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——高三数学复习课《平面向量的数量积》案例赏析

循本索源变中出彩

江苏省苏州第十中学吴锷

在高三数学复习课中，如何真正做到精讲精练，提高复习效率，是高三数学老师所面对的一个重要课题．从典型的基础问题入手，通过一题多解、触类旁通，或一题多变、举一反三，进行有效的变式教学既是我国数学教学的优良传统，也是新课程背景下引发学生自主、合作、探究的重要途径．下面以本人的一节高三数学复习课《平面向量的数量积》为例．通过对高考试题的循本索源，引导学生进行自主探究、变中生成的教学实况，希望对高三数学复习有所启发．

一、课堂教学简录与赏析

1．一题多变，唤醒知识

问题1 已知||2,||4==a b ，向量a 与b 的夹角60°，求()?-a b a 的值．

教师：这是08年北京卷的一个改编题，请同学们快速给出答案．

学生齐答：()?-a b a ＝2?-a b a ＝0．

教师：很好！我们通过这个问题的解答，复习了向量数量积的公式：||||cos θ?=?a b a b ．请同学们继续解决下面的问题．

变题1 已知||2,||4==a b ，且向量a 与b －a 垂直，求向量a 与b 夹角．

学生A ：将公式变形，21cos ||||||||2

θ?===??a b a a b a b ，由0θπ≤≤，向量a 与b 夹角为60°．教师：同学A 的解法实际上给出了求两个向量夹角的具体方法．那么下面的问题你能解吗？

变题2 已知||2,||4==a b ，向量a 与b 的夹角60°，求向量a 与2a －b 的夹角．

学生B ：用同学A 的方法，先求出|2a －b |＝4和a 与2a －b 的(2)4?-=a a b ，再用公式求出其夹角为60°．

学生C ：我根据题意画了一张图，发现向量2a ，b 和2a －b 恰好构成一个正三角形，很

快就求出来了．同时我根据这个图还可以求出向量a 与2a ＋b 的夹角为30°．

教师：C 同学做得非常棒！数学结合的方法开阔了我们的思路，借助于平面几何知识的

确可以快速解题，也说明我们掌握了向量的本质．B 同学的解法恰好完成了08年江苏卷的问

题“已知||1,||3==a b ，向量a 与b 夹角120°，则|5a －b |＝ ”．教师：请同学们继续探究下面的问题．变题3 已知||2,||4==a b ，向量a 与b 的夹角60°，若向量,2k +-a b a b 夹角为钝角，求实数k 的取值范围．

学生D ：我认为只要()(2)<0k +?-a b a b ，解得7k >-．

学生E ：D 同学的答案没有考虑到这两个向量是否同向共线，要加上12

k ≠-．教师：学生E 的补充很重要，事实上从向量数量积公式中我们可以知道，向量a ，b 的夹角为锐角或钝角，都要考虑a ，b 不共线．

教师：前面我们围绕平面向量数量积的公式，从不同的角度创造了使用公式的条件．下面的问题同学们能解决吗？变题4 在直角△ABC 中，∠A ＝90°，D 为斜边BC 的中点，AB ＝2，AC ＝4，求AD AB ? ．

D B

学生讨论，方法主要有：将向量分解成1()2

AD AB AC =+ 或建立直角坐标系来求解． AD AB ? ＝学生F ：我想到了一个好方法，如图，过D 作AB 的垂线DE ，则||(||cos )||||212AB AD DAB AB AE ?∠=?=?= ．教师：同学F 的想法太妙了，对平面向量数量积的公式的本质理解了，事实上这种

方法称为投影法，它可以把两个向量投影到一个向量上，用长度来计算，当然还需要观察两个向量的夹角是锐角还是钝角，以确定符号．

赏析：从问题1这个最基本的问题出发，通过变式创造了利用平面向量数量积公式的各个不同的视点，帮助学生在解决问题中系统地理解和掌握了公式的本质．变式教学变换问题的条件和结论，变换问题的形式，但不改变问题的本质，使本质的东西更全面．使学生学习时不只是停留于事物的表象，而能自觉地从本质看问题，同时学会比较全面地看问题，注意从事物之间的联系的矛盾上来理解事物的本质，在一定程度上可以克服和减少思维僵化及思维惰性，从而可以更深刻地理解课堂教学的内容．用问题串构筑数学基础知识复习的方法是高三数学复习教学的非常有效的策略．

2．解后反思，变中出彩

问题2 在平面坐标系xOy 中，

已知点()(12)2,3(21)A B C －，－，，－，－．

（1）求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；（2）设实数t 满足()0AB tOC OC -? ＝，求t 的值．

教师：本题是10年江苏卷的题目，请同学们思考解决方案．学生讨论，对于（1），焦点主要是要不要求出D 点的坐标，还是用向量,AB AC

表示对角线所对应的向量．对于（2），焦点主要是坐标代人运算还是用运算法则．学生相互评点

方法的优劣，教师适时点拨，达成共识．

教师：请同学们进一步思考下面的问题．变题1 在问题2的条件下，设λ∈R ，当||AB AC λ- 最小时，求λ的值．学生讨论，共识为将||AB AC λ- 平方后转化为关于λ的二次函数22||2(1)3232AB AC λλ-=-+ ≥，当且仅当1λ=时，||AB AC λ-

