像相切,联立方程组由题可知
又x>1.所以
过点(-1,0)作的切线,设切点坐标为,则此时,切线的斜率为
故实数m的取值范围为.综上实数m的取值范围为.
故选A.
8.已知函数,若且,则的取值范围为()
A. B. C. D.
【答案】D
9.已知函数,则关于的方程()的实根个数不可能为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当时,在上是减函数,
当时,在上是减函数,在)上是增函数,做出的大致函数图象如图所示:
设,则当时,方程有一解,
当时,方程有两解,
当时,方程有三解.
由得
若方程有两解则
∴方程不可能有两个负实数根,
∴方程不可能有2个解.
故选A.
10.已知定义域为的函数满足,当时,,设
在上的最大值为,且的前项和为,若对任意的正整数均成立,则的最小值是()
A. B. C.3 D.2
【答案】A
【解析】, ,时,;时,,
时,最大值为;,时,最大值为;时最大
值为,时,最大值为,,
对任意均成立,最小值为,故选A.
11.已知函数,若存在,使得关于的函数有三个不同的零点,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】, ,当时, ,其对称轴,则
函数在上为增函数,此时的值域为;当时, ,其对称轴
,则函数在上为增函数,此时函数的值域为,函数在上为减函
数,值域为.由于关于的函数有三个不同的零点,所以
.而为增函数,故.所以.故选B.
12.定义在上的函数满足,当时,,函数.若对任意,存在,不等式成立,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由题得函数在[0,1]上的值域为,
函数在[1,上是减函数,在上是增函数,
所以函数在上的值域为.
所以函数在的值域为∪.
因为定义在上的函数满足,
所以函数在的值域为∪.
所以函数在的值域为∪.
所以函数f(x)在的最小值为-12.
∵函数g(x)=x3+3x2+m,
∴=3x2+6x,
令3x2+6x>0,所以x>0或x<﹣2,
令3x2+6x<0,所以﹣2<x<0,
∴函数g(x)=x3+3x2+m,在(﹣∞,﹣2),(0,+∞)单调递增.在(﹣2,0)单调递减,
∴?t∈[﹣4,﹣2),g(t)最小=g(﹣4)=m﹣16,
∵不等式f(s)﹣g(t)≥0,
∴﹣12≥m﹣16,
故实数满足m≤4,
故答案为:A
13.已知函数,.设为实数,若存在实数,使得成
立,则实数的取值范围为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
当时,,
∵,∴,
∴.
当时,单调递增,
∴.
综上可得.
若存在实数,使得成立,
则,
即,
整理得,
解得.
∴实数的取值范围为.
故选B.
14.已知函数,函数有四个不同的零点,且满足:,则的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
,
由二次函数的对称性可得
由可得,
函数有四个不同的零点,
等价于的图象与的图象有四个不同的交点,
画出的图象与的图象,由图可得,
∴
∴=
令,∴,故选B.
15.设函数,若存在互不相等的4个实数,使得
,则的取值范围为()
A. B. C. D.
【答案】C
则,令,解得,
可知函数在区间单调递减,在区间上单调递增,
若使函数有两个零点,必有,
解得,故选C.
16.已知函数,若恰有5个不同的根,则这5个根的和的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
不妨设的个根从小到大为,
即为与交点横坐标从小到大为,
由正弦定理函数的对称性可得,,
于是
由,得,
由,得,
,
,
即个根的和的取值范围为,故选A.
17.已知为定义在上的函数,其图象关于轴对称,当时,有,且当时,,若函数恰有个不同的零点,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】f(x)为定义在R上的偶函数,且当x≥0时,有f(x+1)=-f(x),
且当x∈[0,1)时,f(x)=log2(x+1),
故函数f(x)的图象如下图所示:
所以恰有个不同的零点,则只需y=kx与y轴右边x轴上方的图像交两个点和与y轴左边x轴下方的交两个点即可,而在,故,又y轴左边x轴下方的交两个点只需,故综合得答案为:,故选D.
18.已知函数(是自然对数底数),方程有四个实数根,则的取值范围为()
A. B. C. D.
【答案】B
令f(x)=m,则方程m2+tm+1=0应有两个不等根,且一个根在(0,)内,
一个根在(,+∞)内,再令g(m)=m2+tm+1,因为g(0)=1>0,
则只需g()<0,即()2+t+1<0,解得:t<.
