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2018届高考数学(理)一轮复习高频考点大突破学案:专题49 椭圆

2018届高考数学(理)一轮复习高频考点大突破学案:专题49 椭圆
2018届高考数学(理)一轮复习高频考点大突破学案:专题49 椭圆

专题49椭圆1.椭圆的定义

在平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:

(1)若a>c,则集合P为椭圆;

(2)若a=c,则集合P为线段;

(3)若a<c,则集合P为空集.

2.椭圆的标准方程和几何性质

高频考点一 椭圆的定义及其应用

【例1】 (1)已知椭圆x 24+y 2

2=1的两个焦点是F 1,F 2,点P 在该椭圆上,若|PF 1|-|PF 2|=2,则△PF 1F 2的

面积是( ) A. 2 B.2

C.2 2

D. 3

(2)与圆C 1:(x +3)2+y 2=1外切,且与圆C 2:(x -3)2+y 2=81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________. 解析 (1)由椭圆的方程可知a =2,c =2,且|PF 1|+|PF 2|=2a =4,又|PF 1|-|PF 2|=2,所以|PF 1|=3,|PF 2|=1.

又|F 1F 2|=2c =22,所以有|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2,即△PF 1F 2为直角三角形,且∠PF 2F 为直角, 所以S △PF 1F 2=12|F 1F 2||PF 2|=1

2

×22×1= 2.

【举一反三】 (1)(如图所示,一圆形纸片的圆心为O ,F 是圆内一定点,M 是圆周上一动点,把纸片折叠使M 与F 重合,然后抹平纸片,折痕为CD ,设CD 与OM 交于点P ,则点P 的轨迹是( )

A .椭圆

B .双曲线

C .抛物线

D .圆

(2)已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆C 上的一点,且PF →1⊥PF →2.若△PF 1F 2

的面积为9,则b =________. 解析 (1)由条件知|PM |=|PF |.

∴|PO |+|PF |=|PO |+|PM |=|OM |=R >|OF |. ∴P 点的轨迹是以O ,F 为焦点的椭圆. (2)由椭圆的定义知|PF 1|+|PF 2|=2a ,PF →1⊥PF →

2, ∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2, ∴(|PF 1|+|PF 2|)2-2|PF 1||PF 2|=4c 2, ∴2|PF 1||PF 2|=4a 2-4c 2=4b 2. ∴|PF 1||PF 2|=2b 2,

∴S △PF 1F 2=12|PF 1||PF 2|=1

2

×2b 2=b 2=9.

∴b =3.

答案 (1)A (2)3

规律方法 椭圆定义的应用主要有两个方面:一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆;二是当P 在椭圆上时,与椭圆的两焦点F 1,F 2组成的三角形通常称为―焦点三角形‖,利用定义可求其周长;利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|;通过整体代入可求其面积等.

【变式探究】 (1)已知F 1,F 2是椭圆x 216+y 2

9=1的两焦点,过点F 2的直线交椭圆于A ,B 两点,在△AF 1B

中,若有两边之和是10,则第三边的长度为( ) A .6 B .5 C .4 D .3

(2)与圆C 1:(x +3)2+y 2=1外切,且与圆C 2:(x -3)2+y 2=81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________.

解析 (1)由椭圆定义知,?????|AF 1|+|AF 2|=8,|BF 1|+|BF 2

|=8,

两式相加得|AB |+|AF 1|+|BF 1|=16,

即△AF 1B 周长为16,又因为在△AF 1B 中,有两边之和是10,所以第三边长度为16-10=6.选A. (2)设动圆的半径为r ,圆心为P (x ,y ),则有|PC 1|=r +1,|PC 2|=9-r .所以|PC 1|+|PC 2|=10>|C 1C 2|, 即P 在以C 1(-3,0),C 2(3,0)为焦点,长轴长为10的椭圆上, 得点P 的轨迹方程为x 225+y 2

16=1.

答案 (1)A (2)x 225+y 2

16=1

高频考点二 求椭圆的标准方程

【例2】 (1)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率为2

2

.过F 1的直线l 交C 于A ,B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么椭圆C 的方程为________.

(2)设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2

+y 2

b

2=1(0

=3|F 1B |,AF 2⊥x 轴,则椭圆E 的方程为________.

(3)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍,且过点A (3,0),并且以坐标轴为对称轴,则椭圆的标准方程为________.

解析 (1)设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),由e =22,知c a =22,故b 2a 2=1

2

.

由于△ABF 2的周长为|AB |+|BF 2|+|AF 2|=(|AF 1|+|AF 2|)+(|BF 1|+|BF 2|)=4a =16,故a =4. ∴b 2

=8,∴椭圆C 的方程为x 216+y 2

8

=1.

(3)法一 若椭圆的焦点在x 轴上,设方程为x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0).

由题意得????

?2a =3×2b ,9a 2+0b 2=1,

解得?

????a =3,b =1.所以椭圆的标准方程为x 29+y 2

=1.

若焦点在y 轴上,设方程为y 2a 2+x 2

b 2=1(a >b >0).

由题意得?????2a =3×2b ,0a 2+9b 2=1,解得?????a =9,

b =3.

所以椭圆的标准方程为y 281+x 2

9

=1.

综上所述,椭圆的标准方程为x 29+y 2=1或y 281+x 2

9

=1.

法二 设椭圆的方程为x 2m +y 2

n

=1(m >0,n >0,m ≠n ),则由题意知?????9m =1,2m =3×2n 或?????9m =1,2n =3×2m ,

解得?????m =9,n =1或?

????m =9,

n =81. ∴椭圆的标准方程为x 29+y 2=1或y 281+x 2

9

=1.

答案 (1)x 216+y 28=1 (2)x 2+3y 2

2=1 (3)x 29+y 2=1或y 281+x 29

=1 【方法规律】根据条件求椭圆方程常用的主要方法是定义法和待定系数法.定义法的要点是根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义,待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a ,b .

【举一反三】(1)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点????-32,5

2,(3,5),则椭圆方程为________.

(2)过点(3,-5),且与椭圆y 225+x 2

9

=1有相同焦点的椭圆标准方程为________.

解析 (1)设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ,n >0,m ≠n ). 由?????????-322m +????522n =1,3m +5n =1,解得m =16,n =1

10

.

∴椭圆方程为y 210+x 2

6

=1.

(2)法一 椭圆y 225+x 2

9=1的焦点为(0,-4),(0,4),即c =4.

由椭圆的定义知,2a =(3-0)2+(-5+4)2+ (3-0)2+(-5-4)2,解得a =2 5. 由c 2=a 2-b 2可得b 2=4.

所以所求椭圆的标准方程为y 220+x 2

4

=1.