取得最小值学生G ：受问题1研究的启发，可以从研究向量AB AC λ- 的几何意义入手解决，如图，要使||AB AC λ- 取得最小值，只有向量AB AC λ- 与AC 垂直就可以了，解题速度会快很多，即()0AB AC AC λ-?= ，1λ=．

教师：这是一个创造性的解法，同学G 的方法可以推广到一般的情形，即

λ∈R ，||λ-a b 取得最小值()0λ?-?=a b a ．其实问题2（2）的几何意义也与它一

样．由此可见很多处理问题的方法是相通的．请看08年天津卷中的问题．变题2 在平行四边形ABCD 中，(1,2),(3,2)AC BD ==- ，求AD AC ? ．

学生H ：问题2（1）的讨论，给我影响很深，求具体点的坐标比较麻烦，我用向量,AB AD 表示,A C B D ，即,A C A B A D B D A D A B =+=- ，很快求得(1,2)AD =- ，从而AD AC ? ＝(1,2)(1,2)3-?=．

E B

教师：很好，那到一个不熟悉的题目时，我们要多想想以前有没有类似的问题，可不可以化归为以前所研究过得问题，这是一种数学意识．我们再看11年辽宁卷的问题．

变题3 若a ，b ，c 均为单位向量，且0?=a b ，()()0-?-≤a c b c ，求||+-a b c 的最大值．学生思考，讨论……．学生I 通过实物投影展示解法：受前面的启发，由0?=a b ，我把问题置于直角坐标系中举行研究，不妨设(1,0),(0,1),(,)x y ===a b c ，由()()0-?-≤a c b c ，代入可化简得

22111()()222x y -+-≤，且221x y +=，向量c 在如图所示的圆弧AB 上运动，又向量(1

OD =+= a b ，可以发现当点C 与A 或B 重合时，||+-a b c ＝||AD 的最大值为1．教师：同学I 的解法非常美，通过建系，揭示了问题的几何背景，达到了数与形的完美结合，拓展了向量研究的空间，体现了同学们在向量研究中的创新精神．这种探究方法可以在解决平面向量综合问题中得到充分应用．

赏析：运用变式教学能培养学生的创新精神．创新，即通过旧的知识，新的组合，得出新的结果的过程．“新”可以是与别人不一样的，也可以是自己新的提高，它突出与众不同．创新学习的关键是培养学生的“问题”意识，学生有疑问，才会去思考，才能有所创新．在课堂中运用变式教学可以引导学生多侧面，多角度，多渠道地思考问题，让学生多探讨，多争论，能有效地训练学生思维创造性，大大地激发了学生的兴趣，从而培养了学生的创新能力．

教师：根据所给具体问题的条件，选择适当的方法解决问题，是我们数学解题研究的重要课题，让我们一起来讨论11年湖南卷中的一个向量问题．

3．互动探究，拓展空间问题3 在边长为3的正△ABC 中，2,3BC BD CA CE == ，求AD BE ? ．学生根据题意，经过小组讨论，主要产生了三种解法．一是选择向量,AB AC 为基底，将,AD BE 用,AB AC 表示进行计算；二是以D 为坐标原点，BC 和AD 分别为x 轴和y 轴，利用向量的坐标运算进行计算；三是用投影法，将向量BE 投影到向量AD ，利用几何意义进

行计算．三种方法都能比较快地求得AD BE ? ＝14

-．教师：刚才同学们的这些解法，从不同的角度解决了这个问题，希望学生通过三种解法的比较，学会根据题目的特点，选择最优的方法解题．下面请同学们思考一下，能否根据刚才的研究，在问题3的基础上，自己改编出一些新的问题呢？

学生思考与讨论…… 学生J ：变式1 “在等腰△ABC 中，2BC BD = ，且||BC ＝3，M 是线段AD 上任一点，求BM BC ? ．”用投影法，39||||cos ||||322BM BC BC BM MBD BC BD ?=?∠=?=?= ．学生K ：变式 2 “在边长为3的正△ABC 中，3BC BD = ，求A D A B ? ．”仿问题3建系的方法

，3115(,(,222

AB AD ?=-?-= ．此时，同学们非常激动，为他们喝彩．

教师：两位同学出了两个非常精彩的题目，其中K 同学所出的题目恰好与2011年上海卷理科第11题完全一样，由此可见高考题就是这样得来的．由同学J 的题目，我也编了一个较难的题目．变式3 已知点O 为ABC ?的外心，且4,2AC AB == ，求AO BC ? 的值．

E D C B

同学M：这个问题一点也不难，就是前面问题1的变题4，我把△ABC特殊成直角三角形，外心O就是斜边BC的

中点，易得

()6

AO BC AO AC AB

?=?-=

．

教师：同学M这种特殊化处理问题的方法非常好，在遇到一个比较复杂的问题时，我们往往先从简单的问题入手进行研究，而且这样的解法对处理填空题也非常有益．但如果我强调△ABC不是直角三角形呢？这个问题留给同学们课后思考，相信同学们有智慧一定能解决这个问题．

