中科院量子力学超详细笔记 第一章 量子力学的物理基础

第一章 量子力学的物理基础

§1.1 ，实验基础

1, 第一组实验 —— 光的粒子性实验：

黑体辐射、光电效应、Compton 散射

能量分立、辐射场量子化的概念，实验揭示了光的粒子性质。 《黑体辐射谱问题》

黑体辐射谱的Wien 经验公式（1894年）：

考虑黑体空腔中单位体积的辐射场，令其中频率在ννν→+d 间的能量密度为dE d νεν

=((1.1)

这里c 1、c 2β=1/kT 间内与实验符合，但在中、低频区，特别是低频区与实验差别很大。

Rayleigh-Jeans 公式（1900，Rayleigh ；1905，Jeans ）：

将腔中黑体辐射场看成大量电磁波驻波振子集合，利用能量连续分布的经典观念和Maxwell - Boltzmann 分布律，导出黑体辐射谱的另一个表达式——。若记ενενν()=N ，这里N ν是腔中辐射场单位体积内频率ν附近单位频率间隔内电磁驻波振子数目（自由度数目），它为823πνc

。下面来简单推算出它： 0

0:222ikx ikx

x x L

L e e n kL n k k L L πππ==→==→=→Δ= 于是，在单位体积辐射场中，波数在3k k d k →+v v 内的自由度数目

（22k c c ππνωλ===v ）为 22332233232312428882L k d k k d k d k

d d c c

L ππννπννππππ=?====??????v v v v 而εν是频率为ν的驻波振子的平均能量， 由M -B 分布律得

kT d e d e ==∫∫

∞

?∞?00εε

ε

εεβεβν

于是得到 (1.2)

这个与Wien

但在高频波段不但不符合，出现黑体辐射能量密度随频率增大趋于无穷大的荒谬结果。这就是著名的所谓“紫外灾难”，是经典物理学最早显露的困难之一。

1900年Planck 用一种崭新的观念来计算平均能量εν。他引入了“能量子”的概念，即，假设黑体辐射空腔中振子的振动能量并不象经典理论所主张的那样和振幅平方成正比并呈连续变化，而是和振子的频率ν成正比并且只能取分立值， ......,3,2,,0νννh h h

这里的正比系数h 就是后来所称的Planck 常数。与此相应，腔中辐射场和温度为T 的腔壁物质之间达到热平衡后，交换的能量也是这样一份份的。由此，按经典统计理论的麦-波分布律，与上述能级相对应的比例系数分别为

......,,,,132νβνβνβh h h e e e ???

将这些系数归一化(除以这些系数的总和)使它们变成为权重系数，就得到对应频率ν的驻波振子的平均能量，

[][][]000exp ln exp exp n n n nh nh nh nh νννβ?ενβ?βνβ∞

∞=∞==???==??????

?∑∑∑ []{}ln 1exp 1

h h h e νβ?ννβ?β=??=? 将这个平均能量εν乘以自由度数目，就得到下面Planck 公式

(1.3)

显然，(1.3)Wien 公式和

Rayleigh-Jeans 公式，体现了关于辐射谱峰值位置的Wien 位移定律。总之，此公式在全波段范围内与实验曲线十分符合。

这说明，在解释辐射场与腔壁物质相互作用的实验规律中，必须假定腔内电磁场和腔壁物质之间所交换的能量是断续的、一份一份的。即必须假定，对所有频率相应的能量都是量子化的。

《光电效应问题》

自1887年Hertz 起，到1916年Millikan 为止，光电效应的实验规律被逐步地揭示出来。其中，无法为经典物理学所理解的实验事实有：

反向遏止电压(和逸出电子的最大动能成正比)和入射光强无关；反向遏止电压和入射光的频率呈线性关系；

电子逸出相对于光的照射而言几乎无时间延迟。

它们难于理解是因为，按经典观念，入射光的电磁场使金属表面电子

作强迫振动。入射光强度越大，强迫振动的振幅也就越大，逸出电子的动能也就越大。于是，反向遏止电压和入射光强度应当是正比关系，而且和入射光的频率无关。此外，自光照射时起，电子从受迫振动中积聚能量直至逸出金属表面，这需要一段时间，因为电子运动区域的横断面积很小，接受到的光能很有限，电子积聚到能逸出金属表面那样的动能需要一定的时间。然而，实验却表明，这个弛豫时间很短，它不大于109?秒。为了解决这些矛盾，1905年，Einstein 在Planck 的能量子概念基础上，再大胆地前进一步，提出了光量子概念，并指出光量子和电子碰撞并被电子吸收从而导致电子的逸出。他的光电效应方程是

(1.4)

这里Φ0Cs 为1.9eV ，对Pt

为6.3eV 。等式右边用了逸出电子的最大速度，那是因为有些电子在从金属表面逸出的过程（以及在空气传播的过程）中，可能因遭受碰撞而损失了部分动能。这样一来，不仅光场的能量是量子化的，而且光场本身就是量子化的，仿佛是一团“光子气”。光电效应显示，照射在金属表面的波场是一种微粒集合。沿着这一思路前进，人们甚至可以引入光子的“有效”质量m ?，即

m c h c ?==ε

ν22

于是，若在重力场中，一个光子垂直向上飞行了H 距离，其频率要由原来的ν0减小为ν:

h h h c

gH ννν02=+

，从而νν<0 这说明垂直向上飞行的光子，其频率会产生红移1。这一现象在1960年由R.V.Pound 和G.A.Rebka Jr.在哈佛大学校园的水塔上实验观测到了。Einstein 的光电方程被Millikan 用10年时间的实验所证实。

《Compton 散射问题》

在此稍后一点的时间（1923年），发现了Compton 效应，更进一步证实了光量子的存在。在这个效应里，散射光的能量角分布完全遵从通常微粒碰撞所遵从的能量守恒和动量守恒定律。设初始电子是静止的，于是有

1 这里，等式右边第二项在地球条件下比第一项小很多，所以作了一级近似计算。

将矢量方程右边c h νv ′项移到左边，平方之后利用第一个方程以及4204222c m c m c p ?=v ，就得到

()()()()222242440022224240222cos h h h m c m c mm c h h h m c m c

ννννννννθ?′′+?=+???′′+?=??? 后者减前者，得

()()

()242422200002021cos 2222h mm c m c m c mc m c m c h ννθνν′?=?=?′=?

