乘法公式的综合运用
第三课时（乘法公式的综合运用）
一、学导目标：1.进一步理解乘法公式。
2.能熟练地运用乘法公式解题。
二、学导重点：熟练的利用平方差、完全平方公式进行混合运算。
三、学导难点：灵活运用乘法公式
四、目标导航
1.复习回顾两个公式。
2.自学例题：教材P65例2第（2）小题、P66例
3.（注意书上的解题方法。）
3.注意：难，小本节内容偏组内、小组间要认真交流，有困难的要问老师。
4.教材P66练习第1、2 题：
5.计算：
（1）（x+3）2(3-x)2（2）(2a+b+1)（2a+b-1）
（3）(a-2b-3)(a+2b+3) （4）(2a+b)2-(b+2a)（2a-b）
五、学导流程：
（一）、出示目标：1.进一步理解乘法公式。
2.能熟练地运用乘法公式解题。
（二）、自学质疑：1、学生把课前没学完的可以再围绕“目标”和“目标导航”自学、对学、小组内展开。
2、教师深入其中查进度、问题汇总、导学。
3、检测“目标导航”有关内容。
（三）、汇报展示：1、各小组再小组长带领下共同展示目标内容
2、教师针对展示的结果进行分析、归纳组织学生再学、学会、会学。
五、测评提升：
1.先化简，再求值：
(5y+1)(5y-1)-(5y+25y 2),其中y=
52
2.解方程：
（1）(x+
41)2–(x-41)(x+41)=41 （2）(x+1)(x-1)-(x+2)2=7
3.解不等式：
2(x+4)(x-4) （x-2）（2x+5）
4.计算
（1）(2x+3)3 (3)(2a-b-3c)2
5.计算：
（1）已知x 2+xy =6 y 2+xy=10
求：1.(.x+y)2 2. x 2-y 2 3..x-y
乘法公式的应用解析
乘法公式的几何背景 1、如图所示可以验证哪个乘法公式用式子表示为． 第2题 2、如图所示，用该几何图形的面积可以表示的乘法公式是． 3、如图，图①是边长为a的正方形中有一个边长是b的小正方形，图②是将图①中的阴影部分剪拼成的一个等腰梯形，比较图①和图②阴影部分的面积，可验证的是． 第4题图 4、用该几何图形的面积可以表示的等量关系是． 5、如图：边长为a，b的两个正方形，边保持平行，如果从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成4个大小相等的梯形．请你计算出两个阴影部分的面积，同时说明可以验证哪一个乘法公式的几何意义． 6、如图1，A、B、C是三种不同型号的卡片，其中A型是边长为a的正方形，B型是长为 b、宽为a的长方形，C是边长是b的正方形． 7、小杰同学用1张A型、2张B型和1张C型卡片拼出了一个新的图形（如图2）．请根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的公式是．8、图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形．
（1）你认为图1的长方形面积等于； （2）将四块小长方形拼成一个图2的正方形．请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1： 方法2： （3）观察图2直接写出代数式（a+b）2、（a-b）2、ab之间的等量关系； （4）把四块小长方形不重叠地放在一个长方形的内部（如图3），未被覆盖的部分用阴影表示．求两块阴影部分的周长和（用含m、n的代数式表示）． 9、如图，ABCD是正方形，P是对角线BD上一点，过P点作直线EF、GH分别平行于AB、BC，交两组对边于E、F、G、H，则四边形PEDG，四边形PHBF都是正方形，四边形PEAH、四边形PGCF都是矩形，设正方形PEDG的边长是a，正方形PHBF的边长是b．请动手实践并得出结论： （1）请你动手测量一些线段的长后，计算正方形PEDG与正方形PHBF的面积之和以及矩形PEAH与矩形PGCF的面积之和． （2）你能根据（1）的结果判断a2+b2与2ab的大小吗？ （3）当点P在什么位置时，有a2+b2=2ab？
沪教版七年级数学第九章、乘法公式的综合应用专题
乘法公式的综合应用 1、平方差公式 符号表示：(a+b)(a-b)=a2-b2 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 要点诠释：平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方。 2、完全平方公式 符号表示：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 语言描述：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍。 题型一、完全平方公式 1．已知x2+kxy+64y2是一个完全式，则k的值是（） A．8 B．±8 C．16 D．±16 2．若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，则m的值为（）A．24 B．-12 C．±12 D．±24 3．若4x2+mxy+9y2是一个完全平方式，则m （）
