2018届高三数学专题复习第18讲三角函数的图像与性质试题文北师大版 精品
课时作业(十八) [第18讲 三角函数的图像与性质]
(时间：45分钟 分值：100分)
基础热身
1．函数f (x )＝2sin x cos x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数
2．y ＝sin ?
????x －π4的图像的一个对称中心是( )
A ．(－π，0)
B ．－3π
4
，0
C.3π2，0
D.π
2
，0 3．函数f (x )＝cos2x ＋2sin x 的最小值和最大值分别为( )
A ．3，1
B ．－2，2
C ．－3，32
D ．－2，3
2
4．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°＜cos10°＜sin168° B ．sin168°＜sin11°＜cos10° C ．sin11°＜sin168°＜cos10° D ．sin168°＜cos10°＜sin11°
能力提升
5．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图像不可能是( )
图K18－1
6．[2018·杭州七校上学期期中联考] 函数y ＝2cos 2
x 的一个单调增区间是( ) A.? ????－π4，π4 B.?
????0，π2
C.? ????π4，3π4
D.? ??
??π2，π
7．[2018·唐山模拟] 函数y ＝cos πx ＋π
6
的一个单调增区间是( )
A ．－23，13 B.13，43
C ．－16，56 D.56，116
8．[2018·衡水检测] 将函数y ＝sin4x ＋π
3
的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，
再向左平移π
6个单位，所得函数图像的一个对称中心是( )
A.? ????π6，0
B.? ????π3，0
C.? ????π2，0
D.? ??
??π4，0 9．已知命题p ：函数y ＝2sin x 的图像向右平移π6个单位后得到函数y ＝2sin x ＋π
6
的图
像；q ：函数y ＝sin 2
x ＋2sin x －1的最大值为2，则下列命题中真命题为( )
A ．p ∧q
B ．p ∨q
C ．p ∧(綈q )
D ．p ∨(綈q )
10．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．
11．[2018·大连双基] 若函数y ＝2tan ωx 的最小正周期为2π，则函数y ＝sin ωx ＋3cos ωx 的最小正周期为________．
12．已知f (x )＝sin ? ????ωx ＋π3(ω＞0)，f ? ????π6＝f ? ????π3，且f (x )在区间? ??
??π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________．
13．[2018·泉州四校联考] 设f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0.若f (x )≤f ? ??
??π6对一切x ∈R 恒成立，则 ①f ? ????11π12＝0；②??????f ? ????7π12
④f (x )的单调递增区间是k π＋π6，k π＋2π
3
()k ∈Z ；
⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图像不相交． 以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
14．(10分)设函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2
x ＋a . (1)写出函数f (x )的最小正周期及单调递减区间；
(2)当x ∈????
??－π6，π3时，函数f (x )的最大值与最小值的和为32，求a 的值．
15．(13分)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，－π<φ≤π)在x ＝π
6
处取
得最大值2，其图像与x 轴的相邻两个交点的距离为π
2
.
(1)求f (x )的解析式；
(2)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2
x －1
f ?
????x ＋π6的值域．
难点突破 16．(12分)已知向量a ＝(sin x ，23sin x )，b ＝(2cos x ，sin x )，定义f (x )＝a·b － 3. (1)求函数y ＝f (x )，x ∈R 的单调递减区间；
(2)若函数y ＝f (x ＋θ)?
????0<θ<π2为偶函数，求θ的值．
课时作业(十八)
【基础热身】 1．C [解析] 因为f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，所以它的最小正周期为π，且为奇函数，选C.
2．B [解析] ∵y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )，令x －π
4
＝k π(k ∈Z )，得x
＝k π＋π4(k ∈Z )．k ＝－1时，x ＝－34π得y ＝sin ? ????x －π4的一个对称中心是? ??
??－3π4，0.
3．C [解析] f (x )＝1－2sin 2
x ＋2sin x
＝－2sin 2
x －sin x ＋14＋32
＝－2sin x －122＋3
2，
∴当sin x ＝12时，f (x )有最大值3
2
，
当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－3.
4．C [解析] 因为sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝cos(90°－80°)＝sin80°，由于正弦函数y ＝sin x 在区间[0°，90°]上为递增函数，因此sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°.
