导函数与原函数的性质讨论
目录
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1 绪论 (1)
2 导函数的性质 (1)
2.1 定义 (1)
2.2 性质 (2)
2.2.1 导函数的介值性 (2)
2.2.2 导函数无第一类间断点 (6)
2.2.3 导函数的极限 (10)
3 原函数的两个性质 (12)
3.1 性质一 (12)
3.2 性质二 (13)
4 导函数与原函数的关系 (14)
5 函数性质在导函数与其原函数之间的交互关系 (15)
5.1 单调性 (15)
5.2 有界性 (16)
5.3 奇偶性 (16)
5.4 周期性 (17)
5.5 极限 (18)
5.6 间断点 (18)
5.7 可微性 (19)
5.8 极值 (19)
5.9 凸性 (19)
5.10 可积性 (19)
6 函数可积与原函数存在的关系 (19)
6.1 两个引理 (20)
6.2 可积函数的原函数的存在性 (21)
6.2.1 第一类可积函数 (21)
6.2.2 第二类可积函数 (22)
6.2.3 第三类可积函数 (22)
6.2.4 可积函数的变上限积分与原函数的关系 (23)
6.3 存在原函数的函数的可积性 (24)
6.4 Dirichlet函数 (25)
结束语 (25)
致谢 (26)
参考文献 (27)
导函数与原函数的性质讨论
摘要
本文首先描述了导函数和原函数的定义。在明确了何为导函数后，重点介绍了导函数的两个特殊的性质：导函数的介值性和导函数的间断点不可为第一类间断点，并给出了相应的证明和相关的应用举例，也根据这两大性质得到了一些相关的推论（表述了函数的相关特征与其原函数是否存在之间的关系），并通过例题展示了这些推论在解题中的重要作用。同样，与导函数相对应的，原函数（即可导函数）由其定义的确定性使得这类函数也具有一些性质，将在文中予以论证。接着，继续讨论了一些函数性质（包括：函数的周期性，奇偶性，单调性，可积性，可微性等）在导函数和其原函数二者之间是否具有交互传递的性质，并对各结论给出相应的例子或证明。最后，根据第一部分介绍的导函数的特性并借助积分，讨论了函数的黎曼积分存在和函数的原函数存在二者之间的关系，并给予必要的证明和举例。
关键词：导函数；介值性；间断点；原函数；
DISCUSSION OF THE NATURE OF THE DERIV ATIVE FUNCTION AND THE ORIGINAL FUNCTION
ABSTRACT
This paper first describes the definitions of the derivative function and the original function．When the definition of the derivative is clear，we focus on the two special properties of the derivative function：the intermediate value of the derivative function and the first class discontinuity points don’t appear on the derivative function．And the corresponding evidences and relevant application examples are shown．We also got some inferences related according to these two properties(which show the relationships between the properties of a function and the existence of the original function)，and through the examples we see how important these inferences are in solving problems．Similarly，the original function(namely the differentiable function) also has some properties which are demonstrated in this paper for its special definition．Then，we continue to discuss some natures of functions (including: periodic，parity，monotonicity，integrability，differentiability and so on) to find out weather there are interactions between the derivative functions and the original functions，and give out the examples or evidences which are need．At last，according to the properties described in the fist part and with the help of integration we discuss the relationships between the functions which can be integrabled and the functions which have the original function in the last part of the paper，and also examples or evidences that are necessary are shown．
Keywords: derivative function；intermediate value；discontinuity points；original function；
1 绪论
函数，是为我们所掌握的一种常用的数学工具。我们可以用它来对现实世界进行抽象。通过分析、抽象，可以利用数学符号将复杂的现实问题通过系统的函数符号来表示，从而实现对问题的量化的分析、简化，使得我们可以将生活中形形色色看似不同的问题用数学领域的通用方法予以分析、计算，从而极大的有益于我们对实际问题的解决。亦即，我们只需要纯理论的用数学方法来研究“函数”这一抽象的数学工具，通过对函数的性质的研究与探讨，便可以帮助我们解决复杂、多元的现实问题，其重要性显而易见。
通过导数运算我们得到了新的一类函数，即导函数。作为有特殊定义的一类函数，使得我们能够通过对导函数自身的性质特点的分析来研究原函数（相对应导函数而得到的定义）的性质，最常见的是通过导函数的符号来反映原函数的单调性，借此帮助我们画出函数的变化趋势图(反映函数图像的增减趋势)，从而可以帮助我们解决函数的极值（最值），单调性，函数零点（方程根）等一系列问题。另外，作为有特殊定义的一类函数，导函数具有自己的一些明确的性质，比如间断点可以确定不能是第一类间断点，在定义区间上存在介值性。在导函数定义下通过对函数各性质进行分析讨论，得到的一些结论可以在我们解决函数相关问题时起到重要作用。例如，可以利用导函数的介值性来论证函数的零点存在问题，判断原函数是否存在等。
当前，关于导函数的有关性质，以及导函数与原函数二者之间的在函数性质上所反应的交互关系，函数是否可积与函数原函数是否存在二者之间的关系，这些方面都有不少的研究成果和结论，这些结论对于我们在数学分析和相关的数学领域都是有重要意义的。本文作者通过对资料的查阅整理，对现有成果进行学习和分析，较为系统的整理了有关导函数和原函数的性质的相关问题，并对相应结论进行严格的证明，且相应的给出各结论的应用例题或用以支持结论的反例，从而实现对导函数相关内容在解题应用方面的论证，加深对导函数与原函数性质的理解。