A．6 B．12 C．±6 D．±12 4．下列多项式中是完全平方式的是（） A．2x2+4x-4 B．16x2-8y2+1 C．9a2-12a+4 D．x2y2+2xy+y2 5．如果x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值为（） A．3 B．6 C．±3 D．±6 6．x2-10x+ =（x-）2． 7．下列各式是完全平方式的是（） A．x2-x+1 4B．1+x2 C．x+xy+1 D．x2+2a-1 题型二、 1、若（x+ 1 x）2=9，则（x - 1 x）2的值为． 2．已知x-1 x=1，则x2+= ． 4．已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝4，求a2＋b2和ab的值．4．若a2+b2=5，ab=2，则（a+b）2= ．
七年级数学下册乘法公式的灵活运用
6．微专题：乘法公式的灵活运用 ◆类型一 乘法公式的灵活运用 【方法点拨】在运用平方差公式和完全平方公式进行计算时，注意运用它们的变形式． A ．(2a ＋b )(2b －a ) B.????－12＋1??? ?－12＋1 C ．(3x －y )(－3x ＋y ) D ．(－m －n )(－m ＋n ) 2．已知a ＋b ＝3，ab ＝2，则a 2＋b 2的值为( ) A ．4 B ．6 C ．3 D ．5 3．已知a ＋b ＝5，ab ＝7，求12a 2＋12 b 2，a 2－ab ＋b 2的值． 4．已知x ＋1x ＝3，求x 2＋1x 2和????x －1x 2 的值． ◆类型二 利用乘法公式进行简便运算 5．利用乘法公式进行简便运算：
(1)9×11×101×10001； (2)20032. 6．阅读材料后解决问题： 小明遇到下面一个问题： 计算(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： 解：原式＝(2＋1)(2－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1) ＝(24－1)(24＋1)(28＋1) ＝(28－1)(28＋1)＝216－1. 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下问题： (1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)＝________； (2)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)＝________； (3)化简：(m＋n)(m2＋n2)(m4＋n4)(m8＋n8)(m16＋n16)． 参考答案与解析 1．D 2.D
乘法公式活用专题训练
乘法公式的活用 一、公式 : (a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b) 2=a 2+2ab+b 2 (a-b) 2=a 2-2ab+b 2 (a+b)(a 2 -ab+b 2)=a 3+b 3 （a-b ）（a 2+ab+b 2）=a 3－ 归纳小结公式的变式， ① 位置变化， x y ② 符号变化， x y ③ 指数变化， x 2 y 2 ④ 系数变化， 2a b ⑤ 换式变化， xy z yx 2 x 2 y 2 2 2 2 xy xy xy 22 4 4 xy x y 2a b 22 4a 2 b 2 m xy zm 2 2 xy z m 22 x 2y 2 z m z m 22 2 2 xy z zm zm m 22 2 2 x 2y 2 z 2zm m b 3 准确灵活运用公式： ⑥ 增项变化， x y z ⑦ 连用公式变化， x ⑧ 逆用公式变化， x x y z x y z 例 1．已知 a b 2 ， xyz 22 x y z 2 x y x y z 2 2 2 x xy xy y z 2 2 2 x 2xy y z 22 y x y x y 2 2 2 2 x y x y 44 xy 22 y z x y z x y z x y z 2x 2y 2z 4xy 4xz ab 1，求 a 2 b 2 的值 例 2．已知 a b 8， ab 2 ，求 （a b ）2 的值 例 3：计算 19992-2000 ×1998 2 2 2 例 4：已知 a+b=2， ab=1，求 a+b 和 （a-b ） 的值。 22 例 5：已知 x-y=2 ，y-z=2 ，x+z=14 。求 x -z 的值。 例 6：判断（ 2+1）（ 22+1）（24+1）??（ 22048+1） +1 的个位数字是几？ 例 7．运用公式简便计算 （1）1032 （2） 1982 例 8．计算 (1) a 4b 3c a 4b 3c ( 2) 3x y 2 3x y 2
最经典的乘法公式综合应用与拓展(学生、教师两用版)