最后，由同学们自主总结本节课的收获．

赏析：运用变式教学能促进学生学习的主动性．课堂教学效果很大程度上取决于学生的参与情况，这就首先要求学生有学习的主动性，有了学习主动性才能积极参与学习．增强学生在课堂中的主动学习意识，使学生真正成为课堂的主人，是现代数学教学的趋势．变式教学使一题多用，多题重组，给人一种新鲜、生动的感觉，能唤起学生的好奇心和求知欲，掌握问题的发展规律，使学生对数学基础知识认识从感性上升到了理性的层面，培养学生的数学意识和思维的深刻性、创造性．因而能够产生主动参与学习的动力，保持其参与教学活动的兴趣和热情．

二、对高三数学复习课如何进行变式教学的几点思考

教育心理学认为，学生的思维过程往往是从问题开始的．学习问题从本质上说就是一个一个问题解决的过程，当学生学习一个新内容时，如果原有的知识经验不足以同化新情景，那么他们就面临一个新问题．学生在问题解决过程中，不仅能应用和获取知识与技能，经历问题解决的过程，而且还能了解问题解决的科学方法，逐渐形成正确的态度和树立正确的观点．一个好的问题设计不仅仅是创设一个好的情景，更主要是为学生学习活动的开展找到一个好的载体，更有利于学生主动地进行解决问题的学习，培养解决问题的能力．

问题变式就是以原题为中心，向它蕴涵的方方面面进行拓展和深化，揭示数学概念的本质属性和非本质属性．通过对具有示范性、辐射性的问题变式及训练，能更好的使学生加深对相关知识的理解和掌握相关解决问题的方法，培养学生的知识情境化意识和提高学生辨认情境中所含知识的能力等，从而使其思维能力得以发散、知识信息的迁移能力等得到锻炼和提高，收到举一反三的效果．

对实践过程的反思，我个人认为在现行教材、现行班级和现阶段开展问题变式学习要注意以下几点：

1．紧扣大纲，立足教材，选准具有示范性、发散性、重点突出的典型问题，体现知识的横向联系，具有延伸性，乃至可进行一题多变．这样的问题进行变式后，能有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”中探寻规律，完善学生的认知结构，从而提高学生发现问题、解决问题的能力．

2．问题变式教学要充分体现学生的主体地位，富有启发性和科学性．教学中让学生在主动发现、主动探索中，完成“理解——变式——应用”的认知过程，发展思维和建立新旧知识之间的联系．

3．问题变式是核心和关键．教学时要努力做到变中求“活”、变中求“新”、变中求“异”、变中求“广”、避免简单的重复；变式要由易到难、层层递进，让问题处于学生思维水平的最近发展区．

4．问题变式的选题不仅考虑知识功能，而且还要体现情感、态度、价值观的合理内核．

变式教学可以让教师有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，可以帮助学生使所学的知识点融会贯通，从而让学生在无穷的变化中领略数学的魅力，体会学习数学的乐趣．总之，在新课标下的教师要不断更新观念，因材施教，继续完善好“变式”教学模式，最终达到提高教学质量的目的，并为学生学好数学、用好数学打下良好的基础．

本文发表于《中学数学月刊》2012.4

高中数学平面解析几何知识点总结

平面解析几何一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠； < ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心??? ??--2,2E D ，半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;

高三数学一轮复习---解斜三角形(复习)公开课教案

解斜三角形（复习）公开课教案 [教学目标] 一：巩固对正弦、余弦、面积公式的掌握，并能熟练地运用公式解决问题。二：培养学生分析、演绎和归纳的能力。 [教学重点] 正弦、余弦、面积公式的应用。 [教学难点] 选择适当的方法解斜三角形。 [教学过程] 一：基本知识回顾： 1.1、正弦定理及其变形；正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===（R 是三角形外接圆的半径）变式一：sin 2a A R =、sin 2b B R =、sin 2c C R = 变式二：sin :sin :sin A B C ::a b c = 1.2、余弦定理及其变形；余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc A =+-，变式：222 cos 2b c a A bc +-= 2 2 2 2cos b a c ac B =+-， 222 cos 2a c b B ac +-= 2 2 2 2cos c a b ab C =+-。 222 cos 2a b c C ab +-= 1.3、面积公式二：例题分析： 1、正弦定理（1）在△ABC 中，已知，则 sin B= ( ) （2）在△ABC 中，若a = 2 ,b =0 30A = , 则B 等于60?或120? 111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===4,303 a b A ===?

