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5. 第五讲线性变换之三

7.3 线性变换的矩阵

第七章线性变换学习单元3：线性变换的矩阵 _________________________________________________________ ● 导学学习目标：理解线性变换在一个基下的矩阵的概念；会计算线性变换在一个基下的矩阵；理解线性变换在不同基下的矩阵的相似关系；掌握矩阵等价与矩阵相似的区别与联系。学习建议：线性变换在一个基下的矩阵建立了线性变换与矩阵的对应关系，类似于平面上点与坐标的对应关系，有了这种对应关系，可以让线性变换问题与矩阵问题互相转化。建议大家多看书，认真理解概念与结论。重点难点：重点：深刻理解线性变换在一个基下的矩阵。难点：理解线性变换在两个不同基下的矩阵的相似关系。 _________________________________________________________ ● 学习内容一、线性变换的确定设V 为P 上n 维线性空间，1,,n εεL 为V 的一个基，对任何11,n n V x x ξξεε∈=++L ， ()A L V ∈，则11()()()n n A x A x A ξεε=++L 。即只要知道了1(),()n A A εεL ，则()A ξ也就确定了。命题1 设1,,n εεL 为线性空间V 的一个基，,()A B L V ∈，则A = B 当且仅当 ()(),1,2,,i i A B i n εε==L 。命题2 设1,,n εεL 为线性空间V 的一个基，1,,n ααL 为V 中一个向量组，则存在 ()A L V ∈，使

(),1,2,,i i A i n εα==L 。定理设1,,n εεL 为V 的一个基，1,,n ααL 为V 中任意n 个向量，则存在唯一的 ()A L V ∈，使 (),1,2,,i i A i n εα==L 。例设V 为P 上n 维线性空间，()A L V ∈，A 不可逆，证明存在V 的非零线性变换B ，使得BA = 0。注：由定理可知P 上n 维线性空间V 的线性变换的集合()L V 与V 上n 元向量组之集合间有一一对应关系。二、线性变换的矩阵设V 为数域P 上n 维线性空间，取定V 的一个基1,,n εεL ，则对V 中任一n 元向量组1,,n ααL ，存在唯一的()A L V ∈，使(),1,2,,i i A i n εα==L 。这说明()L V 与V 的n 元有序向量组之集有一一对应关系，但n 元有序向量组1,,n ααL 又可由它们在基1,,n εεL 下的坐标确定。定义设1,,n εεL 为V 的基，()A L V ∈，令 11112121212122221122()()()n n n n n n n nn n A a a a A a a a A a a a εεεεεεεεεεεε=+++??=+++?? ??=+++?L L K L ，即 1212((),(),())(,,)n n A A A A εεεεεε=L L 其中 111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ?? ????=???????? L L L L L L

第六章_线性变换_68180769

第六章线性变换映射：,X Y ≠?≠?，如果有一个法则σ，它使得X 中每个元素α，在Y 中有唯一确定的元素β与之对应，则称σ为X 到Y 的一个映射，记作:X Y σ→，()σαβ=，β称为α在σ下的象，α称为β在σ下的原象。注：()(),X στασατα=??∈=对。变换：一个集合到自身的映射。线性变换的定义与性质定义设V 是数域F 上的线性空间，σ是V 的一个变换，如果满足条件：（1）()()()βσασβασV,α,β+=+∈?；（2）()()k F,αV,k αk σασ?∈?∈=，则称σ是V 上的线性变换或线性算子。 (1), (2)等价于条件：,,,k l F V αβ?∈∈ ()()()σk αl βk σαl σβ+=+。例：设σ：n n R R →，定义为()c αασ=，c 为常数。-----数乘变换或位似变换。 c =0-----零变换，记为o 。 c =1-----恒等变换，记为ε。例：设σ是把平面上的向量绕坐标原点逆时针旋转θ角的变换设()()(),,,T T x y x y ασα''==，则

cos sin sin cos x x y y x y θθ θθ'=-??'=+? 记cos sin sin cos A θθθ θ-?? =??? ? ，则()A σαα=是一个线性变换。例：判断下列变换是否是线性变换 (1) ()()12323,,1,,T T a a a a a σ=; (2) ()()12323,,0,,T T a a a a a σ=; (3) ()()12312231,,2,,T T a a a a a a a a σ=-+; (4) ()()212312 3,,,,3T T a a a a a a σ=. 线性变换的基本性质（1）()θθσ=；（2）()()ασασ-=-；（3）线性变换保持向量的线性组合关系不变，即若s s αk αk αk β+++=Λ2211，则1122s s βk αk αk ασσσσ=+++L ；若θ=+++s s αk αk αk Λ2211，则θσσσ=+++s s αk αk αk Λ2211。（4）线性变换将线性相关的向量组映成线性相关的向量组。线性变换的运算 ()V L ----线性空间V 上所有线性变换的集合。

§7.3线性变换和矩阵.