所以,方程f2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根的t的取值范围是(-∞,).
选B.
19.已知函数,若关于的方程有两个不等实数根,
,且,则的最小值是()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
因为f(x)=x3+sinx是奇函数且f′(x)=3x2+cosx≥0,所以f(x)=x3+sinx单调递增,
若关于x的方程f(g(x))+m=0恰有两个不等实根,
等价于f(t)+m=0有且只有一个根,t=g(x)有且只有两个根,
且,
所以,
设函数t(x)=x-2ln(x+l)+2,则,
所以当0 当x>1时,t′(x)>0,t(x)单调递增, 所以,f(x)的极小值即最小值是t(1)=3-21n2,即的最小值为3-2ln2. 本题选择D选项. 20.已知函数,函数有四个不同的零点,从小到大依次为,,,, 则的取值范围为() A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 当x>0时,f(x)=, 可得f(x)在x>2递增,在0<x<2处递减, 由f(x)=e (x+1)2,x≤0, x<-1时,f(x)递减;-1<x<0时,f(x)递增,可得x=-1处取得极小值1, 作出f(x)的图象,以及直线y=a, 可得e (x1+1)2=e (x2+1)2=, 即有x1+1+x2+1=0,可得x1=-2-x2,-1<x2≤0, 可得x3x4=4, x1x2+x3x4=4-2x2-x22=-(x2+1)2+5,在-1<x2≤0递减,可得所求范围为[4,5). 故选B. 1、(本小题满分14分) 已知函数. (1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围; (2)当时,试比较与的大小; (3)求证:(). 2、设函数,其中为常数. (Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性; (Ⅱ)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点; (Ⅲ)当且时,求证:. 3、在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原 点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直 线于点. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)若?,(i)求证:直线过定点; (ii )试问点,能否关于轴对称?若能,求出 此时 的外接圆方程;若不能,请说明理由. 二、计算题 (每空? 分,共? 分) 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ,且函数为偶函数.若函数 满足下列条件:①;② 对一切实数 ,不等式恒成立. (Ⅰ)求函数的表达式; (Ⅱ)求证: . 5 、已知函数: (1 )讨论函数的单调性; (2) 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值 时,函数 在区间上总存在极值? (3)求证:. 6、已知函数=,. (Ⅰ)求函数在区间上的值域; (Ⅱ)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的, 使得成立.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对 于函数图象上的点(其中总能使得 成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具 备性质“”,并说明理由. 7、已知函数 (Ⅰ)若函数是定义域上的单调函数,求实数的最小值; (Ⅱ)方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围; (Ⅲ)在函数的图象上是否存在不同两点,线段的中点的横坐标 为,有成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 8、已知函数: ⑴讨论函数的单调性; 【命题规律】 1. 根据待定系数法、几何公式、解三角形确定函数解析式 2. 利用导数、基本不等式或解三角形求最值或范围. 【真题展示】 1【2009江苏,19】按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为a 元,如果他卖出该产品的单价为m 元,则他的满意度为 m m a +;如果他买进该产品的单价为n 元,则他的满意度为 n n a +.如果一个人对两种交易(卖 出或买进)的满意度分别为 1h 和2h .现假设甲生产A 、B 两种产品的 单件成本分别为12元和5元,乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元,设产品A 、B 的单价分别为 A m 元和 B m 元,甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲,乙卖出A 与买进B 的综合满意度为 h 乙(1)求h 甲和h 乙 关于 A m 、 B m 的表达式;当 35A B m m =时,求证:h 甲=h 乙;(2)设35 A B m m =,当A m 、B m 分别为多少时, 甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少?(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ,试问能否适当 选取 A m 、 B m 的值,使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立, 但等号不同时成立?