泛函分析习题
第七章 度量空间和赋范线性空间
复习题：
1.设(,)X d 为一度量空间，令
0000(,){|,(,)},(,){|,(,)},
U x x x X d x x S x x x X d x x εεεε=∈<=∈≤
问0(,)U x ε的闭包是否等于0(,)S x ε？
2.设[,]C a b ∞是区间[,]a b 上无限次可微函数的全体，定义
()
()
()
()
1|()()|(,)m ax
.2
1|()()|
r r r
r r a t b
r f
t g
t d f g f
t g
t ∞
≤≤=-=
+-∑
证明[,]C a b ∞按(,)d f g 成度量空间.
3.设B 是度量空间X 中闭集，证明必有一列开集12,,,,n O O O 包含B ，而且1.n
n O B ∞
==
4.设(,)d x y 为空间X 上的距离，证明
(,)(,)1(,)
d x y d
x y d x y =+
也是X 上的距离.
5.证明点列{}n f 按题2中距离收敛于[,]f
C a b ∞
∈的充要条件为n
f 的
各阶导数在[,]a b 上一致收敛于f 的各阶导数.
6.设[,]B a b ?，证明度量空间[,]C a b 中的集
{|t , (t)=0}f B f ∈当时
为[,]C a b 中的闭集，而集
{||
()|
}
(A f t B f t a a
=∈<>当时,
为开集的充要条件是B 为闭集.
7.设E 及F 是度量空间中两个集，如果(,)0d E F >，证明必有不相交开集O 及G 分别包含E 及F .
8.设[,]B a b 表示[,]a b 上实有界函数全体，对[,]B a b 中任意两元素
,[,]f g B a b ∈，规定距离为
(,)sup |()()|.a t b
d f g f t g t ≤≤=-
证明[,]B a b 不是可分区间.
9.设X 是可分距离空间，f 为X 的一个开覆盖，即f 是一族开集，使得对每个x X ∈，有f 中开集O ，使x O ∈，证明必可从f 中选出可数个集组成X 的一个覆盖.
10.设X 为距离空间，A 为X 中子集，令()inf (,),y A
f x d x y x X ∈=∈，证
明()f x 是X 上连续函数.
11.设X 为距离空间，1F ,2F 为X 中不相交的闭集，证明存在开集
1G ,2G ，使得12G G ?=?,11G F ?,22G F ?.
12.设X ,Y ,Z 为三个度量空间，f 是X 到Y 中的连续映射，
g 是Y 到Z
中的连续映射，证明复合映射()()(())gf x g f x =是X 到Z 中的连续映
射.
13.设X 是度量空间,f 是X 上的实函数，证明f 是连续映射的充要条件是对每个实数c ，集合
{|,()}x x X f x c ∈≤和集合{|,()}.x x X f x c ∈≥ 都是闭集.
14.证明柯西点列是有界点列.
15.证明§1中空间S ,()B A 以及离散空间都是完备的度量空间.
16.证明l ∞与(0,1]C 的一个子空间等距同构.
17.设F 是n 维欧几里得空间R n 中有界闭集,A 是F 到自身中的映射，并且适合下列条件：对任何,()x y F x y ∈≠
，有
(,)(,),d Ax Ay d x y <
证明映射A 在F 中存在唯一的不动点.
18.设X 为完备度量空间,A 是X 到X 中映射，记 (,)sup
.(,)
n n
n x x d A x A x a d x x '
≠'='
若1
n
n a ∞
=<∞∑，则映射A 有唯一不动点.
19.设A 为从完备度量空间X 到Y 中映射，若在开球0(,)U x r (0)r >内适合
(,)(,),0 1.d Ax Ax d x x θθ''<<<
又A 在闭球00(,){|(,)}S x r x d x x r =≤上连续，并且
00(,)(1).d x Ax r θθ≤-
证明：A 在0(,)S x r 中有唯一的不动点.
20.设,,1,2,,jk
a
j k n = 为一组实数，适合条件2
,1
()1n
i j
i j i j a
δ=-<∑，其中
jk
δ
当j k =时为1，否则为0.证明：代数方程组
111122112112222211
22,
,
n n n n n n nn n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x bn
+++=??
+++=??
??+++=? 对任何一组固定的12,,,n b b b ，必有唯一的解12,,,.n x x x
21.设[,]V a b 表示[,]a b 上右连续的有界变差函数全体，其线性运算
为通常函数空间中的运算.在[,]V a b 中定义范数|||||()|(),b
a
x x a V x =+证明[,]V a b 是
Banach 空间.