法二 设所求椭圆方程为y 225-k +x 2

9-k =1(k <9),将点(3,-5)的坐标代入可得(-5)225-k +(3)29-k =1,

解得k =5(k =21舍去),所以所求椭圆的标准方程为y 220+x 2

4=1.

答案 (1)y 210+x 26=1 (2)y 220+x 2

4

=1

【变式探究】(1)已知椭圆的中心在原点,离心率e =1

2,且它的一个焦点与抛物线y 2=-4x 的焦点重合,

则此椭圆方程为( ) A.x 24+y 2

3=1

B.x 28+y 2

6

=1 C.x 22

+y 2

=1 D.x 24

+y 2

=1

(2)已知F 1(-1,0),F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ,B 两点,且|AB |=3,则C 的方程为________.

解析 (1)依题意,可设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0),由已知可得抛物线的焦点为(-1,0),所以

c =1,又离心率e =c a =12,解得a =2,b 2=a 2-c 2

=3,所以椭圆方程为x 24+y 23

=1,故选A.

高频考点三 椭圆的几何性质

例3、(1)(2016·全国Ⅲ卷)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的左焦点,A ,B 分别为C

的左、右顶点.P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为( ) A.13

B.12

C.23

D.3

4

(2)已知椭圆E :x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ,短轴的一个端点为M ,直线l :3x -4y =0交椭圆E 于A ,

B 两点.若|AF |+|BF |=4,点M 到直线l 的距离不小于4

5,则椭圆E 的离心率的取值范围是( )

A.?

??

?0,

32

B.????0,34

C.??

?

?

32,1

D.????34,1

解析 (1)设M (-c ,m ),则E ???

?0,am

a -c ,OE 的中点为D ,

则D ???

?0,am

2(a -c ),又B ,D ,M 三点共线,

所以m 2(a -c )=m a +c

,所以a =3c ,所以e =1

3.

(2)设左焦点为F 0,连接F 0A ,F 0B ,则四边形AFBF 0为平行四边形. ∵|AF |+|BF |=4,

∴|AF |+|AF 0|=4,∴a =2. 设M (0,b ),则4b 5≥4

5

,∴1≤b <2.

离心率e =c

a

c 2a 2=a 2-b 2

a 2

=4-b 24∈?

???0,3

2. 答案 (1)A (2)A

【举一反三】(1)已知点F 1,F 2是椭圆x 2+2y 2=2的左,右焦点,点P 是该椭圆上的一个动点,那么|PF 1→

+PF 2→

|的最小值是( ) A .0 B .1 C .2 D .2 2

(2)(2015·浙江)椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F (c ,0)关于直线y =b

c x 的对称点Q 在椭圆上,则椭圆的离

心率是________. 答案 (1)C (2)

22

(2)设椭圆的另一个焦点为F 1(-c,0),如图,连接QF 1,QF ,设QF 与直线y =b

c x 交于点M .由题意知M 为

线段QF 的中点,且OM ⊥FQ .

又O 为线段F 1F 的中点, ∴F 1Q ∥OM ,

∴F 1Q ⊥QF ,|F 1Q |=2|OM |.

在Rt △MOF 中,tan ∠MOF =|MF ||OM |=b

c ,|OF |=c ,

可解得|OM |=c 2a ,|MF |=bc

a

故|QF |=2|MF |=2bc a ,|QF 1|=2|OM |=2c 2

a .

由椭圆的定义得|QF |+|QF 1|=2bc a +2c 2

a =2a ,

整理得b =c ,∴a =b 2+c 2=2c ,故e =c a =2

2

.

方法二 设Q (x 0,y 0),则FQ 的中点坐标??

??

x 0+c 2,y 02,k FQ

=y

0x 0

-c ,依题意???

y 0

2=b c ·x 0

+c 2,y 0x 0

-c ·

b

c =-1,

解得???

x 0=c 2c 2-a 2 a 2

y 0

=2bc

2

a 2

又因为(x 0,y 0)在椭圆上,

所以c 2 2c 2-a 2 2a 6

+4c 4a 4=1,令e =c a ,则4e 6+e 2=1, ∴离心率e =22

.

【变式探究】 已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ,上顶点为A ,P 为C 1上任一点,MN 是圆

C 2:x 2+(y -3)2=1的一条直径,与AF 平行且在y 轴上的截距为3-2的直线l 恰好与圆C 2相切. (1)求椭圆C 1的离心率;

(2)若PM →·PN →的最大值为49,求椭圆C 1的方程.

解 (1)由题意可知,直线l 的方程为bx +cy -(3-2)c =0, 因为直线l 与圆C 2:x 2+(y -3)2=1相切, 所以d =|3c -3c +2c |b 2+c 2

=1,化简得c 2=b 2, 即a 2=2c 2,从而e =

22

.

①当c ≥3时,

(PM →·PN →)max =17+2c 2=49, 解得c =4,

此时椭圆方程为x 232+y 2

16

=1;

②当0<c <3时,

(PM →·PN →)max =-(-c +3)2+17+2c 2=49, 解得c =±52-3.

但c =-52-3<0,且c =52-3>3,故舍去. 综上所述,椭圆C 1的方程为x 232+y 2

16=1.

考点四 直线与椭圆的位置关系

【例4】(2016·全国Ⅰ卷)设圆x 2+y 2+2x -15=0的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (1)证明|EA |+|EB |为定值,并写出点E 的轨迹方程;

(2)设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围. (1)证明 因为|AD |=|AC |,EB ∥AC ,

故∠EBD =∠ACD =∠ADC ,所以|EB |=|ED |, 故|EA |+|EB |=|EA |+|ED |=|AD |.

又圆A 的标准方程为(x +1)2+y 2=16,从而|AD |=4, 所以|EA |+|EB |=4.

由题设得A (-1,0),B (1,0),|AB |=2,

由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为:x 24+y 2

3

=1(y ≠0).

(2)解 当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为y =k (x -1)(k ≠0),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2). 由?????y =k (x -1),x 24+y 23=1得(4k 2+3)x 2-8k 2x +4k 2-12=0. 则x 1+x 2=8k 2

4k 2+3,x 1x 2=4k 2-124k 2+3,

所以|MN |=1+k 2

|x 1-x 2|=12(k 2+1)

4k 2+3

.

过点B (1,0)且与l 垂直的直线m :y =-1k (x -1),A 到m 的距离为2

k 2+1,

所以|PQ |=2

42

-? ?

?

??2k 2+12=4

4k 2+3

k 2+1

. 故四边形MPNQ 的面积 S =1

2

|MN ||PQ |=121+14k 2+3

. 可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83).

当l 与x 轴垂直时,其方程为x =1,|MN |=3,|PQ |=8,故四边形MPNQ 的面积为12. 综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83).