【能力提升】
5．D [解析] 选项A 中函数的最大值小于2，故0＜a ＜1，而其周期大于2π，故选项A 中图像可以是函数f (x )的图像．选项B 中函数的最大值大于2，故a 应大于1，其周期小于2π，故选项B 中图像可以是函数f (x )的图像．当a ＝0时，f (x )＝1，此时对应选项C 中图像．对于选项D ，可以看出其最大值大于2，其周期应小于2π，而图像中的周期大于2π，故选项D 中图像不可能为函数f (x )的图像．
6．D [解析] y ＝2cos 2
x ＝cos2x ＋1，检验知，选项D 正确．
7．D [解析] 由余弦函数的单调区间知，函数y ＝cos πx ＋π
6
的单调增区间满足2k π
－π≤πx ＋π6≤2k π，即2k －76≤x ≤2k －16，当k ＝1时，56≤x ≤11
6
，所以选D.
8．A [解析] 将函数y ＝sin4x ＋π
3
的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左
平移π6个单位，所得函数为y ＝sin2x ＋2π3，令2x ＋2π3＝k π，解得x ＝k π2－π
3.当k ＝1
时，x ＝π
6
，选A.
9．B [解析] 函数y ＝2sin x 的图像向右平移π6个单位后得到函数y ＝2sin x －π
6
的图
像，命题p 是假命题；y ＝sin 2x ＋2sin x －1＝(sin x ＋1)2
－2，当sin x ＝1时，此函数有最大值2，命题q 是真命题，故p ∨q 是真命题，所以选B.
10．(1，3) [解析] 由题意得f (x )＝?
????3sin x ，x ∈[0，π]，
－sin x ，x ∈（π，2π]，图像如图所示，由图
像可得，若f (x )与y ＝k 有且仅有两个不同的交点，k 的取值范围为1＜k ＜3.
11．4π [解析] ∵函数y ＝2tan ωx 的最小正周期为2π，∴|ω|＝πT ＝π2π＝1
2，∴y
＝sin wx ＋3cos wx ＝212sin wx ＋32cos wx ＝2sin wx ＋π
3
，∴函数y ＝sin ωx ＋3cos ωx 的最
小正周期为2π
12
＝4π.
12.143 [解析] ∵f (x )＝sin ? ????ωx ＋π3，且f ? ????π6＝f ? ??
??π3， 又f (x )在区间? ????π6，π3内只有最小值、无最大值， ∴f (x )在x ＝π6＋
π32＝π
4
处取得最小值，
∴π4ω＋π3＝2k π－π2(k ∈Z )，∴ω＝8k －10
3
(k ∈Z )． ∵ω＞0，∴当k ＝1时，ω＝8－103＝14
3
；
当k ＝2时，ω＝383，此时在区间? ??
??π6，π3内存在最大值． 故ω＝14
3.
13．①②③ [解析] 因为f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ＝a 2
＋b 2
sin(2x ＋θ)，若f (x )≤
f ? ????π6对一切x ∈R 恒成立，则θ＝π6，f (x )＝a 2＋b 2sin2x ＋π6；①f ? ??
??11π12＝0正确；
②??????f ? ????7π12
??f ? ????π5正确；③f (x )既不是奇函数也不是偶函数正确；④错误，⑤错误． 14．解：(1)f (x )＝32sin2x ＋1＋cos2x 2＋a ＝sin ?
????2x ＋π6＋a ＋12，∴T ＝π. 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π
2＋2k π(k ∈Z )， 得π6＋k π≤x ≤2π
3
＋k π(k ∈Z )． 故函数f (x )的单调递减区间是????
??π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )． (2)∵－π6≤x ≤π3，∴－π6≤2x ＋π6≤5π
6
，
∴－12≤sin ?
????2x ＋π6≤1. 当x ∈??????－π6，π3时，原函数的最大值与最小值的和?
????1＋a ＋12＋? ????－12＋a ＋12＝32，∴a ＝0.
15．解：(1)由题设条件知f (x )的周期T ＝π，即2π
ω
＝π，解得ω＝2.