由此即得

(1.5)

引入记号λc h m c

=0，称为电子的Compton 波长，等于0.0242o A 。上式改写为

′?=?λλλθc (cos )1

(1.6)

这个公式已为实验所证实。可是这里推导中使用了光的粒子性以及散射光频率会改变（减小）等概念，这些都是经典物理学所无法理解的（比如说，经典观念就认为，电子在受迫振动下所发射的次波——散射光，其频率应和入射光的頻率相同）。

总之，这一组实验揭示了，作为波动场的光其实也具有粒子性质的一面。

2, 第二组实验——粒子的波动性实验：电子Young 双缝实验、电子在晶体表面的衍射实验以及中子在晶体上的衍射实验。

这些实验表明，原先认为是粒子的这些微观客体，其实也具有波的性质，有时也呈现出只有波才具有的干涉、衍射现象。它们从实验上揭示了微粒的波动性质。

电子Young 双缝实验

Feynman 说：电子Young 双缝实验是量子力学的心脏。

1961年J ?nsson 用电子束做出了单缝、双缝衍射实验。由于电子的波长短，在这种实验中缝宽和缝距都要十分狭小，加之低能电子又容易被缝屏物质散射衰减，实验是很难做的。J ?nsson 在铜膜上刻了五条

缝宽为03.μm 、缝长50μm 、缝距1μm 的狭缝，

分别用单、双、三、四、五条缝做了衍射实验。实验中电子的加速电

压为50keV ，接受屏距离缝屏35cm 。下面我们对双缝实验作些初步的概念性分析1。

实验事实是，这时在接受屏x 处探测到电子的几率P x ()并不简单地等于两缝各自单独开启时的几率P x 1()、P x 2()之和，而是存在两缝相互影响的干涉项

P x P x P x ()()()=++12干涉项

这一干涉项可正可负，随x 迅速变化，从而使P x ()呈现明暗相间的干涉条纹。如果通过缝屏的是光波、声波，出现这种干涉项是很自然的。因为在x 处的总波幅ψ()x 是由孔1、孔2同时传播过来的波幅ψ1()x 、ψ2()x 之和

ψψψ()()()x x x =+12 而P x x 112()()=ψ、P x x 222()()=ψ，并且 P x x x x ()()()()==+ψψψ2122

))()(Re(2)()(2*121x x x P x P ψψ++= (1.7)

对光场这好理解，但现在是电子，从经典粒子的观念来理解，这个干涉项的存在令人十分困惑。

人们在实验中常常把电子理解为经典概念中的“粒子”。这是因为人们在实验中探测到电子的时候，它总是有一定的能量、有一个静止质量，特别是，有一个相当局域的位置！正是这些给人们以电子是“粒子”的印象。何况，人们从未探测到“一部分”的电子。按这种将电子看作一个弹丸“粒子”的经典观念，将完全无法理解电子Young 双缝实验的干涉现象：如果电子是以粒子的“身份”通过狭缝的话，无论通过的是哪一条缝，总是只能穿过其中的一条，这时另一条缝的存在与否对这个电子的穿过行为并不产生影响。两条缝的作用就应当是相互独立、互不干扰的，干涉项并不存在，结果是两个单缝衍射强度的叠加！

也不可以说电子是以“经典粒子”的身份、以某种古怪的方式同时（！）从两条缝通过（比如，一半电子从缝1，另一半从缝2同时穿过；或是转圈返复穿过两条缝等等）。前者显然和人们从未观测到过一部分电子这个事实相违背。后者也是金庸的“匪夷所思”！

到此，事情的复杂性还没完！因为，可以设想如下实验（“which

way ”实验的一种）2：在一条缝后放置一个照明光源，若光源足够强，

1 电子Young 双缝实验是最富于量子力学味道也是最奇特的实验之一。关于这个实验的各种翻版，直到现在仍不断出现；关于它的严格计算可见费曼，量子力学与路径积分；一个唯象计算可见，张永德，大学物理，第11卷，第9期，1992。

2 R.P.Feynman ，A.R.Hibbs ，Quantum Mechanics and Path Integrals ，McGraw-Hill Book Company ，1965。

可以假定光子和电子的散射效率接近百分之百，于是穿过该缝出来的电子必定同时伴随有散射光子。探测有无散射光产生，原则上就可以判断该电子是从哪条缝过来的。结果很意外：每个电子都只穿过一条缝，从未观察到某个电子从两条缝同时穿过的情况，正如同从未观察到半个电子一样。

总之，对电子Young双缝实验的解释似乎陷入了两难的境地！

那么，电子到底是怎样穿过缝屏上这两条缝的呢?