1．在向量空间 3 F 3中,设1, 1, 1, 1, 是F3的两个基, F 3), 1) 3到基§7.3 线性变换和矩阵 1, 0, 1, 1 , 1, 1, 1 2, 1, 1 3 的过渡矩阵； 1,2,3 2) 在基1, 2, 3下的矩阵； 3)求基1, 2, 3下的矩阵； 4)设 (2,1,3) ,分别求在基 1, 2, 3与1 设三维向量空间V 的线性变换在基1, 2 , 3 下的矩阵是 a11a12a13 A a21a22a23 a31a32a33 1)求在基3, 2, 1下的矩阵； 2)求在基1,k 2 , 3下的矩阵, 其中0k F；2 2． 12 12 3 下的坐标．3) 在基3下的矩阵． 3．在向量空间M 2 (F) 中,定义线性变换 (x)= a b a b (X)= a c b d X c a d b

在基E11, E12, E21, E22下的矩阵. 4.在F 2 2中，求在基E11, E12, E21, E22下的矩阵为 1020 0102 A 3040 0304 的线性变换 . 5. 在n维向量空间V中， L(V)，存在向量V ，使得 n1 0，但 n 0 .证明：V中存在一个基，使得在这个基下的矩阵是 0E n1 00 6. 设A s B，C s D,证明 A0B0 s 0C0C 7. 设A可逆，证明：AB^BA. 8. 在向量空间F3 3中，设 ab c c a b b c a A b c a ， B a b c， C c a b ca b b c a a b c 证明：A，B， C 彼此此相似. 9.设V 是数域 F 上n 维向量空间，证明：V 的与全体线性变换可交换的线性变换是数乘变换. 10.设V是数域F上n维向量空间，问V中是否有线性变换，，使其中I 是恒等变换，为什么？对无限维空间结论又如何？ I.

DLT 直接线性变换解法程序

DLT 直接线性变换解法程序介绍一、程序综合介绍：DLT结算程序程序功能介绍：应用6个已知点计算左右片l 系数；然后应用已经求得的l系数求解物方空间坐标系坐标程序名：SuYGDLT 程序界面：程序界面有四个按钮，分别为读取文件，左片l系数计算，右片系数计算，物放坐标解算程序界面有四个编辑框，分别用来输出文件信息，左片l系数、右片l系数、以及无妨坐标结果截图如下程序使用介绍：必须先点击导入文件按钮，导入文件方可进行正确的计算，如果未导入文件就点击左片平差或右片平差或无妨坐标解算就会弹出如下对话框：

读取数据后点击其它按钮进行其它计算。程序文件格式：数据文件分为两部分，KnownPoint，UNKnownPoint，分别代表已知点信息和待求点信息当文件读取程序读到“KnownPoint”时开始读取已知点信息，已知点信息格式如下 GCP1,1214.0000,1032.0000,1046.5180,1071.6652,9.201742,-9.672384,-2.726064 分别代表点名、左片相片X坐标、左片相片y坐标、右片相片x坐标、右片相片y坐标物方坐标X、Y、Z; 当文件读取到“END KnownPoint”时结束已知坐标的读取待求点信息类似：文件格式截图如下：程序运行结果与评估：本程序区1-10号点作为已知点计算l近似值11-20号点作为未知点解求其物方三维坐标；

程序运行结果与所给参考值相似，应该可以证明其运算是正确的，运行结果截图如下：二、程序编程思想及相关代码程序编程思想及相关函数：本程序设计DLTCalculation类作为l系数结算主程序，其成员变量及成员函数与作用介绍如下： CSuLMatrix LL;//左片L系数矩阵 CSuLMatrix RL;//右片L系数矩阵 int m_iKnownPointCount;//已知点个数 CControlPoint *m_pKnownPoint;//已知点 int m_iUnKnownPointCount;//未知点个数 CControlPoint *m_pUnKnownPoint;//未知点 public: CString LoadData(const CString& strFileName);//读取文件函数 int ifLoda;//判断是否导入数据 CString Datainfor;//文件信息存储 CString *SplitString(CString str,char split, int& iSubStrs); //分割函数 void LFormApproL(CSuLMatrix &LL);//计算左片L系数近似值 void RFormApproL(CSuLMatrix &RL);//计算右片L系数近似值 void FormLErrorEquations(CSuLMatrix LL,CMatrix &LM,CMatrix &LW);//组成左片系数矩阵和常数项矩阵 void LAdjust();//左片平差主函数 void FormRErrorEquations(CSuLMatrix RL,CMatrix &RM,CMatrix &RW);//组成右片系数矩阵和常数项矩阵 void RAdjust();//右片平差主函数 void Output(const CString& strFileName);//输出结果主程序