八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展 (学生版) ?、基本公式 1. 平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 2 例：计算 1999 -2000 X 1998 2 2 2 2. 完全平方公式(a+b) =a +2ab+b (a-b) 例：运用公式简便计算 3. 完全平方公式 a+b(或a-b)、ab 、a 2 +b 2 这三者任意知道两项就可以求出第三项 (a+b)2 、(a-b) 2 、ab 这三者任意知道两项就可以求出第三项 ① a 2 b 2 = (a b)2 - 2ab a 2 b 2 = (a-b) 2+2ab 2 2 2 2 ② (a-b) =(a+b) -4ab (a+b) =(a-b) +4ab (2) 完全平方公式变用 2:两个完全平方公式之和的整合 2 2 2 2 (a+b) + (a-b) =2 (a+b) 例1 ?已知a b 2 , ab =1，求a 2 b 2的值。 2 例 2.已知 a ? b = 8 , ab = 2，求(a - b)的值。 例3.已知a - b = 4, ab = 5，求a 2 b 2的值。 2 2 例 4 .已知 m +n =7, mn= —18,求 m — mr+ n 的值. 例 5 (3)已知：x+2y=7 , xy=6，求(x-2y)2 的值. 例6.已知a +丄=5,求(1) a 2 +W , (2) (a —丄)2 的值. a a a (1) 完全平方公式变用 1:利用已知的两项求第三项 2 2 2 =a -2ab+b (1) 1032 (2) 1982
1 1 例7.已知x -― =3，求x4■ ~4的值。 x x 2
七下数学专题训练：乘法公式的灵活运用
专题：乘法公式的灵活运用 ◆类型一 整体应用 1．(2017·淄博中考)若a ＋b ＝3，a 2＋b 2＝7，则ab 等于( ) A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－1 2．(1)若a 2－b 2＝16，a －b ＝13 ，则a ＋b 的值为________； (2)若(a ＋b ＋1)(a ＋b －1)＝899，则a ＋b 的值为________． 3．计算： (1)(m 2＋mn ＋n 2)2－(m 2－mn ＋n 2)2； (2)(x 2＋2x ＋1)(x 2－2x ＋1)－(x 2＋x ＋1)(x 2－x ＋1)． ◆类型二 连续应用 4．计算： (1)(a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)(a 4＋b 4)(a 8＋b 8)； (2)(1＋42)(1＋44)(1＋48)(1＋416)．
◆类型三 利用乘法公式进行简便运算 5．计算2672－266×268的结果是( ) A ．2008 B ．1 C ．2006 D ．－1 6．利用完全平方公式计算： (1)792; (2)????30132 . 7．利用平方差公式计算： (1)802×798; (2)3913×4023 . ◆类型四 利用乘法公式的灵活变形解决问题 8．已知x ＋y ＝3，xy ＝－7，求： (1)x 2－xy ＋y 2的值； (2)(x －y )2的值． 9．★若实数n 满足(n －46)2＋(45－n )2＝2，求代数式(n －46)(45－n )的值．
解法技巧解析(答案) 1．B 2.(1)12 (2)±30 3．解：(1)原式＝(m 2＋n 2)2＋2mn (m 2＋n 2)＋m 2n 2－(m 2＋n 2)2＋2mn (m 2＋n 2)－m 2n 2＝4mn (m 2＋n 2)＝4m 3n ＋4mn 3. (2)原式＝[(x 2＋1)＋2x ][(x 2＋1)－2x ]－[(x 2＋1)＋x ][(x 2＋1)－x ]＝(x 2＋1)2－4x 2－(x 2＋1)2＋x 2＝－3x 2. 4．解：(1)原式＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2)(a 4＋b 4)(a 8＋b 8)＝(a 4－b 4)(a 4＋b 4)(a 8＋b 8)＝(a 8－b 8)(a 8＋b 8)＝a 16－b 16. (2)原式＝115(42－1)(1＋42)(1＋44)(1＋48)(1＋416)＝115(44－1)(1＋44)(1＋48)(1＋416)＝115 (48－1)(1＋48)(1＋416)＝ 115(416－1)(1＋416)＝432－115. 5．B 6．解：(1)原式＝(80－1)2＝802－2×80×1＋12＝6241； (2)原式＝????30＋132＝302＋2×30×13＋????132 ＝92019 . 7．解：(1)原式＝(800＋2)(800－2)＝8002－22＝640000－4＝639996； (2)原式＝????40－23????40＋23＝402－????232＝1600－49＝159959 . 8．解：(1)x 2－xy ＋y 2＝(x ＋y )2－3xy ＝9＋21＝30. (2)(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝9＋28＝37. 9．解：∵(n －46)2＋(45－n )2＝2，∴[(n －46)＋(45－n )]2－2(n －46)(45－n )＝2，整理得 1－2(n －46)(45－n )＝2，则(n －46)(45－n )＝－12 .