2 导函数的性质
2.1 定义
导函数的定义：若函数()F x 在区间I 上处处可导，对x I ?∈，令'()()F x f x =（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称()f x 为()F x 在区间I 上的导函数。
原函数的定义：若函数()f x 与()F x 在区间I 上都有定义，若'()()F x f x =，x I ∈，则称()F x 为()f x 在区间I 上的一个原函数。
由以上定义容易看出，在导数的定义下，一个导函数的原函数并不是唯一的， 且同一导函数的任意两个原函数之差为一个常数值。
2.2 性质
2.2.1 导函数的介值性
引理1：设函数()F x 在点0x 处有有限导数，如果该导数00'()0['()0]F x F x ><，那么当x 取左方充分接近于0x 的数值时就有：00()()[()()]F x F x F x F x <>，而当x 取右方充分接近于0x 的数值时就有：00()()[()()]F x F x F x F x ><。
亦即是说：函数()F x 在0x 处增大（减小）。如果所考虑的是单侧导数，例如左导数，那么只有对0x 点左方的数值该命题才有效。
证明： 由导数的定义：0
000()()'()lim x x F x F x F x x x →-=-， 若0'()0F x >,则存在0x 的邻域00(,)x x δδ-+，使得在其中0()x x ≠成立：
00
()()0F x F x x x ->-， 首先设00x x x δ<<+，那么00x x ->，则由上面的不等式能够得：
0()()0F x F x ->，即0()()F x F x >；
又当00x x x δ>>-时，有：00x x -<，
则显然有：0()()0F x F x -<，即：0()()F x F x <。
证毕。
定理1（达布定理）：若函数()F x 在区间[,]a b 内有有限导数，记'()()F x f x =，
[,]x a b ∈，则函数()f x 在区间[,]a b 内必至少一次取得介于()f a 与()f b 之间的每一个值。
注：导函数的达布定理成立不要求'()F x 在区间I 上连续。一般情况下，在I 上不连续的任意函数不一定能得出该结论，即是说定理1所表述的性质是导函数所特有的。比如：()[]f x x =在[0,1]上不连续，则：对(0,1)k ?∈，都不存在(0,1)ξ∈，使得()f k ξ=。
证明：
首先，设()f a 与()f b 异号，不妨设()0f a >，()0f b <，下面先证在区间(,)a b 上存在一点c ，在这点处()f x 为零：
由有限导数()f x 的存在知，显然()F x 为连续函数，则()F x 在区间上某一点c 处取最大值，且c 点不与a ，b 重合,因为根据引理1，在a 点的近处（右端）
()()f x f a >，
而在b 点的近处（左端）有()()f x f b >，因此a c b <<，再依Fermat 定理，得()0f c =，下面讨论一般情形：
取介于()f a 与()f b 之间的任意数C ,不妨设()()f a C f b >>，做辅助函数
()()H x F x Cx
=-，它在区间[,]a b 内是连续的，并且有导数'()()H x f x C =-。 因为：'()()0H a f a C =->，而：'()()0H b f b C =-<，故依已证明的结论，有一点c 存在，在这点处：
'()()0H c f c C =-=，即()f c C =。
证毕。
利用定理1，我们在解决判断零点的问题时将会很方便，例如：
例1. 设函数()f x 在(,)-∞+∞上二次可微，且有界，试证明：存在点(,)c ∈-∞+∞， 使得''()0f c =.
证明： 若''()f x 变号，则由定理1可知，存在(,)ξ∈-∞+∞，使得 ''()0f ξ=， 若''()f x 定号，不妨设''()0f x >，则有反证法如下：
''()0f x >，则'()f x 为严格单调递增函数，
假设存在(,)c ∈-∞+∞，使得'()0f c ≠，则：
若'()0f c >，则当x c >，且令x →+∞时，有：
()()'()()[()'()()]f x f c f x c f c f c x c ξ=+->+-→+∞
若'()0f c <，则当x c <，且令x →-∞时，有：
()()'()()[()'()()]f x f c f x c f c f c x c ξ=+->+-→+∞，
结论与()f x 有界矛盾，故由此得出：必有'()0f c =，
由c 的任意性知，'()f x 在(,)-∞+∞上恒为零，显然与'()f x 为严格单调递增
函数矛盾。由此知，我们的假设前提不成立，即''()f x 定号不成立，故必为第一种情况：''()f x 在(,)-∞+∞上异号。
证毕。
其实我们可以根据定理1直接得到推论1，在很多解题中推论1应用起来更方便。 推论1：设函数()f x 在区间(,)a b 内可导，12,(,)x x a b ∈且12'()'()0f x f x <，则必存在(,)a b ξ∈，使得：'()0f ξ=。
或者有的题目并不直接要求判断零点，但同样的类似于例1可以直接利用定理1解题。
例2. 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，()()f a f b k ==，'()'()0f a f b +->，试证：至少存在一点(,)c a b ∈，使得：()f c k =。
证明：()f x 为[,]a b 上连续函数，则()f x 可看做某函数的导函数。
依题，不妨设'()0f a +>,'()0f b ->，
则由，()()'()lim
0x a f x f a f a x a +→+-=>-， ()()'()lim 0x b f x f b f b x b
-→--=>-， 故由保号性可知，存在x 1(,]a b ∈，有：1()()f x f a k >>,
存在x 2[,)a b ∈（且21x x >），有：2()()f x f b k <<,
则由()f x 在12[,]x x 连续可知，在1x ，2x 之间至少存在一点c ，使得：()f c k =。
证毕。
例3. 设()f x 在区间[-1,1]上三次可微，证明存在实数ξ(1,1)∈-，使得:
'''()(1)(1)'(0)62
f f f f ξ--=-。 证明：依泰勒公式：
''(0)'''()(1)(0)'(0)2!3!f f f f f α=+++， ''(0)'''()(1)(0)'(0)2!3!f f f f f β-=-+
-，则： 1(1)(1)2'(0)['''()'''()]6
f f f f f αβ--=++ 则由定理1可知，存在ξ(,)βα∈，使得： 1'''()['''()'''()]2
f f f ξαβ=+，则有结论： '''()(1)(1)'(0)62
f f f f ξ--=-。 证毕。
例4. 设()f x 在[,]a a -上存在连续的二阶导数，且(0)0f =，证明：至少存在一
点[,]a a ζ∈-，使得：33''()()a a f f x dx a
ζ-=?。 证明：设0()()x
g x f t dt =?，则由泰勒公式可得： 231'''()''(0)()(0)'(0)2!3!
g g g a g g a a a ζ=+++ 231''()'(0)0(0)2!3!
f f f a a a ζ=++
+， 232'''()''(0)()(0)'(0)2!3!