Matlab+实现直接线性变换

直接线性变换Matlab实现的程序源代码 function re=DLT(A,B) %imco为像方坐标，输入单位是像素 imco=A; %此处为控制点像方坐标，格式为2×n，单位：像素 %obco为物方坐标，输入单位是毫米 obco=B; %此处为控制点物方坐标，格式为n×3单位：毫米 imco_be=[];B=[];M=[]; for i=1:size(imco,2) imco_be=[imco_be;imco(:,i)]; end for i=1:size(imco,2) A1=[obco(i,:),1,0,0,0,0]; A2=[0,0,0,0,obco(i,:),1]; M=[M;A1;A2]; B1=obco(i,:).*imco_be(2*i-1); B2=obco(i,:).*imco_be(2*i); B=[B;B1;B2]; end M=[M,B]; N=M(1:11,:); L=N\(-imco_be(1:11,:)); X0=-((L(1)*L(9)+L(2)*L(10)+L(3)*L(11))/(L(9)*L(9)+L(10)*L(10)+L(11)*L(11))); Y0=-((L(5)*L(9)+L(6)*L(10)+L(7)*L(11))/(L(9)*L(9)+L(10)*L(10)+L(11)*L(11))); L=[L;0];M3=[];W=[]; for i=1:size(imco,2) xyz=obco(i,:); A=xyz(1)*L(9)+xyz(2)*L(10)+xyz(3)*L(11)+1; r2=(imco_be(2*i-1)-X0)*(imco_be(2*i-1)-X0)+(imco_be(2*i)-Y0)*(imco_be(2*i)-Y 0); M1=[A*(imco_be(2*i-1)-X0)*r2;A*(imco_be(2*i)-Y0)*r2]; M2=-[M(2*i-1:2*i,:),M1]/A; M3=[M3;M2]; W=[W;-[imco_be(2*i-1);imco_be(2*i)]/A]; end WP=M3'*W; NBBN=inv(M3'*M3); LP=-NBBN*WP; v=M3*LP+W; imco_be=imco_be+v; X0=-(LP(1)*LP(9)+LP(2)*LP(10)+LP(3)*LP(11))/(LP(9)*LP(9)+LP(10)*LP(10)+LP (11)*LP(11)); Y0=-(LP(5)*LP(9)+LP(6)*LP(10)+LP(7)*LP(11))/(LP(9)*LP(9)+LP(10)*LP(10)+LP (11)*LP(11)); 1

第一章线性空间与线性变换概述

第一章线性空间与线性变换线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念．本章先简要地论述这两个概念及其有关理论，然后再讨论两个特殊的线性空间，这就是Euclid 空间和酉空间． §1.1 线性空间线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础，所考虑的数域是实数域(记为R)和复数域(记为C)，统称数域F ．一、线性空间的定义及性质定义1 设V 是一个非空集合，F 是一数域．如果存在一种规则，叫做V 的加法运算：对于V 中任意两个元素,αβ，总有V 中一个确定的元素γ与之对应．γ称为αβ与的和，记为γαβ=+．另有一种规则，叫做V 对于F 的数乘运算：对于F 中的任意数k 及V 中任意元素α，总有V 中一个确定的元素σ与之对应，σ叫做k 与α的数乘，记为k σα=．而且，以上两种运算还具有如下的性质：对于任意α，β，V γ∈及k ，l F ∈，有 1)αββα+=+； 2)()()αβγαβγ++=++； 3)V 中存在零元素０，对于任何V α∈，恒有αα+=0； 4)对于任何V α∈，都有α的负元素V β∈，使0αβ+=； 5)1αα=； 6)()()k l kl αα=；(式中kl 是通常的数的乘法) 7)()k l k l ααα+=+；(式中k l +是通常的数的加法) 8)()k k k αβαβ+=+．则称V 为数域F 上的一个线性空间，也称向量空间． V 中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算，其中数乘又称数量乘法．在不致产生混淆时，将数域F 上的线性空间简称为线性空间．需要指出，不管V 的元素如何，当F 为实数域R 时，则称V 为实线性空间；当F 为复数域C 时，就称V 为复线性空间．线性空间{0}V =称为零空间．