2.2.3 运用乘法公式进行计算
2．2.3 运用乘法公式进行计算 1．熟练运用乘法公式进行计算；(重点、难点) 2．通过对不同的式子采取合适的方法运算，培养学生的思维能力和解题能力． 一、情境导入 1．我们学过了哪些乘法公式？ (1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. (2)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2. 2．怎样计算：(a＋2b－c)(a－2b＋c)． 二、合作探究 探究点：运用乘法公式进行计算 【类型一】乘法公式的综合运用 计算： (1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1)； (2)(a＋b)2－2(a＋b)(a－b)＋(a－b)2； (3)(x－2y＋3z)(x＋2y－3z)； (4)(2a＋b)2(b－2a)2. 解析：(1)可添加(2－1)，与首项结合起来用平方差公式，再把结果依次与下一项运用平方差公式； (2)逆用完全平方公式，能简化运算； (3)两个因式都是三项式，且各项的绝对值对应相等，所以可先运用平方差公式； (4)先利用积的乘方把原式变形为[(b＋2a)(b－2a)]2，再利用平方差公式把中括号内的多项式的乘法展开，然后再利用完全平方公式展开即可． 解：(1)原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1) ＝(24－1)(24＋1)…(216＋1)＝232－1； (2)原式＝[(a＋b)－(a－b)]2＝(a＋b－a＋b)2＝4b2； (3)原式＝[x－(2y－3z)][x＋(2y－3z)]＝x2－(2y－3z)2＝x2－(4y2－12yz＋9z2)＝x2－4y2 ＋12yz－9z2； (4)(2a＋b)2(b－2a)2＝[(b＋2a)(b－2a)]2＝(b2－4a2)2＝b4－8a2b2＋16a4. 方法总结：运用乘法公式计算时，先要分析式子的特点，找准合适的方法，能起到事半功倍的作用．同时由于减少了运算量，能提高解题的准确率． 【类型二】运用乘法公式求值 如图，立方体每个面上都写有一个自然数，并且相对两个面所写两数之和相等． 若18的对面写的是质数a，14的对面写的是质数b，35的对面写的是质数c，试求a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值．
18.乘法公式(含答案)-
18.乘法公式 知识纵横 乘法公式(multiplication formula)是在多项式乘法的基础上,?将多项式乘法的一般法 则应用于一些特殊形式的多项式相乘,得出的既有特殊性、?又有实用性的具体结论，在复杂 的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应 用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点： 1.熟悉每个公式的结构特征,理解掌握公式; 2.根据待求式的特点,模仿套用公式; 3.对公式中字母的全面理解,灵活运用公式; 4.既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合,综合运用公式. 例题求解 【例1】?(?1)?已知两个连续奇数的平方差为?2000,?则这两个连续奇数可以是______. (江苏省竞赛题) (2)已知(2000-a)·(1998-a)=1999,那么,(2000-a)2+(1998-a)2=________. (2000年重庆市竞赛题) 思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组;(2)视(2000-a)·(1998-a)为整体,?由平方 和想到完全平方公式(formula for the square the sum)及其变形. 解:(1)设两个连续奇数为x,y,且x>y,则 222000 2 x y x y ?-=± ? -= ? 得x+y=1000或x+y=-1000,解得(x,y)=(499,501)或(-501,-499). (2)4002 提示:(2000-a)2+(1998-a)2=[(2000-a)-(1998-a)]2+2(2000-a)·(1998-a) 【例2】若x是不为0的有理数,已知M=(x2+2x+1)(x2-2x+1),N=(x2+x+1)(x2-x+1),则M
乘法公式的综合运用
第三课时（乘法公式的综合运用） 一、学导目标：1.进一步理解乘法公式。 2.能熟练地运用乘法公式解题。 二、学导重点：熟练的利用平方差、完全平方公式进行混合运算。 三、学导难点：灵活运用乘法公式 四、目标导航 1.复习回顾两个公式。 2.自学例题：教材P65例2第（2）小题、P66例 3.（注意书上的解题方法。） 3.注意：难，小本节内容偏组内、小组间要认真交流，有困难的要问老师。 4.教材P66练习第1、2 题： 5.计算： （1）（x+3）2(3-x)2（2）(2a+b+1)（2a+b-1） （3）(a-2b-3)(a+2b+3) （4）(2a+b)2-(b+2a)（2a-b） 五、学导流程： （一）、出示目标：1.进一步理解乘法公式。 2.能熟练地运用乘法公式解题。
（二）、自学质疑：1、学生把课前没学完的可以再围绕“目标”和“目标导航”自学、对学、小组内展开。 2、教师深入其中查进度、问题汇总、导学。 3、检测“目标导航”有关内容。 （三）、汇报展示：1、各小组再小组长带领下共同展示目标内容 2、教师针对展示的结果进行分析、归纳组织学生再学、学会、会学。 五、测评提升： 1.先化简，再求值： (5y+1)(5y-1)-(5y+25y 2),其中y= 52 2.解方程： （1）(x+ 41)2–(x-41)(x+41)=41 （2）(x+1)(x-1)-(x+2)2=7 3.解不等式： 2(x+4)(x-4) （x-2）（2x+5） 4.计算 （1）(2x+3)3 (3)(2a-b-3c)2 5.计算： （1）已知x 2+xy =6 y 2+xy=10 求：1.(.x+y)2 2. x 2-y 2 3..x-y
北师大版七年级数学下册知识辅导：整式乘法公式的灵活运用