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质 1．三角函数中的值域及最值问题 a ．正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题 (1)(经典题，5分)函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π 2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－ 22 C.22 D ．0 答案：B 解析：∵x ∈????0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π 4，∴函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π2上先增后减．∵f (0)＝sin ????－π4＝－22， f ????π2＝sin ????3π4＝2 2， f (0) 三角函数图像与性质知识 点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ?π2，1 (π，0) ? ?? ??? 32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，? ?????π2，0，(π，－1)，? ???? ? 3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域 R R {x |x ≠k π＋π 2 ，k ∈Z} 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴： x ＝k π＋ π2(k ∈Z)； 对称轴： x ＝k π(k ∈Z) 对称中心： 对称中心：? ?? ?? ?k π2，0 (k ∈Z) 3.一般地对于函数()，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界. 一、选择题 1．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－5 4，－1] C ．[－5 4，1] D ．[－1，5 4 ] [答案] C [解析] 本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sin x ＝t 换元转化为t 的二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t ＝sin x ∈[－1,1]，y ＝t 2 ＋t －1，(－1≤t ≤1)，显然－5 4 ≤y ≤1，选C. 2．(2011·山东理，6)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π 3]上单调递增， 在区间[π3，π 2 ]上单调递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C.32 D.2 3 [答案] C [解析] 本题主要考查正弦型函数y ＝sin ωx 的单调性 依题意y ＝sin ωx 的周期T ＝4×π3＝43π，又T ＝2π ω， ∴2πω＝43π，∴ω＝32 . 故选C(亦利用y ＝sin x 的单调区间来求解) 3．(文)函数f (x )＝2sin x cos x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 [答案] C [解析] 本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性． f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，最小正周期T ＝2π 2＝π， 且f (x )是奇函数． (理)对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( ) A ．f (x )在(π4，π 2)上是递增的 B ．f (x )的图像关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2 [答案] B [解析] 本题考查三角函数的性质．f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，周期为π，最大值为1，故C 、D 错；f (－x )＝sin(－2x )＝－2sin x ，为奇函数，其图像关 于原点对称，B 正确；函数的递增区间为???? ??k π－π4，k π＋π4，(k ∈Z)排除A. 4．函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图像关于直线x ＝－π 8对称，则a 的值为 ( ) 三角函数专题辅导 课程安排 制作者：程国辉 专题辅导一 三角函数的基本性质及解题思路 课时：4-5学时 学习目标： 1. 掌握常用公式的变换。 2. 明确一般三角函数化简求值的思路。 第一部分 三角函数公式 1、两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·tan β) tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β 2、倍角公式： sin(2α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α) cos(2α)=(cos α)^2-(sin α)^2=2(cos α)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tan α/(1-tan^2α) cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cot α) 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα αααβα αβααβα αα αα=±=???→=-↓=-=-±±=?-↓= - 4、同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：2 2 2 2 2 2 sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 三角函数的性质与图像（学案） 一、 学习目标 1、“五点法”画函数sin()y A x ω?=+的图像. 2、图像变换规律. 3、由函数图像或性质求解析式. 重点：围绕三角函数图像变换、五点作图求函数解析式. 难点：图像变换中的左右平移变换中平移量的确定. 二、 学习过程 1、高考考点分析 2、知识梳理： （1）用“五点法”画sin()y A x ω?=+一个周期的简图时，要找出 五个关键点。 填写表格： （2）三角函数图像的变化规律： （3）函数sin()y A x ω?=+的物理意义： （4）由函数sin()y A x k ω?=++图像求函数解析式的步骤和方法： ①A 的确定： ②k 的确定： ③ω的确定： ④?