g g g a g g a a a ζ-=-+- 232''()'(0)0(0)2!3!
f f f a a a ζ=-+-， ()()
g a g a --=3121()[''()''()]6a a f t dt a f f ζζ-=+?， 则由定理1知，存在实数21(,)ζζζ∈，使得： 121''()[''()''()]2f f f ζζζ=+，于是有：33''()()()a
a f f x d x a ζ-=?。
证毕。
例5. 设()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内有二阶连续导数，试证：区间(,)
a b 上至少存在一点ξ，使得：2
()()2()()''()24
a b a b f b f f a f ξ+--+=。 证明：将()f a ，()f b 分别在
2
a b +点泰勒展开，有: 211()()'()''()()22222
a b a b a b a b f a f f f ξ++--=+?+?， 221()()'()''()()22222a b a b b a b a f b f f f ξ++--=+?+?， 上面两式相加得， 2121()()2(
)[''()''()]()222
a b b a f a f b f f f ξξ+-+=++?, 则：2121()()2()[''()''()]()222a b b a f a f b f f f ξξ+-+-=+?， 若12''()''()f f ξξ=，则取12=ξξξξ=或，若12''()''()f f ξξ≠，则由定理1：
1ξ与2ξ之间必存在一点ξ，满足:121''()[''()''()]2
f f f ξξξ=+,故： 2
()()2()()''()24
a b a b f b f f a f ξ+--+=。 证毕。
2.2.2 导函数无第一类间断点
定理2：若()F x 在I 上处处可导，且记'()()F x f x =，则对于0I x ?∈，有：()f x 在0x 点若不连续，则0x 必为()f x 的第二类间断点。
注：对于函数的间断点，将左、右极限皆存在的间断点称为第一类间断点，至少有一侧极限不存在的间断点称为函数的第二类间断点。
下面给出导函数无第一类间断点的证明 ：
证明：
（1） 假设导函数()f x 在I 上存在第一类间断点0x ，则由导函数定义有： 000000000
()()'()()()'()'()lim lim x x x x F x F F x f F x x x x x x F x x x ξ→+→++--====-- 00lim ()(0)x x f x f ξ→+
==+，
同理有0()f x =0(0)f x -，
则得到：0(0)f x +=0(0)f x -=0()f x ，显然与0x 为第一类间断点矛盾，
所以，导函数()f x 在区间I 上不存在第一类间断点。
（2）我们还可以继续证明，若0x 为()f x 的第二类间断点，则只能为第二类间
断点中的振荡情形：
若0x 是'()f x 的无穷间断点，则不妨设0lim '()x x f x →+
=∞，0'()f x A =，则有： 取正实数M ，使得||1M A >+，由0lim '()x x f x →+
=∞知：存在正实数1N ， 当010x x N <-<时，有（1）式成立：
|'()|f x M > （1） 由0'()f x =A ，根据导数的定义有：000
()()lim
x x f x f x A x x →+-=-，则显然存在正实数21N N <，使得：对于正数δ=1有： 当020x x N <-<时，00
()()(,)f x f x O A x x δ-∈-恒成立，则由中值定理得： 存在0(,)x x ξ∈满足：
'()A f A δξδ-<<+，从而有：
|'()|||1f A ξ<+ （2） 显然ξ满足：010x N ξ<-<，则由（1）知有下式成立：
|'()|||1f M A ξ>>+ （3） 显然（2）与（3）矛盾，故假设不成立，
所以，导函数的间断点不能是无穷间断点。
若0x 为()f x 的第二类间断点，则只能为第二类间断点中的振荡情形。
证毕。
由上述证明过程可知，导函数在其定义域内的任意点，要么连续，要么在该导
数值上下振荡（导函数'()f x 的值不可能“跳跃”，所谓跳跃，通常是指左、右极限的 差值不为零，而当导函数的左、右极限不存在时，根据介值性，显然导数值对其两侧 的值具有拉动作用）。
即有：若()F x 在区间I 上处处可导，记'()()F x f x =，则对0I x ?∈，有：()f x 要 么在0x 点连续，要么在0()f x 附近振荡。
注：当提到这里所述的导函数间断点特性时，一定是以导函数在定义域内处处存在为前提的，例如：()||f x x =，当0x >时，'()1f x =；当0x <时，'()1f x =-，则0x =便是'()f x 的第一类间断点，这与我们的结论是不矛盾的，因为，该函数在x=0点不可导，即导函数'()f x 在该点无定义。
定理3：设函数()f x 在区间(,)a b 内可导，则对(,)a b 内任意一点0x 至少存在两个点列{n α}和{n β}，其中，n α00()x n →-→∞，00()n x n β→+→∞，使得：
0lim '()lim '()'()n n n n f f f x αβ→∞→∞
== 证明：
取点列{n x }（0n x x <），使：00()n n x x →-→∞，则对每一个n x ，存在n α使得：0n n x x α<<，且00
()()'()n n n f x f x f x x α-=-， 令n →∞，左端为增量比极限，等于0'()f x ，而显然有：00n x α→-，
由此便得到{n α}，有：n α00()x n →-→∞，使得0lim '()'()n n f f x α→∞
=， 同理可证{n β}的存在性。
证毕。
定理3对定理2做了适当的补充，说明了当0x 是导函数'()f x 的振荡间断点时，振荡必然要向0'()f x 回归，而不可能远离导数值0'()f x 振荡。那么，如果振荡发生在导数值两侧（即存在第二类间断点），导函数将无数次的“达到”该导数值。
利用导函数没有第一类间断点这一性质，可以间接说明导函数的连续性等状态：
例6. 若()f x 在(,)a b 内可导，导函数'()f x 在(,)a b 内单调，则：'()f x 在(,)a b 内连续。
证明：'()f x 为单调函数，则在(,)a b 上任意一点，'()f x 的左、右极限存在，则(,)a b 上任意一点不可能是'()f x 的第二类间断点，于是由定理2知： (,)a b 上任意一点皆是'()f x 的连续点，
即'()f x 在(,)a b 内连续。
证毕。
例7. 设函数()F x 在[0,1]上处处可导，导函数'()()()()F x f x g x h x ==-，其中
()g x ，()h x 均为单调函数，并且()0f x >，试证：存在常数0c >，对于0[,
01]x ?∈，有：0()f x c ≥。
证明：对0[,
01]x ?∈，由()g x ，()h x 皆是单调函数可知： ()g x ，()h x 在0x 的单侧极限皆存在，则，
()f x 在x 0的单侧极限皆存在，故由定理2知：
0x 点不是导函数()f x 的间断点，
由0x 任意性知，()f x 在[0,1]上为连续函数，闭区间上连续函数必可取到最小值，记为：()f a ξ=，由题知0a >，故取c 满足：0c a <<，即为所求。 证毕。
例8. ||,0()1,0x x f x x ≠?=?=?