22.设12,,X X 是一列Banach 空间，12{,,,,}n x x x x = 是一列元素，其中,1,2,,n n x X n ∈= 并且1||||p n n x ∞
=<∞∑，这种元素列的全体记成X ，类
似通常数列的加法和数乘，在X 中引入线性运算.若令
11
||||(||||)
p
p
n n x x ∞
==∑，
证明：当1p ≥时，X 是Banach 空间.
23.设X 是线性赋范空间，X X
?为两个X 的笛卡尔乘积空间，对
每个(,)x y X X ∈?，定义||(,)||x y =则X
X
?成为赋范线性空
间.证明X
X
?到X 的映射：(,)x y x y →+是连续映射.
24.设Λ是实（复）数域，X 为赋范线性空间，对每个(,)x X α∈Λ?，
定义||(,)||x α=
(,)x x αα→为X Λ?到X 中的连续映射.
25.设C 为一切收敛数列所组成的空间，其中的线性运算与通常序列空间相同.在C 中令||||sup ||,{}i n i
x x x x C ==∈，证明C 是可分的Banach
空间.
第八章 有界线性算子和连续线性泛函
复习题
1.举例说明有界线性算子的值域不一定是闭线性子空间.
2.求[1,1]C -上线性泛函0
1
10()()()f x x t dt x t dt -=-??的范数.
3.设无穷阵(),1,2,,i j
a
i j = 满足1
s u p
||.ij i
j a ∞
=<∞∑
作l ∞
到l ∞中算子如
下：若1212(,,),(,,),,x y Tx y ηη=== ξξ则1
,1,2,.i ij
j
j i ηα∞
==
=∑ ξ
证明1||||sup ||.ij i
j T
a ∞
==∑
4.设1
sup ||n n α≥<∞,在(1)p l p ≥中定义线性算子：,,1,2,,i
i i
y Tx i ηα=== ξ其中1212(,),(,,,,),n n x y ηηη== ξ,ξ,,ξ证明T 是有界线性算子，并且
1
||||sup ||.n n T α≥=
5.设X 是n 维向量空间，在X 中取一组基1
2
{,,,},()
n e e
e t μν 是n n ?矩
阵，作X 到X 中算子如下：当1
n
x x e ννν==∑时，1
n
y T x y
e μμμ===∑，其中1
,1,2,,.n
y t
x n μμνν
νμ==
=∑ 若规定向量的范数为1
2
21
||||(||)n
x x νν==∑，证明上述
算子的范数满足11
2
2
22
1
11
m ax (||)||||(||)n
n
n
t T t μν
μν
νμμν===≤≤∑∑∑.
6.设T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 的线性算子，若T 的零空间是闭集，T 是否一定有界？
7.作
(1)
p
l p <<+∞中算子
T
如下：当
12(,,)p
x x x l
=∈ 时，
12(,,,,),n Tx y y y = 其中/1
1
1
,1,2,3,,(||)
,
q
p q
n nm
m nm m n m y t
x n t ∞
∞
∞
====
=<∞∑∑∑
111p
q
+
=，证明：T 是有界线性算子.
8.R n 按范数12||||max
|j n j
x x = ξ|,=(ξ,ξ,,ξ)成赋范线性空间，问此赋范线性空间的共轭空间是什么？
9.设0C 表示极限为0的实数列全体，按通常的加法和数乘，以及
12||||sup |i n i
x x = ξ|,=(ξ,ξ,,ξ,)构成
Banach 空间，证明：1
()C
l
'=.
第九章 内积空间和希尔伯特空间
复习题：
1.设{}n x 是内积空间X 中点列，若||||||||()
n
x x n →→∞，且对一切
y X
∈有
,,()n x y x y n →→∞，证明().n x x n →→∞
2.设12,,n X X X 是一列内积空间，令
2
1{{}|,||||},n n n n n X x x X x ∞
==∈<∞∑当{},{}n n x y X
∈时，规定
{}{}{},n n n n x y x y αβαβ+=+其中,αβ是数，1
{},{}
,n n n n n x y x y ∞
==
∑
证明：X
是内积空间，又当n X 都是Hilbert 空间时，证明X 也是Hilbert 空间.
3.设X 是n 维线性空间，12{,,,}n e e e 是X 的一组基，证明,x y
成
为X 上内积的充要条件是存在n n ?正定方阵()a μνA =，使得
1
1
,1
,.n
n
n
x e y e a x y νννν
μνμνννμν====
∑∑∑
4.设X 是实内积空间，若2
2
2
||||||||||||,x y x y +=+则x y
⊥，当X 是复
内积空间时，这个结论是否仍然成立？
5.证明：内积空间X 中两个向量,x y 垂直的充要条件是：对一切数a ，成立||||||||.x ay x +≥
6.设X 是Hilbert 空间，M
X
?,并且M
≠?
