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(推荐)高一数学集合练习题及答案

高一数学集合的练习题及答案

1、集合的概念

集合是集合论中的不定义的原始概念,教材中对集合的概念进行了描述性说明:“一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)”。理解这句话,应该把握4个关键词:对象、确定的、不同的、整体。

对象――即集合中的元素。集合是由它的元素唯一确定的。

整体――集合不是研究某一单一对象的,它关注的是这些对象的全体。 确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。 不同的――集合元素的互异性。 2、有限集、无限集、空集的意义

有限集和无限集是针对非空集合来说的。我们理解起来并不困难。

我们把不含有任何元素的集合叫做空集,记做Φ。理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ与{Φ}”的关系。

几个常用数集N 、N*、N +、Z 、Q 、R 要记牢。 3、集合的表示方法

(1)列举法的表示形式比较容易掌握,并不是所有的集合都能用列举法表示,同学们需要知道能用列举法表示的三种集合:

①元素不太多的有限集,如{0,1,8}

②元素较多但呈现一定的规律的有限集,如{1,2,3,…,100} ③呈现一定规律的无限集,如 {1,2,3,…,n ,…} ●注意a 与{a}的区别

●注意用列举法表示集合时,集合元素的“无序性”。

(2)特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准,然后适当地表示出来就行了。但关键点也是难点。学习时多加练习就可以了。另外,弄清“代表元素”也是

非常重要的。如{x|y =x 2}, {y|y =x 2}, {(x ,y )|y =x 2

}是三个不同的集合。 4、集合之间的关系

●注意区分“从属”关系与“包含”关系 “从属”关系是元素与集合之间的关系。

“包含”关系是集合与集合之间的关系。掌握子集、真子集的概念,掌握集合相等的概念,学会正确使用“”等符号,会用Venn 图描述集合之间的关系是基本要求。

●注意辨清Φ与{Φ}两种关系。 5、集合的运算

集合运算的过程,是一个创造新的集合的过程。在这里,我们学习了三种创造新集合的方式:交集、并集和补集。

一方面,我们应该严格把握它们的运算规则。同时,我们还要掌握它们的运算性质:

A B A B A A A A A A A B B A =??Φ=Φ=Φ== B B A B A A

A A A

A A A

B B A =??=Φ=Φ== U A

C B B C A B A A

A C C A C A U

A C A U U U U U U =?Φ

=??=Φ

== )(

还要尝试利用Venn 图解决相关问题。

二、典型例题

例1. 已知集合}33,)1(,2{2

2

++++=a a a a A ,若A ∈1,求a 。

解:∴∈A 1 根据集合元素的确定性,得:

133,11,1222

=++=+=+a a a a 或)或(

若a +2=1, 得:1-=a , 但此时21332+==++a a a ,不符合集合元素的互异性。

若1)1(2=+a ,得:2-,0或=a 。但2-=a 时,2

2)1(133+==++a a a ,不符合集合元素的互异性。

若,1332=++a a 得:。或-2,1-=a 1)1(-2a 1;2a ,-1a 2=+==+=a 时,时但,都不符合集合元素的互异性。

综上可得,a = 0。

【小结】集合元素的确定性和互异性是解决问题的理论依据。确定性是入手点,互异性是检验结论的工具。

例2. 已知集合M ={}

012|2

=++∈x ax

R x 中只含有一个元素,求a 的值。

解:集合M 中只含有一个元素,也就意味着方程0122

=++x ax 只有一个解。

(1)012,0=+=x a 方程化为时,只有一个解

21-

=x (2) 只有一个解若方程时012,02

=++≠x ax a

1,044==-=?a a 即需要.

综上所述,可知a 的值为a =0或a =1

【小结】熟悉集合语言,会把集合语言翻译成恰当的数学语言是重要的学习要求,另外多体会知识转化的方法。

例3. 已知集合

},01|{},06|{2

=+==-+=ax x B x x x A 且B A ,求a 的值。 解:由已知,得:A ={-3,2}, 若B A ,则B =Φ,或{-3},或{2}。

若B =Φ,即方程ax +1=0无解,得a =0。

若B ={-3}, 即方程ax +1=0的解是x = -3, 得a = 31

若 B ={2}, 即方程ax +1=0的解是x = 2, 得a = 21-

综上所述,可知a 的值为a =0或a =31

,或a = 21-

【小结】本题多体会这种题型的处理思路和步骤。

例4. 已知方程02

=++c bx x 有两个不相等的实根x 1, x 2. 设C ={x 1, x 2}, A ={1,3,

5,7,9}, B ={1,4,7,10},若C B C C A =Φ= ,,试求b , c 的值。

解:由B C C B C ??= , 那么集合C 中必定含有1,4,7,10中的2个。 又因为Φ=C A ,则A 中的1,3,5,7,9都不在C 中,从而只能是C ={4,10} 因此,b =-(x 1+x 2 )=-14,c =x 1 x 2 =40

【小结】对C B C C A =Φ= ,的含义的理解是本题的关键。

例5. 设集合}121|{},52|{-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A , (1)若Φ=B A , 求m 的范围; (2)若A B A = , 求m 的范围。

解:(1)若Φ=B A ,则B =Φ,或m +1>5,或2m -1<-2 当B =Φ时,m +1>2m -1,得:m<2 当m +1>5时,m +1≤2m-1,得:m>4

当2m -1<-2时,m +1≤2m-1,得:m ∈Φ 综上所述,可知m<2, 或m>4 (2)若A B A = , 则B ?A , 若B =Φ,得m<2

若B ≠ Φ,则???