的确定： 三、基础训练 1、函数sin(2)3 y x π =+的最小正周期为（ ） A. 4π B. 2π C. π D. 2 π 2、将函数2sin(2)6 y x π =+的图像向右平移14 个周期后，所得图像 对应的函数为（ ） A. 2sin(2)6 y x π=+ B. 2sin(2)3 y x π =+ C. 2sin(2)4 y x π=- D. 2sin(2)3 y x π =- 3、为了得到sin()3 y x π =+的图像，只需把函数sin y x =的图像上所 有的点（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向上平移3π个单位 D ．向下平移3 π 个单位 4、函数2cos2y x x +的最小正周期为（ ） A ． 2 π B .23π C. π D. 2π 四、范例导航 题型一：三角函数的图象 例1．（2000全国，5）函数y ＝－xc os x 的部分图象是（ ） 变式练习．（2002上海，15）函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是（ ） 题型二：函数sin()y A x ω?=+图像及变换 例2、已知函数2sin(2)3 y x π =+ （1）求它的振幅、周期、初相。 （2）用五点作图法作它在一个周期内的图像。 （3）试说明2sin(2)3 y x π =+的图像可由sin y x =的图像经过 怎样的变换得到？ 列表： 【本讲教育信息】 一.教学内容： 三角函数的图象与性质 二.教学目的： 了解三角函数的周期性，知道三角函数y＝A sin（ωx＋φ）， y＝A cos（ωx＋φ）的周期为。 能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，并能根据图象理解正弦函数、 余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－，）上的性质（如单调性、最大值和 最小值、图象与x轴的交点等）。 了解三角函数y＝A sin（ωx+φ）的实际意义及其参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；会画出y＝A sin（ωx+φ）的简图，能由正弦曲线y＝sin x 通过平移、伸缩变换得到y＝A sin（ωx+φ）的图象。 会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现 象的重要函数模型。 三.教学重点：三角函数的性质与运用 教学难点：三角函数的性质与运用。 四.知识归纳 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2.三角函数的单调区间： 的递增区间是， 递减区间是； 的递增区间是， 递减区间是， 的递增区间是， 3.函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该 图象与直线的交点都是该图象的对称中心。 4.由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别 开这两个途径，才能灵活进行图象变换 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少. 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0),再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 5.由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的 第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置. 6.对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为； 的对称轴为，对称中心为； 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 7.求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负。利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8.求三角函数周期的常用方法： 经过恒等变形化成“、”的形式，再利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 9.五点法作y=Asin（ωx+）的简图： 五点取法是设x=ωx+，由x 取0、、π、、2π来求相应的x 值及对应 三角函数的图像和性质 1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (2 3π ,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (π,-1) (2 3π,0) (2π,1) 2 sin y x = cos y x = tan y x = 图 象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最 值 当 22 x k π π=+ 时， max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-． 当2x k π=时， max 1y =；当2x k ππ=+ 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 在2,22 2k k π πππ?? - + ??? ? 上是增函数； 在32,22 2k k ππππ? ?++??? ? 上是减函数． 在[]2,2k k πππ-上是增函 数； 在[]2,2k k πππ+上是减函数． 在,2 2k k π πππ? ? - + ?? ? 上是增函数． 对称 性 对称中心(),0k π 对称轴2 x k π π=+ 对称中心,02k π π??+ ?? ? 对称轴x k π= 对称中心,02k π?? ??? 无对称轴 函 数 性 质 例作下列函数的简图 (1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π] 例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合： 21sin )1(≥ x 21 cos )2(≤ x 3、周期函数定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 注意： 周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做 ()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一 般称为周期） 正弦函数、余弦函数：ωπ= 2T 。正切函数：π ω 例求下列三角函数的周期： 1? y=sin(x+3 π ) 2? y=cos2x 3? y=3sin(2x +5π) 4? y=tan3x 例求下列函数的定义域和值域： （1）2sin y x =- （2）y =（3）lgcos y x = 三角恒等变换及三角函数图象性质 一例题讲解 1．