,证明()M ⊥⊥是X 中包含
M
的最小闭子空间.
7.设{}n e 是2[,]L a b 中的规范正交系，说明两元函数列()()n m e x e y
(,1,2,3,)n m = 是2
([,][,])L a b a b ?中的规范正交系，
若{}n e 完全，则两元函数列()()n m e x e y (,1,2,3,)n m = 也是完全的.
8.设
12,,n
e e e 为内积空间
X
中规范正交系，证明：
X
到
span 12{,,,}n e e e 的投影算子P 为1
,,n
Px x e e x X
ννν==∈∑
.
9.设X 为可分Hilbert 空间，证明X 中任何规范正交系至多为可数集.
10.设X 是内积空间，X *是它的共轭空间，z f 表示X 上线性泛函
(),,z f x x z =若X
到X *的映射F ：z
z f →
是一一到上的映射，则X 是
Hilbert 空间.
11.设X 和Y 为Hilbert 空间，A 是X 到Y 中的有界线性算子，()N A 和()R A 分别表示算子A 的零空间和值域，证明
()(),()()()(),()()
N A R A N A R A R A N A R A N A *⊥*⊥
*⊥
*
⊥
====
12.设T 是Hilbert 空间X 中有界线性算子，||||1T ≤,证明： {|}{|}.x Tx x x T x x *
===
13.设H 是Hilbert 空间，M 是H 的闭子空间，0x H ∈，证明：
00min{|||||}max{|,||,||||1}.x x x M x y y M y ⊥
-∈=∈=
14.设H 是复Hilbert 空间，M 为H 的闭子空间，则M 为H 上某个非零连续线性泛函的零空间的充要条件是M ⊥是一维子空间.
15.设T 为Hilbert 空间X 上正常算子，T A iB
=+为T 的笛卡尔分
解，证明：
（1）2
2
2
||||||||,T
A B =+
（2）22||||||||T T =.
16.证明：A 是实内积空间X 上自伴算子时，0A =的充要条件为对所有x X ∈，成立
,0Ax x =.
17.设U 是Hilbert 空间2[0,2]L π中如下定义的算子：
2
()()(),[0,2],it
U f t e f t f L π=∈
证明U 是酉算子.
18.设Ω是平面上有界L 可集测，2
()L Ω表示Ω上关于平面L 测度平
方可积函数全体，对每个2()f L ∈Ω，定义()()(),,Tf z zf z z =∈Ω证明T
是
正常算子.
第十章 巴拿赫空间中的基本定理
复习题：
1.设X 是赋范线性空间，12,,,k x x x 是X 中k 个线性无关向量，
12,,,k
ααα 是一组数，证明：在X 上存在满足下列两条件：
（1）(),1,2,,,v f x k ναν== （2）||||f M
≤
的线性连续泛函f 的充要条件为：对任何数12,,,,k t t t
1
1
||||||k
k
t M t x ννννννα==≤∑∑ 都成立.
2.设
X
是赋范线性空间，Z 是
X
的线性子空间，0x X ∈，又
0(,)0d x Z >，证明存在f X '∈，满足条件：
（1）当x Z ∈时，()0f x =； （2）00()(,)f x d x Z =； （3）||
||1f =.
3.证明：无限维赋范线性空间的共轭空间也是无限维的.
4.证明Banach 空间X 自反的充要条件是X '自反.
5.设01,,,,n ααα 是一列数，证明存在[,]a b 上有界变差函数()g t ，
使(),0,1,2,b
n
n a t
dg t n α==? 成立的充要条件为对一切多项式0
(),
n
p t c t
ν
νν==
∑成立着0
||m ax |()|.n
a t b
c M p t νν
να≤≤=≤?∑其中M
为常数.
6.设T 为(1)p l p ≥中单向移位算子，即若1
2
(,)p
n
x l =∈ ξ,ξ,,ξ，则
12{0,,}n Tx y == ξ,ξ,,ξ，求T ?.
7.举例说明一致有界性定理中空间X 完备的条件不能去掉. 8.证明：在完备度量空间X 中存在闭球套定理，即若 {|(,)},1,2,,S x d x x νννεν=≤=
且12
,0()
n S S S νεν????→→∞ ，则存在唯一的1
x S νν∞
=∈ ；反之，若
在度量空间X 中存在闭球套定理，则X 是完备度量空间.
