湖南省新化二中2015-2016学年高二上学期10月月考数学试卷

新化二中2015下学期高二10月月考试卷

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．设集合A ＝{x |1＜x ＜4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(?R B )＝( B )

A ．(1,4)

B ．(3,4)

C ．(1,3)

D ．(1,2)∪(3,4)

2．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是( D )

A ．简单随机抽样法

B ．抽签法

C ．随机数法

D ．分层抽样法

3．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( B )

A ．－

2

2

B.22

C.3

2

D ．1

4．已知x 、y 取值如下表：

从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a ＝( C )

A ．1.80

B ．1.65

C ． 1.45

D ．1.30

5. 如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点(靠近B )，那么EF

＝( D )

A.12 AB

－13AD B.14 AB

＋12AD C.13 AB

＋12

DA

D.12 AB

－23

AD 6. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( A )

A ．46,45,56

B ．46,45,53

C ．47,45,56

D ．45,47,53

7. 如图关于星星的图案中，第n 个图案中星星的个数为a n ，则数列{a n }的一个通项公式是(C )

A ．a n ＝n 2－n ＋1

B ．a n ＝n (n －1)

2

C ．a n ＝n (n ＋1)

2

D ．a n ＝n (n ＋2)

2

8．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( C )

A.245 B .285

C ．5

D ．6

9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( D )

A ．23π

B.8π3 C ．4 3

D.16π

3

10. 设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝

(),()()f x f x k k

f x k ≤???>??取函数f (x )＝2－

|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为( A ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，0) C ．(0，＋∞)

D ．(1，＋∞)

11．函数f (x )＝sin x －cos ???

?x ＋π

6的值域为( B ) A ．[－2,2]

B ．[－3， 3 ]

C ．[－1,1]

D.?

??

?

－32，

32 12．对实数a 和b ，定义运算“?”：a ?b ＝,

1

,

1

a a

b b a b -≤???

->??设函数f (x )＝(x 2－2)?(x －x 2)，x ∈

R.若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是(B )

A.(]－∞，－2∪????－1，32

B.(]－∞，－2∪????－1，－34

C.? ????－1，14∪? ????14，＋∞

D.? ????－1，－34∪??????14，＋∞

二、填空题（每小题5分，共20分）

13. 从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则a ＜b 的概率为_____1

5

___．

14. 设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b

|15. 若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2

＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为

_2x －y －1＝0_____________． 16 已知数列{}n a 满足*11

()2

n n a a n N ++=

∈1,1,a =则{}n a 的前n 项和为n S

= 。

,4

3,4

n n

n S n n ???=?+???为偶数为奇数

三、解答题（共六小题，70分）

17．（本小题10分）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n 人，为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中 穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队抽6人． (1)求n 的值；

(2)抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的均匀随机数x ，y ，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．

(1)由题意得6120＝20120＋120＋n

，解得n ＝160.

(2)由已知0≤x ≤1,0≤y ≤1，点(x ，y )在如图所示的正方形OABC 内，由条件????

?

2x －y －1≤0，0≤x ≤1，0≤y ≤1，

得到的区域为图中的阴影部分．由2x －y －1＝0，令y ＝0得x ＝1

2

，

令y ＝1得x ＝1.

因此在x ，y ∈[0,1]时满足2x －y －1≤0的区域的面积 S 阴影＝12×????1＋12×1＝34. 设“该代表中奖”为事件N ， 则该代表中奖的概率P (N )＝3

41＝3

4.

18．（本小题12分）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(4，－1)，n ＝????cos 2A 2，cos 2A ，且m ·n ＝7

2

. (1)求角A 的大小；

(2)若b ＋c ＝2a ＝23，试判断△ABC 的形状． 解：(1)∵m ＝(4，－1)，n ＝???

?cos 2A

2，cos 2A ， ∴m ·n ＝4cos 2A

2－cos 2A ＝4·1＋cos A 2－(2cos 2A －1)＝－2cos 2A ＋2cos A ＋3.

又∵m ·n ＝72，∴－2cos 2A ＋2cos A ＋3＝72，解得cos A ＝1

2.

∵0

3

.