线性变换

第七章线性变换计划课时：24学时.( P 307—334) §7.1 线性变换的定义及性质（2学时）教学目的及要求：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质教学重点、难点：线性变换的定义及线性变换的性质本节内容可分为下面的两个问题讲授. 一. 线性变换的定义（P307）注意：向量空间V到自身的同构映射一定是V上的线性变换，反之不然。二. 线性变换的性质定理7.1.1（P309）定理7.1.2 （P309）推论7.1.3 （P310）注意：1.定理7.1.2给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基向量的作用所决定。 2.两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论7.1.3 （P310）告诉我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。作业：习题七P330 1，2，3. §7.2 线性变换的运算（4学时）教学目的及要求：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件教学重点、难点：线性变换的运算及线性变换可逆的条件本节内容分为下面四个问题讲授：一. 加法运算定义1 （P310）注意：＋是V的线性变换. 二. 数乘运算定义2（P311）显然k也是V的一个线性变换. 定理7.2.1 L(V)对于线性变换的加法与数乘运算构成数域F上的一个向量空间. 三. 乘法运算 (1). 乘法运算定义3 （P311-312）注意：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律. 两个非零线性变换的乘积可

能是零变换. (2). 线性变换的方幂四. 可逆线性变换定义4 （P 313）线性变换可逆的充要条件例2 （P 314）线性变换的多项式的概念 (阅读内容). 作业：P 330 习题七 4，5. §7.3 线性变换的矩阵（6学时）教学目的及要求：理解线性变换关于一个基的矩阵的定义，掌握与 ()关于同一个基的坐标之间的关系、线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系、同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的理论，掌握L (V )与M n (F )的同构理论。教学重点、难点： 1. 线性变换关于一个基的矩阵的定义。 2. L (V )与M n (F )的同构理论，线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系。本节内容分为下面四个问题讲授：一. 线性变换关于基的矩阵定义（P 316）。注意：取定n 维向量空间V 的一个基之后，对于V 的每一个线性变换，有唯一确定的n 阶矩阵与它对应. 例1 （P 316）注意：一个线性变换在不同基下的矩阵通常是不同的. 例2 （P 317）例3 （P 317）二. 与 ()关于同一个基的坐标之间的关系. 定理7.3.1 例4 （P 318）三. L (V )与M n (F )的同构定理7.3.2 （P 320）定理7.3.3 （P 320）注意：1. 定理7.3.2 （P 320）的证明是本章的难点，在证明之前应复习证明所用到的知识点。 2.由于L (V ) 同构于)(F M n ，所以就把研究一个很复杂的向量空间L (V )的问题转化成研究一个很直观具体的向量空间)(F M n 的问题。同构是高等代数课程的一个基本概念。 3. 定理7.3.3不仅给出了在有限维向量空间判定一个线性变换可逆的方法，而且给出了求

高等代数与解析几何第七章(1-3习题)线性变换与相似矩阵答案

第七章线性变换与相似矩阵习题 7.1 习题 7.1.1 判别下列变换是否线性变换？（1）设是线性空间中的一个固定向量，（Ⅰ），，解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。（Ⅱ），；解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。（2）在中，（Ⅰ），解：不是的线性变换。因对于，有，，所以。（Ⅱ）；解：是的线性变换。设，其中，，则有，

。（3）在（Ⅰ）解：是中，，的线性变换：设，则，，。（Ⅱ）解：是，其中的线性变换：设是中的固定数；，则，，。（4）把复数域看作复数域上的线性空间，共轭复数；解：不是线性变换。因为取，时，有，即。，其中是的，（5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。解：是的线性变换。对，，有，。习题7.1.2 在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向

旋转 900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。证明（表示恒等变换），，；并说明是否成立。证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可知：，，，；；，，，，即，故。因为因为，，所以，，所以。。因为，，所以。习题 7.1.3 在中，，，证明。证明：在中任取一多项式，有。所以。习题 7.1.4 设，是上的线性变换。若，证明。证明：用数学归纳法证明。当时，有

命题成立。假设等式对成立，即。下面证明等式对也成立。因有，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。习题 7.1.5 证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一；（2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且。证明：（进而（2）因1）设，都是都是的逆变换，则有，。即的逆变换唯一。上的可逆线性变换，则有。，同理有由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得。习题7.1.6 设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。证明，，，线性无关。证明：设，依次用可得，得，而，故即得；同理有：；依次类推可得，即得，得，，进而得。