9.设12{,,,,}n y ηηη= 是一列复数，若对任何120{
,},n x C =∈ ξ,ξ,,ξ级数1
j j j η∞
=∑ξ都收敛，证明：1y l ∈，其中0C 的定义见第八章题9.
10.设()f t 是[,]a b 上的L 可测函数，1p ≥，若对一切[,]p g L a b ∈，函数
()()f t g t 都在[,]a b 上L
可积，则[,]q
f L a b ∈，其中
11 1.p
q
+
=
11.证明：设X 是Banach 空间，()p x 是X 上泛函，满足条件： （1）()0p x ≥； （2）0α
≥时，()()p x p x αα=；
（3）1212()()()p x x p x p x +≤+; （4）当,n
x X x x
∈→时，lim
()()n n p x p x →∞
≥.证明必有0M >，使对一切
x X
∈，成立()||||p x M x ≤.
12.设()(1,2,)n T B X
Y n ∈→= ，其中X 是Banach 空间，Y 是赋范线
性空间，若对每个,{}n x X T x ∈都收敛，令lim n x Tx T x →∞=，证明T 是X 到Y 中有界线性算子，并且||||lim ||||n n T
T →∞
≤.
13.设X 是可分Banach 空间，M 是X '中有界集，证明M 中每个点列含有一个弱＊收敛子列.
14.证明：空间[,]C a b 中点列{}n x 弱收敛于0x 的充要条件是存在常数
M
，使得||||,1,2,,n x M n ≤= 并且对任何[,]t a b ∈，成立0lim ()()n n x t x t →∞=. 15.设X 是赋范线性空间，M 为X 的闭子空间，若M 中点列{}n x ，
当n →∞时弱收敛于0x ，那么必有0x M ∈. 16.证明：
(1)p l p >中
点列
()
2
{,},1,2,,
n n x n == (n )1
ξ,ξ弱收敛于
12{,}p
x l
=∈ ξ,ξ的充要条件为sup ||||n
x <∞,且对每个k ,()lim n k k
n →∞
=ξξ.
17.设X 是线性空间，1||||x 和2||||x 是X 上两个范数，若X 按1||||x 及
2||||x 都完备，并且由点列{}n x 按1||||x 收敛于
0，必有按2||||x 也收敛于0，
证明存在正数a 和b ，使121||||||||||||a x x b x ≤≤. 18.设T 是Banach 空间
X
到赋范线性空间F 中的线性算子，令
{|||||||||},1,2,,n M x Tx n x n =≤= 证明：总有0
n M
在X 中稠密.
19.用闭图像定理证明逆算子定理.
20.设A 及B 是定义在Hilbert 空间X
上的两个线性算子，满足
,,Ax y x By
=，其中,x y 为X 中任意向量，证明A 是有界算子.
21.设T 为定义在复Hilbert 空间X 上的有界线性算子，若存在常数
00α>，使0,,Tx x x x
α≥，则称T 为正定的.证明：正定算子必有有界
逆算子1T -，并且10
1
||||T α-≤
.
第十一章 线性算子的谱
复习题： 1.设[0,1],()()(),X C Ax t tx t x X
==∈.证明()[0,1]A σ=,且其中没有特
征值.
2.设[0,2],()()(),it
X C Ax t e x t x X
π==∈.证明(){|||1}A σλλ==.
3.设2
1223,(,,,)(,,,)
n n X
l Ax A x x x x x x === ，试求()A σ.
4.设F 是平面上无限有界闭集，{}n a 是F 的一稠密子集，在2l 中定义算子
T
：
1211(,,,,)(,,,)
n n n Tx T x x x x x αα== ,则
n
α都是特征
值,()T F σ=,\{}n F
a 中每个点是T
的连续谱.
5.设λ为线性算子n A 的特征值，则λ的n 次根中至少有一个是算子A 的特征值.
6.设A 为Banach 空间X 上的有界线性算子,
0()
A λρ∈, 又设{}
n A 为X 上一列有界线性算子,且lim
||||0n x A A →∞
-=,证明当n 充分大后,n A 也以0λ为正则点.
7.设A 是Banach 空间X 上的有界线性算子，当||||||A λ>时，
1
1
1()
,||||||||||
n
n n A
R A I R A λλλλ
λ∞
-+==-=
≤-∑.
8.设A 为X 上的有界线性算子，,()A λμρ∈，则()R R R R λμλμ
μλ-=-.
其中R λ与R μ的意义同第七题.
9.设A 为Hilbert 空间H 上的有界线性算子，A *为A 的共轭算子，证明(){|()}()
A
A A σλλσσ*
=∈=.