知识辅导:整式乘法公式的灵活运用 1. 平方差公式：(a +b )(a －b )?a 2－b 2 文字叙述：两数和与这两数差的积，等于他们的平方差 2. 完全平方公式：(a +b )2?a 2+2ab +b 2 ⑴ 记忆口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央， 加减看前方，同加异减。 （2）变式公式：① =+22b a ________________ =_________________ ② =--+22)()(b a b a ________________ ③ =-++22)()(b a b a ________________ ④ ab b a 4)(2-+ =____________________ ⑤ =+-ab b a 4)(2____________________ 【基础演练】 （1）)2)(2(y x y x +- （2）)2 1)(21(n m n m --+- （3）2)1(a - （4）2)2(y x + （5）2)32(y x +- （6）2)12(--t （7）2)())((n m n m n m +--+ （8） )3)(3(-+++b a b a
【灵活运用】 1. 222(25)()425a b a b --=-. 2. (x-1)(2x +1)( )=4x -1. 3. (a+b+c)(a-b-c)=[a+( )][a-( )]. 4．(a-b-c-d)(a+b-c+d)=[( )+( )][( )-( )] 5. 1 8 201999?=_________,403×397=_________. 6．下列式子中是完全平方式的是（ ） A ．22b ab a ++ B ．222++a a C ．222b b a +- D ．122++a a 7．已知y 2+my+16是完全平方式，则m 的值是（ ） A ．8 B ．4 C ．±8 D ．±4 8．已知a 2+14a+49=25，则a 的值是_________． 9. 如果1,2005=-=+b a b a ，那么=-22b a _________ 10. 如果201022=-b a ，3=-b a ，那么=+b a _______ 【能力提升】 1. 若x +y =7, x -y =3, 求xy 、 x 2-y 2 和x 2+y 2的值 2. 已知实数a 、b 满足1=+b a ，1-=ab ， 求b a 33+ 提示：()()b ab a b a b a 2233+-+=+
专题一乘法公式及应用完整版
专题一乘法公式及应用 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
专题一乘法公式的复习一、复习: (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ①位置变化，xyyxx2y2 ②符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤换式变化，xyzmxyzm xy2zm2 x2y2zmzm x2y2z2zmzmm2 x2y2z22zmm2 ⑥增项变化，xyzxyz xy2z2 xyxyz2 x2xyxyy2z2 x22xyy2z2 ⑦连用公式变化，xyxyx2y2 x2y2x2y2 x4y4
⑧ 逆用公式变化，xyz 2xyz 2 xyzxyzxyzxyz 2x 2y 2z 4xy 4xz 例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。 解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=?- 例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。 解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a - ∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=?- 例3：计算19992-2000×1998 例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。 例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x 2-z 2的值。 例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？ 例7．运用公式简便计算 （1）1032 （2）1982 例8．计算 （1）a 4b 3ca 4b 3c （2）3xy 23xy 2 例9．解下列各式 （1）已知a 2b 213，ab 6，求ab 2，ab 2的值。 （2）已知ab 27，ab 24，求a 2b 2，ab 的值。 （3）已知aa 1a 2b 2，求222 a b ab +-的值。
2.2.3 运用乘法公式进行计算
2.2.3 运用乘法公式进行计算 学习目标： 1、学习2 )(c b a ++型，并进行公式推导； 2、进一步巩固完全平方公式和平方差公式，并会用乘法公式化简某些代数式. 重点：乘法公式的有关推广计算. 预习导学——不看不讲 学一学：阅读教材P48“动脑筋” 说一说： 平方差公式与完全平方公式及其结构特征 议一议：计算下列各题 （1）?)1)(1)(1(2=-++x x x （2）?)1)(1y (=-+++y x x 【归纳总结】遇到多项式的乘法时，要先观察式子的特征，看能否运用乘法公式，一达到简化运算的目的。 选一选：下列多项式的乘法中可用平方差公式计算的是（ ）. A ．()()11x x ++ B ．)2 1)(21 (a b b a -+ C ．()()a b a b -+- D ．()()22x y y x -+ 填一填：()2a b ---2ab = 你能用2222)(b ab a b a ++=+推导2 )(c b a ++的结果吗？ 【课堂展示】例8 运用乘法公式计算 （1）2 )]3)(3[(-+a a （2）))((c b a c b a -++- 合作探究——不议不讲
互动探究一：291y my ++是完全平方式，则m 的若要使值为（ ）. A ．3± B ．3- C ．6± D ．6- 互动探究二：若,4,922-==+xy y x 求（1）2)(y x + （2）2)(y x -的值. 互动探究二：计算：[2a 2－（a+b ）（a －b ）][（－a －b ）（－a+b ）+2b 2]； 【当堂检测】： 1.填空 （1）、____))((=+-y x y x ；()()a b a b ---+= （2）、____)32(2=-n ；____)22(2=-y x （3）、22)(____)(n m n m +-=+； 222)() (b a b ab a +=+++ 2.计算 （1）)9)(9(-++-y x y x （2）22)10()10(+-x x （3）2()x y z +- （4）)3)(3()3(2y x y x y x +--+ 3. 思考：你能计算22()()a b a ab b +-+、22()()a b a ab b -++吗？