2、余弦定理（1）在△ABC 中，满足 ,则A ＝ 60° （2）已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为 A ．4 1 - B ．41 C ．3 2 - D ． 3 2 3、三角形解的个数（1）在△ABC 中，已知 , 这个三角形解的情况是:（ C ） A.一解 B.两解 C.无解 D.不能确定（2）△ABC 中，∠A ，∠B 的对边分别为a ,b ，且∠A=60°，4,6== b a ，那么满足条件的△ABC （） A ．有一个解 B ．有两个解 C ．无解 D ．不能确定 4、判断三角形形状（1）若c C b B a A cos cos sin = =则△ABC 为（） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．有一个内角为30°的直角三角形 D ．有一个内角为30°的等腰三角形（2）关于x 的方程02 cos cos cos 2 2=-??-C B A x x 有一个根为1，则△AB C 一定是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 5、正余弦定理的实际应用（1）有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长（） A ．1公里 B ．sin10°公里 C ．cos10°公里 D ．cos20°公里（2） 10105/4/o C v v B AB o 某渔船在航行中遇险发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后立即测出该渔船在方向角为北偏东45，距离海里的处，渔船沿着方位角为的方向以海里小时的速度向小岛靠拢，我海军艇舰立即以海里小时的速度前去营救。设艇舰在处与渔船相遇，求方向的方位角的正弦值 18,20,150a b A ===?222a b c bc =+-

(整理)届高三数学总复习平面解析几何练习题目汇总

第8章第1节一、选择题 1．(2010·崇文区)“m ＝－2”是“直线(m ＋1)x ＋y －2＝0与直线mx ＋(2m ＋2)y ＋1＝0相互垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m ＝－2时，两直线－x ＋y －2＝0、－2x －2y ＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m(m ＋1)＋2m ＋2＝0，∴m ＝－1或－2，故选A. 2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 [答案] A [解析] 解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0. 解法2：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0， ∵过点(1,0)，∴b ＝－1，故选A. (理)设曲线y ＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1 [答案] A [解析] y′＝2ax ，在(1，a)处切线的斜率为k ＝2a ，因为与直线2x －y －6＝0平行，所以2a ＝2，解得a ＝1. 3．点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点是( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－2,2) D ．(2，－2) [答案] D [解析] 一般解法：设对称点为(x ，y)，则

????? x －12－y ＋12－1＝0 y －1x ＋1＝－1，解之得????? x ＝2y ＝－2，特殊解法：当直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的系数满足|A|＝|B|＝1时，点A(x0，y0)关于l 的对称点B(x ，y)的坐标，x ＝－By0－C A ，y ＝－Ax0－C B . 4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC ，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为( ) A ．[0,1] B ．[0,2] C ．[－1,0] D ．[－2,0] [答案] D [解析] 如图，要想使折叠后点O 落在线段BC 上，可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合，故问题转化为在线段CB 上任取一点D ，求直线OD 的斜率的取值范围问题， ∵kOD≥kOB ＝12，∴k ＝－1kOD ≥－2，且k<0，又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0，∴－2≤k≤0. 5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x －ay ＋1＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，10) B ．(10，＋∞) C.??? ?－∞，43∪(10，＋∞) D.??? ?43，10 [答案] D [解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a ＋1)(3－3a ＋1)<0，∴43

高三数学教研组工作总结(精选3篇)

高三数学教研组工作总结（精选3篇）【第1篇】高三数学教研组工作总结高三数学教研组由10位老师组成，担任18个教学班任务。不同的工作经验让10位老师在工作过程中能取长补短、相互配合，激发更大的潜力。学校教研室、教务处的领导和各位同仁的悉心指导和关注，给了我们莫大的支持和鼓励，从而使高三数学教学工作在原有基础上推陈出新，有了更大的进步。总结一学期所做所想，我们收获了以下心得和经验。一、工作目标（一）加强对“352高效课堂教学”思想的学习和实践，转变教学观念，严格按照“高效课堂教学”思想指导教学，切实提高课堂教学的实效性。（二）利用周考这个契机，提高命题质量，促进教师专业发展。（三）健全集体备课，集体协作，积极发挥集体的智慧。固定备课时间，明确每位老师职责，提高备课效率，努力实现资源共享。备课组成员之间加强沟通，共同研究，寻找有效的教学方法。（四）加强组内老师之间的交流，互相听课，取长补短，加强组内教学交流风气。积极参加市教研室组织的各种活动，如公开课，示范课，借鉴其他兄弟学校老师的宝贵经验。二、本学期各项工作回顾

（一）开展教研活动的情况 1.集体备课情况。学期开始前就制定了详实的备课组教研计划，对集体备课做了详细的任务分配和计划，做到每次集体备课有主讲老师，有重点和难点，备教材和练习。实践中每位老师中都积极准备，认真地组织，活动中积极发言，献计献策。 2.听课评课情况。每位老师都虚心好学，积极开展推门听课，相互借鉴，取长补短。学校或科组组织的公开课，科组老师只要有时间必去听课，且做好详实的听课记录，课后进行交流。 3.理论学习情况。本学中，我们组重点学习“352高效课堂教学”，通过研读、讨论，努力把握高效教学思想的精髓，组内老师进一步领悟高效教学的思想，并在教学实践中逐步的贯彻落实。 4.学期初计划和学期末总结情况。学期初要求每位组内老师根据学校的总体要求，结合本年级、本学科的实际情况制定了自己的教学工作计划，实施过程中大家都很好地完成了学期初所制定的教学计划，基本达成了学期初所制定的目标。学期结束每位老师又对自己的教学工作做了总结，为下学期的工作做好准备。（二）教科研工作情况一个学期来我教研组认真落实学校安排的各项任务，积极参加各项教研教学活动，并有一定的收获。其中郭小军老师参加了2014年县骨干教师教学比赛；任文利,张国伟老师参加了2014年县教学能手教学比赛。都获得了该项荣誉。同时，组内老师也发表多篇文章，参加网上赛课。