【举一反三】如图,椭圆x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两

点,且PQ ⊥PF 1.

(1)若|PF 1|=2+2,|PF 2|=2-2,求椭圆的标准方程; (2)若|PF 1|=|PQ |,求椭圆的离心率e . 解 (1)由椭圆的定义,

2a =|PF 1|+|PF 2|=(2+2)+(2-2)=4,故a =2. 设椭圆的半焦距为c ,由已知PF 1⊥PF 2, 因此2c =|F 1F 2|=|PF 1|2+|PF 2|2 = 2+2 2+ 2-2 2=23, 即c =3,从而b =a 2-c 2=1. 故所求椭圆的标准方程为x 24

+y 2

=1.

(2)方法一 连接F 1Q ,如图,设点P (x 0,y 0)在椭圆上,且PF 1⊥PF 2,则x 20a 2+y 20b

2=1,x 20+y 20=c 2

求得x 0=±a

c a 2-2b 2,

y 0=±b 2

c

.

由|PF 1|=|PQ |>|PF 2|得x 0>0,从而

|PF 1|2

=? ?

?

??a a 2-2b 2c +c 2+b 4

c 2.

=2(a 2-b 2)+2a a 2-2b 2=(a +a 2-2b 2)2.

由椭圆的定义,|PF 1|+|PF 2|=2a ,|QF 1|+|QF 2|=2a ,从而由|PF 1|=|PQ |=|PF 2|+|QF 2|,有|QF 1|=4a -2|PF 1|.

又由PF1⊥PQ,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=2|PF1|,因此,(2+2)|PF1|=4a,

即(2+2)(a+a2-2b2)=4a,

于是(2+2)(1+2e2-1)=4,

解得e=1

2??

?

??

?

1+?

?

??

?

4

2+2

-12=6- 3.

方法二如图,由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.

从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,

有|QF1|=4a-2|PF1|.

又由PF1⊥PQ,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=2|PF1|,

因此,4a-2|PF1|=2|PF1|,得|PF1|=2(2-2)a,从而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2-2)a=2(2-1)a. 由PF1⊥PF2,知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2,因此

e=c

a=|PF1|2+|PF2|2

2a

= 2-2 2+ 2-1 2

=9-62=6- 3.

【变式探究】(2015·北京)已知椭圆C:x2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M.

(1)求椭圆C的离心率;

(2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;

(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.

(3)直线BM与直线DE平行,证明如下:

当直线AB的斜率不存在时,由(2)可知k BM=1.

又因为直线DE 的斜率k DE =

1-0

2-1

=1,所以BM ∥DE , 当直线AB 的斜率存在时,设其方程为y =k (x -1)(k ≠1),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则直线AE 的方程为y -1=y 1-1x 1-2

(x -2). 令x =3,得点M ?

????3,y 1+x 1-3x 1-2,

由?

????

x 2+3y 2

=3,y =k x -1 ,得(1+3k 2)x 2-6k 2x +3k 2-3=0, 所以x 1+x 2=6k 21+3k 2,x 1x 2=3k 2-31+3k 2,

直线BM 的斜率k BM =y 1+x 1-3

x 1-2

-y 2

3-x 2,

因为k BM -1 =k x 1-1 +x 1-3-k x 2-1 x 1-2 - 3-x 2 x 1-2

3-x 2 x 1-2

k -1 [-x 1x 2+2 x 1+x 2 -3]

3-x 2 x 1-2

k -1 ? ??

??-3k 2+31+3k 2+12k 2

1+3k 2-3 3-x 2 x 1-2

=0

所以k BM =1=k DE ,所以BM ∥DE . 综上可知,直线BM 与直线DE 平行. 高频考点五 椭圆的离心率问题

例5、(1)已知椭圆E :x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ,短轴的一个端点为M ,直线l :3x -4y =0交椭圆

E 于A ,B 两点.若|A

F |+|BF |=4,点M 到直线l 的距离不小于4

5,则椭圆E 的离心率的取值范围是( )

A.?

??

?0,

32 B.????0,34 C.??

?

?32,1

D.????34,1

(2)设椭圆C :x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的左,右焦点为F 1,F 2,过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ,B 两点,F 1B

与y 轴相交于点D ,若AD ⊥F 1B ,则椭圆C 的离心率等于________.

解析 (1)如图,设左焦点为F 0,连接F 0A ,F 0B ,则四边形AFBF 0为平行四边形.

∵|AF |+|BF |=4, ∴|AF |+|AF 0|=4, ∴a =2.

设M (0,b ),则4b 5≥4

5,∴1≤b <2.

离心率e =c

a =

c 2

a 2=a 2-

b 2

a 2

=4-b 24∈?

???0,3

2, 故选A.

(2)直线AB :x =c ,代入x 2a 2+y 2b 2=1,得y =±b 2

a .

∴A (c ,b 2a ),B (c ,-b 2

a

).

∴kBF 1=-b 2a -0c - -c =-b 2

a 2c =-

b 2

2ac .

∴直线BF 1:y -0=-b 2

2ac (x +c ).

令x =0,则y =-b 2

2a

∴D (0,-b 2

2a ),∴k AD =b 2a +

b 22a

c =3b 22ac .

由于AD ⊥BF 1,∴-b 22ac ·3b 2

2ac =-1,

∴3b 4=4a 2c 2,

∴3b 2=2ac ,即3(a 2-c 2)=2ac , ∴3e 2+2e -3=0,

∴e =-2±4-4×3× -3 23=-2±423.

∵e >0,∴e =-2+423=223=3

3.

答案 (1)A (2)

3

3

\

1.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1:22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2:22x n

–y 2

=1(n >0)的焦点重合,e 1,e 2

分别为C 1,C 2的离心率,则( )

A .m >n 且e 1e 2>1

B .m >n 且e 1e 2<1

C .m 1

D .m

A

2.【2016高考新课标3理数】已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点,,A B

分别为C 的左,右顶点.P 为C 上一点,且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为( ) (A )

1

3

(B )12

(C )23

(D )34

【答案】A

【解析】由题意设直线l 的方程为()y k x a =+,分别令x c =-与0x =得||()FM k a c =-,||OE k a =.设OE 的中点为N ,则OBN FBM △∽△,则1

||||2||||OE OB FM BF =,即2(c)k a a k a a c =-+,整理,得1

3

c a =,所以椭圆C 的离心率1

3

e =

,故选A . 3.【2016高考江苏卷】如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆22

221()x y a b a b

+=>>0 的右焦点,直

线2

b

y = 与椭圆交于,B C 两点,且90BFC ∠= ,则该椭圆的离心率是 ▲ .