证明：不存在一个以()f x 为导函数的原函数。 证明：由00lim ()lim ()(0)x x f x f x f →+→-=≠，知
0x =为()f x 的第一类间断点，则由定理2知:
()f x 不是零点邻域上的导函数。
证毕。
例9. 求证：()||f x x =在点0x =处不可导。
证明：依题，当0x ≠时有
,0(),0x x f x x x >?=?-
x f x x >?=?-
则可知：()f x 在0x =点导数不存在。
证毕。
2.2.3 导函数的极限
定理4：设函数()F x 在区间[,]a b 上连续，且当x a >时，存在有限导数'()F x ，如果存在极限0
lim '()x a F x A →+=,那么，()F x 在a 点的右导数为A ，即'()F a A +=。 证明：
由拉格朗日中值定理有，当(0,]x b a ∈-时下式恒成立：
()()'()F a x F a F a x x
θ+-=+ （1） 其中，01θ<<，则易见，当0x →时由于θ的有界性，a x θ+趋于a ，则（1）式的右端趋于极限A ，即左端亦趋近于A ，由此便证明了()F x 在a 点的右导数为A ，同理亦可证()F x 在点a 的左导数情况。
证毕。
由定理4及其证明，我们可以直接得到推论2如下:
推论2：设函数()f x 在区间(,)a b 连续，在(,)a c 及(,)c b 内可导，若导函数'()f x 在x c =处存在极限，值为A ，则函数()f x 在c 点可导，且'()f c A =。
证明：
根据定理4，分别讨论区间(,]a c 和[,)c b 可得：'()'()f c f c A +-==，
故函数()f x 在c 点可导，且'()f c A =。
证毕。
这一推论为我们在求导数，尤其是讨论分段函数分段点的导数问题等应用中提供了方便：
例10. 证明函数,0()ln(1),0x x f x x x
在点0x =处可导，并求'(0)f 证明：当0x ≠时，有：,0()ln(1),0
x x f x x x ?，可得： 0
lim '()1x f x →=，故由推论2可知， ()f x 在点0x =可导，且'(0)1f =。
证毕。
例11. 设函数2,1()2,1x x f x x x ?-∞<≤=?-<<+∞
?，求'()f x 。 解：在各开区间分别求导有：
当1x -∞<<时，'()2f x x =，
当1x <<+∞时，'()1f x =-，
则()f x 在1x =处不可导，否则()f x 的导函数在(,)-∞+∞可表为：
2,1'()'(1),11,1x x f x f x x -∞<
，显然，这时1x =为'()f x 的第一类间断点，由定理2知这是不可能的，故，
2,1'()1,1x x f x x -∞<
，在1x =点无定义。 例12. 设sin cos 3,0(),0
x a x b x x f x a be x ++
解：依题可得0x <时，有：'()f x =cos sin a x b x -，()f x 可导，
0x >时，有：'()f x =x be -，()f x 可导，
则根据推论2可知，要()f x 处处可导即是要求：
(00)(00)(0)(0)(0'')f f f f f +=-??+=-=?
成立，
则代入公式可解得：1,1a b ==-。
证毕。
类似的有：
例13. 设函数002,(),x x f x ax b x x x ?≤?=?+>??
，在0x x =点连续且可导，求a ，b 的值。 解：该题与例12完全类似，关键在于判断导函数在0x 点的左、右两侧极限相等。
由例12，例13可以看出，借由推论2来解类似题目要比我们直接按定义通过增量比来判断左、右导数的解法要简便的多。
3 原函数的两个性质
由2.1给出的定义知，()F x 为区间I 上的原函数即表明()F x 在区间I 上处处可导，对于这样的函数，这里总结了两个性质如下：
3.1 性质一
定理5：设()f x 与()g x 在闭区间[,]a b 上连续，且在开区间(,)a b 内可导，()g x 在闭区间[,]a b 上严格单调且'()g x 恒不为零，那么对1(,)x a b ?∈，存在2[,]x a b ∈，使得下面两式之一成立：
211221()()()(),()()()()
f x f x f b f a x x
g b g a g x g x --=≠-- 或， 2122'()()(),()()'()
f x f b f a x x
g b g a g x -==-。 证明：
设：
111111()(),()()'(),'()()f x f x x x g x g x f x x x g x F x -≠-=??=???，则()F x 在[,]a b 连续，记：
{}{}max ()|[,],min ()|[,]M F x x a b m F x x a b =∈=∈，
2020高考数学 课后作业 3-2 利用导数研究函数的性质
3-2 利用导数研究函数的性质 1.(文)(2020·宿州模拟)已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′ (x)>1，则f(x)>x的解集是( ) A．(0,1) B．(－1,0)∪(0,1) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) [答案] C [解析]令F(x)＝f(x)－x，则F′(x)＝f′(x)－1>0，所以F(x)是增函数，∵f(x)>x，∴F(x)>0，∵F(1)＝f(1)－1＝0，∴F(x)>F(1)，∵F(x)是增函数，∴x>1，即f(x)>x的解集是(1，＋∞)． (理)(2020·辽宁文，11)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( ) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) [答案] B [解析]由题意，令φ(x)＝f(x)－2x－4，则 φ′(x)＝f′(x)－2>0. ∴φ(x)在R上是增函数． 又φ(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0， ∴当x>－1时，φ(x)>φ(－1)＝0， ∴f(x)－2x－4>0，∴f(x)>2x＋4.故选B. 2．(2020·宁夏石嘴山一模)函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值，最小值分别是( ) A．5，－15 B．5，－4 C．－4，－15 D．5，－16 [答案] A [解析]∵y′＝6x2－6x－12＝0，得x＝－1(舍去)或x＝2，故函数y＝f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最值可能是x取0,2,3时的函数值，而f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A. 3．(文)已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( ) A.4 27 ，0 B．0， 4 27 C．－4 27 ，0 D．0，－ 4 27
高中数学利用导数研究函数的性质( 极值与最值)
3.2利用导数研究函数的性质 第2课时导数与函数的极值、最值 一、基础知识 1．函数的单调性（复习） 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减． 2．函数的极值 (1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： ①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 3．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 知识拓展 (1)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． (2)函数的极大值不一定比极小值大．
(3)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的必要不充分要条件． 二、基本题型 1.根据函数图象判断极值 【例1-1】 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( ) A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1) B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1) C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2) D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 答案 D 解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2