快速写出下列各式的值： （1）? ? ? ? -43cos 13sin 13cos 43sin （2）? ? ? ? -26cos 56sin 64cos 56cos （3）2sin15cos15??=_________； （4）2 2 cos 15sin 15?-?=_________； （5）2 2sin 151?-=_________； （6）2 2 sin 15cos 15?+?=________ （7）) 15tan(1195tan 1?? -++ （8） 2cos 6sin x x -=________ 2化简：（1）4221 2cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+ -+；（2）(1sin cos )(sin cos )22(0)22cos θθθθθπθ++-<<+．3 设4cos()5αβ-=-，12cos()13αβ+=，且(,)2παβπ-∈，3(,2)2 π αβπ+∈，求c o s 2α，cos 2β． 4若3cos()45x π +=，177124x ππ<<，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值． 5已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+． （Ⅰ）用五点法画出函数在区间,22ππ??-???? 上的图象，长度为一个周期； （Ⅱ）说明()2sin (sin cos )f x x x x =+的图像可由sin y x =的图像经过怎样变换而得到． 6为得到)6 2sin(π - =x y 的图象，可以将x y 2cos =的图象向右平移____个单位长度． 7已知正弦函数sin()y A x ω?=+(0,0)A ω>>的图像如右图所示． （1）求此函数的解析式1()f x ； （2）求与1()f x 图像关于直线8x =对称的曲线的解析式2()f x ； －2 2 2 x =8 x y O §1.4.1正弦函数、余弦函数的图象 学习目标：1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象. 2.能熟练运用“五点法”作图. 学习重点：运用“五点法”作图 学习难点：借助于三角函数线画y=sinx的图象 学习过程： 一、情境设置 遇到一个新的函数，画出它的图象，通过观察图象获得对它的性质的直观认识是研究函数的基本方法，那么，一般采用什么方法画图象？ 二、探究研究 问题1. 在直角坐标系内把单位圆十二等分，分别画出对应角的正弦线. 问题2. 在相应坐标系内，在x轴表示12个角（实数表示），把单位圆中12个角的正弦线进行右移. 问题 3. 通过刚才描点（x0,sinx0）,把一系列点用光滑曲线连结起来，能得到什么？ 问题4. 观察所得函数的图象，五个点在确定形状是起关键作用，哪五个点？ 问题5. 如何作y=sinx,x∈R的图象（即正弦曲线）？ 问题6. 用诱导公式cosx=________（用正弦式表示），y=cosx的图象（即余弦曲线）怎样得到？问题7. 关键五个点.三、例题精讲 例1：用“五点法”画下列函数的简图 (1)y=1+sinx ，x∈[]π2,0 (2) y=-cosx， x∈[]π2,0 思考：（1）从函数图象变换的角度出发，由y=sinx,x∈[]π2,0的图象怎样得到y=1+sinx ，x∈[]π2,0的图像？由y=cosx,x∈[]π2,0的图象怎样得到y=-cosx，，x∈[]π2,0的图像？ 四、巩固练习 1、在[0,2π]上,满足 1 sin 2 x≥的x取值范围是( ). A. 0, 6 π ?? ?? ?? B.5, 66 ππ ?? ?? ?? C.2, 63 ππ ?? ?? ?? D.5, 6 π π ?? ?? ?? 2、用五点法作) y=1-cosx， x∈[]π2,0的图象. 3、结合图象，判断方程x sinx=的实数解的个数. 五、课堂小结 在区间] 2,0 [π上正、余弦函数图象上起关键作用的五个点分别是它的最值点及其与坐标轴的交点（平衡点）.函数的图象可通过描述、平移、对称等手段得到. 六、当堂检测 1、观察正弦函数的图象，以下4个命题： （1）关于原点对称（2）关于x轴对称（3）关于y轴对称（4）有无数条对称轴其中正确的是 A、（1）、（2） B、（1）、（3） C、（1）、（4） D、（2）、（3）（） 1．与图中曲线对应的函数是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝sin|x | C ．y ＝－sin|x | D ．y ＝－|sin x | 2．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各 点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( ) A ．y ＝sin(2x －π10) B ．y ＝sin(2x －π5) C ．y ＝sin(12x －π10) D ．y ＝sin(12x －π20) 3．方程sin πx ＝14x 的解的个数是( )A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 4．设ω＞0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合， 则ω的最小值是( ) A.23 B.43 C.32 D ．3 5．为了得到函数y ＝sin (2x －π3)的图像，只需把函数y ＝sin (2x ＋π6)的图像( ) A ．向左平移π4个长度单位 B ．向右平移π4个长度单位 C ．向左平移π2个长度单位 D ．向右平移π2个长度单位 6．要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝2sin(2x ＋π4)的图象上所有的 点的( ) A ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度 C ．横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度 7．将函数y ＝sin(－2x )的图象向右平移π3个单位，所得函数图象的解析式为 ________． 8．已知f (x )＝cos(ωx ＋π3 )的图象与y ＝1的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到y ＝f (x )的图象，只需把y ＝sin ωx 的图象向左平移________个单位． 9．已知将函数f (x )＝2sin π3x 的图象向左平移1个单位，然后向上平移2个单位后 得到的图象与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝1对称，则函数g (x )＝______________. 10．函数y ＝sin2x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图象恰好关于直线x ＝π6对称，则φ的最小值是________． 