等比数列1

等比数列的前n 项和(1)

【复习】

1：什么是数列前n 项和？等差数列的数列前n 项和公式是什么？ 2：已知等比数列中，33a =，681a =，求910,a a .

【新知】：等比数列的前n 项和公式

设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++ ，公比为q ≠0， 公式的推导方法一：

则221

11111n n n n S a a q a q a q a q qS --?=++++??=

?? (1)n q S ∴-= 当1q ≠时，n S = ① 或n S = ② 当q =1时，n S =

试试：求等比数列12，14，1

8，…的前8项的和.

【典型例题】 例1已知a 1=27，a 9=

1

243

，q <0，求这个等比数列前5项的和.

变式：13a =，548a =. 求此等比数列的前5项和.

例2某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台?

例3. 等比数列中，33139

,.22

a S a q ==,求及

例4 一个球从100m 高出处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的一半再落下，当它第10次着地时，共经过的路程是多少？

【当堂检测】

1. 数列1，a ，2a ，3a ，…，1n a -，…的前n 项和为（ ）.

A. 11n a a --

B. 111n a a +--

C. 211n a a

+-- D. 以上都不对

2. 等比数列中，已知1220a a +=，3440a a +=，则56a a +=（ ）.

A. 30

B. 60

C. 80

D. 160

3. 设{}n a 是由正数组成的等比数列，公比为2，且30123302a a a a ???=，那么36930a a a a ???=（ ）. A. 102 B. 202 C. 1 D. 602

4. 等比数列的各项都是正数，若1581,16a a ==，则它的前5项和为 .

5. 等比数列的前n 项和3n n S a =+，则a ＝ .

6. 等比数列中，已知1441,64,.a a q S =-=求及

7. 在等比数列{}n a 中，162533,32a a a a +== ，求6S .

等比数列的前n 项和(2)

【典型例题】

例1 数列{}n a 的前n 项和1n n S a =-（a ≠0，a ≠1），试证明数列{}n a 是等比数列.

变式：已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且142n n S a +=+， 11a =，设12n n n b a a +=-，求证：数列{}n b 是等比数列.

例2 等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别是n S ，2n S ，3n S ，求证：n S ，2n n S S -，32n n S S -也成等比.

变式：在等比数列中，已知248,60n n S S ==，求3n S .

例3、 等比数列{}n a 中，301013S S =，1030140S S +=，求20S .

例4、求数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，…的前n 项和S n .

例5. 设a 为常数，求数列a ，2a 2，3a 3，…，na n ，…的前n 项和；

【总结提升】

1. 等比数列的前n 项和与通项关系；

2. 等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别是n S ，2n S ，3n S ，则数列n S ，2n n S S -，32n n S S -也成为等比数列.

3. 等差数列中，m n m n S S S mnd +=++；

4. 等比数列中，n m m n n m m n S S q S S q S +=+=+.

【当堂检测】

1. 等比数列{}n a 中，33S =，69S =，则9S =（ ）. A. 21 B. 12 C. 18 D. 24

2. 在等比数列中，14a =，q ＝2，使4000n S >的最小n 值是（ ）. A. 11 B. 10 C. 12 D. 9

3. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”.如(1101)2表示二进制的数， 将它转换成十进制的形式是32101212021213?+?+?+?=，那么将二进制数(11111111)2转换成十进制的形式是（ ）. A. 922- B. 821- C. 822- D. 721-

4. 在等比数列中，若332422S a S a +=+，则公比q ＝ .

5. 在等比数列中，11a =，512n a =-，341n S =-，则q ＝ ，n ＝ .

6. 等比数列的前n 项和12n

n s =-，求通项n a .

等比数列教学设计(共2课时)