【解析】由题意得,),C(,),22b b B

,因此22222)()0322b c c a e -+=?=?= 4.【2016高考新课标1卷】(本小题满分12分)设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (I )证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程;

(II )设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.

【答案】(Ⅰ)13

42

2=+y x (0≠y )

(II ))38,12[ 【解析】(Ⅰ)因为||||AC AD =,AC EB //,故ADC ACD EBD ∠=∠=∠, 所以||||ED EB =,故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.

又圆A 的标准方程为16)1(2

2=++y x ,从而4||=AD ,所以4||||=+EB EA .

由题设得)0,1(-A ,)0,1(B ,2||=AB ,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为:

13

42

2=+y x (0≠y ). (Ⅱ)当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ,),(11y x M ,),(22y x N .

由?????=+-=134

)1(22y

x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k . 则3482221+=+k k x x ,3412

42221+-=k k x x .

所以3

4)

1(12||1||2

2212

++=-+=k k x x k MN .

过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m :)1(1--

=x k y ,A 到m 的距离为1

22+k ,所以

13

44)1

2

(42||222

22

++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积 3

41

112||||212++==

k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.

当l 与x 轴垂直时,其方程为1=x ,3||=MN ,8||=PQ ,四边形MPNQ 的面积为12. 综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.

5.【2016高考新课标1卷】(本小题满分12分)设圆2

2

2150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (I )证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程;

(II )设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.

【答案】(Ⅰ)13

42

2=+y x (0≠y )

(II ))38,12[

(Ⅱ)当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ,),(11y x M ,),(22y x N .

由?????=+-=134

)

1(2

2y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k . 则3482221+=+k k x x ,3

412

42221+-=k k x x .

所以3

4)

1(12||1||2

2212

++=-+=k k x x k MN . 过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m :)1(1--

=x k y ,A 到m 的距离为1

22+k ,所以

13

44)1

2

(42||222

22

++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积 3

41

112||||212++==

k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.

当l 与x 轴垂直时,其方程为1=x ,3||=MN ,8||=PQ ,四边形MPNQ 的面积为12. 综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[. 6.【2016高考天津理数】(本小题满分14分)

设椭圆13222=+y a x (3>a )的右焦点为F ,右顶点为A ,已知|

|3||1||1FA e OA OF =

+,其中O 为原点,e 为椭圆的离心率. (Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上),垂直于l 的直线与l 交于点M ,与y 轴交于点H ,若HF BF ⊥,且MOA MAO ∠≤∠,求直线的l 斜率的取值范围.

【答案】(Ⅰ)22

143x y +=(Ⅱ)),4

6[]46,(+∞-

-∞ 【解析】(Ⅰ)解:设(,0)F c ,由

113||||||e OF OA FA +=

,即113()

c c a a a c +=-,可得222

3a c c -=,又2

2

2

3a c b -==,所以2

1c =,因此2

4a =,所以椭圆的方程为22

143

x y +=.

(Ⅱ)解:设直线l 的斜率为k (0≠k ),则直线l 的方程为)2(-=x k y .

设),(B B y x B ,由方程组??

???-==+)2(13

42

2x k y y x ,消去y ,整理得0121616)34(2

222=-+-+k x k x k .

解得2=x ,或346822+-=k k x ,由题意得3

46

82

2+-=k k x B ,从而34122+-=k k y B . 由(Ⅰ)知,)0,1(F ,设),0(H y H ,有FH (1,)H y =-,2229412(,)4343

k k

BF k k -=++ .

由HF BF ⊥,得0BF HF ?= ,所以222124904343H ky k k k -+=++,解得k

k y H 12492-=

. 因此直线MH 的方程为k

k x k y 124912-+-=.

设),(M M y x M ,由方程组??

???-=-+

-=)

2(124912

x k y k k x k y 消去y ,解得)1(129202

2++=k k x M . 在MAO △中,||||MO MA MAO MOA ≤?∠≤∠,即2

2

2

2

)2(M M M M y x y x +≤+-,

化简得1≥M x ,即1)1(129202

2≥++k k ,解得46-≤k 或4

6

≥k . 所以,直线l 的斜率的取值范围为),4

6

[]46,(+∞-

-∞ . 7.【2016高考浙江理数】(本题满分15分)如图,设椭圆22

21x y a

+=(a >1).

(I )求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长(用a 、k 表示);

(II )若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值 范围

.

【答案】(I

;(II

)0e <≤ 【解析】

(Ⅰ)设直线1y kx =+被椭圆截得的线段为AP ,由22

211y kx x y a

=+??

?+=??得()2222120a k x a kx ++=, 故10x =,2222

21a k

x a k =-+.

. (Ⅱ)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ,Q ,满足

AP AQ =.

记直线AP ,AQ 的斜率分别为1k ,2k ,且1k ,20k >,12k k ≠.

=, 所以(

)()

22222222

121212120k k k k a a k k ??-+++-=?

?

由于12k k ≠,1k ,20k >得()

222222

1212120k k a a k k +++-=,

因此22

2212

11(

1)(1)1(2)a a k k ++=+-, ① 因为①式关于1k ,2k 的方程有解的充要条件是2

2

1(2)1a a +->,

所以a >

因此,任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3

个公共点的充要条件为1a <≤

由c e a ==

0e <≤

8.【2016高考新课标2理数】已知椭圆:E 22

13

x y t +=的焦点在x 轴上,A 是E 的左顶点,斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点,点N 在E 上,MA NA ⊥. (Ⅰ)当4,||||t AM AN ==时,求AMN ?的面积;

(Ⅱ)当2AM AN =时,求k 的取值范围.

【答案】(Ⅰ)

144

49

(Ⅱ))

2

.

(Ⅱ)由题意3t >,0k >

,()

A .

将直线AM

的方程(y k x =+代入22

13

x y t +=得(

)22222330tk x x t k t +++-=.

由(22

12

33t k t

x tk

-?=

+得

1x =

,故

1AM x =+=

由题设,直线

AN 的方程为(1

y x k

=-+,故同理可得

AN ==, 由2AM AN =得22

233k tk k t

=++,即()()3

2321k t k k -

=-. 当k =

因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()2

3233

2122022

k k k k k k k -+-+-=<--, 即32

02k k -<-.由此得3

2020k k ->??-

k k -

>?2k <<

. 因此k 的取值范围是

)

2.

9.【2016年高考北京理数】(本小题14分)

已知椭圆C :22

221+=x y a b

(0a b

>> ,(,0)A a ,(0,)B b ,(0,0)O ,OAB ?的面

积为1.