试说明理由.【答案】(1)详见解析; (2) 20,12B A m m == 时,甲乙两人同时取到最大的综合满意度为5 (3) 不能 故当1120 B m =即20,12B A m m ==时, (3)由(2)知:0h 由05 h h ≥=甲得: 12552A B A B m m m m ++?≤, 所以不能否适当选取A m 、B m 的值,使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立,但等号不同时成立. 2【2015江苏高考,17】(本小题满分14分) 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路的山区边 界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为12l l , ,山区边界曲线为C ,计划修建的公路为l ,如图所示,M ,N 为C 的两个端点,测得点M 到12l l , 的距离分别为5千米和40千米,点N 到12l l ,的距离分别为20千米和2.5千米,以12l l , 所在的直线分别为x ,y 轴,建立平面直角坐标系xOy ,假设曲线C 符合函数2a y x b =+(其中a ,b 为常数)模型. (1)求a ,b 的值; (2)设公路l 与曲线C 相切于P 点,P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ,并写出其定义域; ②当t 为何值时,公路l 的长度最短?求出最短长度. 高考数学专题练习--函数图像 1. 【江苏苏州市高三期中调研考试】已知函数()2 21,0 ,0 x x f x x x x ->?=? +≤?,若函数()()g x f x m =-有三个零点,则实数m 的取值范围是__________. 【答案】1 ,04 ?? - ??? 【解析】 2. 【江苏省苏州市高三暑假自主学习测试】已知函数31 1, ,()11,, x f x x x x ?>?=?-≤≤??若关于x 的方程 ()(1)f x k x =+有两个不同的实数根,则实数k 的取值范围是 ▲ . 【答案】1 (0,)2 【解析】 试题分析:作函数()y f x =及(1)y k x =+图像,(11), (1,0)A B -,,由图可知要使关于x 的方程()(1)f x k x =+有两个不同的实数根,须满足1 (0,)(0,).2 AB k k ∈= 3. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县高三10月联考】设幂函数()f x kx α=的图象经过点 ()4,2,则k α+= ▲ . 【答案】 32 【解析】 试题分析:由题意得11,422 k α α==?=∴32k α+= 4. 【泰州中学第一学期第一次质量检测文科】已知幂函数()y f x =的图象经过点1 (4,)2 ,则 1 ()4 f 的值为 . 【答案】2 【解析】 试题分析:设()y f x x α ==,则11422α α=?=-,因此1 211()()244 f -== 5. 【江苏省南通中学高三上学期期中考试】已知函数2 +1, 1, ()(), 1, a x x f x x a x ?-?=?->??≤ 函数 ()2()g x f x =-,若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点,则实数的取值范围是 ▲ . 【答案】23a <≤ 【解析】 去伪存真 巧解函数模型应用题 新课标加大了对应用问题的考查,而函数的应用问题也是训练同学们建立模型的好素材,因此也成为了高考命题的热点,本文通过比较建立不同的数学模型,来探讨如何建立效果最好的函数模型。 例:某皮鞋厂,从今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双, 1.3万双,1.37万双。由于产品质量好,款式新颖,前几个月的产品销售情况良好。为了推销员在推销产品时,接受定单不至于过多或过少,需要估测以后几个月的产量,厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程。厂里也暂时不准备增加设备和工人。假如你是厂长,将会采用什么办法估算以后几个月的产量。 分析:本题是通过数据验证,确定系数,然后分析确定函数变化情况,最终找出与实际最接近的函数模型。 解:由题意知:可以得到四个点()()()()1,1,2,1.2,3,1.3,4,1.37A B C D 。 解法一:用一次函数模拟 设模拟函数为y ax b =+,以,B C 两点的坐标代入函数式,有2 1.23 1.3 a b a b +=??+=? 解得 0.11a b =??=? ,所以得0.11y x =+。 评价:此法的结论是:在不增加工人和设备的条件下,产量会月月上升1000双,这是不可能的。 解法二:用二次函数模拟 设2 y ax bx c =++,将,,A B C 三点的坐标代入,有 1,42 1.2,93 1.3,a b c a b c a b c ++=??++=??++=? 解得0.05,0.35,0.7,a b c =-??=??=? 所以2 0.050.350.7y x x =-++。 评价:有此法计算4月份产量为1.3万双,比实际产量少700双。而且,由二次函数性质可知,产量自4月份开始将月月下降(图象开口向下,对称轴方程是 3.5x =),这显然不符合实际情况。 解法三:用幂函数模拟 设y b =,将,A B 两点的坐标代入,有1 1.2 a b b +=??+=解得0.48,0.52.a b =??=? 所以0.52y =。 评价:以3,4x x ==代入,分别得到 1.35, 1.48y y ==,与实际产量差距较大。这是因为[数学]数学高考压轴题大全
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