函数的概念和性质
专题讲座 高中数学“函数的概念与性质”教学研究 李梁北京市西城区教育研修学院 函数就是中学数学中的重点内容,它就是描述变量之间依赖关系的重要数学模型、 本专题内容由四部分构成:关于函数内容的深层理解;函数概念与性质的教学建议;学 生学习中常见的错误分析与解决策略;学生学习目标检测分析、 研究函数问题通常有两条主线:一就是对函数性质作一般性的研究,二就是研究几种具体的基本初等函数——二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、研究函数的问题主要围绕以下几个方面:函数的概念,函数的图象与性质,函数的有关应用等、 一、关于函数内容的深层理解 (一)函数概念的发展史简述 数学史角度:早期函数概念(Descartes,1596—1650引入坐标系创立解析几 何,已经关注到一个变量对于另一个变量的依赖关系)[几何角度];Newton,1642—1727,用数流来定义流量(fluxion)的变化率,用以表示变量间的关系;Leibniz,1646—1716引入 常量、变量、参变量等概念;Euler引入函数符号,并称变量的函数就是一个解析表达式[代数角度];Dirichlet,1805—1859提出就是与之间的一种对应的观点[对应关系角度] ;Hausdorff在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数[集合论角度]、 Dirichlet:认为怎样去建立与之间的关系无关紧要,她拓广了函数概念,指出:“对于在某区间上的每一个确定的值,都有一个确定的值,那么叫做的函数、”这种函数的定义,避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述,简明精确(经典函数定义)、 Veblen,1880－1960用“集合”与“对应”的概念给出了近代函数定义,通过集合概念,把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了,且打破了“变量就是数”的限制,变量可以就是数,也可以就是其它对象、 (二)初高中函数概念的区别与联系 1.初中函数概念:
函数概念及其基本性质
第二章函数概念与基本初等函数I 一. 课标要求： 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，从而发展学生对变量数学的认识。教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题. 1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成 的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域， 2. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 4. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 5. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 6.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 7.了解指数函数模型的实际背景.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）. 8.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）. 9．知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a＞0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义. 10．通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数 1 312 ,,, y x y x y x y x - ====的 图象，了解它们的变化情况 11．通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型. 12. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1．教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学. 2．.教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，要准确把握这方面的要求，防止拨高教学. 3. 函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法），目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念. 在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.
导数研究函数性质
1．导数与导函数的概念 (1)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数(derivative)，记作f ′(x 0)． (2)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )． 2．导数的几何意义 函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)． 3．基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；
(3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x ) (g (x )≠0)． 5．复合函数的导数 若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a . 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( ) 1．(教材改编)f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为 ________． 2．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是________． 3．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4)＝________. 4．已知点P 在曲线y ＝ 4e x ＋1 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是__________． 5．(2015·陕西)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．
函数的概念及性质
函数的概念及性质 概览：概念，表示方法，图象和性质 1. 概念 函数的定义：传统定义（初中的），近代定义。自变量，对应法则，定义域，值域〖两域都是集合，回答时要正确表示。〗 对应法则f 是函数的核心，是对自变量的“操作”，如)(x f 是对x 进行“操作”，而)(2x f 是对2x 进行“操作”，)2(f 是对2进行“操作” 函数的三要素，或两要素：定义域、对应法则 判定两个函数是否相同。〖定义域和值域分别相同的两个函数不一定是同一函数，例x y x y 2,==；又如])1,0[(,2∈==x x y x y 定义域都取〗 区间 定义，名称，符号，几何（数轴）表示 映射 定义，符号，与函数的异同 2. 函数的表示方法 列表法，图象法，解析法 分段函数 定义域、值域、最值 求函数解析式的常用方法：配凑，换元，待定系数，函数方程（消去法） 3. 函数的图象 作图的步骤：定义域，列表，描点，连线〖注意抓住特征点，如边界点，与两轴的交点等；边界点注意空心/实心〗 带有绝对值符号的函数 定义域，分段脱去绝对值，作图 4. 函数的性质 求定义域 分式，偶次根式，对数的真数和底数，复合函数，实际问题中的实际意义。 求值域 由定义域和对应法则决定，故应先考虑定义域。方法：观察分析，例 函数211)(x x f +=；配方；换元；判别式；单调性；数形结合（图象）；基本不等式；反求法（反函数法）等。 单调性 对于定义域内的某个区间而言。 单调区间若不含端点，则必须写成开区间，若含端点，则写成闭区间，通常写成开区间也可。 一个函数可能有多个独立的单调区间，应用逗号相隔回答，不用并集，而函数的两域都是整体性的集合，若有必要则要用并集回答。 图象特征：从左到右升/降。 证明步骤：设值，作差，定号，作答。 判断函数单调性的有关规律。 如增加增得增，减加减得减；注意：增乘增未必增，减乘减未必减（还要看各自的函数值是否同正或同负） 奇偶性