《等比数列》教学设计（共2课时） 一、教材分析： 1、内容简析： 本节主要内容是等比数列的概念及通项公式，它是继等差数列后有一个特殊数列，是研究数列的重要载体，与实际生活有密切的联系，如细胞分裂、银行贷款问题等都要用等比数列的知识来解决，在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想，在高考中占有重要地位。 2、教学目标确定： 从知识结构来看，本节核心内容是等比数列的概念及通项公式，可从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念，同时，还要注意“比”的特性。在学习等比数列的定义的基础上，导出等比数列的通项公式以及一些常用的性质。从而可以确定如下教学目标（三维目标）： 第一课时： （1）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及公式的推导 （2）在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想，提高学生观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力 （3）通过对等比数列通项公式的推导，培养学生发现意识、创新意识 第二课时： （1）加深对等比数列概念理解，灵活运用等比数列的定义及通项公式，了解等比中项概念，掌握等比数列的性质 （2）运用等比数列的定义及通项公式解决问题，增强学生的应用 3、教学重点与难点： 第一课时： 重点：等比数列的定义及通项公式 难点：应用等比数列的定义及通项公式，解决相关简单问题 第二课时： 重点：等比中项的理解与运用，及等比数列定义及通项公式的应用 难点：灵活应用等比数列的定义及通项公式、性质解决相关问题 二、学情分析： 从整个中学数学教材体系安排分析，前面已安排了函数知识的学习，以及等差数列的有关知识的学习，但是对于国际象棋故事中的问题，学生还是不能解决，存在疑问。本课正是由此入手来引发学生的认知冲突，产生求知的欲望。而矛盾解决的关键依然依赖于学生原有的认知结构──在研究等差数列中用到的思想方法，于是从几个特殊的对应观察、分析、归纳、概括得出等比数列的定义及通项公式。 高一学生正处于从初中到高中的过度阶段，对数学思想和方法的认识还不够，思维能力比较欠缺，他们重视具体问题的运算而轻视对问题的抽象分析。同时，高一阶段又是学生形成良好的思维能力的关键时期。因此，本节教学设计一方面遵循从特殊到一般的认知规律，另一方面也加强观察、分析、归纳、概括能力培养。 多数学生愿意积极参与，积极思考，表现自我。所以教师可以把尽可能多的时间、空间让给学生，让学生在参与的过程中，学习的自信心和学习热情等个性心理品质得到很好的培养。这也体现了教学工作中学生的主体作用。 三、教法选择与学法指导： 由于等比数列与等差数列仅一字之差，在知识内容上是平行的，可用比较法来学习等比

等比数列第一课时教案(汇编)

等比数列的定义教案 内 容： 等比数列 教学目标:1.理解和掌握等比数列的定义； 2.理解和掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法； 3.运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题。 授课类型：新授课 课时安排：1课时教学重点：等比数列定义、通项公式的探求及运用。 教学难点：等比数列通项公式的探求。 教具准备：多媒体课件 教学过程： （一）复习导入 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式及其推导方法 3.公差的确定方法. 4.问题：给出一张书写纸，你能将它对折10次吗？为什么？ （二）探索新知 1．引入：观察下面几个数列，看其有何共同特点？ （１）－2，1，4，7，10，13，16，19，…（２）8，16，32，64，128，256，… （３）1，1，1，1，1，1，1，… （４）1，2，4，8，16，…263 请学生说出数列上述数列的特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如细胞分裂问题.假设每经过一个单位时间每个细胞都分裂为两个细胞，再假设开始有一个细胞，经过一个单位时间它分裂为两个细胞，经过两个单位时间就有了四个细胞，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的细胞个数得到了一列数 这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这就是我们将要研究的另一类数列——等比数列. 2．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起．．．． ，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．． ，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠， 3.递推公式：1n a +∶(0)n a q q =≠ 对定义再引导学生讨论并强调以下问题 （1） 等比数列的首项不为0； （2）等比数列的每一项都不为0； （3）公比不为0. （4）非零常数列既是等比数列也是等差数列； 问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？ 3．等比数列的通项公式： 【傻儿子的故事】 古时候,有一个人不识字,他不希望儿子也像他这样,他就请了个教书先生来教他儿子认字，他儿子见老师第一天写“一”就是一划，第二天“二”就是二划，第三天“三”就是三划,他就跑去跟他父亲说:“爸爸,我会写字了,请你叫老师走吧!”这人听了很高兴,就给老师结算了工钱叫他走了。 第二天,这人想请一个姓万的人来家里吃饭,就让他儿子帮忙写一张请帖,他儿子从早上一直写到中午也没有写好,这人觉得奇怪,就去看看,只发现他儿子在纸上划了好多横线,就问他儿子什么意思.他儿子一边擦头上的汗一边埋怨道:“爸,

等比数列求和教案

课题：等比数列的前n项和（一课时） 教材：浙江省职业学校文化课教材《数学》下册 （人民教育出版社） 一、教材分析 ●教学内容 《等比数列的前n项和》是中职数学人教版（基础模块）（下）第六章《数列》第四节的内容。是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体． 二、学情分析 ●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. ●认知水平与能力：高二学生具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生 q 这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤的思维是一个突破，另外，对于1 其是在后面使用的过程中容易出错． 三、目标分析 依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标： 1.教学目标

●知识与技能目标 理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题． ●过程与方法目标 通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、培养学生观察、 分析的能力和协作、竞争意识。 ●情感、态度与价值目标 通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于 探索、敢于创新，磨练思维品质，培养学生主动探索的求知精神和团结协作精神, 感受数学的美。 2.教学重点、难点 ●重点：等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用． ●难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用． 突破难点的手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点， 激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定；二抓知识的 切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予 适当的提示和指导. 四、教学模式与教法、学法 根据学生的认知特点，本着学生为主体教师为主导的原则采用多元教学法，让学生至于情景中。学生动手操作实践分组讨论探究，而教师重在启发，引导。基于教学平台和数学软件让学生可观，可感，可交流的环境中轻松的学习。 五、教学过程