(1)求椭圆C 的方程;

高考数学理试题分类汇编.doc

高考数学理试题分类汇编----立体几何 一、已给三视图求立体图形的体积/表面积 1、(2016年北京高考)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( ) A. B. C. D. 【答案】A 2、(2016年山东高考)有一个半球和四棱锥组成的几何体,其三 视图如右图所示,则该几何体的体积为 (A )π3 2+31 (B )π32+ 31 (C )π62+31 (D )π62 +1 【答案】C 3、(2016年全国I 高考)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径. 若 16131 2 1

该几何体的体积是28π 3 ,则它的表面积是 (A )17π (B )18π (C )20π (D )28π 【答案】A 4、(2016年全国II 高考)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为 (A )20π (B )24π (C )28π (D )32π 【答案】C 5、(2016年全国III 高考)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则该 多面体的表面积为

(A ) (B ) (C ) 90 ( D )81 【答案】B 6、(2016年四川高考)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是__________. 7、(2016年天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m ),则 该四棱锥的体积为_______m 3 . 【答案】2 二.求值 8、(2016年浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的表面积是 cm 2 ,体积是 cm 3. 18+54+

2018年高考理科数学试题及答案-全国卷2

2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2) 理科数学 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1. 12i 12i + = - A. 43 i 55 --B. 43 i 55 -+C. 34 i 55 --D. 34 i 55 -+ 2.已知集合() {} 223 A x y x y x y =+∈∈ Z Z ,≤,,,则A中元素的个数为 A.9 B.8 C.5 D.4 3.函数()2 e e x x f x x - - =的图像大致为 4.已知向量a,b满足||1 = a,1 ?=- a b,则(2) ?-= a a b A.4 B.3 C.2 D.0 5.双曲线 22 22 1(0,0) x y a b a b -=>>3 A.2 y x =B.3 y x =C. 2 y=D. 3 y= 6.在ABC △中, 5 cos 2 C 1 BC=,5 AC=,则AB= A.2B30C29 D.25 7.为计算 11111 1 23499100 S=-+-++- …,设计了右侧的程序框图,则在空白 框中应填入 A.1 i i=+ B.2 i i=+ C.3 i i=+ D.4 i i=+ 8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30723 =+.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是 开始 0,0 N T == S N T =- S 输出 1 i= 100 i< 1 N N i =+ 1 1 T T i =+ + 结束 是否

三年高考(2017-2019)各地文科数学高考真题分类汇总:概率

概率 1.(2019全国II文4)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标,若从这5只 兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为 A.2 3 B. 3 5 C. 2 5 D. 1 5 2.(2019全国III文3)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是 A.1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 3.(2018全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为 A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3 4.(2018全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为 A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7 5.(2017新课标Ⅰ)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A.1 4 B. 8 π C. 1 2 D. 4 π 6.(2017新课标Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A. 1 10 B. 1 5 C. 3 10 D. 2 5 7.(2017天津)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为

A .45 B .35 C .25 D .15 8.(2018江苏)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰 好选中2名女生的概率为 . 9.(2017浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4 人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有 种不同的选法.(用数字作答) 10.(2017江苏)记函数()f x =的定义域为D .在区间[4,5]-上随机取一个 数x ,则x D ∈ 的概率是 . 11.(2018北京)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表: 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率; (3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论) 12.(2018天津)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现 采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动. (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人? (2)设抽出的7名同学分别用A ,B ,C ,D ,E ,F ,G 表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作. (i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; (ii)设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M 发生的概率. 13.(2017新课标Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元, 售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求

(完整word版)2019年高考数学理科试卷全国一卷Word版和PDF版。

2019年高考理科数学全国一卷 一、单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。 1.已知集合M={x |-4<x <2},N={x | -x -6<0},则M∩U = A{x |-4<x <3} B{x |-4<x <-2} C{x |-2<x <2} D{x |2<x <3} 2.设复数z 满足|z -i|=1,z 在复平面内对应的点为(x ,y),则 A B C D 3.已知a =2.0log 2,b =2.02,c =3 .02 .0,则 A.a <b <c B.a <c <b C.c <a <b D.b <c <a 4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是 ??? ? ??≈称之为黄金分割.618.021 -521-5,著名的“断臂维纳斯”便是如此。此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 2 1 -5 。若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是 A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm 5.函数()][ππ,的-cos sin 2 x x x x x f ++= 图像大致为 A B C D 6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化,每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“—”和阴爻“- -”,右图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A. 165 B.3211 C.3221 D.16 11 7.已知非零向量,满足 ,且 ,则与的夹角为 A. 6π B.3π C.32π D.6 5π

2018年高考数学全国卷III

2018年普通高等学校招生全国统一考试(理科数学全国卷3) 数 学(理科) 一、选择题:本题共12小题。每小题5分. 1.已知集合{}10A x x =-≥,{}2,1,0=B ,则=?B A ( ) .A {}0 .B {}1 .C {}1,2 .D {}0,1,2 2.()()=-+i i 21 ( ) .A i --3 .B i +-3 .C i -3 .D i +3 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头,若如图摆放的木构件与某一卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) 4. 若1 sin 3α= ,则cos 2α= ( ) .A 89 .B 79 .C 79- .D 89- 5. 25 2()x x +的展开式中4x 的系数为 ( ) .A 10 .B 20 .C 40 .D 80 6.直线20x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点,点P 在圆()2 2 22x y -+=上,则ABP ?面积 的取值范围是 ( ) .A []2,6 .B []4,8 .C .D ?? 7.函数422y x x =-++的图像大致为 ( )

8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P ,各成员的支付方式相互独立,设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,4.2=DX ,()()64=<=X P X P ,则=P ( ) .A 0.7 .B 0.6 .C 0.4 .D 0.3 9.ABC ?的内角C B A 、、的对边分别c b a 、、,若ABC ?的面积为222 4 a b c +-,则=C ( ) . A 2π . B 3π . C 4π . D 6 π 10.设D C B A 、、、是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC 为等边三角形且其面积为,则三棱锥ABC D -积的最大值为 ( ) .A .B .C .D 11.设21F F 、是双曲线C : 22 221x y a b -=(0,0>>b a )的左、右焦点,O 是坐标原点,过2F 作C 的一 条渐近线的垂线,垂足为P ,若1PF =,则C 的离心率为 ( ) .A .B 2 .C .D 12.设3.0log 2.0=a ,3.0log 2=b ,则 ( ) .A 0a b ab +<< .B 0a b a b <+< .C 0a b a b +<< .D 0ab a b <<+

2018年高考真题-单选题-分类汇总 (1)