(完整版)乘法公式的灵活运用
1 乘法公式的灵活运用 一、复习: (a+b)(a-b)=a 2 -b 2 (a+b)2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b)2 =a 2 -2ab+b 2 (a+b)(a 2 -ab+b 2 )=a 3 +b 3 (a-b)(a 2 +ab+b 2 )=a 3 －b 3 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2 -y 2 ② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2 -y 2 = x 2 -y 2 ③ 指数变化，(x 2 +y 2 )(x 2 -y 2 )=x 4 -y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2 -b 2 ⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )] =(xy )2 -(z +m )2 =x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2 -(z 2 +zm +zm +m 2 ) =x 2y 2 -z 2 -2zm -m 2 ⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z ) =(x -y )2 -z 2 =(x -y )(x -y )-z 2 =x 2 -xy -xy +y 2 -z 2 =x 2 -2xy +y 2 -z 2 ⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2 +y 2 ) =(x 2 -y 2 )(x 2 +y 2) =x 4 -y 4 ⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2 -(x +y -z )2 =[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz 例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。 解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴2 2b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222 =?- 例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。 解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 2 22b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2 )(b a - ∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482 =?- 例3：计算19992 -2000×1998 〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。 解：19992 -2000×1998 =19992 -（1999+1）×（1999-1） =19992 -（19992 -12 ）=19992 -19992 +1 =1 例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2 +b 2 和(a-b)2 的值。 〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。 解：a 2 +b 2 =(a+b)2 -2ab=4-2=2 （a-b)2 =(a+b)2 -4ab=4-4=0
【北师大版】七年级数学下册《活用乘法公式进行计算的六种技巧》专题试题(附答案)
北师大版七年级数学下册专题训练系列（附解析）
专训1活用乘法公式进行计算的六种技巧名师点金： 乘法公式是指平方差公式和完全平方公式，公式可以正用，也可以逆用．在使用公式时，要注意以下几点：(1)公式中的字母a，b可以是任意一个式子；(2)公式可以连续使用；(3)要掌握好公式中各项的关系及整个公式的结构特点； (4)在运用公式时要学会运用 一些变形技巧． 巧用乘法公式的变形求式子的值 1．已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝4.求a2＋b2和ab的值． 2．已知x＋1 x＝3，求x 4＋ 1 x4的值．
巧用乘法公式进行简便运算 3．计算： (1)1982；(2)2 0042； (3)2 0172－2 016×2 018； (4)1002－992＋982－972＋…＋42－32＋22－12. 巧用乘法公式解决整除问题 4．试说明：(n＋7)2－(n－5)2(n为正整数)能被24整除．
应用乘法公式巧定个位数字 5．试求(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1的个位数字． 巧用乘法公式解决复杂问题(换元法) 6．计算20 182 0172 20 182 0162＋20 182 0182－2 的值． 巧用乘法公式解决实际问题(分类讨论思想) 7．王老师在一次团体操队列队形设计中，先让全体队员排成一方阵(行与列的人数一样多的队形，且总人数不少于
25人)，人数正好够用，然后再进行各种队形变化，其中一个队形需分为5人一组，手执彩带变换队形，在讨论分组方案时，有人说现在的队员人数按5人一组分将多出3人，你说这可能吗？ 答案 1．解：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝7， (a－b)2＝a2－2ab＋b2＝4， 所以a2＋b2＝1 2×(7＋4)＝ 1 2×11＝ 11 2， ab＝1 4×(7－4)＝ 1 4×3＝ 3 4. 2．解：因为x＋1 x＝3，所以? ? ? ? ? x＋ 1 x 2 ＝x2＋ 1 x2＋2＝9. 所以x2＋1 x2＝7.所以? ? ? ? ? x2＋ 1 x2 2 ＝x4＋ 1 x4＋2＝49.