第二章2.4第1课时等比数列的概念及通项公式

2. 4等比数列 第1课时等比数列的概念及通项公式 1?通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用. 2?掌握等比中项的概念并 会应用. 3?掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程. 预冃案*自建迸习j 研读? M ?営 试 新知提炼 1.等比数列的定义 (1) 从第2项起 条件 (2) 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 结论这个数列就叫做等比数列 有关概念这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q M 0)表示2?等比数列的通项公式 门―1 a n = aq 1. 3. 等比中项 若a、G、b成等比数列，称G为a, b的等比中项且G= ± ab. ■自我尝试‘ 1?判断(正确的打“V”，错误的打“x”) (1) 数列1,—1, 1, - 1，…是等比数列.() (2) 若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列. () ⑶等比数列的首项不能为零，但公比可以为零. () (4) 常数列一定为等比数列.() (5) 任何两个数都有等比中项. () 答案：(1)2 (2) x⑶x ⑷x ⑸x 2.等比数列{a n} 中, a1 = 2, q = 3,贝U a n 等于（） A. 6 B. 3x 2n—1 3. 4与9的等比中项为()

A . 6 B . - 6 =1, C . 2 x 3n — 1 D . 6n 答案：C

A . 6 B . - 6 =1, C . i6 D . 36 答案： C 11 1 4. 等比数列一 10-而，一 而0,…的公比为 -------------------- . 1 答案：10 5. ______________________________________________ 在等比数列｛a n ｝中，已知a n = 4n 3 , 贝V a 1 = _____________________________________________ , q = ________ 1 答案：1 4 探究案讲练互普 探究点一等比数列的通项公式 H 在等比数列｛a n ｝中， (1) a 4 = 2, a 7= 8,求 a n . (2) a 2 + a 5= 18, a 3+ a 6= 9, a n = 1，求 n. a 4= ag 3, ［解］(1)因为 6 a 7= a 1q , a 1q 3= 2,① 所以 a 1q 6= 8,② ② 3， 由①，得43 = 4,从而q = - 4,而a 1q 3 = 2, n — 1 又a n = 1，所以32 x 即 26-n = 20,故 n = 6. 方祛归纳 于是a 1 = q 3= M 2' 2n -5 所以 a n = a 1q n -1 = 2 3 a 2 + a 5= a 〔q + a 1q 4 = 18, ① ⑵因为 2 5 ② 1 由①，得q =P 从而 a 1 = 32.

等比数列的概念(教案)

等比数列的概念 亳州三中 范图江 一、教学目标 1、 体会等比数列特性，理解等比数列的概念。 2、 能根据定义判断一个数列是等比数列，明确一个数列是等比数列的限定条件。 3、 能够运用类比的思想方法得到等比数列的定义,会推导出等比数列的通项公式。 二、教学重点、难点 重点：等比数列定义的归纳及应用，通项公式的推导。 难点：正确理解等比数列的定义，根据定义判断或证明某些数列为等比数列，通项公式的推导。 三、教学过程 1、 导入 复习等差数列的相关内容: 定义：*1,()n n a a d n N +-=∈ 通项公式：()*1(1),n a a n d n N =+-∈ 等差数列只是数列的其中一种形式，现在来看这两组数列1、2、4、8……， 1、1 2、14、18 …… 问：这两组数列中，各组数列的各项之间有什么关系 2、 探究发现，建构概念 问：与等差数列的概念相类比，可以给出这种数列的概念吗是什么 <1>定义：如果一个数列从地2项起，每一项与前一项的比值都等于同一个常数，则称此数列为的不过比数列。这个常数就叫做公比，用q 表示。 <2>数学表达式：*1,()n n a q n N a +=∈ 问：从等比数列的定义及其数学表达式中，可以看出什么也就是，这个公式在什么条件下成立 结论1 等比数列各项均不为零，公比0q ≠。 带领学生看45P 页的实例，目的是让学生知道等比数列在现实生活中的应用，从而知道其重要性。 3、 运用概念 例1 判断下列数列是否为等比数列： （1）1、1、1、1、1； （2）0、1、2、4、8； （3）1、11 1124816 -、、-、.