11．y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是____． 三角函数的图像和性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx ，x∈[0 ，2π] 的图象中，五个关键点是：(0,0) ( 2 ,1) ( ,0) ( 3 ,-1) (2 ,0) 2 余弦函数y=cosx x [0,2 ] 的图像中，五个关键点是：(0,1) ( ,0) ( ,-1) ( 2、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： 2 3,0) (2 ,1) 2 性 函 质 数y x y cosx y tan x sin 图象 定 义域R R , x x k k 2 值 域 1,1 1,1 R 最值当 2 x k 时， 2 y 1 x 2k ；当 max 2 当x 2k 时， y max 1； 当 x 2k 时， y min 1． 既无最大值也无最小 值 时，y． min 1 周 期 2 2 性 奇 偶奇函数偶函数奇函数性 在 2 ,2 k k 2 2 在2k ,2k 上是增函 单 调 上是增函数；数；在, k k 2 2 性 在 3 2k ,2k 2 2 在2k ,2k上是减函 数． 上是增函数． 上是减函数． 对称对称中心 k,0 对称中心 ,0 k 2 k 对称中心 ,0 2 对称轴x k 性 对称轴 x k 无对称轴 2 - 1 - 例作下列函数的简 图 (1)y=|sinx| ，x∈[0，2π]，(2)y=-cosx ，x∈[0，2π] 例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合： (1) sin x 1 2 (2) cos x 1 2 3、周期函数定义：对于函数y f (x) ，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时， 都有： f (x T) f (x) ，那么函数y f (x) 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 注意：周期T 往往是多值的（如y sin x 2 ,4 , , ,-2 ,-4 , , 都是周期）周期T 中最小的正数叫做y f (x) 的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）y sin x , y cosx的最小正周期为 2 （一般称为周期） 正弦函数、余弦函数： 2 T 。正切函数： 例求下列三角函数的周期： 1 y=sin(x+ ) 2 y=cos2x 3 y=3sin( 3 x 2 + 5 ) 4 y=tan3x 例求下列函数的定义域和值域： （1）y 2 sin x （2）y 3sin x （3）y lg cos x 例5 求函数sin(2 ) 三角函数图像与性质知识点总结和经典题型 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2．三角函数的单调区间： x y sin =的递增区间是????? ? +-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是?? ???? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22， -)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是??? ? ? +-22ππππk k ，)(Z k ∈， 3．函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2=T ，频率是π ω 2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+ =+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的 交点都是该图象的对称中心。 4．由y ＝sinx 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y ＝sinx 的图象向左(?＞0)或向右(?＜0＝平移｜?｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 ω 1 倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋?)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y ＝sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的ω 1 倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(?＞0) 或向右(?＜0＝平移 ω ?| |个单位，便得y ＝sin(ωx ＋?)的图象。 5．由y ＝Asin(ωx ＋?)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式y=Asin （ωx+?）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ω ? ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．． 第一个零点的位置。 6．对称轴与对称中心： sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+； 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最 值点联系。 7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8．求三角函数的周期的常用方法： 经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 9．五点法作y=Asin （ωx+?）的简图： 五点取法是设x=ωx+?，由x 取0、2π、π、2 π 3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。 四．典例解析 题型1：三角函数的图象 例1．（2000全国，5）函数y ＝－xcosx 的部分图象是（ ） 解析：因为函数y ＝－xcosx 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A 、C ，当x ∈（0， 2 π）时，y ＝－xcosx ＜0。答案为D 。 高中数学 三角函数的图象和性质知识点 一. 正弦函数： 1. 正弦函数的图象： 2. 定义域为；值域为 . (1) 当且仅当时，取得最大值1； (2) 当且仅当时，取得最小值1-. 3. 单调性： 在闭区间上都是增函数，其值从1-增大到1； 在闭区间上都是减函数，其值从1减小到1-. 4. 奇偶性： . 5. 周期性：最小正周期是，周期是 . 6. 