正确答案：可以明确地说，

电子是以“自己独特”方式“同时”穿过两条缝的。

这是基于全部实验事实，经分析所能得到的、无可回避的、唯一逻辑自洽的说法！

这里所说的“自己独特”方式是因为：这种方式既根本不同于经典粒子通过方式，也不完全相同于经典波的通过方式。和经典波的方式“不完全相同”是由于，电子可以在其传播途径上的任一点(包括在缝前、缝中、缝后、接受屏等各处)以一定的几率被探测到，而且一旦被探测到，它总是以一个完整的粒子的形象(一定质量、一定电荷、一个相当局域的空间位置)出现，特别是从不可能有实验在两个缝上同时发现同一个电子。这就是与经典波本质不同之处。正是基于这种理由，有人批评说这种“同时”的说法从实验观点来看缺乏实践意义。其实这恰好说明：以波的行为穿过双缝的电子，同时又具有粒子性的一面。

这里强调指出，情况之所以如此怪异，正是由于测量！

测量严重干扰了电子原来的状态，使它发生了不可逆转的状态突变。正是对电子位置的测量，使原来从两条缝“同时”穿过的电子状态发生突变，塌缩（约化）成为仅从一条缝穿过的状态。正是位置测量造就了电子的经典粒子面貌！产生了“波形象到粒子形象”的突变。

事实是，在位置测量之前，电子并不一定以“粒子”的形象早就客观地存在着1！所有“which way”实验只表明，每次位置测量的结果，确实说明电子只从一条缝通过；但却并不能表明，作这类辨认测量之前，电子在客观上也是只从一条缝通过。

这里，十分重要的是：人们不应当按宏观世界得到的习惯观念，将实验所得结果和图象有意无意地外推，用到做这些实验之前！而应当考虑到，微观客体的状态十分脆弱，极易遭受测量的干扰！所以，对电子穿过双缝的问题不可以说是“确定，但不确知。”因为这是尚

1从后面测量理论知道，对状态ψ()x进行某个力学量的测量，实质是将ψ()x按该力学量的本征态进行展开，测得力学量的数值总只是本征值中的一个，它出现的几率是该展式相应项系数的模方。而该次测量完毕时，ψ()x即突变(塌缩)为该本征态。

未摆脱经典观念束缚的理解。

总之，在这个电子Young双缝实验中，电子穿过双缝时表现出它具有波的性质，而在位置测量中被抓住时，又表现出粒子的图像。

这一切都说明，作为微观客体的电子，它既具有经典粒子的性质，又具有经典波的性质。事实上，电子既不是经典的粒子，又不是经典的波。如果借用不恰当的经典语言来作经典类比，可以简单地说，电子具有波粒二象性(duality或dualism，这个问题后面还将进一步阐述)。

它究竟显示甚么样的图像依赖于人们如何观测——不同的实验将造成不同的干扰，产生不同的状态塌缩，同时也就给出不同的图象。这就是Young双缝实验传出的最重要的信息！

更确切地说，Young双缝实验传出的最重要的信息是几率幅ψ()x：到达x点有两条可能的路径，相应于两个几率幅ψ

()x、ψ2()x，在x点

1

找到电子的几率正是这两个几率幅之和的模平方。事实上，量子力学的所有干涉都来自（由所有路径提供的全体）相因子的等权叠加！

20年代做成了几个出色的电子衍射实验。其中，1927年Davisson 和Germer采用镍单晶做的电子衍射实验，显示了电子的波动性1。

d sinθλ

=

于是，对一定能量的入射电子，若具有一定的波长λ，就在由上式决定的θ方向探测到反射电子的峰值。这就能证明电子具有波的性质。

后来，又用NaCl晶体做了中子衍射实验。到1969年，曾用中性钾原子束做了单缝衍射实验2，实验中所用的缝宽为23106

×?米。1975年成功的实现了中子干涉实验3，并继而建立了高精密的中子干涉量度学。上个世纪90年代，更出现了原子光学4，这时的光栅已是电磁波的驻波。在此期间，又提出了多粒子的干涉现象5。直至近来碳-60也有波动性的实验6。

除上面两组关于波粒二象性的基础实验之外，1911年Rutherford

1C。Davisson, L.H.Germer, The scattering of electrons by a single crystal of nickel, Nature, Vol.119,

558-560(1927)。

2 Am.J.Phys.，37，905(1969).

3H.Rauch, et.al., Phys. Lett., 54A(1975)425.

4A. Zeilinger, et.al., Nature, 388(1997)827.

5D. Greenberger, et.al., Nature, 347(1990)429；Physics Today 46, 8(1993)

6

根据α粒子被金属箔散射的实验提出了原子的有核模型，特别是1913年Bohr 建立了原子的初等量子理论，它们对量子力学的诞生起了直接的推动作用。

Bohr 初等量子理论的要点有三：

1）定态概念，

2）定态之间的跃迁概念，

3）角动量量子化概念——表现为量子化条件。

〈定态〉概念主张原子的有核模型只对某些分立的能量

E m m (,,...)=12才是稳定的，这是为了解决电子绕原子核转动时稳定存在不辐射的问题。因为经典电动力学主张，带电粒子只要有加速度就会产生辐射而损失自己的能量，于是这种有核模型中电子的稳定转动是不可能的。

〈定态之间跃迁〉的概念是为了解决原子光谱中的里兹组合定则

ωmn m n E E =?()/h (1.8)

就是说，原子发光是由于原子从能量较高的定态向能量较低的定态的跃迁。Bohr 理论的定态及定态之间跃迁概念均被后来量子力学所吸纳并加以发展。

〈角动量量子化条件〉原子核外电子所具有的

J m =h

进一步揭示了核外电子呈分立定态存在的事实，丰富了量子化的内容。但是Bohr 利用经典轨道概念将量子化条件表达为动量对坐标的回路积分的形式则是一种不成功的尝试，已被后来诞生的量子力学所否定。

§1.2 基本观念

1, 基本图像：de Broglie 关系与波粒二象性

1905年Einstein

(1.9) （这里π2h

=h ），引入光子的概念。这在原先认为光是电磁波的图象

上添加了粒子的图象，这已由上节第一组实验所证实。于是，若知道等式右边的波动参数ω和k ，便可用这组关系求得它左边的量所相应的微粒子特性。经过18年之久，de Broglie 克服积习的约束，逆过来理解这组关系，将上面这组关系从针对m =0的情况推广到m ≠0的情况，提出原先是微粒的微观粒子也具有波动性1，