基于直接线性变换算法的普通数码相机检校的应用研究

基于直接线性变换算法的普通数码相机检校的应用研究孔建黄建魏沈周 (西南交通大学四川成都 610031 中铁十局山东济南 520000) 摘要：本文采用直接线性变换（DLT ）算法，完成了普通数码相机检校的应用研究。通过编程实验，解算普通数码相机在不同焦距情况下内方位元素（00,x y ,f ）以及畸变参数（径向畸变系数1k ，2k 、偏心畸变系数1p ，2p ），同时对直接线性变换方法中l 初值的问题给出解决方案。提出了解决控制点布设在一个近似平面上解算l 系数初始值的方法，并且依据实验数据分析了在不同焦距下，相机内方位元素和光学畸变参数的变化情况。关键字：直接线性变换；相机检校；径向畸变；偏心畸变 Abstract In this paper, to complete a common application of digital camera calibration by using the direct linear transformation algorithm. This paper have solved different elements of interior orientation （00,x y ,f ）and distortion parameters （Radinal Distortion 1k ， 2k ,Decentering Distortion 1p ，2p ）of ordinary digital camera focal length by the programming experiments and meanwhile, put forward the solutions of the initial value problem in the direct linear transformation method. Proposed a solution in an approximate control points for solving plane initial value coefficient method, and analyzed the changes of the camera orientation elements and optical distortion parameters in the base of experimental data at different focal lengths. 1 概述在数字摄影测量中，数字影像的获取，通常采用的是专业的摄影设备。这些专业设备的价格昂贵，对非专业部门是无法应用的。随着数码相机技术的发展与进步，普通数码相机在数字摄影测量领域中得到了广泛的应用，尤其是在近景数字摄影测量、无人机低空摄影测量的应用中，表现出了巨大的优势。普通数码相机不仅价格便宜，且操作方便，是专业摄影机不能比拟的。随着数码相机技术的

线性变换和矩阵

§3 线性变换和矩阵一、线性变换关于基的矩阵设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21 V 的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系. 空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21 线性表出，即有关系式 n n x x x εεεξ+++= 2211 (1) 其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系： A ξ=A （n n x x x εεε+++ 2211） =1x A (1ε)+2x A (2ε)+…+n x A (n ε) (2) 上式表明，如果知道了基n εεε,,,21 的像，那么线性空间中任意一个向量ξ的像也就知道了，或者说 1. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，如果线性变换?与?在这组基上的作用相同，即 A i ε= B i ε， ,,,2,1n i = 那么A = B . 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是 2. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21 一定有一个线性变换?使 A i ε=i α .,,2,1n i = 定理1 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21 是V 中任意n 个向量.存在唯一的线性变换?使

A i ε=i α .,,2,1n i = 定义2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出： ?? ? ?? ? ?+++=+++=+++=. , , 22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεε 用矩阵表示就是 A （n εεε,,,21 ）=（A (1ε)，A ?(2ε)，…， A (n ε)） =A n ),,,(21εεε (5) 其中 ??? ??? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵. 例 1 设m εεε,,,21 是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它扩充为V 的一组基n εεε,,,21 .指定线性变换A 如下 ?? ?+====. ,,1,0,,,2,1,n m i A m i A i i i εεε 如此确定的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明 A 2=A 投影A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是

35 直接线性变化的基本原理和解算方法.

立体摄影测量的基本原理 421 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 3.5 直接线性变化的基本原理和解算方法

4 2 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 一、直接线性变化的关系式 111333222333s s s i i i ()()()0()()()()()()0()()(),,,,s a b c i f s s s s s s s s s s s s a X X b Y Y c Z Z x f a X X b Y Y c Z Z a X X b Y Y c Z Z y f a X X b Y Y c Z Z X Y Z X Y Z -+-+-?+=? -+-+-? ? -+-+-? +=?-+-+-? 中心构像方程：其中：为物点的空间坐标为光心的空间坐标，，（＝1，2，3）旋转矩阵所测x y 像片的主距，像点在摄影坐标系的坐标

4 2 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 直接线性变化法 ?直接线性变换（DLT —Direct Linear Transformation ）算法是直接建立像点坐标与物点空间坐标关系式的一种算法。 ?该算法在机算中，不需要内、外方位元素。而直接通过像点解算物点。

4 2 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 二、线性误差的修正 1、线性误差： ?底片均匀变形、不均匀变形 ?畸变差 ?x ，y 坐标轴不垂直 2、线性修正?系数假设主点坐标为（0，0）

线性变换的矩阵表示式

§5 线性变换的矩阵表示式上节例10中，关系式 ()T x Ax = ()n x R ∈ 简单明了地表示出n R 中的一个线性变换. 我们自然希望n R 中任何一个线性变换都能用这样的关系式来表示. 为此，考虑到n n Ae Ae ==αα,,11 （n e e ,,1 为单位坐标向量），即 ()n i Ae i i ,,2,1 ==α，可见如果线性变换T 有关系式()Ax x T =，那么矩阵A 应以()i e T 为列向量. 反之，如果一贯个线性变换T 使()()n i e T i i ,,2,1 ==α，那么T 必有关系式 ()11122(), ,() n n n T x T e e x T x e x e x e ==++ +???? 1122()()() n n x T e x T e x T e =++ + ()11(),,()(,,)n n T e T e x x Ax αα=== 总之，n R 中任何线性变换T ，都能用关系式 ()()n R x Ax x T ∈=表示，其中1((),,())n A T e T e =. 把上面的讨论推广到一般的线性空间，我们有定义7 设T 是线性空间n V 中的线性变换，在n V 中取定一个基 n αα,,1 ，如果这个基在变换T 下的象（用这个基线性表示）为 11112121212122221122(),(),(), n n n n n n n nn n T a a a T a a a T a a a αααααααααααα=++ +??=+++???? =++ +? 记()()()()n n T T T αααα,,,,11 = ，上式可表示为