乘法公式地灵活运用
乘法公式的灵活运用 一、复习: (a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 (a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2 ② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2 ⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )] =(xy )2-(z +m )2 =x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2 ⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z ) =(x -y )2-z 2 =(x -y )(x -y )-z 2 =x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2 ⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2) =(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4 ⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2 =[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz 例1．已知2=+b a ，1=a b ，求22b a +的值。 解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=?- 例2．已知8=+b a ，2=a b ，求2)(b a -的值。 解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a - ∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=?- 例3：计算19992-2000×1998 〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。 解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1） =19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1 例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。 〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。 解：a 2+b 2=(a+b)2-2ab=4-2=2 （a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0
专题一 乘法公式及应用
专题一乘法公式的复习 一、复习: (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ①位置变化，x y y x x2y2 ②符号变化，x y x y x2y2 x2y2 ③指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④系数变化，2a b2a b4a2b2 ⑤换式变化，xy z m xy z m xy2z m2 x2y2z m z m x2y2z2zm zm m2 x2y2z22zm m2 ⑥增项变化，x y z x y z x y2z2 x y x y z2 x2xy xy y2z2 x22xy y2z2 ⑦连用公式变化，x y x y x2y2 x2y2x2y2 x4y4
⑧ 逆用公式变化，x y z 2x y z 2 x y z x y z x y z x y z 2x 2y 2z 4xy 4xz 例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。 解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=?- 例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。 解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a - ∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=?- 例3：计算19992-2000×1998 例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。 例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x 2-z 2的值。 例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？ 例7．运用公式简便计算 （1）1032 （2）1982 例8．计算 （1）a 4b 3c a 4b 3c （2）3x y 23x y 2 例9．解下列各式
【湘教版】七年级数学下册：2.2.3《运用乘法公式进行计算》教案
