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湖南省新化二中2015-2016学年高二上学期10月月考数学试卷

新化二中2015下学期高二10月月考试卷

一、选择题(每小题5分,共60分)

1.设集合A ={x |1<x <4},集合B ={x |x 2-2x -3≤0},则A ∩(?R B )=( B )

A .(1,4)

B .(3,4)

C .(1,3)

D .(1,2)∪(3,4)

2.某校高三年级有男生500人,女生400人,为了解该年级学生的健康情况,从男生中任意抽取25人,从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是( D )

A .简单随机抽样法

B .抽签法

C .随机数法

D .分层抽样法

3.sin 68°sin 67°-sin 23°cos 68°的值为( B )

A .-

2

2

B.22

C.3

2

D .1

4.已知x 、y 取值如下表:

湖南省新化二中2015-2016学年高二上学期10月月考数学试卷

从所得的散点图分析可知:y 与x 线性相关,且y =0.95x +a ,则a =( C )

A .1.80

B .1.65

C . 1.45

D .1.30

5. 如图,正方形ABCD 中,点E 是DC 的中点,点F 是BC 的一个三等分点(靠近B ),那么EF

=( D )

A.12 AB

-13AD B.14 AB

湖南省新化二中2015-2016学年高二上学期10月月考数学试卷

+12AD C.13 AB

+12

DA

D.12 AB

-23

AD 6. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是( A )

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A .46,45,56

B .46,45,53

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C .47,45,56

D .45,47,53

7. 如图关于星星的图案中,第n 个图案中星星的个数为a n ,则数列{a n }的一个通项公式是(C )

湖南省新化二中2015-2016学年高二上学期10月月考数学试卷

A .a n =n 2-n +1

B .a n =n (n -1)

2

C .a n =n (n +1)

2

D .a n =n (n +2)

2

8.若正数x ,y 满足x +3y =5xy ,则3x +4y 的最小值是( C )

A.245 B .285

C .5

D .6

9.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的表面积为( D )

A .23π

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B.8π3 C .4 3

D.16π

3

10. 设函数y =f (x )在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的正数k ,定义函数f k (x )=

(),()()f x f x k k

f x k ≤???>??取函数f (x )=2-

|x |.当k =12时,函数f k (x )的单调递增区间为( A ) A .(-∞,-1) B .(-∞,0) C .(0,+∞)

D .(1,+∞)

11.函数f (x )=sin x -cos ???

?x +π

6的值域为( B ) A .[-2,2]

B .[-3, 3 ]

C .[-1,1]

D.?

??

?

-32,

32 12.对实数a 和b ,定义运算“?”:a ?b =,

1

,

1

a a

b b a b -≤???

->??设函数f (x )=(x 2-2)?(x -x 2),x ∈

R.若函数y =f (x )-c 的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数c 的取值范围是(B )

A.(]-∞,-2∪????-1,32

B.(]-∞,-2∪????-1,-34

C.? ????-1,14∪? ????14,+∞

D.? ????-1,-34∪??????14,+∞

二、填空题(每小题5分,共20分)

13. 从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ,从{1,2,3}中随机选取一个数为b ,则a <b 的概率为_____1

5

___.

14. 设x ∈R ,向量a =(x,1),b =(1,-2),且a ⊥b ,则|a +b

|15. 若点P (1,1)为圆(x -3)2+y 2

=9的弦MN 的中点,则弦MN 所在直线的方程为

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_2x -y -1=0_____________. 16 已知数列{}n a 满足*11

()2

n n a a n N ++=

∈1,1,a =则{}n a 的前n 项和为n S

= 。

,4

3,4

n n

n S n n ???=?+???为偶数为奇数

三、解答题(共六小题,70分)

17.(本小题10分)某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上,高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n 人,为了活跃气氛,大会组委会在颁奖过程中 穿插抽奖活动,并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐,其中高二代表队抽6人. (1)求n 的值;

(2)抽奖活动的规则是:代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的均匀随机数x ,y ,并按如图所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”,则该代表中奖;若电脑显示“谢谢”,则不中奖,求该代表中奖的概率.

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(1)由题意得6120=20120+120+n

,解得n =160.

(2)由已知0≤x ≤1,0≤y ≤1,点(x ,y )在如图所示的正方形OABC 内,由条件????

?

2x -y -1≤0,0≤x ≤1,0≤y ≤1,

得到的区域为图中的阴影部分.由2x -y -1=0,令y =0得x =1

2

令y =1得x =1.

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因此在x ,y ∈[0,1]时满足2x -y -1≤0的区域的面积 S 阴影=12×????1+12×1=34. 设“该代表中奖”为事件N , 则该代表中奖的概率P (N )=3

41=3

4.

18.(本小题12分)已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,向量m =(4,-1),n =????cos 2A 2,cos 2A ,且m ·n =7

2

. (1)求角A 的大小;

(2)若b +c =2a =23,试判断△ABC 的形状. 解:(1)∵m =(4,-1),n =???

?cos 2A

2,cos 2A , ∴m ·n =4cos 2A

2-cos 2A =4·1+cos A 2-(2cos 2A -1)=-2cos 2A +2cos A +3.

又∵m ·n =72,∴-2cos 2A +2cos A +3=72,解得cos A =1

2.