#第七章线性变换(小结)

第七章线性变换(小结) 本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法. 本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换和矩阵的一一对应关系. 线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是分析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是和之相适应的矩阵理论和方法)在分析几何、微分方程等许多其它使用学科,都有极为广泛的使用. 本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换和矩阵对应和相互转换. 一、线性变换及其运算 1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换和逆变换; 线性变换的值域和核，秩和零度; 线性变换的和和差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式. 2. 基本结论 (1) 线性变换保持零向量、线性组合和线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组 (2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换. (3) 线性变换的基本运算规律(略). (4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法和数量乘法作成一个线性空间. (5) 线性空间V 的线性变换A 的象Im(A )= A V 和核ker A = A -1(0) (a) A 的象Im(A )= A V 和核ker A = A -1(0)是V 的(A -)子空间. (b)若dim(V )=n ,则Im(A )由V 的一组基的象生成: 即设V 的一组基 n ααα,...,,21, Im(A )= A V =L(A α1, A α2,… ,A αn )={ A α|α∈V }. ker A = A -1(0)= { α∈V | A α=0}. (c)A 的秩(dim Im(A ))+A 的零度(dim ker A )=n . (d)A 是双射?A 是单射? Ker(A )={0}?A 是满射.

线性变换及其矩阵

第三讲线性变换及其矩阵一、线性变换及其运算定义：设V 是数域K 上的线性空间，T 是V 到自身的一个映射，使得对于V 中的任意元素x 均存在唯一的 y ∈V 与之对应，则称T 为V 的一个变换或算子，记为 y x T =)( 称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象。若变化T 还满足 )()()(y T x T y x T +=+ )()(x kT kx T = K k V y x ∈∈?,, 称T 为线性变换。 [例1] 二维实向量空间12 2i R R ξξξ?? ??=∈???????? ，将其绕原点反时针方向旋转θ 角的操作即 ??? ? ?????? ??-=???? ??2121cos sin sin cos ξξθθ θθ ηη就是一个线性变换。 [例2] 次数不超过 n 的全体实多项式n P 构成实数域上的一个 1n +维的线性空间，其基可选为 {}2 1,,,,n x x x ，微分算子d D dx = 是n P 上的一个线性变换。 [例3] 取定矩阵n n K C B A ?∈,,，定义n n K ?的变换C XB AX X T ++= )( n n K X ?∈,是否是线性变换 2. 性质（1）线性变换把零元素仍变为零元素（2）负元素的象为原来元素的象的负元素（3）线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组应该注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的。但（4）如果线性变换是一个单射，则把线性无关的元素组变为线性无关的元素组 3. 线性变换的运算（1）恒等变换e T ：,e x V T x x ?∈= （2）零变换0T ：0,0x V T x ?∈= （3）变换的相等：1T 、2T 是V 的两个线性变换，x V ?∈，均有12T x T x =，则称1T ＝2T （4）线性变换的和1T +2T ：x V ?∈，1212()T T x T x Tx +=+ （5）线性变换的数乘kT ：x V ?∈，()()kT x k Tx = 负变换：()()T x Tx -=-

高等代数与解析几何第七章(1-3习题) 线性变换与相似矩阵答案

第七章线性变换与相似矩阵习题7、1 习题7、1、1判别下列变换就是否线性变换？ (1)设就是线性空间中得一个固定向量, (Ⅰ),, 解:当时,显然就是得线性变换; 当时,有,,则,即此时不就是得线性变换。(Ⅱ),; 解:当时,显然就是得线性变换; 当时,有,,则,即此时不就是得线性变换。(2)在中, (Ⅰ), 解:不就是得线性变换。因对于,有,,所以。(Ⅱ); 解:就是得线性变换。设,其中,,则有 , 。 (3)在中, (Ⅰ), 解:就是得线性变换:设,则 , ,。

(Ⅱ),其中就是中得固定数; 解:就是得线性变换:设,则 , ,。 (4)把复数域瞧作复数域上得线性空间,,其中就是得共轭复数; 解:不就是线性变换。因为取,时,有,,即。 (5)在中,设与就是其中得两个固定得矩阵,,。解:就是得线性变换。对,,有 , 。习题7、1、2在中,取直角坐标系,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900得变换,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900得变换,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900得变换。证明(表示恒等变换), , ; 并说明就是否成立。