(2)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a ＝3， ∴(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·1

2

＝b 2＋c 2－bc .①又∵b ＋c ＝23，

∴b ＝23－c ，代入①式整理得c 2－23c ＋3＝0，解得c ＝3，∴b ＝ 3，于是a ＝b ＝c ＝ 3，即△ABC 为等边三角形．

19．（本小题12分）如图，FD 垂直于矩形ABCD 所在平面，CE ∥DF ，∠DEF ＝90°.

(1)求证：BE ∥平面ADF ；

(2)若矩形ABCD 的一边AB ＝3，EF ＝23，则另一边BC 的长为何值时，三棱锥F －BDE 的体积为3？

解：(1)证明：过点E 作CD 的平行线交DF 于点M ，连接AM . 因为CE ∥DF ，所以四边形CEMD 是平行四边形．

可得EM ＝CD 且EM ∥CD ，于是四边形BEMA 也是平行四边形， 所以有BE ∥AM .而AM ?平面ADF ，BE ?平面ADF ， 所以BE ∥平面ADF .

(2)由EF ＝23，EM ＝AB ＝3，得FM ＝3且∠MFE ＝30°. 由∠DEF ＝90°可得FD ＝4，从而得DE ＝2. 因为BC ⊥CD ，BC ⊥FD ，所以BC ⊥平面CDFE . 所以，V F －BDE ＝V B －DEF ＝1

3

S △DEF ×BC .

因为S △DEF ＝12DE ×EF ＝23，V F －BDE ＝3，所以BC ＝3

2.

综上当BC ＝3

2时，三棱锥F －BDE 的体积为 3.

20．（本小题12分）已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .

(1)当x ∈[1,4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；

(2)如果对任意的x ∈[1,4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2，

因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]．故函数h (x )的值域为[0,2]． (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ， 令t ＝log 2x ，因为x ∈[1,4]，所以t ＝log 2x ∈[0,2]， 所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ；

②当t ∈(0,2]时，k <(3－4t )(3－t )t 恒成立，即k <4t ＋9

t －15恒成立，

因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝3

2时取等号，

所以4t ＋9

t －15的最小值为－3，即k ∈(－∞，－3)．

21．（本小题12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .

(1)求k 的取值范围；

(2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ

共线？如果存在，求k 值；如果不存在，

请说明理由．

解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，

整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①

直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－3

4

＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，

由方程①得x 1＋x 2＝－4(k －3)

1＋k 2

.②又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③

因P (0,2)、Q (6,0)，PQ

＝(6，－2)，

所以OA ＋OB 与PQ

共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，

将②③代入上式，解得k ＝－3

4

.

而由(1)知k ∈???

?－3

4，0，故没有符合题意的常数k .

22．（本小题12分）已知数列{a n }的首项a 1＝35，a n ＋1＝3a n

2a n ＋1

，n ∈N *.

(1)求证：数列?

???

??

1a n

－1为等比数列；

(2)记S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1

a n

，若S n <100，求最大正整数n ；

(3)是否存在互不相等的正整数m ，s ，n ，使m ，s ，n 成等差数列，且a m －1，a s －1，a n

－1成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由．

[解] (1)证明：因为1a n ＋1＝23＋13a n ，所以1a n ＋1

－1＝13a n －1

3.

又因为1a 1－1≠0，所以1a n －1≠0(n ∈N *)，所以数列??????

1a n －1为等比数列．

(2)由(1)，可得1a n －1＝23×????13n －1

，

所以1

a n

＝2×????13n ＋1. S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝n ＋2????13＋132＋…＋13n ＝n ＋2×13－1

3n ＋11－13＝n ＋1－13

n ，

若S n <100，则n ＋1－1

3n <100，所以最大正整数n 的值为99.

(3)假设存在，则m ＋n ＝2s ，(a m －1)(a n －1)＝(a s －1)2， 因为a n ＝3n

3n ＋2

，

所以????3n 3n ＋2－1????3m 3m ＋2－1＝???

?3

s 3s ＋2－12.

化简，得3m ＋3n ＝2·3s .

因为3m ＋3n ≥2·3m ＋

n ＝2·3s ，当且仅当m ＝n 时等号成立．又m ，s ，n 互不相等，所以

3m ＋3n ＝2·3s 不成立，所以不存在满足条件的m ，n ，s .