对称性：对称轴是___________，对称中心是__________. 二. 余弦函数： 1. 余弦函数的图象： 2. 定义域为 .值域为 . (1) 当且仅当时，取得最大值1； (2) 当且仅当时，取得最小值1-. 3. 单调性： 在闭区间上都是增函数，其值从1-增加到1；在闭区间上都是减函数，其值从1减小到1-. 4. 奇偶性： . 5. 周期性：最小正周期是，周期是 . 6. 对称性：对称轴是___________，对称中心是__________. 三. 正切函数： 1．正切函数的图象 (1) 将正切函数tan y x =在区间 (, )2 2 ππ -上的图象向左、右扩展，就可以得到正切函数 tan ,,,2 y x x x k k π π=∈≠ +∈R Z （）的图象，我们把它叫做正切曲线．正切曲线是由被互相平行的直线x ＝ ________()k ∈Z 所隔开的无数多支曲线组成的．这些平行直线x ＝________()k ∈Z 叫做正切曲线各支的________． (2) 结合正切曲线的特征，类比正弦、余弦函数的“五点法”作图，也可用三点两线作图法作出正切函数 tan y x =在一个单调区间 (,)22ππ-上的简图．其中，三点为(,1)4π--、()0,0、(,1)4π，两线为2x π-＝、2 x π ＝． 画 图时，注意图象不能与直线 相交． 2. 定义域为__________;值域为__________． 3. 单调性：在区间__________内，函数单调递增． 4. 奇偶性：由诱导公式tan()tan x x -=-，可得正切函数具备________． 5. 周期性：最小正周期是________；周期是 6. 对称性：对称轴是________，对称中心是________． 1.3三角函数的图象和性质 1.3.1三角函数的周期性 [教学目标] 一、知识与技能 了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，并会求一些简单三角函数的周期。 二、过程与方法 从自然界中的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景（现实原型）的分析、概括与抽象、建立周期函数的概念，再运用数学方法研究三角函数的性质，最后运用三角函数的性质去解决问题。 三、情感、态度与价值观 培养数学来源与生活的思维方式，体会从感性到理性的思维过程，理解未知转化为已知的数学方法。 [教学重点] 周期函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性。 [教学难点] 周期函数的概念 [设计思路] 创设情境，从自然界中的周期现象出发，通过对P点的圆周运动这一模型的分析，引入周期函数的概念。 在研究P点的圆周运动时，给出了y=f(t)的图象；并在研究了三角函数的周期后，给出了y=sinx的图象，让学生从图象上对函数的周期加深理解，让学生体会数形结合的思想。 在讲解例2时，充分利用解方程的思想，让学生更易理解。 [教学过程] 一、创设情境 每年都有春、夏、秋、冬，每星期都是从星期一到星期日，地球每天都绕着太阳自转，公共汽车沿着固定线路一趟又一趟地往返……，这一些都给我们循环、重复的感觉，可以用“周而复始”来描述，这就叫周期现象。 二、学生活动 （P点的圆周运动）如图，点P自点A起，绕圆周按逆时针方向进行 匀速运动。点P的运动轨迹是： A-B-C-D-A-B-C-D- A-B-C-D-A-B …… 显然点P的运动是周期运动。 设圆的半径为2，每4分钟运动一周。设P到A的距离为y，运动时间为t，则y是t 的函数，记为y=f(t). 则f(0)=f(4)=f(8)=f(12)=……=0，（位置在A点） f(2)=f(6)=f(10)=f(14)=……=4，（位置在C点） 三角函数 1. 特殊锐角（0°，30°，45°，60°，90°）的三角函数值 2. 角度制与弧度制 设扇形的弧长为l ，圆心角为a （rad ）,半径为R ，面积为S 角a 的弧度数公式 2π×(a /360°) 角度与弧度的换算 ①360°=2π rad ②1°=π/180rad ③1 rad=180°/π=57° 18′≈57.3° 弧长公式 l a R = 扇形的面积公式 12 s lR = 3. 诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限） 所谓奇偶指是整数k 的奇偶性（k ·π/2+a ） 所谓符号看象限是看原函数的象限（将a 看做锐角，k ·π/2+a 之和所在象限） 注： ①：诱导公式应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了 4. 三角函数的图像和性质：（其中z k ∈） ①： 三角函数 x y sin = x y cos = x y tan = cot y x = 函 数 图 象 定义域 R R 2 x k π π≠+ x k π ≠ 值域 [-1,1] [-1,1] R R 周期 2π 2π π π 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 单 调 性 2,222k k ππππ? ?-+↑????2,222k k ππππ??-+↑???? []2,2k k πππ-↑ []2,2k k πππ+↓ ,22k k ππππ? ?-+↑???? [],k k πππ+↓ 对 称 性 :2 x k π π=+ 对称轴 对称中心:(,0) k π :x k π =对称轴 : 对称中心(+ ,0) 2k π π : 对称中心( ,0)2 k π 零值点 π k x = 2 π π+ =k x πk x = 2 π π+ =k x 最 值 点 2 π π+ =k x ,1max =y 2 π π- =k x ,1m in -=y πk x 2=，1max =y ； 2y k ππ=+，1m in -=y 三角函数的图像和性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0)，)1,2 (π ，(π，0)，) 1,23( -π，(2π，0)． (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π ，(2π，1)． 2．三角函数的图象和性质 (1)周期性 函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π |ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周 期为π |ω|. (2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx＋b的形式． 三种方法 求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； (2)形式复杂的函数应化为y＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域； (3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 双基自测 1．函数)3cos(π +=x y ，x ∈R ( )． A ．