证明:在中任取一个向量,则根据,及得定义可知:,,;, ,;,,,即,故。因为, ,所以。因为, ,所以。因为, ,所以。习题7、1、3在中,,,证明。证明:在中任取一多项式,有。所以。习题7、1、4设,就是上得线性变换。若,证明。证明:用数学归纳法证明。当时,有命题成立。假设等式对成立,即。下面证明等式对也成立。因有

,即等式对也成立,从而对任意自然数都成立。习题7、1、5证明(1)若就是上得可逆线性变换,则得逆变换唯一;(2)若,就是上得可逆线性变换,则也就是可逆线性变换,且。证明:(1)设都就是得逆变换,则有,。进而。即得逆变换唯一。 (2)因,都就是上得可逆线性变换,则有 ,同理有由定义知就是可逆线性变换,为逆变换,有唯一性得。习题7、1、6设就是上得线性变换,向量,且,,,都不就是零向量,但。证明,,,线性无关。证明:设,依次用可得 ,得,而,故;同理有:,得,即得;依次类推可得,即得,进而得。有定义知,,,线性无关。习题7、1、7设就是上得线性变换,证明就是可逆线性变换得充要条件为既就是单射线性变换又就是满射线性变换,即就是一一变换。

线性变换的定义

第七章线性变换 § 1 线性变换的定义上一章我们看到，数域 P 上任意一个 n 维线性空间都与n P 同构，因之，有限维线性空间的同构可以认为是完全清楚了.线性空间是某一类事物从量的方面的一个抽象.我们认识客观事物，固然要弄清它们单个的和总体的性质，但是更重要的是研究它们之间的各种各样的联系.在线性空间中，事物之间的联系就反映为线性空间的映射.线性空间到自身的映射通常称为的一个变换.这一章中要讨论的线性变换就是最简单的，同时也可以认为是最基本的一种变换，正如线性函数是最简单的和最基本的函数一样. 线性变换是代数的一个主要研究对象. 下面如果不特别声明，所考虑的都是某一固定的数域P 上的线性空间. 定义 1 线性空间 V 的一个变换 A 称为线性变换，如果对于V 中的任意的元素αβ,和数域中任意数k ,都有 ()()A A αβαβ+=+ ()()A k kA αα= （1）以后我们一般用黑体答谢拉丁字 A , B ，…代表 V 的变换，()A k α或()A α代表元素α在变换下的象. 定义中等式（1）所表示的性质，有时也说成线性变换保持向量的加法与数量乘法. 问题1: 线性变换与线性同构有什么异同？下面我们来看几个简单的例子，它们表明线性变换这个概念是有丰富的内容的. 例 1 平面上的向量构成实数域上的二维线性空间 . 把平面围绕坐标原点按反时针方向旋转θ角，就是一个线性变换，我们用I θ表示。如果平面上一个向量α在直角坐标系下的坐标是(,)x y ，那么象I θα()的坐标，即旋转θ角之后的坐标是(,)x y ''按照公式 cos sin sin cos x x y y θθθ θ'-??????= ? ???'?????? 来计算的.同样地，空间中绕轴的旋转也是一个线性变换. 例 2 设α是几何空间中一固定的非零向量，把每个向量ξ变到它在α上的内映射的变换也是一个线性变换，以α∏表示它.用公式表示就是 (,)()(,) ααξξααα∏= 这里(,)αξ表示内积. 例 3 线性空间 V 中的恒等变换或称单位变换 E ，即 ()E αα= ()V α∈ 以及零变换0，即 0()0α= ()V α∈ 都是线性变换. 例 4 设V 是数域P 上的线性空间，k 是P 中某个数，定义V 的变换如下： ,k αα→ ()V α∈ 不难证明，这是一个线性变换，称为由数 k 决定的数乘变换，可用k 表示.显然，当k=1时，我们便得恒等变换，当k=0时，便得零变换. 例 5 在线性空间[]P x 或者[]n P x 中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用D 代表，即11220r r k k k ααα+++=， (())()D f x f x '= 例 6 定义在闭区间[a,b ]上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以C (a,b )代表.在这个空间中，变换

线性变换与矩阵的关系

线性变换与矩阵的关系学院：数学与计算机科学学院班级：2011级数学与应用数学

姓名：学号：线性变换与矩阵的关系（西北民族大学数学与应用数学专业，兰州 730124）指导教师一、线性变换定义1 设有两个非空集合V,U，若对于V中任一元素α，按照一定规则总有U中一个确定的元素β和它对应，则这个对应规则被称为从集合V到集合U的变换（或映射），记作β=T(α)或β=T α,( α∈V)。设α∈V，T(α)= β,则说变换T把元素α变为β，β称为α在变换T下的象，α称为β在变换T下的源，V称为变换T的源集，象的全体所构成的集合称为象集，记作T(V)。即 T(V)={ β=T(α)|α∈V}, 显然T(V) ?U 注：变换的概念实际上是函数概念的推广。