2016年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理)(北京卷) 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. (1)已知集合A= ,B= , , , , ,则 (A ) (B ) , , (C ) , , (D ) , , , (2)若x,y 满足 2030x y x y x -≤??+≤??≥? ,则2x+y 的最大值为 (A )0 (B )3 (C )4 (D )5 (3)执行如图所示的程序框图,若输入的a 值为1,则输出的k 值为 (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 (4)设a ,b 是向量,则“=a b ”是“+=-a b a b ”的 (A ) 充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C ) 充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件 (5)已知x,y R,且x y o ,则 (A ) - (B )

(C ) (- 0 (D )lnx+lny (6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 (A ) (B ) (C ) (D )1 (7)将函数 ( ﹣π )图像上的点P (π ,t )向左平移s (s ﹥0) 个单位长度得到点P ′.若 P ′位于函数 ( )的图像上,则 (A )t= ,s 的最小值为π (B )t= ,s 的最小值为π (C )t= ,s 的最小值为π (D )t= ,s 的最小值为π (8)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则 (A )乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 (B )乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 (C )乙盒中红球不多于丙盒中红球 (D )乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分) (1)C (2)C (3)B (4)D (5)C (6)A (7)A (8)B 2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 上海 数学试卷(理工农医类) 二、选择题(5×4=20) 15.设R a ∈,则“1>a ”是“12>a ”的( ) (A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件 (C )充要条件 (D )既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中,对应的曲线为右图的是( ) (A )θρcos 56+= (B )θρin s 56+= (C )θρcos 56-= (D )θρin s 56-= 17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且S S n n =∞ →lim .下列条件中,使得

2015高考数学专题复习:函数零点

2015高考数学专题复习:函数零点 函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根,亦即函数)(x f y =的图像与x 轴交点的横坐标. ()x g x f y -=)(的零点(个数)?函数()x g x f y -=)(的图像与x 轴的交点横坐标(个数) ?方程()()0=-x g x f 即()x g x f =)(的实数根(个数) ?函数)(x f y =与)(x g y =图像的交点横坐标(个数) 1.求下列函数的零点 1.232-+=x x y 2.x y 2log = 3.62 -+=x x y 4.1ln -=x y 5.2 1sin + =x y 2.函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为 3.函数()x f =???>-≤-+) 0(2ln ) 0(322x x x x x 的零点个数为 4.函数() () ???>+-≤-=13.41.44)(2x x x x x x f 的图像和函数()ln g x x =的图像的交点个数是 ( ) .A 1 .B 2 .C 3 .D 4 5.函数5 ()3f x x x =+-的零点所在区间为 ( ) A .[0,1] B .[1,2] C .[2,3] D .[3,4] 6.函数1()44x f x e x -=+-的零点所在区间为 ( ) A. (1,0)- B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 7.函数()2ln(2)3f x x x =--的零点所在区间为 ( ) A. (2,3) B. (3,4) C. (4,5) D. (5,6) 8.方程2|2|lg x x -=的实数根的个数是 9.函数()lg ()72f x x g x x ==-与图像交点的横坐标所在区间是 ( ) A .()21, B .()32, C .()43, D .()54, 10.若函数2 ()4f x x x a =--的零点个数为3,则a =______

2018年新课标Ⅰ卷高考数学理试题有答案【2020新】

2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.设1i 2i 1i z -= ++,则||z = A .0 B . 1 2 C .1 D .2 2.已知集合{} 2 20A x x x =-->,则A =R e A .{} 12x x -<< B .{} 12x x -≤≤ C .}{}{ |1|2x x x x <->U D .}{}{ |1|2x x x x ≤-≥U 3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图: 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A .新农村建设后,种植收入减少 B .新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C .新农村建设后,养殖收入增加了一倍

D .新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若3243S S S =+,12a =,则=5a A .12- B .10- C .10 D .12 5.设函数32()(1)f x x a x ax =+-+,若()f x 为奇函数,则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A .2y x =- B .y x =- C .2y x = D .y x = 6.在ABC △中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB =u u u r A .3144 AB AC - u u u r u u u r B .1344 AB AC -u u u r u u u r C .3144 AB AC +u u u r u u u r D .1344 AB AC +u u u r u u u r 7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A .172 B .52 C .3 D .2 8.设抛物线C :y 2 =4x 的焦点为F ,过点(–2,0)且斜率为2 3 的直线与C 交于M ,N 两点,则FM FN ?u u u u r u u u r = A .5 B .6 C .7 D .8 9.已知函数e 0()ln 0x x f x x x ?≤=? >?,, ,, ()()g x f x x a =++.若g (x )存在2个零点,则a 的取值范围是 A .[–1,0) B .[0,+∞) C .[–1,+∞) D .[1,+∞) 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径 分别为直角三角形ABC 的斜边BC ,直角边AB ,AC .△ABC 的三边所围成的区域记为I ,黑色部分记为II ,其余部分记为III .在整个图形中随机取一点,此点取自I ,II ,III 的概率分别记为p 1,p 2,p 3,则

2018年全国各地高考数学(理科试卷及答案)

2018年高考数学理科试卷(江苏卷) 数学Ⅰ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位......置上.. . 1.已知集合{}8,2,1,0=A ,{}8,6,1,1-=B ,那么=?B A . 2.若复数z 满足i z i 21+=?,其中i 是虚数单位,则z 的实部为 . 3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 . 4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为 . 5.函数()1log 2-=x x f 的定义域为 .

6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 . 7.已知函数()??? ??<<-+=22 2sin ππ ?x x y 的图象关于直线3π=x 对称,则?的值 是 . 8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 的右焦点()0,c F 到一条 渐近线的距离为 c 2 3 ,则其离心率的值是 . 9.函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4,且在区间]2,2(-上,()??? ? ???≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x x x f π, 则()()15f f 的值为 . 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 . 11.若函数()()R a ax x x f ∈+-=122 3 在()+∞,0内有且只有一个零点,则()x f 在[]1,1-上 的最大值与最小值的和为 .

2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总 复数部分 理数(附参考答案)

2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总 复数部分 (附参考答案) 一、选择题。 1.(2019全国II 理2)设z =-3+2i ,则在复平面内z 对应的点位于A .第一象限B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 【答案】C . 2.(2019北京理1)已知复数i z 21+=,则z z ?= (A (B (C )3 (D )5 【答案】(D ). 3.(2019全国III 理2)若(1i)2i z +=,则z =A .1i --B .1+i -C .1i -D .1+i 【答案】D . 4.(2019全国I 理2)设复数z 满足 =1i z -,z 在复平面内对应的点为(x ,y ),则 A .22 + 11()x y +=B .221(1)x y +=-C .22(1)1y x +-=D .2 2 (+1)1 y x +=【答案】C . 5.(2019全国II 理2)设z =-3+2i ,则在复平面内z 对应的点位于A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 【答案】C . 6.(2018北京)在复平面内,复数 1 1i -的共轭复数对应的点位于A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 【答案】D . 7.(2018全国卷Ⅰ))设1i 2i 1i z -=++,则||z = A .0 B . 12 C .1 D 【答案】C .8.(2018全国卷Ⅱ) 12i 12i +=-A .43i 55 - -B .43i 55 - +C .34i 55 - -D .34i 55 - +【答案】D .