第三章可测函数的知识要点与复习自测
第三章 可测函数的知识要点与复习自测 一、可测函数的定义的知识要点： ◇ 体会可测函数从简单到一般的定义思想，并能根据这一思想，按可测集上的简单函数到非负可测函数再到一般可测函数的程序，正确写出可测函数的定义。 ◇ 掌握简单函数的四则运算性和复合运算性，并理解复合运算性中为什么必须要求内层函数是简单函数，才能保证复合之后的函数是简单函数。 ◇ 掌握非负可测函数与简单函数的极限关系（即非负可测函数的定义），仔细体会刻画非负可测函数的测度特征的特征定理的证明过程，掌握此定理证明中通过 对值域区间作不交区间分解（即21 01 [0,]{[ ,)}[,]22 m m m m k k k m -=++∞=??+∞），再借助逆象集导出可测集E 的有限不交可测分解的方法，即 2101 [0()][()][()]22m m m m k k k E E x f x E x f x E x f x m -=+=≤≤+∞=?≤
《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿
《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿 周国会 一、教材分析 1教材的地位和作用 “函数的单调性和导数”这节新知识是在教材选修1—1，第三章《导数及其应用》的函数的单调性与导数.本节计划两个课时完成。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。 （一）知识与技能目标： 1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间； 2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。 （二）过程与方法目标： 1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。 2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。 （三）情感、态度与价值观目标： 1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结， 2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。（四）教学重点，难点 教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。 教学难点：探求含参数函数的单调性的问题。 二、教法分析 针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。解关于含参数的问题，注意分类讨论点的确认，灵活应用已知函数的单调性求参数的取值范围。采用启发式教学，强调数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想的应用，培养学生的探究精神，提高语言表达和概括能力，
函数概念与性质练习题目大全
函数概念与性质练习题大全 函数定义域 1、函数x x x y +-=)1(的定义域为 A ． {}0≥x x B ．{}1≥x x C ．{}{}01 ≥x x D ．{}10≤≤x x 2、函数x x y +-=1的定义域为 A ． {}1≤x x B ．{}0≥x x C ．{}01≤≥x x x 或 D ．{}10≤≤x x 3、若函数)(x f y =的定义域是[]2,0，则函数1 ) 2()(-= x x f x g 的定义域是 A ． []1,0 B ．[)1,0 C ．[)(]4,11,0 D ．()1,0 4、函数的定义域为)4323ln(1 )(22+--++-= x x x x x x f A ． (][)+∞-∞-,24, B ．()()1,00,4 - C ．[)(]1,00,4 - D ．[)()1,00,4 - 5、函数)20(3)(≤<=x x f x 的反函数的定义域为 A ． ()+∞,0 B ．(]9,1 C ．()1,0 D ．[)+∞,9 6、函数4 1lg )(--=x x x f 的定义域为 A ． ()4,1 B ．[)4,1 C ．()()+∞∞-,41, D ．(]()+∞∞-,41, 7、函数2 1lg )(x x f -=的定义域为 A ． []1,0 B ．()1,1- C ．[]1,1- B ．()()+∞-∞-,11, 8、已知函数 x x f -= 11)(的定义域为M ，)1ln() (x x g +=的定义域为N ，则=N M A ． {}1->x x B ．{}1 1.5 可测集与可测函数 1.5.1 可测集与可测函数 定义1.5.1 设X 是基本空间，R 是X 上的σ-代数，且 E X E ∈= R ， 则称(,)X R 是可测空间(measurable space)，R 中的元素E 是(,)X R 上的可测集(measurable set)。 特别地， 当1X =R ，=R L 时，称1(,)R L 是Lebsgue 可测空间；Lebsgue 可测空间上的可测集称为Lebsgue 可测集； 当1X =R ，()==0R S R B 时，称1(,)R B 是Borel 可测空间；Borel 可测空间上的可测集（即：Borel 集）称为Borel 可测集. 注 定义可测空间、可测集时，严格地说，并不要求在σ-代数R 上已经具有某个测度，即把可测空间、可测集的概念本质上当作集合论范畴的概念，这已是通行的看法。 定义1.5.2 设(,)X R 是可测空间，E X ?，f 是定义在E 上的有限实函数。若对一切实数c ，集 (){(),}E c f x c f x x E ≤=≤∈ 都是(,)X R 上的可测集（即：()E c f ≤∈R ），则称f 是E 上关于R 的可测的函数，简称E 上的可测函数(measurable function)。特别地， 当1(,)(,)X =R R L 时，称f 是E 上关于L 的Lebsgue 可测函数； 当1(,)(,)X =R R B 时，称f 是E 上关于B 的Borel 可测函数。 定理 1.5.1 设(,)X R 是可测空间，f 是定义在E X ?上的有限实函数。则f 是E 上的可测函数的充分必要条件是：对任意实数,c d ，集 ()E c f d ≤< 是可测集。 证 设f 是可测函数，由于 ()()()E c f d E c f E d f ≤<=≤-≤，而()E c f ≤和()E d f ≤都是可测集，所以 ()E c f d ≤<是可测集。 第二单元 函数的概念与基本性质 考点一 函数的概念 1.(2015年浙江卷)存在函数f (x )满足:对于任意x ∈R 都有( ). A.f (sin2x )=sin x B.f (sin2x )=x 2 +x C.f (x 2 +1)=|x+1| D .f (x 2 +2x )=|x+1| 【解析】选项A 中,x 分别取0,π 2 ,可得f (0)对应的值为0,1,这与函数的定义矛盾,所以选项A 错误; 选项B 中,x 分别取0,π,可得f (0)对应的值为0,π2 +π,这与函数的定义矛盾,所以选项B 错误; 选项C 中,x 分别取1,-1,可得f (2)对应的值为2,0,这与函数的定义矛盾,所以选项C 错误; 选项D 中,取f (x )=√x +1,则对于任意x ∈R 都有f (x 2 +2x )=√x 2+2x +1=|x+1|,所以选项D 正确. 综上可知,本题选D . 【答案】D 2.(2014年上海卷)设f (x )={ (x -a)2,x ≤0, x +1 x +a,x >0, 若f (0)是f (x )的最小值,则a 的取值范围为( ). A .[-1,2] B .[-1,0] C .[1,2] D .[0,2] 【解析】∵当x ≤0时,f (x )=(x-a )2 ,f (0)是f (x )的最小值,∴a ≥0. 当x>0时,f (x )=x+1x +a ≥2+a ,当且仅当x=1时等号成立. 要满足f (0)是f (x )的最小值,需2+a ≥f (0)=a 2 ,即a 2 -a-2≤0,解得-1≤a ≤2. ∴a 的取值范围为[0,2].故选D . 【答案】D 3.(2015年全国Ⅱ卷)设函数f (x )={1+log 2(2-x),x <1, 2x -1,x ≥1, 则f (-2)+f (log 212)=( ). 第16 课时 利用导数研究函数的性质 编者：仇小华 审核：刘智娟 第一部分 预习案 一、知识回顾 1． f ′(x )>0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增的 条件． 2． f (x )在(a ，b )上是增函数的充要条件是 ． 