运用乘法公式进行计算 教学目标： 1、知识与技能：熟练地运用乘法公式进行计算； 2、过程与方法：能正确地根据题目的要求选择不同的乘法公式进行运算。 3、情感、态度与价值观：培养思维的灵活性，增强学好数学的信心 教学重点：正确选择乘法公式进行运算。 教学难点：综合运用平方差和完全平方公式进行多项式的计算。 教学方法：范例分析、探索讨论、归纳总结。 教学过程： 一、预学 （一）复习乘法公式 1、平方差公式：()()22b a b a b a -=-+ 2、完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=- 3、三个数的和的平方公式：2)(c b a ++＝＝bc ac ab c b a 2222 22+++++ 4、运用乘法公式进行计算： （1）()()b a b a --- （2）()()b a b a +-- （3）())1)(1(12-++x x x 二、探究 例1运用乘法公式计算： （1）()()22b a b a --+ （2）()()22b a b a -++ 解：（1）()()2 2b a b a --+ ＝()())]()][([b a b a b a b a --+-++ ＝()ab b a 2)2(2=? 想一想：这道题你还能用什么方法解答？ （2）()()2 2b a b a -++ ＝()()222222b ab a b ab a +-+++ ＝2 22222b ab a b ab a +-+++ ＝2222b a + 三、精导 运用乘法公式计算： （1）)1)(1(-+++y x y x （2）)1)(1(-++-b a b a 解：（1）)1)(1(-+++y x y x ＝]1)][(1)[(-+++y x y x
平方差、完全平方差、运用乘法公式计算
平方差、完全平方差、运用乘法公式计算乘法公式------平方差公式一、预习导学计算下列多项式的积．（1）（x+1）（x-1）（2）（m+2）（m-2）（3） （2x+1）（2x-1）（4）（x+5y）（x-5y）议一议：观察上述算式，你发现什么规律运算出结果后，你又发现什 么规律【归纳总结】两个数的和与这两个数的差的积，等 于这两个数的平方差．即： （a+b）（a-b） =a2-b2 想一想： 下列各式计算对不对若不对应怎样改正（1） (x+2)(x-2)=x2-2 （2） (-3a-2)(3a-2)=9a2-4 填 一填： （a+b)(-b+a) = (3a+2b)(3a-2b)= 公式的结构特征① 公式的字母 a、 b 可以表示数，也可以表示单 项式、多项式；② 要符合公式的结构特征才能运用平方差公式； ③ 有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式． ? 如： （x+y-z）（x-y-z） =[（x-z） +y] [（x-z） -y]=（x-z） 2-y2．二、合作探究互动探究一： 运用平方差公式计算： （1）（3x+2）（3x-2）（2）（b+2a）（2a-b）（3）（-x+2y）（-x-2y）在例 1 的（1）中可以把 3x 看作 a， 2 看 作 b．即：
（3x+2）（3x-2） =（3x）2 - 22 （a + b）（a - b） = a2 - b2 互动探究二： 下列哪些多项式相乘可以用平方差公式知识点一、平方差公 式的概念知识点二、平方差公式的运 用)32)(32(baba+a )32)(32(babab++a )32)(32(baba++ )32)(32(bab))((cacb++))((cbacba+ 三、巩固练习【当堂检测】： 1.填空（1）（__+__）（__+__） =942a （2）（x+2）（x-2） = （） (3) (-3a-2) (3a-2) = （）（4） （a+2b+2c）（a+2b-2c）写成平方差公式形式： 2.计算（1） 10298 （2） (a+b)(a-b)(a2+b2) （3）（y+2）（y-2） -（y-1）（y+5）（4） （b+2a）（2a-b）（5）（-x+2y）（-x-2y）（6）（a+2b+2c） （a+2b-2c）（7）（xy+1）（xy-1）（8） (2a-3b) (3b+2a) （9） (-2b-5) (2b-5) （10）( x-y) ( x+y) （11）(3x+4) (3x-4) -(2x+3) (2x-2) （12）998 1002 完全平方 公式一、基本训练，巩固旧知 1. 填空： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数 的，即 (a+b)(a-b) = ，这个公式叫做 公式. 2. 用平方差公式计算 (1) (-m+5n) (-m-5n) (2) (3x-1)(3x+1) (3) (y+3x)(3x-y) (4) (-2+ab) (2+ab) 二、创设情境，总结公式 1 做一做填空：
辅导讲义：乘法公式的灵活应用
(3)()； (4) -(a z 0, m > n) ； ⑸(b) ■令(旳? 常用的乘法公式: 22 (1)()() 22 2 ⑵()+2 22 2 ⑶()-2 (4) ()(a 22)33 ⑸()(a 22)3- b 3 (6) (严+222. (7) a 2221/2〔 ()2+() 2+() 2〕 222 , 2 (8) a 1/2〔 () + () 2 2「 +()〕 (9) ()33+3a 2323; (10) ()33-3a 2323; 课题 乘法公式的灵活应用 教学内容 正整数指数幂的运算法则: ⑴? ； (2)()；
一、归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式: ① 位置变化， x y _y ? x i=x 2 _y 2 ② 符号变化，(-x+y y X$_y 2= x 2_y 2 ③ 指数变化，x 2 y 2 x 2-y 2 =x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a+b)(2a —bHa 2_b 2 ⑤ 换式变化，，z mU- z m] 2 2 ’ 2；Z m =x y - z m z m 2 2 V 2 山 2 * =X y - z 亠亠亠m 2 2 2 c 2 =x y -z -2-m 二x -一 y -z 2^22 二x -2 y -z 连用公式变化，x y x-y x 2 y 2 2 2 2 2 -x -y x y 4 4 二x -y 逆用公式变化，（X —y+z$_（x*y-z ） i x-y z x y-z x-y z - x y-z ] =2x -2y 2z --4 4 例1已知a ? b =2， ab =1，求a 2 b 2的值 例 2?已知 a ? b = 8， ab = 2，求(a - b)2 的值。 2 例 3 :计算 1999 -2000 X 1998 例4:已知2，1，求a 22和()2的值。 例5:已知2, 2,14。求x 22的值。 例6:判断(2+1) (22+1) (24+1)……(22048+1 ) +1的个位数字是几? x_y z x-y-z 2 2 -x-y -z 2 -x-y x-y -z 2 2 2 增项变化, 【精讲精练】