??-≤+≤--≥+1

2151221m m m m ,得:32≤≤m

综上,得 m ≤ 3

【小结】本题多体会分析和讨论的全面性。

例6. 已知A ={0,1}, B ={x|x ?A},用列举法表示集合B ,并指出集合A 与B 的关系。 解:因为x ?A ,所以x = Φ, 或x = {0}, 或x = {1}, 或x = A , 于是集合B = { Φ, {0}, {1}, A}, 从而 A ∈B

三、练习题

1. 设集合M =,24},17|{=≤a x x 则( ) A. M a ∈

B. M a ?

C. a = M

D. a > M

2. 有下列命题:①}{Φ是空集 ② 若N b N a ∈∈,,则2≥+b a ③ 集合

}012|{2

=+-x x x 有两个元素 ④ 集合

},100

|

{Z x N x x B ∈∈=为无限集,其中正确命

题的个数是( )

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

3. 下列集合中,表示同一集合的是( ) A. M ={(3,2)} , N ={(2,3)} B. M ={3,2} , N ={(2,3)}

C. M ={(x ,y )|x +y =1}, N ={y|x +y =1}

D.M ={1,2}, N ={2,1}

4. 设集合}12,4{},1,3,2{2

2

+-+=+=a a a N a M ,若}2{=N M , 则a 的取值集合是( )

A.

}

21

,2,3{- B. {-3}

C.

}

21

,3{- D. {-3,2}

5. 设集合A = {x| 1 < x < 2}, B = {x| x < a}, 且B A ?, 则实数a 的范围是

( ) A. 2≥a

B. 2>a

C. 1≤a

D. 1>a

6. 设x ,y ∈R ,A ={(x ,y )|y =x}, B =}1|

),{(=x y y x , 则集合A ,B 的关系是( )

A. A B

B. B A

C. A =B

D. A ?B

7. 已知M ={x|y =x 2

-1} , N ={y|y =x 2

-1}, 那么M ∩N =( ) A. Φ B. M C. N D. R

8. 已知A = {-2,-1,0,1}, B = {x|x =|y|,y ∈A}, 则集合B =

_________________

9. 若A B },01|{},023|{2

2

?=-+-==+-=且a ax x x B x x x A ,则a 的值为_____ 10. 若{1,2,3}?A ?{1,2,3,4,5}, 则A =____________

11. 已知M ={2,a ,b}, N ={2a ,2,b 2

},且M =N 表示相同的集合,求a ,b 的值

12. 已知集合

B,A }02|{},04|{2

2?>--=<++=且x x x B p x x x A 求实数p 的范围。

13. 已知

}065|{},019|{2

22=+-==-+-=x x x B a ax x x A ,且A ,B 满足下列三个条件:① B A ≠ ② B B A = ③ ΦB A ,求实数a 的值。

四、练习题答案

1. B

2. A

3. D

4. C

5. A

6. B

7. C

8. {0,1,2} 9. 2,或3

10. {1,2,3}或{1,2,3,4}或{1,2,3,5}或{1,2,3,4,5}

11. 解:依题意,得:???==2

2b b a a 或???==a b b a 22

,解得:???==00b a ,或???==10

b a ,或?????==

2141

b a

结合集合元素的互异性,得??

?==10b a 或??

??

?==

2141b a 。

12. 解:B ={x|x<-1, 或x>2}

① 若A = Φ,即 0416≤-=?p ,满足A ?B ,此时4≥p

② 若Φ≠A ,要使A ?B ,须使大根142-≤-+-p 或小根242≥---p (舍),解得:

43≤≤p

所以 3≥p

13. 解:由已知条件求得B ={2,3},由B B A = ,知A ?B 。 而由 ①知B A ≠,所以A B 。 又因为Φ

B A ,故A≠Φ,从而A ={2}或{3}。

当A ={2}时,将x =2代入0192

2

=-+-a ax x ,得019242

=-+-a a 53或-=∴a

经检验,当a = -3时,A ={2, - 5}; 当a =5时,A ={2,3}。都与A ={2}矛盾。

当A = {3}时,将x =3代入0192

2=-+-a ax x ,得

019392=-+-a a 52或-=∴a

经检验,当a = -2时,A ={3, - 5}; 当a =5时,A ={2,3}。都与A ={2}矛盾。 综上所述,不存在实数a 使集合A , B 满足已知条件。

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