3． 对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0并不是f (x )在x ＝x 0处有极值的充分条件 对于可导函数f (x )，x ＝x 0是f (x )的极值点，必须具备①f ′(x 0)＝0，②在x 0两侧，f ′(x )的符号为异号．所以f ′(x 0)＝0只是f (x )在x 0处有极值的 条件，但并不 ． 4． 如果不间断的函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个极值点，那么这个极值点就是最值点．在解决实际问题中经常用到这一结论． 二、基础训练 1． 已知函数f (x )＝ln a ＋ln x x 在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围为__________． 2． 设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________． 3． 若函数f (x )的导函数为f ′(x )＝－x (x ＋1)，则函数g (x )＝f (log a x )(0 函数的概念与性质 【知识要点】 1.函数的概念及函数的三要素 2.怎么判断函数的单调性 3.怎么判断函数的奇偶性 【典型例题】 例1．求下列函数的解析式，并注明定义域． （1）若x x x f 2)1(+=-，求)(x f ． （2）若31 )1(44-+=+x x x x f ，求)(x f ． 例2.求下列函数的值域． （1）)1(1 3 2≥++=x x x y （2）1)(--=x x x f （3）232--=x x y （4）246 (),[1,4]1 x x f x x x ++= ∈+ 例3.已知函数f （x ）=m （x +x 1）的图象与函数h （x ）=41（x +x 1 ）+2的图象关于点A （0，1）对称. （1）求m 的值； （2）若g （x ）=f （x ）+ x a 4在区间（0，2］上为减函数，求实数a 的取值范围. 例4．判断下列函数的奇偶性 （1）334)(2-+-=x x x f （2）x x x x f -+?-=11)1()( 例5．设定义在[-2，2]上的偶函数，)(x f 在区间[0，2]上单调递减，若)()1(m f m f <-，求实为数m 的取值范围。 例6．已知函数f （x ）=x + x p +m （p ≠0）是奇函数. （1）求m 的值. （2）当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值. 例7．（2005年北京东城区模拟题）函数f （x ）的定义域为D ={x |x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ， 有f （x 1·x 2）=f （x 1）+f （x 2）. （1）求f （1）的值； （2）判断f （x ）的奇偶性并证明； （3）如果f （4）=1，f （3x +1）+f （2x －6）≤3，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，求x 的取值范围. 高中数学高考总复习利用导数研究函数的性质习题及详解 一、选择题 1．(文)函数y ＝ax 3 －x 在R 上是减函数，则( ) A ．a ＝1 3 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a ≤0 [答案] D [解析] y ′＝3ax 2－1， ∵函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数， ∴3ax 2－1≤0在R 上恒成立，∴a ≤0. (理)(2010·瑞安中学)若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调递增函数，则实数m 的取值范围是( ) A.? ???? 13，＋∞ B.? ???? －∞，13 C.???? ??13，＋∞ D. ? ?? ?? －∞，13 [答案] C [解析] f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由条件知，f ′(x )≥0恒成立，∴Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥1 3 ，故选C. 2．(文)(2010·柳州、贵港、钦州模拟)已知直线y ＝kx ＋1及曲线y ＝x 3＋ax ＋b 切于点(1,3)，则b 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．5 D ．－5 [答案] A [解析] 由条件知(1,3)在直线y ＝kx ＋1上，∴k ＝2. 又(1,3)在曲线y ＝x 3＋ax ＋b 上，∴a ＋b ＝2， ∵y ′＝3x 2＋a ，∴3＋a ＝2，∴a ＝－1，∴b ＝3. (理)(2010·山东滨州)已知P 点在曲线F ：y ＝x 3－x 上，且曲线F 在点 P处的切线及直线x＋2y＝0垂直，则点P的坐标为( ) A．(1,1) B．(－1,0) C．(－1,0)或(1,0) D．(1,0)或(1,1) [答案] C [解析] ∵y′＝(x3－x)′＝3x2－1，又过P点的切线及直线x＋2y＝0垂直，∴y′＝3x2－1＝2，∴x＝±1，又P点在曲线F：y＝x3－x上，∴当x＝1时，y＝0，当x＝－1时，y＝0，∴P点的坐标为(－1,0)或(1,0)，故选C. 3．(2010·山东文)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)及年产量 x(单位：万件)的函数关系式为y＝－1 3 x3＋81x－234，则使该生产厂家获 取最大的年利润的年产量为( ) A．13万件B．11万件 C．9万件D．7万件 [答案] C [解析] 由条件知x>0，y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9，当x∈(0,9)时，y′>0，函数单调递增，当x∈(9，＋∞)时，y′<0，函数单调递减，∴x＝9时，函数取得最大值，故选C. [点评] 本题中函数只有一个驻点x＝9，故x＝9就是最大值点． 4．(文)(2010·四川双流县质检)已知函数f(x)的定义域为R，f′(x)为其导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为( ) A．(2,3)∪(－3，－2) B．(－2，2) C．(2,3) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 第二章函数概念与基本初等函数 I 一. 课标要求：函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重 要数学模型来学习，强调结合实际问题，从而发展学生对变量数学的认识。教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题. 1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f（x）的含义；了解函数构成的 三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域， 2.了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 4.结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 5.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 6.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 7.了解指数函数模型的实际背景. 理解指数函数的概念和意义，掌握f（x）=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）. 8.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用. 通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f（x）=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）. 9．知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a>0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1（x）的意义. 1 10．