1 Louis De Broglie , Waves and Quanta, Nature, Vol .112, 540 (1923)。

(1.10) E p 该粒子所具有的波动特性。上面两组关系式的中间桥梁便是Planck 常数h ，形象地写出便是 (,)(,)E p k v v h ←→?ω

公式（1。10）便是常说的de Broglie 关系。其中关于波长的第二个公式已为上节第二组实验所证实，而关于频率的第一个公式则被原子光谱实验所证实。注意，这组de Broglie 关系是物质世界的普遍规律。其中将两种图象联系起来的Planck 常数h 数值很小，是波粒二象性可以显现出来的标度。假如在所研究问题中能够认为h →0，波和粒子便截然分开，波粒二象性的现象便可以忽略。比如，由原先粒子的(,)E p v ，利用(1.10)第二式便得到λ→0，与此粒子相联系的波动性便可以忽略。于是可以说，经典力学是量子力学当h →0时的极限情况。当然，这里h →0是相对而言，并非真要(本就是常数的)h 变小，而是要求研究对象的动量p 足够大(从而波长λ足够短)，以及运动涉及的空间尺度l 足够大，使得

pl <

即可。简单些说，可以按Planck 常数h 在所研究的问题里能否忽略，决定波粒二象性是否表现出来，进而决定经典与量子的界线。于是，经典力学只不过是其研究对象的能量、动量以及运动的空间尺度如此之大，使得h 的作用可忽略情况下的力学。

综上所述，不论静止质量为零和不为零的微观物质，都普遍存在波粒二象性。这两种截然不同的属性通过Planck 常数连结成为de Broglie 关系，统一在所有微观物质上。对初学者而言，波粒二象性是理解微观物质普遍属性的基本图象，也是初学者理解量子力学的基本图象。

然而，这种波粒二象性的基本图象，使初学者常常感到迷惑和不习惯。产生迷惑和不习惯的原因是，他们所经历的全部宏观物理现象中h 都是可以忽略的，不存在这种二象性：波就是纯粹的波，粒子就是道地的粒子。于是，初学者常常会问：电子一会儿象波，一会儿又象粒子，那它到底是什么？为了回答这种问题，可以打个比方：某个人，今天早晨遇到某事时笑了，表现出一付笑面孔；但今天中午碰到另一件事时他哭了，表现出另一付截然不同的哭面孔。就这样他表现出了两付截然不同的面孔。人们能不能据此发问：他到底是怎样的面孔？！显然不应当这样发问，因为这些都是这个人的面孔。人们只应当问：他在什么情况下会表现出笑面孔，而在什么情况下会表现出哭面孔。将这种论述“平移”到电子的波粒二象性问题上来，可以回答

说：波性和粒子性都是电子所具有的属性，当它表现出两种属性的时候，人们不应当追问它“到底归属于”什么属性，只应当追问：它在什么样实验条件下表现出类似于经典波的性质，在什么样实验条件下表现出类似于经典粒子的性质。电子既不是经典的波(波包)，也不是经典的粒子（弹丸）。只能说它有时象经典波，有时又象经典粒子。“象什么”这种提法的前题就是“不等同”。归根到底，电子就是电子本身！电子波粒二象性这种多少有些古怪的图象，是由于我们使用了经典类比的方法，用宏观世界语言描述微观世界客体时所必然得到的一种并非贴切的图象。仿佛我们使用母语——中文词匯去理解英语词匯的情况。鉴于人们总是习惯用已有知识和经验去理解和描述新的东西，因此保留波粒二象性的图象还是有助于初学者的理解和形象思维，只是要注意不能过分执着和拘泥的去使用这种图象。这里，正如Young 双缝实验所启示的，根本性的东西是几率幅，是有关几率幅的计算的理论，而不是借助经典语言所得出的波粒二象性图象。

2, de Broglie 波的初步分析

对常用的非相对论电子、非相对论中子、光子，它们的de Broglie 波波长和它们能量的关系式为

λe E

=1226. λn E =0286.

(1.11) E

410241.1×=γλ 这里E (对m ≠0的粒子，E 为其动能)的单位为eV ，λ的单位为A o

。

对宏观物体，如上所述，其波动性可以忽略。例如，1克小球，速度u =1米/秒，它的de Broglie 波的波长为 31106.6?×==mu h λ米 显然，这个尺度，和小球本身尺度以及小球作宏观机械运动的空间尺度相比，完全可以忽略。从而，在研究小球作任何宏观机械运动时，与这个波长相联系的波动性质(也就是与小球运动相关的量子效应)完全可以忽略。

这里再说一下de Broglie 波的群速度和相速度问题。

对m =0和m ≠0两种情况，虽然de Broglie 关系相同，但它们的相速度还是有差别的,

m ≠0：相速度21===

=p E k V ωλν相u m =0：相速度=

=ωk c

(1.12)

对m ≠0的粒子，可以证明，粒子de Broglie 波波包的群速度等于粒子的运动速度

v m p dp d dp dE k d d dk d V =====2)()(2h h ωω群 (1.13)

依据群速度的这个结果，以前曾有人主张微观粒子本质上可能是de Broglie 波的某种波包。但是，de Broglie 波的相速度（不仅不等于粒子运动速度v ）依赖于粒子的能量（频率），这使得 de Broglie 波包即便在真空中传播时也有色散现象！