高中数学平面解析几何的知识点梳理

平面解析几何 1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =．（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）．注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=．注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点．（2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点．（3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直：（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=．线段21P P 的中点是),(00y x M ，则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x ．

高三数学公开课教案,等差数列的证明与判定

等差数列及其前n 项和（二）什邡中学数学组廖美重点：等差数列的判定与证明. 难点：①如何选择恰当的方法来证明或者判定等差数列； ②证明或者判定过程中如何根据已知条件化简. 教学目标：教会学生掌握简单的等差数列的证明与判定方法. 相关知识点： 1.证明等差数列的方法 ①定义法：d n d a a n d a a n n n n )(2()1(11≥=-≥=--+或为常数） ②等差中项法： )2(2)1(21112≥=+≥=+-+++n a a a n a a a n n n n n n 或 2．判定等差数列的方法 ①定义法：d n d a a n d a a n n n n )(2()1(11≥=-≥=--+或为常数） ②等差中项法： )2(2)1(21112≥=+≥=+-+++n a a a n a a a n n n n n n 或 ③通项公式法：是常数）b a b an a n ,(+= ④前n 项和公式法：是常数）b a bn an S n ,(2+= 例1.在数列{}n a 中，),2.(12,53*11N n n a a a n n ∈≥-==-,数列{}n b 满足1 1-=n n a b )(*N n ∈ （1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n a 中的最大项和最小项，并说明理由.

训练1.（01天津，2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2 n S n =，则{}n a 是（） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列训练2.数列{}n a 中，),2(112.1,2*1 121N n n a a a a a n n n ∈≥+===-+，则其通项公式为=n a _________. 训练3.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31=a ，点),(1+n n S S 在直线11+++= n x n n y （)*N n ∈上. (1)求证：数列? ???? ?n S n 是等差数列； (2)求n S .

数学高考研讨会心得体会

数学高考研讨会心得体会篇一：XX年数学中考研讨会心得体会 XX年数学中考研讨会心得体会在县领导的关心与培养下，本人有幸于XX年5月3日参加了西林县中考数学复习研讨会。学习内容如下：3日下午认真听取了西林中学一位老师观摩课堂教学（反比例函数复习课），一节观摩课后又认真听取了百色市下来的数学专家的评课交流，我感触很大，还有就是几位西林中学、民族中学几位有经验的教师和吴主任的XX年数学复习方针的总结报告。这次研讨会指明了中考复习的方向，理清了复习的思路，有利于指导我们在复习中更好的进行查漏补缺，以弥补教学的疏漏之处，也让我觉得教师不应该再是一味地进行无限量的题海战术，而是应该有针对性的复习。复习建议：把各位老师的复习建议梳理了一下，加之我自己的一些经验，我认为下段复习中应做到： 1、组织复习时，注重“通性通法”“双基”“概念”“运算”“数学思想”“解题策略”“思维方式的多样性”“实践应用能力”“数学建模能力”方面的复习。 2、复习要讲究策略，要提高复习课的有效性，剩下的只有一个多月，三年没有解决的问题我们不可能三十多天全部解决好，这就要

求我们有效复习要讲究策略。如总分策略、改错策略，难度策略、差异化策略，补拙策略，提高考技策略等。 3、教师要处理好教材与复习资料的关系，要以《数学课程标准》为纲，九年义务教育课本为本，考纲解读，做到心中有数，课本解读明晰重点难点，实施单元复习，夯实学生基础。在此基础上对复习资料认真的研读，去掉不合适的题目，补充遗漏的题目，提高复习的效果。 4、复习要讲求方法：复习即要紧扣教材，又要跳出教材，重视例题教学。提高复习效率，解决例题技巧，力争正确规范，面向全体学生，分层设计复习，通过综合模拟，增强学生信心。 5、制定合理的复习计划，细分复习时间和复习目标，中考的数学复习分三轮进行，今年第一轮3月29日到5月18日（两个月）理清初中数学内容的脉络，进行基础知识的系统复习。第二轮5月19日至6月2日（两个周）进行综合训练（模拟练习）这一阶段，重点是提高学生的综合解题能力，训练学生的解题策略，加强解题指导，提高应试能力，第三轮6月3日至6月12日（两个周）进行查缺不漏，教师要对在练习中存在的问题进行荡扫，二轮、三轮复习同样不能脱离双基在最后冲刺阶段要做到学生会了不教，学生自己会的不教，教了学生不会的不教一定要有重点的专题复习。所以我们要注意做到：低分学生“高“求：即低分学生

