当前位置：文档视界 › 数列解题技巧

数列解题技巧

第四讲数列与探索性新题型的解题技巧

【命题趋向】

从2007年高考题可见数列题命题有如下趋势：

1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.

2.数列中a n与S n之间的互化关系也是高考的一个热点.

3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.

4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.

因此复习中应注意：

1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.

2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.

3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等.

4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如a n与S n的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.

5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.

6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.

7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.

【考点透视】

1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.

2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题. 3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题. 4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳

法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决. 【例题解析】

考点1 正确理解和运用数列的概念与通项公式

理解数列的概念,正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式. 典型例题

例1．（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以 f (n)表示第n 堆的乒乓球总数，则()f 3_____=；

()_____f n =（答案用n 表示）.

思路启迪：从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是12,3,4, …推测出第n 层的球数。解答过程：显然()f 310=.

第n 堆最低层（第一层）的乒乓球数，()n 12n n n 1a a a a 2

+=+++=L ，第n 堆的乒乓球数总数相当于n 堆乒乓

球的低层数之和，即()()22212n n n 111f n a a a (12n ).2

+=+++=++++?L L

所以：()()n n 1n 2f (n)6

++=

例2．（2007年湖南卷理）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是．第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ………………………………………

思路启迪：计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。

解：第1次全行的数都为1的是第21-=1行，第2次全行的数都为1的是第221-=3行，第3

次全行的数

…

都为1的是第321-=7行，······，第n 次全行的数都为1的是第21n -行；第61行中1的个数是521- =32．应填21n -，32

考点2 数列的递推关系式的理解与应用

在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形，转化为常见的类型进行解题。如“逐差法”若n n 1a a n,--=且1a 1=；我们可把各个差列出来进行求和，可得到数列{}n a 的通项.

()()()n n n 1n 1n 2211a a a a a a a a ---=-+-++-+L ()()

n n 1n n 121.2

+=+-+++=

L 再看“逐商法”即n 1n

a n 1a +=+且1a 1=，可把各个商列出来求积。

()()n n 12n 1n 1n 21

a a a a a n n 1n 221n!a a a ---=

=--=g g L g g L g 另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题。例3．（2007年北京卷理）

数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =L ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式．

思路启迪：（1）由123a a a ，，成公比不为1的等比数列列方程求c ；

（2）可根据递推公式写出数列的前几项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出an 与n 之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式. 解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+，

因为123a a a ，，成等比数列，所以2(2)2(23)c c +=+，解得0c =或2c =．当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =．（II ）当2n ≥时，由于

21a a c -=， 322a a c -=， L

L ，1(1)n n a a n c --=-，

所以1(1)[12(1)]2

n n n a a n c c --=+++-=L ．

又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=L ，，．当1n =时，上式也成立，所以22(12)n a n n n =-+=L ，，．

小结：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.

例4．（2006年广东卷）已知数列{}n x 满足122x x =，()1212

n n n x x x --=+，3,4,n =…．若lim 2n n x →∞

=，则 ( B ) （Ａ） 32

（Ｂ）３（Ｃ）４（Ｄ）５

思路启迪：对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用. 解答过程：n n 1n 12x x x --=+， n n 1n 2n x x x x --∴-=-.

3213

4324

n 1n 2n 3n 1n n 1n 2n x x x x x x x x x x x x x x x x -------=-?

?-=-????

-=-?

-=-??L L L 相叠加n 212n n 1x x x x x x --=+--.

12x x 2

Q ， n n 11

2x x 2x -∴+=.

()n n 11n n lim 2x x lim 2x -→∞

→∞

+=， n n lim x 2→∞

=，12x 6∴= ，1x 3=.

解答过程2：由()1212

n n n x x x --=+得：

n n 1n 1n 2211111

x +x x x x x x 222

---=+==+=L ，

n n 11n 1lim x x x 2-→∞??

+= ???

，因为n n lim x 2→∞=. 所以：1x 3=.

解答过程3：由()1212

n n n x x x --=+得：

()()2n n 1n 1n 2n 2n 311x x x x x x 22-----????-=--=-- ? ?????…………()n 2

n 1

21111x x x 22--????

==--=- ?

???

??L ，

从而 2

3211x x x 2??-=- ???；3

4311x x x 2??-=- ???；……；n 1

n n 111x x x 2--??-=- ???

叠加得：23n 1

n 21111x x x 222-????????-=-+-++-??

? ? ???????????

L . n 2

n 2111x x x 162-????

=+--?? ?

????， n 2

n 21n n 11lim x lim x x 162-→∞→∞????????=+--???? ???????????

. 11

x 12x 26

+ ，从而1x 3=. 小结：数列递推关系是近几年高高数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。对连续两项递推()n n-1a ka d n 2,k 1=+≥≠，可转化为

n n 1d d a k a 1k 1k -?

=- ?--?

?；对连续三项递推的关系()n 1n n-1a ka da n 2+=+≥

如果方程2x kx d=0--有两个根αβ、，则上递推关系式可化为

()n 1n n n 1a a a a αβ+--=-或()n 1n n n 1a a a a βα+--=-.

考点3 数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系与应用

n a 与n S 的关系：1n n n 1S n=1a S S n 2

-?=?