就是说，真空中自由运动电子的de Broglie 波包仍然会弥散，但我们知道，实际上电子是稳定的粒子。于是这个主张被否定。

3, 基本特征：

几率幅描述、量子化现象、不确定性关系

由微观粒子具有波粒二象性这一基本图象，可以派生出三个重要观念：

描述方式的几率特征、

物理量常常分立取值的量子化现象、

不确定性关系式。

它们构成量子力学的基本特征。 首先，“由微观粒子的波粒二象性，可以导致量子力学的一个重要特征：在描述粒子运动中的几率观念，即几率幅或de Broglie 波的概念。”

再拿电子的Young 双缝实验为例。假定电子源的强度十分弱、实验时间很长，以致可以认为每次都是单个电子在行进，彼此之间相互独立。如果认定某个电子，当它穿过缝屏后到底在接受屏上哪一个位置处被观测到，是无法用实验予先确定的，也无法(至少在目前)从理论上以拉普拉斯决定论的方式准确预计。当这个电子穿过缝屏时，它的动量与穿缝之前相比究竟有多少改变，实验上也无法事先确定，并且理论上也无法以拉普拉斯决定论的方式事先计算。单个电子在穿过狭缝时的状态突变、电子在接受屏上被测到时的状态突变都是一种深邃的、事先无法预计的、不可逆转的变化。只有大量同一类型的突变所表现出的统计规律才是可以事先了解和准确预计的。实验以明确的方式表达了单次实验结果的不确定性。

这种不确定性真正体现了：

电子既像波又像粒子、既不是波又不是粒子的奇特秉性。 这种情况迫使我们别无选择，只能采用相应的不确定性的描述方式，即采用几率幅、几率的观念。于是，以电子Young 双缝实验为例（为书写简明，考虑一维情况），在接受屏上x 处观测到电子(表现出粒子

的面貌)的几率P x ()是该处de Broglie 波波场振幅的模方，而该处的振幅又是由(作为波源的)两条缝传播过来的波幅的叠加，所以

)]()(Re[2)()()()()(2*121221x x x P x P x x x P ψψψψ++=+=

由此可以看到，这种带有 “不确定性”的、几率解释的、de Broglie 波的描述方法，不仅能以统一的方式描述电子的波粒两种属性，而且和带有“不确定性”的双缝衍射实验事实相匹配。

众所周知，与一束匀速直线运动的粒子流相联系的应当是一个平面波。它们的形式是

)(t r k i e ω??v v

将de Broglie 关系代入其中，便得到和这束粒子流相联系的de Broglie 平面波

)(),(Et r p i e t x ??=v v h v ψ (1.14) 这时，如果定义2),(t r v ψ为在r v 处单位体积内找到这束匀速直线运动粒

子的数目，则这种数目分布是空间均匀的。更一般地，我们来研究下面de Broglie 波波包

∫??=p d e p t r Et r p i v v v v v h ))(),(ψψ

（1.15a ）

这里p v 和E 满足如下关系 m p E 22

v =

取t =0，于是de Broglie 波包成为 ∫?=p d e p r r p i v v v v v h )()(ψψ

（1.15b ）

这里)(r

v ψ是粒子在r v 处的de Broglie 波波幅，即几率幅。我们将2)(r v ψ理解为在r

v 处附近单位体积内找到粒子的几率，或说成，粒子取坐标r v 的几率。而2)(p v ψ则理解成是粒子取动量p v 的几率。

显然，用这样的方式去理解所引入的de Broglie 波，是能够统一

描述微观粒子波粒二象性的唯一方法：()r

v ψ本身是波幅，可以叠加并产生干涉，体现微观粒子的波动性；一旦(以2)(r v ψ几率)在r v 处被观察

到，却又是个完整的粒子形象。但是，我们把这两种(从经典物理学看来)完全不同的秉性用如此方式统一起来描述的时候，已经付出了沉重的代价：放弃了经典物理学中惯用的拉普拉斯决定论，描述中引入了不确定性，引入了几率观念。显然，为了做到统一的、兼顾两种属性的描述，这种代价是必须付出的。总而言之，在描述方式上的这种不确定性是和微观实验中表现出的不确定性相互匹配的。

对于量子力学中的不确定性，即，实验测量中突变的不确定性和波函数几率描述中的不确定性，存在两种观点。

第一种观点，这些不确定性的存在说明我们对微观世界事物了解

得不完全。实验测量中的不确定性固然说明了实验方法上的局限和近似，描述方法中的不确定性更说明了理论的不完备，说明存在未知的“隐变数”，它们尚未被量子力学纳入理论框架中去。

第二种观点，实验中突变的不确定性，并非我们实验方法、实验仪器不完善造成的，而是微观客体固有的，它不能依靠改进实验方法提高实验精度来消除。与经典力学迥然不同，量子力学描述中的几率观念并不说明描述方式的不完备，而是客观现象本就如此。所谓的未知“隐变数”是不存在的，量子力学的描述方式是完备的。

长期以来，两种观念争论不休。应当指出，到目前为止，实验事实一直在支持着量子力学，认为量子力学的描述是完备的。但鉴于目前量子理论存在重大的困难，因此Dirac说：“它是到现在为止人们能够给出的最好的理论，然而不应当认为它能永远地存在下去。我认为很可能在将来的某个时间，我们会得到一个改进了的量子力学，使其回到决定论，从而证明Einstein的观点是正确的。但是这种重新返回到决定论，只有以放弃某些基本思想为代价才能办到，而这些基本思想我们现在认为是没有问题的。如果我们要重新引入决定论的观点，我们就应当以某种方式付出代价，这种方式是什么，现在还无法推测。”1

关于量子力学实验中不确定性的两种争论，可以形象的表述为“上帝是不是玩掷色子的。”