∵0

3

.

(2)在△ABC 中,a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,且a =3, ∴(3)2=b 2+c 2-2bc ·1

2

=b 2+c 2-bc .①又∵b +c =23,

∴b =23-c ,代入①式整理得c 2-23c +3=0,解得c =3,∴b = 3,于是a =b =c = 3,即△ABC 为等边三角形.

19.(本小题12分)如图,FD 垂直于矩形ABCD 所在平面,CE ∥DF ,∠DEF =90°.

(1)求证:BE ∥平面ADF ;

(2)若矩形ABCD 的一边AB =3,EF =23,则另一边BC 的长为何值时,三棱锥F -BDE 的体积为3?

解:(1)证明:过点E 作CD 的平行线交DF 于点M ,连接AM . 因为CE ∥DF ,所以四边形CEMD 是平行四边形.

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可得EM =CD 且EM ∥CD ,于是四边形BEMA 也是平行四边形, 所以有BE ∥AM .而AM ?平面ADF ,BE ?平面ADF , 所以BE ∥平面ADF .

(2)由EF =23,EM =AB =3,得FM =3且∠MFE =30°. 由∠DEF =90°可得FD =4,从而得DE =2. 因为BC ⊥CD ,BC ⊥FD ,所以BC ⊥平面CDFE . 所以,V F -BDE =V B -DEF =1

3

S △DEF ×BC .

因为S △DEF =12DE ×EF =23,V F -BDE =3,所以BC =3

2.

综上当BC =3

2时,三棱锥F -BDE 的体积为 3.

20.(本小题12分)已知函数f (x )=3-2log 2x ,g (x )=log 2x .

(1)当x ∈[1,4]时,求函数h (x )=[f (x )+1]·g (x )的值域;

(2)如果对任意的x ∈[1,4],不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立,求实数k 的取值范围. 解:(1)h (x )=(4-2log 2x )·log 2x =-2(log 2x -1)2+2,

因为x ∈[1,4],所以log 2x ∈[0,2].故函数h (x )的值域为[0,2]. (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )得(3-4log 2x )(3-log 2x )>k ·log 2x , 令t =log 2x ,因为x ∈[1,4],所以t =log 2x ∈[0,2], 所以(3-4t )(3-t )>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立, ①当t =0时,k ∈R ;

②当t ∈(0,2]时,k <(3-4t )(3-t )t 恒成立,即k <4t +9

t -15恒成立,

因为4t +9t ≥12,当且仅当4t =9t ,即t =3

2时取等号,

所以4t +9

t -15的最小值为-3,即k ∈(-∞,-3).

21.(本小题12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆x 2+y 2-12x +32=0的圆心为Q ,过点P (0,2),且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .

(1)求k 的取值范围;

(2)是否存在常数k ,使得向量OA +OB 与PQ

共线?如果存在,求k 值;如果不存在,

请说明理由.

解:(1)圆的方程可写成(x -6)2+y 2=4,所以圆心为Q (6,0).过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y =kx +2,代入圆的方程得x 2+(kx +2)2-12x +32=0,

整理得(1+k 2)x 2+4(k -3)x +36=0.①

直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ=[4(k -3)]2-4×36(1+k 2)=42(-8k 2-6k )>0,解得-3

4

=(x 1+x 2,y 1+y 2),

由方程①得x 1+x 2=-4(k -3)

1+k 2

.②又y 1+y 2=k (x 1+x 2)+4.③

因P (0,2)、Q (6,0),PQ

=(6,-2),

所以OA +OB 与PQ

共线等价于-2(x 1+x 2)=6(y 1+y 2),

将②③代入上式,解得k =-3

4

.

而由(1)知k ∈???

?-3

4,0,故没有符合题意的常数k .

22.(本小题12分)已知数列{a n }的首项a 1=35,a n +1=3a n

2a n +1

,n ∈N *.

(1)求证:数列?

???

??

1a n

-1为等比数列;

(2)记S n =1a 1+1a 2+…+1

a n

,若S n <100,求最大正整数n ;

(3)是否存在互不相等的正整数m ,s ,n ,使m ,s ,n 成等差数列,且a m -1,a s -1,a n

-1成等比数列?如果存在,请给以证明;如果不存在,请说明理由.

[解] (1)证明:因为1a n +1=23+13a n ,所以1a n +1

-1=13a n -1

3.

又因为1a 1-1≠0,所以1a n -1≠0(n ∈N *),所以数列??????

1a n -1为等比数列.

(2)由(1),可得1a n -1=23×????13n -1

所以1

a n

=2×????13n +1. S n =1a 1+1a 2+…+1a n =n +2????13+132+…+13n =n +2×13-1

3n +11-13=n +1-13

n ,

若S n <100,则n +1-1

3n <100,所以最大正整数n 的值为99.

(3)假设存在,则m +n =2s ,(a m -1)(a n -1)=(a s -1)2, 因为a n =3n

3n +2

所以????3n 3n +2-1????3m 3m +2-1=???

?3

s 3s +2-12.

化简,得3m +3n =2·3s .

因为3m +3n ≥2·3m +

n =2·3s ,当且仅当m =n 时等号成立.又m ,s ,n 互不相等,所以

3m +3n =2·3s 不成立,所以不存在满足条件的m ,n ,s .