通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数y = x,y= x3,y=x-1,y = x2的图象，了解它们的变化情况 11．通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型. 12. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议1．教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学. 2．.教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，要准确把握这方面的要求，防止拨高教学. 3.函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法），目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念. 在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法. 4.教材将映射作为函数的一种推广，进行了逻辑顺序上的调整，体现了特殊到一般的思维 专题二——利用导数研究函数的性质200９-2-24 高考趋势 导数作为进入高中考试范围的新内容，在考试中占比较大.常利用导数研究函数的性质，主要是利用导数求函数的单调区间、求函数的极值和最值,这些内容都是近年来高考的重点和难点，大多数试题以解答题的形式出现,通常是整个试卷的压轴题。试题主要先判断或证明函数的单调区间,其次求函数的极值和最值，有时涉及用函数的单调性对不等式进行证明。 考点展示 1.二次函数y f x =()的图象过原点且它的导函数y f x ='()的图象是如图所示的一条直线，则y f x =()图象的顶点在第 一 象限 2．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ,其中A B C ，，的坐标分别 为(04)(20)(64)，，，，，,则((0))f f = 2 ; 函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= -２ . ３.曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为 4５° 4．设曲线2 ax y =在点(1,a ）处的切线与直线062=--y x 平行,则=a 1 5.设R a ∈，若函数ax e y x +=,R x ∈有大于零的极值点，则a 的取值范围1-，对于任意实数x ,有()0f x ≥，则 (1) (0) f f '的最小值为 ２ ． ７.已知函数3 ()128f x x x =-+在区间[]33-，上的最大值与最小值分别为M ,m ,则M m -=__３2＿ _ 8．过点P （２,８）作曲线3 x y =的切线,则切线方程为＿ １2x-y －１6=0或3ｘ-ｙ+２＝０ 样题剖析 例1、设函数32 3()(1)1,32 a f x x x a x a = -+++其中为实数。 (Ⅰ）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值； (Ⅱ)已知不等式'2 ()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围。 解: (1) ' 2 ()3(1)f x ax x a =-++，由于函数()f x 在1x =时取得极值，所以 ' (1)0f = 即 310,1a a a -++==∴ （2) 方法一:由题设知:2 2 3(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立 即2 2 (2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立 设 2 2 ()(2)2()g a a x x x a R =+--∈, 则对任意x R ∈，()g a 为单调递增函数()a R ∈ 所以对任意(0,)a ∈+∞,()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥ 即 2 20x x --≥，20x -≤≤∴ 于是x 的取值范围是}{ |20x x -≤≤ 方法二:由题设知:2 2 3(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立 即2 2 (2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立 于是2222x x a x +>+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22 202 x x x +≤+ 20x -≤≤∴ 于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤ 点评：函数在某点处取得极值,则在这点处的导数为０,反过来,函数的导数在某点的值为0，则在函数这点处取得极值。 变式1.若f(ｘ)=2 1ln(2)2 x b x - ++∞在(-1,+)上是减函数,则b 的取值范围是 1b ≤- 由题意可知' ()02 b f x x x =-+<+,在(1,)x ∈-+∞上恒成立， 即(2)b x x <+在(1,)x ∈-+∞上恒成立，由于1x ≠-,所以1b ≤-, 变式２．已知函数1 1()3 x p f x -=,2 2()23 x p f x -=?（12,,x R p p ∈为常数）.则()()12f x f x ≤对所有实 数x 成立的充分必要条件（用12,p p 表示）为 （1)由()f x 的定义可知,1()()f x f x =（对所有实数x ）等价于 ()()12f x f x ≤(对所有实数x )这又等价于1 2 3 23 x p x p --≤,即 12 3log 23 32x p x p ---≤=对所有实数x 均成立. (＊） 由于121212()()()x p x p x p x p p p x R ---≤---=-∈的最大值为12p p -， 2 B C A y x 1 O 3 4 5 6 1 2 3 4 函数概念与性质 一、选择题（每小题5分，共50分） 1、下列哪组中的两个函数是同一函数 （A ）2y =与y x = （B ）3y =与y x = （C ）y =2y = （D ）y =2 x y x = 2、下列集合A 到集合B 的对应f 是映射的是 （A ）{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方； （B ）{}{}f B A ,1,0,1,1,0-==：A 中的数开方； （C ）,,A Z B Q f ==：A 中的数取倒数； （D ）,,A R B R f +==：A 中的数取绝对值； 3、已知函数11)(22-+ -=x x x f 的定义域是（ ） （A ）[－1，1] （B ）{－1，1} （C ）（－1，1） （D ）),1[]1,(+∞--∞ 4、若函数)(x f 在区间（a ，b ）上为增函数，在区间（b ，c ）上也是增函数，则函数)(x f 在区间（a ，c ）上（ ） （A ）必是增函数 （B ）必是减函数 （C ）是增函数或是减函数 （D ）无法确定增减性 5、)(x f 是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确．．． 的是( ) （A ）0)()(=+-x f x f （B ）)(2)()(x f x f x f -=-- （C ）)(x f ·)(x f -≤0 （D ）1) ()(-=-x f x f 6、函数()f x 的定义域为),(b a ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x --<，则 ()f x 在),(b a 上是 （A ）增函数 （B ）减函数 （C ）奇函数 （D ）偶函数 7、若函数()(()0)f x f x ≠为奇函数，则必有 （A ）()()0f x f x ?-> （B ）()()0f x f x ?-< （C ）()()f x f x <- （D ）()()f x f x >- 8、设偶函数f(x)的定义域为R ，当x ],0[+∞∈时f(x)是增函数，则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是（ ） （A ）f(π)>f(-3)>f(-2) （B ）f(π)>f(-2)>f(-3) （C ）f(π)1.5 可测集与可测函数(讲义)
第二单元 函数的概念与基本性质
第16课时利用导数研究函数的性质
高中数学函数的概念与性质(T)
高中数学高考总复习利用导数研究函数的性质习题及详解
函数概念及其基本性质
高中数学二轮复习专题二—利用导数研究函数的性质
高一函数的概念与性质