-≥?，数列前n 项和n S 和通项n a 是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式n n n 1a S S -=-时，一定要注意条件n 2≥，求通项时一定要验证1a 是否适合。解决含n a 与n S 的式子问题时，通常转化为只含n a 或者转化为只n S 的式子.

例5．（2006年辽宁卷）在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（）

(A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n - 命题目的：本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。过程指引因数列{}n a 为等比，则12n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列，则

22121122212(1)(1)(1)22(12)01

n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++?+=++?+=?+-=?= 即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C.

例6.已知在正项数列{a n }中，S n 表示前n

项和且n a 1+，求a n . 思路启迪：转化为只含n a 或者只含n S 的递推关系式.

解答过程1

：由已知n a 1+，得当n=1时，a 1=1；当n ≥2时， a n = S n －S n －1

，代入已知有n n 1S S 1-=-+

，n 1n S S 1-=-.

)

n 1S 1-=

，又n n n 1a 0,S S ->>

，

是以1为首项，1为公差的等差数列，

n 故n a 2n 1=-.

解答过程2

：由已知n a 1=+，得当n=1时，a 1=1；当n ≥2时因为2n n a 1S 2+??= ???，所以22

n n 1n a 1a 1a 22-++????=- ? ?????

22n n n n 1n 14a a 2a a 2a --=+--，22

n n n 1n 1a 2a a 2a 0

-----= ()()n n 1n n 1a a a a 20--+--=，因为n a 0>，

所以n n 1a a 2--=，所以n a 2n 1=-.

考点4. 数列中与n 有关的等式的理解与应用

对数列中的含n 的式子，注意可以把式子中的n 换为n 1-得到另外的式子。也可以把n 取自然数中的具

体的数1，2，3…等，得到一些等式归纳证明.

例7．（2006年福建卷）已知数列{}n a 满足1n 1n a 1,a 2a 1+==+ (n ∈N *

) （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n b 满足()n 312n b

b 1b 1b 1b 1n 4444a 1----????=+L (n ∈N*),证明: {}n b 是等差数列;

思路启迪：本小题主要考查数列基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。把递推关系式变形转化

解答过程：（I ）解：*

121(),n n a a n N +=+∈Q

112(1),

n n a a +∴+=+

{}n a 1+是以1a 12+=为首项，2为公比的等比数列。

12.

n n a ∴+= 即 2*

21().n a n N =-∈

（II ）证法一： ()n 312n b

b 1b 1b 1b 1n 4444a 1----????=+L ，

12(b b ...b )b 42.n n n n +++-∴=

122[(...)],

n n b b b n nb ∴+++-= ①

12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-

即1(1)20,n n n b nb +--+=

③

21(1)20.

n n nb n b ++-++= ④

③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+= 即

2120,

n n n b b b ++-+=

*211(),

n n n n b b b b n N +++∴-=-∈

故{}n b 是等差数列.

考点5 等差、等比数列的概念与性质的理解与应用

在等差、等比数列中，已知五个元素1n a ,a ,n,d 或q ，n S 中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”。本着化多为少的原则，解题时需抓住首项1a 和公差（或公比q ）。另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如

（1）等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；等比数列{}n a 中，若m n p q +=+，则

m n p q a a a a = .

（2）等差数列{}n a 中，()n 2n n 3n 2n kn k n 1S ,S S ,S S ,S S ,----L L 成等差数列。其中n S 是等差数列的前n 项和；等比数列{}n a 中（q 1≠-），()n 2n n 3n 2n kn k n 1S ,S S ,S S ,S S ,----L L 成等比数列。其中n S 是等比数列的前n 项和；（3）在等差数列{}n a 中，项数n 成等差的项n a 也称等差数列. （4）在等差数列{}n a 中，()2n 1n S 2n 1a -=-；()2n n n 1S n a a +=+ .

在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用. 典型例题

例8．（2006年江西卷）已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若1O a B u u u r ＝200OA a OC u u u r u u u r

＋，且A 、B 、C 三点共

线（该直线不过原点O ），则S 200＝（）

A ．100 B. 101 C.200 D.201 命题目的：考查向量性质、等差数列的性质与前n 项和。过程指引：依题意，a 1＋a 200＝1，故选A 例9．（2007年安徽卷文、理）

某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a 1，以后每年交纳的数目均比上一年增加 d （d>0）, 因此，历年所交纳的储备金数目a 1, a 2, … 是一个公差为 d 的等差数列. 与此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，而且计算复利. 这就是说，如果固定年利率为r （r >0）,那么, 在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为 a 1（1+r ）n －

1，第二年所交纳的储备金就变成 a 2（1+r ）

n －2

，……. 以T n 表示到第n 年末所累计的储备金总额.

（Ⅰ）写出T n 与T n －1（n ≥2）的递推关系式；

（Ⅱ）求证T n =A n + B n ，其中{A n }是一个等比数列，{B n }是一个等差数列.

命题目的：本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数字模型的能力，考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.

解：（I ）我们有).2()1(1≥++=-n a r T T n n n （II ）2,11≥=n a T 对反复使用上述关系式，得

Λ=++++=++=---n n n n n n a r a r T a r T T )1()1()1(1221

,)1()1()1(12211n n n n a r a r a r a +++++++---Λ ①

在①式两端同乘1+r ，得

).1()1()1()1()1(21121r a r a r a r a T r n n n n n ++++++++=+--Λ ②

②－①，得