[精品]新高三数学第二轮专题复习概率与统计优质课教案

高三数学第二轮专题复习：概率与统计高考要求概率是高考的重点内容之一，尤其是新增的随机变量这部分内容要充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率处理问题的基本思想方法重难点归纳本章内容分为概率初步和随机变量两部分第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差涉及的思维方法观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化主要思维形式有逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维典型题例示范讲解例1有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下［10，15］4 ［30，35)9 ［15，20)5 ［35，40)8 ［20，25)10 ［40，45)3 ［25，30)11 (1)列出样本的频率分布表(含累积频率)； (2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图命题意图本题主要考查频率分布表，频率分布直方图和累积频率的分布图的画法

知识依托频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法错解分析解答本题时，计算容易出现失误，且要注意频率分布与累积频率分布的区别技巧与方法本题关键在于掌握三种表格的区别与联系解 (1)由所给数据，计算得如下频率分布表数据段频数频率累积频率［10,15) 4 0.08 0.08 ［15,20) 5 0.10 0.18 ［20,25)10 0.20 0.38 ［25,30)11 0.22 0.60 ［30,35)9 0.18 0.78 ［35,40)8 0.16 0.94 ［40,45) 3 0.06 1 总计50 1 (2)频率分布直方图与累积频率分布图如下

高三数学《平面解析几何》

高三数学《平面解析几何》单元练习七（考试时间120分分值160分）一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把正确答案填在题中横线上) 1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是______． 2．过点A (4，a )与B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则AB ＝________. 3．已知双曲线x 24－y 2 12＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则 p 的值为________． 4．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2 b 的最小值为______． 5．若双曲线x 2a 2－y 2 ＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为________． 6．已知曲线上的每一点到点A (0,2)的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，则曲线的方程为________． 7．(2010·淮安质检)抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________． 8．已知点A 、B 是双曲线 x 2－ y 2 2 ＝1上的两点，O 为坐OA 标原点，且满足OA · OB ＝0，则点O 到直线AB 的距离等于________．

9．(2009·全国Ⅱ改编)双曲线x 26－y 2 3＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0) 相切，则r ＝________. 10．(2009·四川高考改编)已知双曲线x 22－y 2 b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为 F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则12PF PF ?＝________. 11．(2009·天津高考改编)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，BF ＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF S △ACF ＝________. 12．(2010·南京模拟)已知点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0(a ，b 为常数)上，则 (x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为________． 13．直线l 的方程为y ＝x ＋3，在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2 －4y 2 ＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为 ___________________________________________________________． 14．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若 AF FB =，,AF FB BA BC =?＝48，则抛物线的方程为______________．

教你如何写数学评课稿

教你如何写数学评课稿 ----“数学优质课评课活动”评课稿年月日，举行了数学优质课展评活动。本节课中老师精心准备，运用多种教学手段，创设了丰富、生动的教学情境，设计了新颖、活泼的学生活动，成功地激发了学生的学习兴趣。这位老师的课堂教学风格和教育教学理念，深深地震撼着我；听了这节课，让我受益匪浅。下面，我就谈谈我的几点看法。一、创设有效的教学情境，激发学生的学习兴趣——“导” 《数学课程标准》指出：“数学教学，要紧紧联系学生的生活环境，从学生的经验和已有知识出发，创设有助于学生自主学习、合作交流的情境。”过去的“复习导入”、“直接导入”等新课导入方法大多被“创设情景”导入法所代替，内容生动、学生熟悉、感兴趣的教学情境层出不穷，课堂所追求的“让学生真正成为主体，拥有学习主动权”，在预设好的情境和师生的共同努力下得以落实。这节课都体现了这一特点。如，老师的《》这节课中，教师依据本课的内容和要求，贴近学生熟悉的生活经验和已有的知识基础，巧妙地创设情境：课前，引导学生，从而引出这节课要学习的内容。课中选择等一系列学生所熟悉的、直观的、蕴含数学内容的生活情境，让学生结合亲身经历，加深学生对所学数学知识的感悟，从而唤醒学生的生活经验，激发学生的学习兴趣，调动学生探索新知的积极性。因此，教师在创设教学情境时一定要考虑到情境创设的有效性。教师在设计教学情景时，一定要关注教材资源，关注学生的实际，关注学生的差异，创造性地使用教材，创设的教学情境要具有可操作性，有利于学生积极主动思考，达到调动学生学习主动性，激发学生学习兴趣的目的。实践提示我们，学生探索学习的积极性、主动性往往来自充满诱惑或新奇的问题情境。精心创设与生活紧密相关的问题情境，能引导学生从熟悉的生活环境来感受数学，一方面可以使学生逐步养成善于观察、勤于思考的良好习惯；另一方面可以激发学生的求知欲望和探究潜能。因此，创设有效的教学情境，有效激发学习潜能，是促成数学课堂教学向学生自主探究学习方式转化的必要前提。二、探究有效的学习过程，挖掘学生的学习潜能——“学” 《数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”数学教学过程是学生在教师的组织和引导下，进行积极主动参与学习的过程，其核心是调动全体学生积极主动地参与到学习的全过程。它不仅仅是一个认识过程，更重要的是让学生参与实践操作活动，亲自体验数学知识，主动获取知识的过程，同时也有助于提高学生的学习兴趣，激发求知欲。如，《》一课，老师在引导学生探究，让学生。教师充分为学生创设操作和实践的机会，让学生在的过程中，体验。整堂课，学生情绪高昂，课堂气氛热烈、融洽。又如，也是以“活动”为基础，组织学生“经历”了一个个学习过程，动手操作、合作交流更是学生学习数学的重要方式。如，的活动以小组合作的形式出现，以“”的学具为载体，通过“想一想、议一议、摆一摆、说一说”的活动，让学生想一想、议一议有几种方法，再利用学具动手操作摆一摆，最后反馈时，让学生说说自己的想法，从而得方法。在引导搭配的表示方法时，让学生说一说、画一画，在纸上用数字、字母、文字等形式来表示，并用连线的方法连接起来。这些都是学生通过亲身经历来体验和感悟的。学生的手、脑、眼、口等多种感官直接参与了学习活动，不仅解决了数学知识高度抽象性与儿童思维发展具体形象性的矛盾，经历了实物操作（摆一摆）到图形符号（即用数字、字母、文字等连一连）的过程，将数学变