其次，“看看微观粒子的波动性质怎样导致微观粒子能量和状态的间断分立或量子化现象”。

即使在经典物理学的领域，也存在一个重要的、普遍的、众所周知的事实。那就是，任何类型的波动，当它们展布或传播在无限空间中时，波参数可以取连续变化的数值；但是，定性的说，一旦用某种方式将这些波局限在有限空间的时候，波场所取的波参数必将分立化，它们的频率和波长均要断续化、分立化。从富里叶频谱分析的观点来说，任意局域的波均是一个富里叶级数，而不是一个富里叶积分。或者说，任何波动方程其局域解的问题总都是一个本征值和本征函数的问题2。

转到微观粒子情况。局域de Broglie波的波动性同样会造成频率和波长的断续性。而且还进一步，频率和波长的这种断续性又通过de Broglie关系转化为该粒子的能量和动量的断续性。因此可以说，任何局域化的de Broglie波必将伴随其能量的量子化。这正是粒子具

1P.A.M. Dirac, 物理学的方向，科学出版社，1981年。

2就物理学中常见的一些波动方程来说，本征值是分立的或是部分分立的。

有de Broglie 波波动性的结果，是局域de Broglie 波自相干涉(由边界反射)形成的。这正与经典物理学中从一维琴弦振动、二维鼓膜振动到三维微波腔中电磁波驻波等现象相对应的。

最后，考察“微观粒子波动性质是怎样导致不确定性原理的”。 按照前面所说ψ()x 和ψ()p 的物理解释，可以定义一个微观粒子坐标x 和动量p (相对于任一选定值x 0、p 0)的测量均方根偏差

()()()()Δx x x x dx x dx 2022

2=??∞+∞

?∞+∞∫∫

ψψ (1.16) ()()()()Δp p p p dp

p dp 20222=??∞+∞

?∞+∞

∫∫ψψ (1.17)

这里，由于ψ()x 和ψ()p 是富里叶变换对，

根据富里叶积分变换的带宽定理1可得

(1.18) 这说明，不论粒子的de Broglie 波波包的形状如何，它的动量均方根偏差与坐标均方根偏差的乘积不小于h

2。或者说，不论微观粒子处在

何种状态，它的坐标和动量在客观上不能同时都具有确切数值，当然也就不能在同一个实验中将它俩同时都测准。这里强调指出，这种不能同时测准是原则性的。就是说，不存在能同时测准微观粒子位置和动量的实验方案，也并非任何实验方案欠周到、实验技术欠精密所带来的实验误差。不确定性关系的存在正是根源于微观粒子的波动性，或者更准确说，根源于微观粒子的波粒二象性。显然，随着所研究的问题向宏观领域趋近，h 的作用逐渐减小，就从x 、p 不能同时测准约略成为能同时测“准”了。其实，由所用的带宽定理可以知道，任何种类波(弹性波、光波、……)均存在类似的关系式。这是对波动过

1 富里叶带宽定理：

若f x F y e dy ixy ()()=?∞

+∞∫12π，∫+∞∞??=dx e x f y F ixy )()(， 并定义 ()()()()Δx x x f x dx f x dx 202

22=??∞+∞

?∞+∞

∫∫，()()()()Δy y y F y dy F y dy 20222=??∞+∞?∞+∞∫∫，

这里x 0，y 0为任意固定值，则有

ΔΔx y ?≥12

。

程进行富里叶分析所得的基本结论之一。

§1.3 不确定性关系的讨论

1, 不确定性关系的物理根源是微观粒子波动性。 因此它也就是一个普遍成立的关系式。

就是说，在任何Planck 常数h 的作用不能忽略的现象里，在任何明显显示波粒二象性的事例中，总之一句话，在任何量子物理实验中，都能分析出这一不确定性关系。

前面的关系式还可以改变一下形式。设电子沿x 方向运动，由于粒子在x 方向的位置有一个不确定量，用光照射的办法确定其位置时，发生散射的时间也就有一个不确定量，

ΔΔt x v x

= 这里v x 是散射前粒子的速度。显然，这也是用显微镜观察粒子时观测时间的不确定量。另一方面，粒子的能量E m p x =

122，所以和Δp x 相应的粒子能量的不确定量为

ΔΔE v p x x =

两者相乘，可得 h ≈Δ?Δt E (1.19) (1.19)式有不同的解释或称作应用。

首先，如果针对的是一个不稳定的半衰期为τ的能级，它必有一个能级宽度Γ。两者之间满足此处的不确定性关系

τΓ?≈h

其次，如果将这里观测时间的不确定量看作观测的持续时间，那么，测量粒子能量E 的不确定量和对它进行观测的持续时间之间，也存在类似的不确定性关系。换句话说，测量过程的分析表明，为了精确地测量能量(精确度达到ΔE )，要求测量所花费的时间至少为

E t Δ≈Δh

再三，如果把富里叶频谱分析的观点用于持续时间间隔为t Δ的波包，就启发人们对此关系作出另一种解释：对只在短时间间隔Δt 内持续的任何不稳定现象，其能量必有一个不确定量(或，所含频率必有一个宽度)，使两者之间满足上面的关系1。

2, 不确定性关系的进一步解释及某些应用

首先，应当强调指出，上面这两个关系不仅对大量同类粒子的相

1 这两种解释参见： E. 费米, 《量子力学》，西安交通大学出版社，1984年。

同实验，即所谓量子系综在统计上是正确的，而且也有不少主张认为它对单个微观粒子的单次实验也是正确的。

比如拿h ≈Δ?Δt E 来说。设想一个用光辐照原子使原子激发的实验。假定原子被频率为ω的光照射持续一个短时间τ，于是光束可记为

θθτω()()t t e i t ?

这里θ(),,t t t =<>???