分析 （1）数列的首项为1，公比为1，所以是等比数列； （2）等比数列中的各项均不为零，所以不是等比数列； （3）数列的首项为1，公比为12- ，所以是等比数列. 注 成等比数列的条件：11;20;30n n n a q a q a +=≠≠. 练习47P 1、判断下列数列是否为等比数列： （1）1、2、1、2、1； （2）-2、-2、-2、-2； （3）11111392781--、、、、； （4）2、1、12、14、0. 分析 （1）3122122 a a a a ==，，比值不等于同一个常数，所以不是等比数列； （2）首项是-2，公比是1，所以是等比数列； （3）首项是1，公比是13 -，所以是等比数列； （4）数列中的最后一项是零，所以不是等比数列. 例2 求出下列等比数列中的未知项： （1）2，a ，8； （2）- 4，b ，c ，12 . 分析 在做这种题的时候，可以根据等比数列的定义，列出一个或多个等式来求解。 （1）8442a a a ==-，解得或； （2）22442,,1122b c b b c b c b c c c b ?=?-?=-=??????=-=????=??化简得解得. 例3等比数列{}n a 中， ①a 3=4，a 5=16，求a n ②a 1=2，第二项与第三项的和为12，求第四项。 随堂练习 P23练习题。 思考 由前面的练习5，等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ， 212321234321, , , a a q a a q a q a a q a q a q ====== …… 以此类推，可以得到n a 用1a 和q 表示的数学表达式吗

等比数列第一课时导学案

2.3 等比数列导学案（1） 学习目标：1 .理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列 2 ??掌握等比数列的通项公式并能简单应用 ； 重点：等比数列和等差中项的概念及等比数列通项公式的推导和应用 难点：等比数列通项公式的推 导及应用。 一、温故知新 什么叫等差数列？通项公式是什么 ？什么叫等差中项？ 二、探求新知 1、研究下面三个数列并回答问题 1 1 1 ① 1、2、4、8…；② 1、-1、1、-1 …③ 1、 、一、 —— 2 4 8 问题1: 上面数列都是等差数列吗？ 问题2:以上数列后项与前项的比有何特点？ 2、 等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 _____ 项起，每一项与它的前一项的 _______ 都等于 ______ 常数，那 么这个数列就叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的 _________ ，通常用字母 ________ 表示。 3、 等比数列的通项公式的推导过程 设等比数列 a n ，的公比为q 方法1：（归纳法） 4、等比数列的通项公式 a n 玄1 a 「a 2 a 1_， a 3 a ?q a 1 ，a 4 a 3 q a 1 a n a n 1 q a 1 a o 根据等比数列的定义，可以得到— a 3 -- ? a 4 -- ? a n -- ? ? 一以上共有 a 1 a 2 a 3 a n 1 式，把以上 ____ 个等式左右两边分别相乘得 __________ ，即 a 1 a 2 a 3 a 1 ，即得到等比数列的通项公式。 方法2:（累乘法） a 2 a 3 a 4 a n 1

三、通过预习掌握的知识点 1、等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个 常数，那么这个数列就叫做等比数列 ?这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表 1 “从第二项起”与“前一项”之比为常数 (q) 2 隐含：任一项a n 0且q 0 3 q= 1时，｛a n ｝为常数。 2、 等比数列的通项公式 1: ___________________________ . 3、 等比数列的通项公式 2: ___________________________ . 4、 等比中项：若 a.b.c 成等比数列。贝U . 5、既是等差又是等比数列的数列 ：非零常数列 四、预习检查： 1.判断下列数列是否为等比数列 (1) 2,2,2,2，…； (2) -1,1,2,4,8 , ; ⑶ Ig3,lg6,lg12,…; (4) 1 2 3 a ,a ,a n 7 a J ； (5) 已知数列 a n 的通项公式为 a n 3 2n 。 (6) 已知数列 a n 的通项公式为 a n n 3 2.已知数列1,24,-8,16?…它的公比是 ,通项公式是 3. 已知数列 1 — 1 1 1 - -- … 则一 1 是它的第 项。 2 4 8 128 4. 一个等比数列的第 9项是4 ，公比是一1 ,求它的第1项 9 3 5. 一个等比数列的第 2项是10，第3项是20,求它的第1项与第4项 示(q z 0),即: a n =q (q* 0) a n 1 ｛an ｝成等比数列 a n 1 =q ( n a n N ,q *0)

高二数学 等比数列教案1

四、教学设计 结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下： 图片欣赏数形结合 新课引入类比化归 前后呼应 公式应用 前后呼应小结 五、教学过程 教学 环节 活动 说明 （一）感受生活启动教学目标 创设情境：首先让学生欣赏一幅美丽的图片——泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景点，传说中陵寝中有一个三角形的图案嵌有大小相同的宝石，共有100层，同时提出第一个问题：你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？也即计算1+2+3+…..+100=？ 问题2,3,4，层层推进，完善高斯算法的过程就是问题设置从易到难，层层推进. 前2问学生可以很快做答，而第3问是高斯首末项结合运算的反映，要启发引导学生，第4问做为问题引出课题. （二）探求结论初达数学目标 对于上面的问题，提炼成如下数学问题 已知等差数列｛an ｝中，首项为a1,第n项为an ，求它的前n项和Sn . 借助引题中第（3）问的算法，考虑首项与末项，第k项与倒数第k项的和相等（等差数列的性质），可以倒着顺序构造Sn，利用和求解，具体如下： Sn＝a1＋a2＋a3…＋an-2+an-1＋an ① Sn＝an ＋an-1 ＋an-2 …＋a3＋a2＋ a1 ② 推导出公式 （三）例题讲解，练习规范步骤 例1：等差数列{an}的公差为2，第20项a20=29,求前20项的和S20（学生回答） 练习：（学生黑板板书） 1 {} 1 20,37,629, . n n n a n s a a === 在等差数列中，已知d 求及