[精品]新高三数学第二轮专题复习分类讨论思想优质课教案

高三数学第二轮专题复习：分类讨论思想高考要求分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论” 重难点归纳分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则分类讨论常见的依据是 1由概念内涵分类如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类 2由公式条件分类如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等 3由实际意义分类如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论典型题例示范讲解

例1已知{a n }是首项为2，公比为2 1的等比数列，S n 为它的前n 项和（1）用S n 表示S n +1; （2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+c S c S k k 成立命题意图本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力知识依托解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质错解分析第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223 技巧与方法本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案解（1）由S n =4(1–n 21），得221)2 11(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *) （2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---k k S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N *)故只要23S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N *）因为S k +1＞S k ，(k ∈N *) ① 所以23S k –2≥2 3S 1–2=1 又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3 当c =2时，因为S 1=2，所以当k =1时，c ＜S k 不成立，从而①不

高三数学备考方案

文登一中高三数学备考方案（一）指导思想以加强双基教学为主线，以提高学生综合能力为目标，结合考点，紧扣教材，加强学生对知识的理解、联系、应用，同时结合高考题型强化训练，提高学生的解题能力及应试能力。（二）复习要求一、深入研究教材和《考试说明》，务必明确考试方向高考考试说明是高考法定的命题文件，而教材是命题的主要资源，也是数学复习之本。对于课本的研究应主要从三个方面人手：准确掌握课本中出现的基本知识(主要概念、公式、法则)；基本知识产生的过程以及其蕴涵的研究方法和所运用的数学思想；用好教材中的例、习题，并注意延伸和拓展。特别注意从课本例题中引导学生学习解题规范。特别应该重视的是教材中基本概念的深刻化理解。正确理解和应用数学概念，是数学高考考查的重点之一。因此，在复习时，基本训练一定要以课本中一些例题和习题为素材，不断总结规律，回归概念。对知识要进行分类、整理、综合加工，从而形成一个有序的知识体系。如代数中的“四个二次”（二次三项式，一元二次方程，一元二次不等式，二次函数时），以二次方程为基础、二次函数为主线，通过联系解析几何、三角函数、带参数的不等式等典型重要问题，建构知识，发展能力。研究《考试说明》就要深入了解考试性质、考试要求、考试内容、考试形式与试卷结构、题型示例等五部分内容，探知命题走向。另外，还要研究近几年山东高考试题并关注教研中心对高考试题的评价报告等。进一步明确数学科试题的命题范围，知识要求、能力要求和个性品质要求等。二、整体把握高中数学课程，突出重点知识及其联系《考试说明》指出：对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点。对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体。注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面。从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点处设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度。复习过程中，做到整体把握高中三年的数学课程，整体计划一轮、二轮复习计划，重点内容要注意反复训练，有联系的内容要注意交叉和整合不同的知识板块，切勿按教材顺序照本宣科。如导数与函数、方程、不等式的整合，三角与向量的整合等。阶段性测试也要从学科的整体高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题。三、重视对数学思想方法的理解和掌握，注重通性通法《考试说明》强调：对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的

高中平面解析几何知识点总结

高中平面解析几何知识点总结一.直线部分 1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率： αtan ),(21121 2=≠--= k x x x x y y k ．两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =．（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式：1 =+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）．注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式： B C x B A y - - =，即，直线的斜率： B A k -=．注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．