定义2 设V n,U m分别是实数域R上的n维和m维线性空间，T是一个从V n到U m得变换，如果变换满足（1）任给α1 ，α2∈V n，有T(α1+α2)=T(α1)+T(α2); （2）任给α∈V n，k∈R，都有 T(kα)=kT(α)。那么，就称T为从V n到U m的线性变换。说明： ○1线性变换就是保持线性组合的对应的变换。 ○2一般用黑体大写字母T,A,B,…代表现象变换，T(α)或Tα代表元 α在变换下的象。 ○3若U m=V n，则T是一个从线性空间V n到其自身的线性变换，称为线性空 V n中的线性变换。下面主要讨论线性空间V n中的线性变换。二、线性变换的性质设T是V n中的线性变换，则 (1)T(0)=0,T(-α)=-T(α); (2)若β=k1α1+k2α2+…+k mαm,则Tβ=k1Tα1+k2Tα2+…+k m Tα m; (3)若α1，…αm线性相关，则Tα1…Tαm亦线性相关；注：讨论对线性无关的情形不一定成立。 (4)线性变换T的象集T(V n)是一个线性空间V n的子空间。记S T={α|α∈V n,T α=0}称为线性变换T的核，S T是V n的子空间。

线性代数之线性变换的解释

最近想知道特征值、特征值到底有什么物理意义，搜到了这篇文章，共享一下。。。来源：孙哲的日志 [1. 特征的数学意义] 我们先考察一种线性变化，例如x,y坐标系的椭圆方程可以写为 x^2/a^2+y^2/b^2=1，那么坐标系关于原点做旋转以后，椭圆方程就要发生变换。我们可以把原坐标系的(x,y)乘以一个矩阵，得到一个新的(x',y')的表示形式，写为算子的形式就是(x,y)*M=(x',y')。这里的矩阵M代表一种线性变换：拉伸，平移，旋转。那么，有没有什么样的线性变换b(b是一个向量)，使得变换后的结果，看起来和让(x,y)*b像是一个数b乘以了一个数字m*b? 换句话说，有没有这样的矢量b，使得矩阵A*b这样的线性变换相当于A在矢量b上面的投影m*b? 如果有，那么b就是A的一个特征向量，m就是对应的一个特征值。一个矩阵的特征向量可以有很多个。特征值可以用特征方程求出，特征向量可以有特征值对应的方程组通解求出，反过来也一样。例如，设A为3阶实对称矩阵，a1=(a,-a,1)T是Ax=0的解， a2=(a,1,-a)T是(A+E)x=0的解，a≠2,则常数a=? 因为a1=(a,-a,1)T 是Ax=0的解,说明a1=(a,-a,1)T是A的属于0的特征向量， a2=(a,1,-a)T是(A+E)x=0的解，说明a2=(a,1,-a)T是A的属于-1 的特征向量。实对称矩阵属于不同特征值的特征向量式正交的，所以a^2-a-a=0,a≠2,所以a=0。

还是太抽象了，具体的说，求特征向量的关系，就是把矩阵A所代表的空间，进行正交分解，使得A的向量集合可以表示为每个向量a 在各个特征向量上面的投影长度。例如A是m*n的矩阵,n>m，那么特征向量就是m个(因为秩最大是m)，n个行向量在每个特征向量E 上面有投影，其特征值v就是权重。那么每个行向量现在就可以写为Vn=(E1*v1n,E2*v2n...Em*vmn)，矩阵变成了方阵。如果矩阵的秩更小，矩阵的存储还可以压缩。再: 由于这些投影的大小代表了A在特征空间各个分量的投影，那么我们可以使用最小2乘法，求出投影能量最大的那些分量，而把剩下的分量去掉，这样最大限度地保存了矩阵代表的信息，同时可以大大降低矩阵需要存储的维度，简称PCA 方法。举个例子，对于x,y平面上的一个点(x,y)，我对它作线性变换，(x,y)*[1,0;0,-1]，分号代表矩阵的换行，那么得到的结果就是(x,-y)，这个线性变换相当于关于横轴x做镜像。我们可以求出矩阵[1,0;0,-1]的特征向量有两个，[1,0]和[0,1]，也就是x轴和y轴。什么意思呢? 在x轴上的投影，经过这个线性变换，没有改变。在y轴上的投影，乘以了幅度系数-1，并没有发生旋转。两个特征向量说明了这个线性变换矩阵对于x轴和y轴这两个正交基是线性不变的。对于其他的线性变换矩阵，我们也可以找到类似的，N个对称轴，变换后的结果，关于这N个对称轴线性不变。这N个对称轴就是线性变换A的N个特征向量。这就是特征向量的物理含义所在。所以，矩阵A等价于线性变换A。

5. 第五讲 线性变换之三