2 等差数列－10，－6，－2，2，…前多少项的和为54？ 例2 等差数列{an}中, d=4, an=18, Sn=48, （学生讨论解决） 求a1和n 的值。 （四）、课堂练习（学生回 答，注意最后一题的项数） 1.等差数列 {an} 的首项为a1，公差 为d ，项数为n ，第n 项为an ，前n 项和为Sn ，请填写下表： 2.计算: 五、课堂小结 1. 一种求和方法: 113521);22462;3135(23).n n n ++++-+++++++ ++（）（（）（）

《等比数列》第一课时教学设计

《等比数列 (第一课时)》教学设计 一、教学任务和目标 （一）教学任务分析：通过观察、分析、归纳、猜想、类比等思维活动，展示等比数列概念的形成与指数函数的对应等的深化过程；体会研究等比数列通项公式简单归纳方法：特殊到一般的过程。（二）教学目标 知识与技能：理解并掌握等比数列的定义和通项公式，并加以初步应用。 过程与方法：通过概念、公式和例题的教学，渗透类比思想、方程思想、函数思想以及从特殊到一般的数学思想，培养观察、分析、归纳、猜想、概括等思维能力。 情感、态度与价值观：培养勇于探索、大胆尝试与创新的精神，养成科学、良好的学习习惯和品质。 （三）教学重、难点 教学重点：等比数列概念的形成与深化，等比数列通项公式的推导与应用 教学难点：等比数列概念的深化，等比数列的判定、证明和应用二、教法与学法 （一）教学方法分析：本节课是《等比数列》第一课时，核心任务是概念的本质理解，而概念教学应注重概念的形成过程，引导学生主动探索、发现、类比和归纳，因此本节课采用教为主导、学为主体、

练为主线的教学方法，培养学生的学习热情，发挥学生的主动性和创造性。 （二）学法分析：一方面，学生领会数学概念学习的一般过程，并主动探索概念的形成；另一方面，由于等比数列与等差数列在内容上是完全平行的，因此，学生可以将类比等差数列的概念形成和拓展过程，来构建等比数列的知识系统。 三、教学过程 （一）复习引新 等差数列与等比数列的内容平行，因此类比法是本节课学生学习过程中采用的主要数学方法。学生已经学习过等差数列相关内容和思想方法，因此本节课先复习等差数列知识点，为类比思想的应用提供基础。 问题1：等差数列的定义是什么？ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示。 问题2：等差数列的通项公式是什么？如何推导该公式？ 等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+- 推广公式：()n m a a n m d =+- 推导过程：方法一：不完全归纳法：归纳、猜想。 方法二：累加法 问题3：等差数列的通项公式与相应的一次函数解析式之间有何

高中数学等比数列教案(完整版).doc

天津职业技术师范大学 人教A版数学必修5第48-52页 2.4等比数列 理学院数学0801 刘瑞平

等比数列教案 一、 课题：等比数列 二、 课型：新授课 三、 教材分析 等比数列的学习在本章中占很大的比重。在日常生活中，人们经常遇到的像存款利息等问题，都需要用有关等比数列的知识来解决。本节内容可以类比等差数列进行教学。 四、 学情分析 学生已经已经有了必要的数学知识储备和一定的数学思维能力，在学完等差数列的基础上，也已经具有了必要的与数列相关的知识。因此，可以通过生活中的例子引入等比数列的概念；然后，再类比等差通项的迭加思想引导学生用迭乘的思想推导等比数列的通项公式。这样，学生既学习了知识又培养了能力。 五、 教学目标： 1) 知识目标：使学生理解等比数列的概念；学会利用等比数列的定义判断一个 数列是否为等比数列；利用通向公式求项。 2) 能力目标：让学生感知数学与生活的普遍联系，培养学生类比的思想方法， 掌握迭乘的思想，调动学生积极观察思考。 3) 情感目标：使学生体验数学活动充满着探索，感受数学思维的严谨性，提高 学生数学思维的情趣。 4) 教学重点与教学难点 教学重点：等比数列的概念 教学难点：等比数列通项的推导，有关等比数列的证明。 六、 教学方法：讲授法，讨论法 七、 教学过程： 1、导入，设问激疑 设问激疑 引出课题 巩固定义 严谨思维 类比等差 推导通项 证明等比 揭示内涵 设问思考 积极探索 反思小结 培养能力