9.(2018全国卷Ⅲ)(1i)(2i)+-= A .3i -- B .3i -+C .3i -D .3i +【答案】D .10.(2018浙江)复数 2 1i -(i 为虚数单位)的共轭复数是A .1i +B .1i -C .1i -+D .1i --【答案】B . 11.(2017新课标Ⅰ)设有下面四个命题 1p :若复数z 满足1 z ∈R ,则z ∈R ; 2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ;3p :若复数1z ,2z 满足12z z ∈R ,则12z z =;4p :若复数z ∈R ,则z ∈R . 其中的真命题为A .1p ,3p B .1p ,4 p C .2p ,3 p D .2p ,4 p 【答案】B .12.(2017新课标Ⅱ) 3i 1i ++A .B . C . D . 【答案】D . 13.(2017新课标Ⅲ)设复数z 满足(1i)2z i +=,则||z = A . 12 B . 2 C D .2 【答案】C . 14.(2017山东)已知a R ∈,i 是虚数单位,若z a =+,4z z ?=,则a = A .1或-1 B 或 C .- D .【答案】A . 15.(2017北京)若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限,则实数a 的取值范围 是A .(,1) -∞B .(,1) -∞-C .(1,) +∞D .(1,) -+∞

2019-2020学年度最新人教版高考数学总复习(各种专题训练)Word版

2019-2020学年度最新人教版高考数学总复习 (各种专题训练)Word版(附参考答案) 一.课标要求: 1.集合的含义与表示 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系; (2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用; 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义; 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; (3)能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。二.命题走向 有关集合的高考试题,考查重点是集合与集合之间的关系,近年试题加强了对集合的计算化简的考查,并向无限集发展,考查抽象思维能力,在解决这些问题时,要注意利用几何的直观性,注意运用Venn图解题方法的训练,注意利用特殊值法解题,加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主,分值5分。 预测2013年高考将继续体现本章知识的工具作用,多以小题形式出现,也会渗透在解答题的表达之中,相对独立。具体题型估计为: (1)题型是1个选择题或1个填空题; (2)热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三.要点精讲 1.集合:某些指定的对象集在一起成为集合。 a∈;若b不是集合A的元素,(1)集合中的对象称元素,若a是集合A的元素,记作A b?; 记作A (2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性; 确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A 的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立; 互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体 (对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素; 无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排 列顺序无关; (3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法; 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内; 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。 具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 (4)常用数集及其记法:

高考数学专题之排列组合综合练习

高考数学专题之排列组 合综合练习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

1.从中选个不同数字,从中选个不同数字排成一个五位数,则这些五位数中偶数的个数为() A. B. C. D. 2.五个同学排成一排照相,其中甲、乙两人不排两端,则不同的排法种数为()A.33 B.36 C.40 D.48 3.某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师),其中甲和乙不能都去,甲和丙只能都去或都不去,则不同的选派方案有() A.900种 B.600种 C.300种 D.150种 4.要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言,若甲、乙都被选中,且他们发言中间恰好间隔一人,那么不同的发言顺序共有__________种(用数字作答). 5.有五名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲不能站在最左端,而乙必须站在丙的左侧(不一定相邻),则不同的站法种数为__________.(用数字作答) 6.有个座位连成一排,现有人就坐,则恰有个空位相邻的不同坐法是 __________. 7.现有个大人,个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人,则不同的合影方法有__________种.(用数字作答) 8.(2018年浙江卷)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 9.由0,1,2,3,4,5这6个数字共可以组成______.个没有重复数字的四位偶数. 10.将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中. (1)有多少种放法

三年高考(2017-2019)理科数学高考真题分类汇总:集合

集合 2019年 1.(2019全国Ⅰ理)已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<,,则M N I = A .}{43x x -<< B .}42{x x -<<- C .}{22x x -<< D .}{23x x << 解析:依题意可得,2426023{|}{|}{} |M x x N x x x x x =-=--=-<<,<<<, 所以2|}2{M N x x =-I <<. 故选C . 2.(2019全国Ⅱ理)设集合A ={x |x 2-5x +6>0},B ={ x |x -1<0},则A ∩B = A .(-∞,1) B .(-2,1) C .(-3,-1) D .(3,+∞) 解析:由{}2560(,2)(3,)A x x x =-+>=-∞+∞U ,{}10(,1)A x x =-<=-∞,则(,1)A B =-∞I .故选A. 3.(2019全国Ⅲ理)已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤,,则A B =I A .{}1,0,1- B .{}0,1 C .{}1,1- D .{}0,1,2 3.解析 因为{}1,0,1,2A =-,2{|1}{|1 1}B x x x x ==-剟?, 所以{}1,0,1A B =-I .故选A . 4.(2019江苏)已知集合{1,0,1,6}A =-,{|0,}B x x x =>∈R ,则A B =I . 解析 因为{}1,0,1,6A =-,{}|0,B x x x =>∈R , 所以{}{}{}1,0,1,6|0,1,6A B x x x =->∈=R I I . 5.(2019浙江)已知全集{}1,0,1,2,3U =-,集合{}0,1,2A =,{}1,0,1B =-,则U A B I e= A .{}1- B .{}0,1? C .{}1,2,3- D .{}1,0,1,3- 解析 {1,3}U A =-e,{1}U A B =-I e .故选A . 6.(2019天津理1)设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈

高考数学专题之排列组合小题汇总

2018年11月14日高中数学作业 温馨提示:(每题4分满分100分时间90分钟)姓名________________ 一、单选题 1.某种植基地将编号分别为1,2,3,4,5,6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的 A B C D E F 这六块实验田上进行对比试验,要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯,若种植时要求编号1,3,5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻,且2号品种的马铃薯不能种植在A、F这两块实验田上,则不同的种植方法有 ( ) A. 360种 B. 432种 C. 456种 D. 480种 2.甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展,她们选择共享电动车出行,每辆电动车只能载两人,其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车,甲的小孩一定要坐戊妈妈的车,则她们坐车不同的搭配方式有() A.种 B.种 C.种 D.种 3.已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡,顾客乙只带了现金,顾客丙、丁用哪种方式结账都可以,这四名顾客购物后,恰好用了其中的三种结账方式,那么他们结账方式的可能情况有()种 A. 19 B. 26 C. 7 D. 124.有张卡片分别写有数字,从中任取张,可排出不同的四位数个数为() A. B. C. D. 5.我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教,要求每所中学至少派遣一名教师,则不同的派出方法有() A. 300种 B. 150种 C. 120种 D. 90种 6.一只小青蛙位于数轴上的原点处,小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力,且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后,停在数轴上实数2位于的点处,则小青蛙不同的跳动方式共有( )种. A. 105 B. 95 C. 85 D. 75 7.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”,主要指德育;“乐”,主要指美育;“射”和“御”,就是体育和劳动;“书”,指各种历史文化知识;“数”,数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求:“数”必须排在前三节,且“射”和“御”两门课程相邻排课,则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有() A.种 B.种 C.种 D.种 8.郑州绿博园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,其中的小李和小王不在一起,不同的安排方案共有() A. 168种 B. 156种 C. 172种 D. 180种 9.用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色,每个顶点出发的棱的颜色各不相同,不同的染色方案共有多少种() A.14400 B.28800 C.38880 D.43200 10.《红海行动》是一部现代海军题材影片,该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故 序号123456789101112选项 13141516171819202122232425

高考数学理科大题公式(最全版)

高考数学17题(1):解三角形 1.正弦定理:______________________ 2.余弦定理:______________________ ______________________ ______________________ 3.三角形面积公式: S=____________________________ 4.三角形中基本关系:A+B+C=_____ sin(A+B)=___________ cos(A+B)=___________ tan(A+B)=___________ 注:基本不等式:若________,则______________ 重要不等式:若________,则______________

高考数学17题(2):数列 1.知S n 求a n:( 这个关系式对任意数列均成立) a n= _________________ 2.等差数列的有关概念 (1)定义:___________(n∈N*,d为常数). (2)等差中项:_____________, (3)通项公式:a n=_____________=______________ (4)前n项和公式:S n=____________=_______________ (5)等差数列性质:若_____________,则__________________3.等比数列的有关概念 (1)定义:___________(n∈N*,q为常数). (2)等比中项:_____________, (3)通项公式:a n=_____________=______________ (4)前n项和公式:S n=____________=_______________ (5)等比数列性质:若_____________,则__________________

2018年高考数学试题

2018年普通高等学校招生全国统一考试 (全国卷Ⅱ)理科试卷 本试卷共23题,共150分,共5页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项:1、答题前,考试现将自己的姓名,准考证号填写清楚,将条形 码准确粘贴在条形码区域内 2、选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整,笔迹清楚。 3、请按照题号顺序在答题卡 各题目的答题区域内做答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。 4、作图可先试用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5、保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、 选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1、1212i i +=- A 、4355i -- B 、4355i -+ C 、3455i -- D 3455 i -+ 2、已知集合(){}22,|3,,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈则A 中元素的个数为() A 、9 B 、8 C 、5 D4 3、函数 ()2x x e e f x x --=的图象大致是() x x

4、已知向量() ,1,1,2a b a a b a a b =?=--=满足则() A 、4 B 、3 C 、2 D 、0 5、双曲线()222210,0x y a b a b -=>> 则其渐近线方程为() A 、 y = B 、 y = C 、2 y x =± D y x = 6、在△ABC 中,cos 2C = ,BC=1,AC=5,则AB=( ) A 、 B C D 7、为计算11111123499100S =-+-+ +-,设计了右侧的程序框图,则空白框中应填入 A 、i=i+1 B 、i=i+2 C 、i=i+3 D 、i=i+4

高考数学理科考点解析及考点分布表

高考数学理科考点解析 及考点分布表 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

2018年高考数学(理科)考点解析 一、考核目标与要求 数学科高考注重考查中学数学的基础知识、基本技能、基本思想方法(所谓三基),考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识、创新意识(五种能力、两种意识)。具体考试内容根据教育部颁布的《普通高中数学课程标准(实验)》、教育部考试中心颁布的《普通高等学校招生全国统一考试大纲(理科·课程标准实验)》确定。 关于考试内容的知识要求和能力要求的说明如下: 1.知识要求 知识是指《课程标准》所规定的必修课程、选修课程中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法,还包括按照一定程序与步骤进行运算,处理数据、绘制图表等基本技能。 各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明. 对知识的要求由低到高分为了解、理解、掌握三个层次(分别用A、B、C表示),且高一级的层次要求包含低一级的层次要求. (1)了解(A):要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识,知道这一知识内容是什么,按照一定的程序和步骤照样模仿,并能(或会)在有关的问题中识别、认识它。 “了解”层次所涉及的主要行为动词有:了解,知道、识别,模仿,会求、会解等。 (2)理解(B):要求对所列知识内容有较深刻的理性的认识,知道知识间的逻辑关系,能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达,能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判断、讨论,具备利用所学知识解决简单问题的能力。 “理解”层次所涉及的主要行为动词有:描述,说明,表达、表示,推测、想象,比较、判别、判断,初步应用等。 (3)掌握(C):要求能够对所列的知识内容进行推导证明,能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论,并且加以解决。 “掌握”层次所涉及的主要行为动词有:掌握、导出、分析,推导、证明,研究、讨论、运用、解决问题等。 能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系;能对图形进行分解、组合;会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。 (2)抽象概括能力:对具体的、生动的实例,在抽象概括的过程中,发现研究对象的本质;从给定的大量信息材料中,概括出一些结论,并能将其应用于解决问题或作出新的判断。

2018年高考数学立体几何试题汇编

2018年全国一卷(文科):9.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A .217 B .25 C .3 D .2 18.如图,在平行四边形ABCM 中,3AB AC ==,90ACM =?∠,以AC 为折痕将△ACM 折起,使点M 到达点 D 的位置,且AB DA ⊥. (1)证明:平面ACD ⊥平面ABC ; (2)Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上一点,且2 3 BP DQ DA == ,求三棱锥Q ABP -的体积. 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图,四边形ABCD 为正方形,,E F 分别为,AD BC 的中点,以DF 为折痕把DFC △折起,使点C 到达点 P 的位置,且PF BF ⊥.(1)证明:平面PEF ⊥平面ABFD ; (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科: 9.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,13AA =,则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为

A .1 B . 5 C . 5 D . 2 20.如图,在三棱锥P ABC -中,22AB BC ==,4PA PB PC AC ====,O 为AC 的中点. (1)证明:PO ⊥平面ABC ; (2)若点M 在棱BC 上,且二面角M PA C --为30?,求PC 与平面PAM 所成角的正弦值. 全国3卷理科 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19.(12分) 如图,边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直,M 是CD 上异于C ,D 的点. (1)证明:平面AMD ⊥平面BMC ; (2)当三棱锥M ABC -体积最大时,求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值. 2018年江苏理科:

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