是奇函数 B ．是偶函数 C ．既不是奇函数也不是偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 2．函数) 4 tan(x y -=π 的定义域为( )． A ． } ,4 |{Z k k x x ∈- ≠π π B ．},4 2|{Z k k x x ∈-≠π π C ．},4 |{Z k k x x ∈+ ≠π π D ．},4 2|{Z k k x x ∈+ ≠π π 3．)4sin(π -=x y 的图象的一个对称中心是( )． A ．(－π，0) B ．)0,4 3(π- C ．)0,2 3( π D ．)0,2 (π 4．函数f (x )＝cos )6 2(π +x 的最小正周期为________． 考向一 三角函数的周期 【例1】?求下列函数的周期： (1)) 2 3sin(x y π π-=；(2))63tan(π-=x y 考向二 三角函数的定义域与值域 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目： 三角函数图像与性质复习 教案目标： 1、掌握五点画图法，会画正余弦、正切函数图象以及相关的三角函数图象及性质。 2、深刻理解函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性。 重点：五点作图法画正余弦函数图象，及正余弦函数的性质，及一般函数) sin(?ω+=x A y 的图象。 难点：一般函数)sin(?ω+=x A y 的图象与性质。 【教案内容】 1、引入： 有个从未管过自己孩子的统计学家，在一个星期六下午妻子要外出买东西时，勉强答应照看一下4个年幼好动的孩子。当妻子回家时，他交给妻子一张纸条，上写：“擦眼泪11次；系鞋带15次；给每个孩子吹玩具气球各5次，每个气球的平均寿命10秒钟；警告孩子不要横穿马路26次；孩子坚持要穿过马路26次；我还想再过这样的星期六0次。” 2、三角函数知识体系及回忆正余弦函数的概念和周期函数： 正弦函数： 余弦函数： 周期函数： 注意： 最小正周期： 一般函数)sin(?ω+=x A y 中：A 表示 ，ω表示 及频率： ，相位： 。 正切函数： 3、三角函数的图象： 值域:tan ;tan .2 2 22 x x x x x x π π π π < → →+∞>- →-→-∞当且时，当且时， 单调性:对每一个k Z ∈，在开区间(,)22 k k π π ππ- +内，函数单调递增. 对称性:对称中心：( ,0)()2 k k Z π ∈，无对称轴。 五点作图法的步骤： （由诱导公式画出余弦函数的图象） 【例题讲解】 例1 画出下列函数的简图 (1)1sin y x =+[0,2]x π∈(2)cos y x =-[0,2]x π∈ (3)2sin y x =[0,2]x π∈ 例2 (1)方程lg sin x x =解得个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 (2)3[, ]22x ππ ∈- 解不等式3 sin 2 x ≥- 4([,])33x ππ∈- 例3已知函数()cos(2)2sin()sin()3 4 4 f x x x x π π π =-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122 ππ - 上的值域。 例4已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02 A π ω?>><< ）的周期为π， 且图象上一个最低点为2( ,2)3 M π -. (Ⅰ)求()f x 的解读式；（Ⅱ）当[0, ]12 x π∈，求()f x 的最值. 例5写出下列函数的单调区间及在此区间的增减性： (1)1tan()26 y x π=-；(2)tan(2)4y x π =-． 【过手练习】 1、函数sin(2)3 y x π =+ 图像的对称轴方程可能是（） A ．6x π =- B ．12 x π =- C ．6x π = D ．12 x π = 2、已知函数)0)(sin(2>+=ωφωx y 在区间[0，2π]的图像 如下，那么ω=（） A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 3 1 3、函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 三角函数的图像与性质 知识梳理： 题组1：基础再现 1.函数sin 2 x y =的最小正周期为 . 2.函数sin()4 y x π =+ 的单调增区间为 . 3.函数tan(2)3 y x π =- 的定义域为 . 4.不求值，判断下列各式的符号： （1）tan138tan143-o o （2）1317tan()tan()45 ππ--- 题组2：三角函数的定义域与值域问题 例1求函数y =lgsin x + cos x －1 2 的定义域． 解：要使函数有意义，只需 sin 0, 1cos .2x x >???≥??，∴22,22.33k x k k x k πππππππ<<+?? ? -≤≤+?? ∴定义域为(2,2]3 k k π ππ+ （k ∈Z ） ． 例2（1）求函数y ＝cos 2x +sin x ，x ∈[－4π，4 π ]的值域； （2）求函数cos 3 cos 3 x y x -= +的值域； （3）若函数f (x )=a －b cos x 的最大值为52 ，最小值为－1 2 ，求a ， b 的值． 解：（1）令sin x ＝t ，∵x ∈[－4π，4 π ]，∴t ∈[]． ∴y ＝－t 2+t +1＝－(t － 12)2+54 ． ∴当t ＝12时，y max ＝5 4 ；当t y min ． ∴所求值域为，5 4 ]． （2）∵cos 3 cos 3 x y x -=+，∴33cos 1y x y +=-． ∵|cos x |≤1，∴33| |1y y +-≤1，∴－2≤y ≤－1 2 ． ∴所求值域为[－2，－1 2 ]． 题组3：三角函数的单调性与对称性问题 一般地，函数y ＝A sin(x +)的对称中心横坐标可由x +＝k 解得，对称轴可由x +＝k +2解得；函数y ＝ A cos(x +)的对称中心、对称轴同理可得． 例3求函数y ＝sin( 4 π －2x )的单调减区间. 解：∵定义域为R ，又sin(2)4 y x π =--， ∴要求sin( 2)4y x π =-的减区间即求sin(2)4y x π =-的增区间． ∴222242k x k πππππ-≤-≤+ ∴388 k x k ππ ππ-≤≤+（k ∈Z ）． ∴ 函数的定义域为3,88k k ππππ? ?-+???? （k ∈Z ）．三角函数图像与性质知识点总结
三角函数的图像与性质
三角函数图象和性质(总结的很全面,不看后悔)
三角函数图像与性质测试
三角函数图像及其性质
三角函数的图像和性质知识点及例题讲解
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(完整版)三角函数的图像与性质优秀教案
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