师：上课之前，先问大家一个问题：一张报纸（厚度大约为0.1mm ），将它对折50次会有多厚？如果拿它做云梯能到哪？ （师生互动，一起来分析这道题目）报纸厚度为 初始 0.1mm 折叠1次 0.1?2 = 0.1?21 折叠2次 0.1?2?2 = 0.1?22 折叠3次 0.1?2?2?2 = 0.1?23 折叠4次 0.1?2?2?2?2 = 0.1?24 …… 可以猜想得出 ，折叠50次之后，报纸厚度为 0.1?250 。lg 250 ≈15.05 ，也就是说250 是一个15位整数，2 50 ?0.1mm=1000 10001 .0250??km ，这个数字我们不 知道他确切的值是多少，但可以知道它是一个八位数。而地球到月球的距离仅有 385400km （六位数）。（让学生感受事实与想象之间的差距） 2、新课引入 回过头来，再次分析报纸的折叠问题。将报纸每次折叠后的厚度，看成是一个数列。 初始 0.1mm 折叠1次 0.1?2 = 0.1?21 折叠2次 0.1?2?2 = 0.1?22 折叠3次 0.1?2?2?2 = 0.1?23 折叠4次 0.1?2?2?2?2 = 0.1?24 ……

人教课标版高中数学必修5《等比数列(第1课时)》教学设计

2.4.1等比数列第一课时 一、教学目标 1.核心素养 通过学习等比数列提高从数学角度发现和提出、分析和解决问题的能力,锻炼数学抽象和逻辑推理能力. 2.学习目标 （1）由特殊到一般,理解并会判断等比数列. （2）掌握等比数列通项公式及证明. （3）应用等比数列知识解决相应问题. 3.学习重点 （1）等比数列定义及判断. （2）通项公式的推导. 4.学习难点 会用等比数列解决相应问题. 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务1 阅读教材,思考:什么是等比数列? 任务2 观察等比数列,总结等比数列的规律,前后两项的比值可以是任意实数吗? 任务3 结合之前的探索,能写出其通项公式吗?等比数列何时递增,递减,或者变成等差数列? 2．预习自测 1．数列4,16,64,256…是什么数列?第五项是多少? 答案:等比数列；1024. 【知识点:等比数列】 【解析】等比数列的通项公式是:11n n a a q -=

2．在等比数列{}n a 中,472,16,a a ==则n a ＝________． .23-n 答案： 【知识点:等比数列通项公式】 【解析】等比数列的通项公式是:11n n a a q -=,由题意求出n 和q 3．已知x ,y ,z ∈R ,若－1,x ,y ,z ,－3成等比数列,则xyz 的值为（ ） A ．－3 B ．±3 C ．－3 3 D ．±3 3 答案:C 【解析】∵-1,x,y,z ,-3成等比数列,∴2y =xz =（-1）×（-3）=3,且2x y =-＞0,即y ＜0,∴y =-3,xz =3,则xyz =-33． ”的什么条件？有都”是“对任意正整数是公比，则“是首项，等比数列中n n a a n q a q a >>>+111,1,0,.4 答案:充分不必要条件. 【知识点:等比数列通项公式,充要条件的判断；数学思想:推理论证能力】 【解析】充分不必要条件.由q >1,得1n n q q ->,又10a >得111n n a q a q -?>?即1n a +>n a 反之不然. 取11n n a a q -==)21 (n -,可得 1n a +>n a ,但1a =21- （二）课堂设计 1．知识回顾 （1）等差数列概念. （2）等差数列通项公式及推导. 2．问题探究 问题探究一 借助等差数列的定义,类比得到等比数列定义 ●活动一 回顾旧知,夯实基础.

《等比数列》第1课时教学设计

《等比数列》第1课时教学设计 ●教学目标 知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导； 过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。 情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。 ●教学重点 等比数列的定义及通项公式 ●教学难点 灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 复习：等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +） 等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。 课本P41页的4个例子： ①1，2，4，8，16，… ②1，12，14，18，116 ，… ③1，20，220，320，420，… ④10000 1.0198?，210000 1.0198?，310000 1.0198?，410000 1.0198?，510000 1.0198?，…… 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？ 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。 Ⅱ.讲授新课 1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1 -n n a a =q （q ≠0） 1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) ｛n a ｝成等比数列?n n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0）