0010，是单位阶跃函数。由于频率不是时间局域的，并且频谱分析也表明，这束光不是频率为ω的单色光：从经典观点看，将它作富里叶频谱展开，由于τ不是无穷大，频谱将有一个宽度，是一束非单色光；从量子观点看，这是一束非单色光子的集合，它们的能量以h ω为中心有一个宽度。这样一束非单色光子集合入射到大量原子上，并不象通常那样将原子一个个都激发到比基态高h ω(假定这个激发态存在)的激发态上，从而退激时发出锐细的频率νωπ

=2的光谱，而是将原子激发到以这个激发态为中心的各种激发态（假定附近的激发态都存在）上，退激时将会发出一定宽度的谱线。实验结果正是这样。并且实验还指出，只当上面这个照射时间τ持续很长的情况下，原子退激发所发出的谱线才是h ω。这时，对此公式作单个解释和统计解释都不困难。

然而，下面例子就只能用单个过程来解释，并且意味着：就交换的虚粒子而言，在时间ΔΔt E

~h 的量级上，能量守恒定律将有ΔE 量级的破坏。例子是近代关于核力或相互作用的概念, 它可以形象表述如下。

n 和p 仿佛是两个相向滑冰的运动员。当n 滑到x 1处时，向p 抛去一个小球(虚介子)，同时在离开p 的方向上受一反冲。p 在x 2处接到抛来的球，也产生了另一个方向的要离开n 的反冲。假定人们只能看见这两个运动员而看不见小球，那人们一定觉得在A 与B 之间存在着某种斥力。n 和p 之间抛接小球的最大距离便是这种斥力的力程。假如n 和p 之间的距离大于这个力程，n 和p 之间的这种斥力便可以忽略。对于吸引力的情况，可以设想在它们之间抛接飞去来器(虚介子)。就是说，n 在x 1处向背着(不再是朝向)p 的方向抛出飞去来器，它飞向p 并绕圈后被p 接受。如果相互抛接的是光子，两个粒子之间的作用力便是电磁力，抛出和接受光子的“能力”便是电荷。质子和中子之间相互抛接的是π介子，呈现出介子场论的核力图象。现在的问题是，核内一对核子之间所抛接的虚π介子，原先并不存在，是从“无”中生出来的。这就意味着在ΔE m c =μ2数量上破坏了经典意义下的能量守恒定律。但是，按不确定性关系，只要这个π介子存在的时间(从抛

出到接受，即从产生到吸收) 在ΔΔt E m c ≈=h h μ2

之内就是允许的1。可以如下估计核力的力程(或由核力的力程估计π子的质量)。设π介子近似以光速c 从一个核子飞向另一个核子，则

r c t m c

核力≈≈Δh μ。 实际上，这个力程就是π介子的Compton 波长。显然，交换粒子（此时为π介子）的质量越大，由交换过程所产生的力程就越短。核力力程大体为r cm 核力≈×?151013.，于是可得m c MeV μ2132≈。当然，这里的图象是很简单化的。有关计算见§8.1。

另一个需要讨论的问题是，由于粒子的位置和动量不能同时具有确定值，因此在量子理论中不存在（经典物理中常见的）粒子的静止概念和轨道概念。这是因为，这些概念是以粒子位置和动量能同时定准为前提的。

最后，讨论一下这两个不确定性关系的某些应用。

第一，能量尺度与空间尺度的关联。原子物理和凝聚态物理情况：这时的尺度为A cm o

~108?，

p m c m c MeV s cm s MeV cm e e 22222222102

82

22658103102051110≈=×?××××??h D (.)(/).() =38.~eV A o ∴ ?o

A ~原子尺度相应的能量尺度为eV )101(? 原子核物理情况：原子核常用的尺度为1013?cm ，

2

13211222

22)103.3(9402)10973.1()3.3(22cm MeV cm MeV Fermi c m c m p n n ?×?×?×=≈h Fermi MeV 3.3~2=

∴ 原子核尺度（5.61?）Fermi ?相应的能量尺度为（MeV )205.0?

粒子物理情况：高能物理的尺度cm 1410?≤。这时粒子已很接近于光速，所以有

cm

cm MeV x c c p E 141110210973.12??×?×≥Δ≈?Δ≈Δh GeV 1≈

∴ 高能物理的尺度cm 1410?≤?相应的能量尺度为GeV 1≥

第二，前面我们已经严格证明了对任一de Broglie 波包，有

1 R.Shankar ，Principles of Quantum Mechanics ，1980，P.253。

ΔΔx p x ?≥h 2

早在1926年，Schr ?dinger 就已构造了所谓“最小不准确度波包”，现在已将它推广为波色子相干态。这个波包其实是一个高斯型的波包(由于高斯型函数的富里叶变换仍为高斯型函数，所以这个波包的动量展开还是一个高斯型的波包)，随时间的演化仍保持为一个高斯型波包。关于相干态的问题将在第五章中详细讨论。

§1.4 理论体系的公设

1, 第一公设——波函数公设

“一个微观粒子的状态总可以用一个波函数),(t r v ψ来完全描述。波函数是粒子坐标和时间的复值函数，模平方ψ2称为几率密度，就

是说，在波函数分布区域的小体积元dV 中找到粒子的几率由

dV dP ψψ?=? (1.19a)

表示，这里?ψ为ψ的复数共轭。从而，),(t r v ψ在其分布区域中必须处

处单值、连续、可微(除个别点、线、面之外)，对此区域的任意部分都平方可积。而且，如果1ψ和2ψ是描述状态的波函数，则它们归一化

的任意复系数线性叠加

22112212,1c c c c ψψψ=++= (1.19b)

也是描述状态的波函数。”