数学复习课评课稿

这节课一改以往传统复习的模式，走出了一条复习教学改革的新路子。主要表现在以下几个方面： 1、精心加工教学材料，灵活处理教材。教材是数学知识的载体，是学生在教学过程中的认知对象，是教师进行课堂教学的依据。教学本节课时，教师在尊重教材的基础上，根据学生的实际有目的地对教材内容进行了改编和加工，使教材变得生动活泼，更贴进学生的实际。比如：课本上是传统的相遇问题，而这节课出示的是学生感兴趣的熟悉的情景：发生在本校校长和教课教师之间的求两校距离的问题。例题的结构没变，但是呈现形式却是鲜活的，具有实际意义的需要迫切解决的求“两校之间的距离”。这样的设计更能引起学生的重视，激发学生的求知欲和解决问题的渴望。 2、结合学生的生活实际创设问题情景。六、一儿童节是每个学生都瞩目的节日。接受来自于陌生人的祝福和了解别人为这个节日所准备的活动，更是学生乐于倾听的，更有兴趣的事情。本节课围绕教学目标，结合“六、一”儿童节这个话题，创设出了一个个鲜明的现实情景，使学生学习的材料变成与学生息息相关的、喜闻乐见的生活中的数学。教师利用这个话题引出问题，使学生产生了学习的兴趣，激发了学生学习的内部动机。再让学生解决在这个话题里情景里产生的问题，尝到了成功的乐趣。这样的设计，使枯燥乏味的应用题复习变得更加生动、形象具体。使学生得到了解决生活中的数学问题的愉悦，体验到了用数学的快乐。

3、采取多种学习方式，突出学生的主体地位。应用题复习理当重视数量关系的分析与解题思路的梳理，注重解法的联系与区别。本节课的复习教学，第一题让学生口头解决问题，分析问题，得出两个最基本的数量关系式，梳理两种算法的解题思路；第二题着重复习，先让学生做出这道题，再引导学生分析比较得出算术方法与方程法的联系与区别：都是使用同一个数量关系式，不同的是算术方法需要把数量关系式变形，是一种逆向思维的方式，而方程则是直接利用数量关系式列出方程，是一种顺向思维的方式。接着让学生观察比较两种方程的解答过程，让学生得出方程与方程在解答上的联系，方程与算术法在思路上的一致性。而第三题教师完全放手，让学生独立做，小组合作交流的形式，自己用学习第二题的方法的去主动复习整理。在课堂给学生留有充分的时间和空间，让学生去议一议，想一想，去争辩，去探索。像这样采取不同的学习方式让学生去学习，更能吸引学生的注意力，学生也愿意去学习，使学生的主体地位得到了充分的体现，学生的创新思维也得到了相应的发展，使有限的课堂时空变成了人人参与、个个思考的无限空间。 4、评价方式多样，并且来自于学生，培养了学生的自信心新课标提出应建立评价目标多元，评价方法多样的评价体系。在这节课中，教师在充分肯定、激励性评价为主的同时，多次采用了学生自主评价。如：学生说等量关系后，全班学生一起判断对错；两名学生说出了不同的数量关系式后，全班评，那个学生（说得比较复杂的）自已评；当学生在黑板上板演后，请学生批改。尽管投入的时间并不

高中数学《指数函数(一)》优质课比赛教案设计

指数函数（一）教学目标：知识与技能：理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数的图像和性质，并能自觉、灵活地应用其性质（单调性、底数变化图像的变化规律、中介值）比较大小。过程与方法： (1). 体会从特殊到一般再到特殊的研究问题的方法，培养学生观察、猜想、归纳、概括的能力。 (2). 从数和形两方面理解指数函数的性质，体会数形结合、分类讨论的数学思想方法，提高思维的灵活性，培养学生直观、严谨的思维品质。情感、态度与价值观： (1). 体验从特殊到一般再到特殊的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题，激发学生自主探究的精神，在探究过程中体验合作学习的乐趣。 (2). 让学生在数形结合中感悟数学的统一美、和谐美，进一步培养学生的学习兴趣。教学重点：指数函数的图像和性质。教学难点：指数函数的底数a对图像的影响。

教学过程：（一）、概念引入： 1. 某种细胞分裂时，由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个，以此类推，一个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是什么？ 2．一种放射性物质不断变化为其它物质，每经过一年剩余质量约是原来的12 ，设该物质的初始质量为1，经过x 年后的剩余质量为y ，你能写出,x y 之间的函数关系式吗？ 1. 2()x y x N +=∈ 2. 1()()2x y x N +=∈ 上述两个函数都是正整数指数函数，但在实际问题中指数不一定都是正整数，比如在实例（2）中，我们除了关心1年、2年、3年后该物质的剩余量外，还想知道3个月、一年半后该物质的剩余量，这就需要对正整数指数函数的定义域进行扩充，结合指数概念的的扩充，我们也可以将正整数指数函数的定义域扩充至全体实数，这样就得到了一个新的函数——指数函数。一般地，函数(01x y a a a =>≠且）叫做指数函数，其中x R ∈。结合指数的运算，引导学生分析为什么规定01a a >≠且，加深学生对概念的理解。你能举出指数函数的例子吗？练习1：判断下列函数是否为指数函数。（1）3x y -= （2）2y x = （3）23x y += （4）(2)x y =-

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