(完整版)刘永祥等比数列第一课时教案

2.4.1等比数列第一课时教案 教者:刘永祥;授课班级:高二（20）班 教学目标 知识目标:1等比数列的定义；2、等比数列的通项公式 能力目标：1、明确等比数列的定义.2、理解掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法；3会解决知道1,,,n a a q n 中的三个求另一个的问题 情感态度价值观;培养学生积极动脑，明辨是非的学习作风，掌握取其精华、去其糟粕的能力。体会等比、等差数列的相似美和结构美 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学重点：1、等比数列概念的理解与并掌握2、等比数列通项公式的推导。 教学难点：等比数列通项公式的推导及应用。 教学过程： （一）复习回顾 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式及其推导方法 （二）复习引入 1．引入：观察下面几个数列，看其有何共同特点？ （１）63 1,2,4,8,16,...,2。（２）111 1,,,,...;248 （３）231,20,20,20...; （４）231.0198,1.0198,1.0198... 结论从第二项起每一项与前一项的比是同一个常数。 2．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起．．．． ，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．． ，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等

比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1 (2)n n a q n a -=≥ 思考：（1）等比数列中有为0的项吗?;(2)公比为1的数列是什么数列？ （3）既是等差数列又是等比数列的数列是什么数列？ (4)常数列是等比数列吗？ 注意：（1）“从第二项起”与“前一项”之比为常数q; (2)隐含：任一项0n a ≠且0q ≠；（3）当1q =时，数列{}n a 为常数列 （4）既是等差数列又是等比数列的数列：非零常数列 3．等比数列的通项公式： 方法一：（不完全归纳法）由定义得： q a a 12=； 21123)(q a q q a q a a ===；234311()a a q a q q a q ===；……； )0(1111≠??==--q a q a q a a n n n 当1n =时，等式也成立，即对一切*∈N n 成立。 方法二：（累乘法）由定义式可得： (1)n -个等式21a q a =，32 a q a =，……，1 n n a q a -=， 若将上述1n -个等式相乘，便可得： 11 342312--=???n n n q a a a a a a a a Λ， 即：11-?=n n q a a （n ≥2） 当1n =时，左边=1a ，右边=1a ，所以等式成立， ∴等比数列通项公式为：111(0)n n a a q a q -=??≠． ４．等比数列的通项公式的推广：1(0)n m n m a a q a q -=??≠ （三）．例题解析： 例1．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项、第2

高中数学《等比数列》教案设计

教案设计 高中数学 《等比数列》 ●教学目标 知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导； 过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。 情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。 ●教学重点 等比数列的定义及通项公式 ●教学难点 灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 复习：等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +） 等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。 课本P41页的4个例子： ①1，2，4，8，16，… ②1，12，14，18，116 ，… ③1，20，220，320，420，… ④10000 1.0198?，210000 1.0198?，310000 1.0198?，410000 1.0198?，510000 1.0198?，…… 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？ 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。 Ⅱ.讲授新课

1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1 -n n a a =q （q ≠0） 1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) ｛n a ｝成等比数列?n n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0）2? 隐含：任一项00≠≠q a n 且 “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件． 3? q= 1时，{a n }为常数。 2.等比数列的通项公式1: ) 0(111≠??=-q a q a a n n 由等比数列的定义，有： q a a 12=； 21123)(q a q q a q a a ===； 312134)(q a q q a q a a ===； … … … … … … … ) 0(1111≠??==--q a q a q a a n n n 3.等比数列的通项公式2: ) 0(11≠??=-q a q a a m m n 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系 等比数列与指数函数的关系： 等比数列｛n a ｝的通项公式)0(111≠??=-q a q a a n n ,它的图象是分布在曲线1x a y q q =（q>0）上的一些孤立的点。 当10a >，q >1时，等比数列｛n a ｝是递增数列； 当10a <，01q <<，等比数列｛n a ｝是递增数列；

2018版第2章2.3.2第1课时等比数列的前n项和

2.3.2 等比数列的前n项和 第1课时等比数列的前n项和 1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用.(重点) 2.会用错位相减法求数列的和.(难点) 3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题. [基础·初探] 教材整理等比数列的前n项和 阅读教材P48～P50，完成下列问题. 等比数列的前n项和公式 1.设{a n}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{a n}前7项的和为________. 【解析】∵a5＝a1q4，∴q＝±2.∵q>0，∴q＝2，

∴S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝27－12－1＝127. 【答案】 127 2.在等比数列{a n }中，a 1＝2，S 3＝26，则公比q ＝________. 【解析】 ∵S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝2(1－q 3) 1－q ＝26，∴q 2＋q －12＝0，∴q ＝3或－ 4. 【答案】 3或－4 3.等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1＝________. 【解析】 由S 5＝a 1[1－(－2)5] 1－(－2)＝44， 得a 1＝4. 【答案】 4 4.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5 S 2 ＝________. 【解析】 由8a 2＋a 5＝0， 得a 5 a 2 ＝－8，即q 3＝－8， 所以q ＝－2. S 5 S 2＝a 1[1－(－2)5] 1－(－2) a 1[1－(－2)2]1－(－2)＝1－(－2)5 1－(－2)2＝－11. 【答案】 －11 [小组合作型]