这个波函数公设可细分为四点内容：

1）状态由波函数表示

2）波函数的几率诠释

3）以及随之而来的对波函数性质的要求

4）量子状态服从线性叠加原理。这是对整个量子理论

比如，经典物理中有自由粒子的匀速直线运动，在量子理论中有动量为确定值的微观粒子状态与之对应。完全描述这种微观粒子状态的波函数是平面de Broglie 波

)),(Et r p i Ae t r ??=v

v h v ψ (1.20) 这里A 为某个常数。确切些说，这个波函数描述了动量值为v p 的无尽的粒子流，在这个束流中每单位体积内平均有ψψ?=A 2个粒子存在。

最好不用它去代表一个粒子(动量为定值的)的波函数。因为如果这样，由于在全空间肯定能找到这个粒子，也就是存在如下归一化条件

ψ()v rt dV 21全空间∫= (1.21) 若要这个在无穷体积上的积分收敛，指数前面的归一化系数A 将为

零。物理上这当然是合理的，因为这时在任意地方的单位体积里找到这一个粒子的几率几乎是零。但却使得数学上无法写出这个波函数。所以，代表一个粒子，最好不要用平面波1，而用某种波包，即是一个展布在有限区域，从而模平方积分收敛，可归一化的波函数。这里强调指出，从实验测量的观点，只要求ψ()v rt dV 2处处单值、连续、有

限，或写为

=∫]

[2)(M dV t r v ψ单值、有限 (1.22) 这里[]M 表示被测点M 附近任意小但仍为有限的小体积。这是因为，任何测量粒子位置的实验，无论其精确度多高，也不能精确到一个几何点，所以测量精度使得测定的区域虽然很小但总为有限。于是，实验测量几率值必为单值有限的要求就体现为：要求上述积分单值有限。这里并没有要求ψ()v rt 2函数本身处处有限。如果把 “ψ(,)v r t 处处有限” 作为一个普遍性的要求，那其实是人为苛求的。比如，就球坐标原点附近这一情况而言，实验测量只要求到 []=∫M dr r 22ψ单值、有限

就是说，按实验测量的观点，波函数ψ(,)v r

t 在r =0点可以发散，只要它的发散满足下面边界条件 ψ()v rt r →?→??∞0 应慢于r ?32/ 。 (1.23) 这就是从实验测量观点出发所得的物理的要求。这个问题在第四章中还将谈到。

最后指出，公设中的态叠加原理是对整个量子理论都成立的普遍原理。 2, 第二公设——算符公设

“任一可观测的力学量A 可以用相应的线性厄米算符A

?来表示。这些算符作用于态的波函数。在这种由力学量A 到算符$A

的众多对应规则中，基本的规则是坐标x 和动量p 向它们算符$x

、$p 的对应。这个对应要求

$$$$xp

px i ?=h 。” (1.24) 关于这个公设解释如下几点：

第一，一个算符$A 为线性的，是指对任意复常数c 1、c 2

，总有 $()$$A c c c A c A 11221122ψψψψ+=+

同时，它的厄米共轭算符记为$A

+。这个算符由它在所有态中的全体

1 当然，如果引入δ-函数，将平面波归一化成为δ函数，在数学运算上也是可行的。并且实际大多数情况也是这样做的。所以，这里的说法并不意味着放弃使用平面波。事实上，由于它的理想化和简单，会给数学描述(例如散射理论中)带来简化。而由它带来的问题可以用一些人为的办法来补救。

内积来定义：对任意两个态?和ψ，$A

+的内积（下面等式左边）由已有定义的右边的量来决定

($,)(,$)A

A +=?ψ?ψ (1.25) 这里，内积(,)?ψ若用波函数的积分来表示就是

(,)()()?ψ?ψ=?∫v v v r

r dr ， 符号?表示取复数共轭。于是对（1.25）式取复数共轭之后，将它用波函数积分表示即为

[]ψ??ψ?ψ?

+???∫∫∫==()$()()$()()($())v v v v v v v v v r A r dr r A r dr r A r dr 第二，如果$$A

A +=，就称算符$A 为自共轭算符，或厄米算符1。这时应有

[]

ψ??ψ???∫∫=()$()()$()v v v v v v r A r dr r A r dr 当然，上面表述中的?和ψ均属于某一类函数(参见后面叙述)。

可以证明，厄米算符的本征值均为实数，而且对应不同本征值的本征函数相互间是正交的。因为，设ψ1()v r 和ψ2()v r 分别是厄米算符$A 的对应本征值为a 1和a 2的本征函数，即有本征方程 $()()A r a r ψψ111v v =， $()()A r a r ψψ222v v = 对这两个方程分别左乘以ψ2?()v r 和ψ1?()v r 并积分，得

ψψψψ21121??∫∫

=()$()()()v v v v v v r A r dr a r r dr ψψψψ12212??∫∫=()$()()()v v v v v v

r A r dr a r r dr 另一方面，由$A

的厄米性可得 []

ψψψψ2112???∫∫=()$()()$()v v v v v v r A r dr r A r dr 将上面两个等式代入此式，得

()()()a a r r dr 1221

0?=??∫ψψv v v 如果取ψ2()v r 为ψ1()v r ，由于ψ120()v v r dr ∫≠，得a a 11=?，即$A

的本征值都是实数；如果a a 12≠，这导致

ψψ210?∫=()()v v v r r dr (1.26)

说明分属于不同本征值的ψ1()v r

和ψ2()v r 是互为正交的。接着，将这些i ψ归一化，便可得到正交归一的函数族。一般说来，一个厄米算子的 1 为免除数学方面的混乱，这里指出：物理上的厄米算符(

A A =+)是数学中的自伴算符(self-adjoint

operator)，而不是数学中的厄米算符(又名对称算符 —— symmetric operator)，后者是可以有A A ≠+的。数学的自伴算符必为对称算符，反之不一定。一个算符是否为自伴的，除它本身性质以外，还与它的定义域有关系。详见J.M. Domingos , et.al., Foundations of Physics, vol. 14, No. 2, 147 (1984)。