等比数列教案经典

《等比数列》教学设计（共2课时） 第一课时 1、创设情境，提出问题 （阅读本章引言并打出幻灯片） 情境1：本章引言内容 提出问题：同学们，国王有能力满足发明者的要求吗？ 引导学生写出各个格子里的麦粒数依次为： 1，2，,2,2,2432 ……，632 （1） 于是发明者要求的麦粒总数是 情境2：某人从银行贷款10000元人民币，年利率为r ，若此人一年后还款，二年后还款，三年后还款，……，还款数额依次满足什么规律？ 10000(1+r),100002)1(r +,100003)1(r +,…… （2） 情境3：将长度为1米的木棒取其一半，将所得的一半再取其一半，再将所得的木棒继续取其一半，……各次取得的木棒长度依次为多少？,8 1,41,21…… （3） 问：你能算出第7次取一半后的长度是多少吗？观察、归纳、猜想得7)2 1( 2、自主探究，找出规律： 学生对数列（1），（2），（3）分析讨论，发现共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。也就是说这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点。于是得到等比数列的定义： 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q )0(≠q 表示，即1:(,2,0)n n a a q n N n q -=∈≥≠。 如数列（1），（2），（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，1+r,2 1 点评：等比数列与等差数列仅一字之差，对比知从第二项起，每一项与前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”。 ??????23631+2+2+2++2

等比数列的前n项和(教学设计)

等比数列的前n项和 （第一课时） 一．教材分析。 （1）教材的地位与作用：《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5），是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 （2）从知识的体系来看：“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做好铺垫。 二．学情分析。 （1）学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的通项公式和求和公式与方法，等比数列的概念与通项公式。 （2）教学对象：高二理科班的学生，学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。 （3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三．教学目标。 根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律，本节课的教学目标确定为： （1）知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有关的问题。 （2）过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．

等比数列的前+项和(第一课时)

等比数列的前n项和（第一课时） 南宁二中蓝荣升 一、教材分析 从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n项和是第三章“数列”第五节的内容，一方面它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面它又为进一步学习“数列的极限”等内容作准备. 就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数列求和问题中有着广泛的应用；另外它在如“分期付款”等实际问题的计算中也经常涉及到. 就内容的人文价值上来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体． 教师教学用书安排“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系. 二、教学目标 依据课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下： 知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题． 过程与方法目标：通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质． 情感与态度目标：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美． 三、教学重点和难点 重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用． 难点：等比数列的前n项和公式的推导． 四、教学方法 利用计算机和实物投影等辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式.

《等比数列的前n项和》(第一课时)教学设计 教材分析

《等比数列的前n项和》（第一课时）教学设计 海南省洋浦中学周丽宇 一、教材分析 1.在教材中的地位与作用 在《数列》一章中，《等比数列的前n项和》是一项重要的基础内容，从知识体系来看，它不仅是《等差数列的前n项和》与《等比数列》的顺延，也是前面所学《函数》的延续，实质上是一种特殊的函数，而且还为后继深入学习提供了知识基础，错位相减法是一种重要的数学思想方法，是求解一类混合数列前n项和的重要方法，因此，本节具有承上启下的作用；从知识结构和人文价值来看，等比数列与等差数列是平行结构关系，两者之间存在着一定联系，可以进行类比，拓展学生发现、创新的能力，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是增强学生应用意识和数学能力的良好载体；从知识的应用价值来看，它是从大量现实和数学问题中抽象出来的一个模型，前n项和公式的推导过程中蕴涵了基本的数学思想方法，如分类讨论、错位相减等在数列求和问题中时常出现。等比数列的前n项和在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 2．教材编排与课时安排 提出问题→探究等比数列前n项和公式→公式运用→问题解决。 本节“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间为2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程，并充分揭示公式的结构特征和内在联系。 二、教学目标分析 依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特点，确定本节课的教学目标如下： 【知识与技能】理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题，一是已知等比数列基本量而求其前n项和；二是已知前n 项和而逆向求解数列基本量；三是基本思想方法的运用。 【过程与方法】感悟并理解公式的探求过程，感受公式探求过程所蕴涵的的思维方法，渗透类比思想、方程思想、分类讨论思想，优化思维品质，初步提高学生的数学问题意识和探究、分析与解决问题的能力。 【情感、态度与价值观】通过经历对公式的探索过程，对学生进行思维严谨性的训练，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美和数学的严谨美。 三、重、难点分析 【教学重点】等比数列前n项和公式的推导及其简单应用。从知识体系看，为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；就知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来说，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力。