10.设1T 是1X 到2X 的全连续算子，2T 是2X 到3X 的有界线性算子，则21T T 是1X 到3X 的全连续算子.
11.设A 是2
l 上线性算子，记1(0,0,,0,1,0,)n
n e -=
个
，1
e =k jk j j A a e ∞
=∑，其
中2ij , 1
|a |
=∞∑，证明A 是全连续的.
12.n e 的符号同第十一题.作2l 上算子U . +11=,=1,2,k
k U e e k k
证明U
是2l 上全连续算子且(U)={0}σ.
13.设1
+0(A )(s)=(t)dt s t e ???.求A 的特征值和特征函数. （提示：记1
0=(t)t c e dt ??） 14.如果积分算子的核为k 1(s,t)=(s)q (t)n
k k K p =∑
，其中k {p }为线性无关
的函数组，则其非零特征值λ相应的特征向量e 有形式1
=n
k k k e c p =∑，k c 是
常数. 若记j =(x)p (x)dx b
ij i a q q ?，则k c 可由下式决定：1
=,=1,2,,n
k ik i i c q c k n λ=∑ .
15.在14题中，
若()(),,0,()i i i j
p x q x p q i j ≡=≠.试求特征值和特征
函数.
16.若(,)cos(),0,,K s t s t s t π=+≤≤求积分算子K 的特征值和特征函
数.
17.解方程0()2cos()()1x x s s ds π
??=++?. 18.解方程2
()3()32x xs s ds x ??=+-?.
实变函数与泛函分析报告初步试题
浙江省2008年1月高等教育自学考试 实变函数与泛函分析初步试题 课程代码：10023 一、单项选择题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设Q 是I =［0，1］中有理数的全体，从R 1来看，边界?Q =（ ） A.I B.Q C.I ＼Q D.φ 2.设R 是实数集，P 是Cantor 三分集，x ∈P ，下列叙述正确的是（ ） A.x 是P 的内点 B.x 是P 的外点 C.x 是P 的界点 D.x 是P 的孤立点 3.设f (x )在闭集E ?R n 上R 可积，I 1=(R ) ?E x x f )d (，I 2=(L )?E x x f )d (，则有（ ） A.I 1＜I 2 B.I 1=I 2 C.I 1＞I 2 D.不能比较 4.设A n (n =1，2，…)是一列递增集合，F = ∞=∞→= 1lim n n n n A G A ，，则F 与G 的外测度满足（ ） A.m *F ＜m *G B.m*F=m*G C.m *F ＞m *G D.不能比较 二、判断题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。 1.完全集是没有邻接余区间的闭集.（ ） 2.Cantor 三分集中必含有内点.（ ） 3.外测度为零的集是可测集.（ ） 4.设f (x )=0 a . e . 于E ,则?E x )x (f d =0.（ ） 5.设f (x )是［a ，b ］上有界变差函数，则f ′(x )在［a ，b ］上可积.（ ） 6.y =f (x )在［a ，b ］满足Lipschitz 条件，则y =f (x )在［a ，b ］能表示为两个增函数之差.（ ） 三、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.设A n (n =1，2，…)是一列集合，则 ∞=∞=1n n m m A =_________. 2.设A 2n -1=［0，n 1］， A 2n =［0,n ］，n =1，2，…， 则n n A ∞→lim =_________. 3.设S n =(n ，+∞)， 则n n mS ∞→lim =_________.
泛函分析试题B
泛函分析试题B PTU院期末考试试卷 (B)卷 2010 ——2011 学年第 1 学期课程名称: 泛函分析适用年级/专业 07 数学试卷类别:开卷(?)闭卷( ) 学历层次: 本科考试用时: 120 分钟 《考生注意:答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分》(((((((((((((((((((((((((((一、填空题(每小题3分，共15分) (,)Xdx1.设=是度量空间，是中点列，如果____________________________, XX,,n x则称是中的收敛点列。 X,,n ffNf2. 设是赋范线性空间，是上线性泛函，那么的零空间是中的闭子空XXX，，间的充要条件为_____________________________。 3. 为赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子，如果_________________, TXY 则称T是同构映射。 xyX,,4. 设是实Hilbert空间，对中任何两个向量满足的极化恒等式公式 为:XX ___________________________________________。 ,,5. 设是赋范线性空间，是的共轭空间，泛函列，如果XXXfXn,,(1,2,)Ln ff_______________________________________________,则称点列强收敛 于。 ,,n二、计算题(共20分) ppl叙述空间的定义，并求的共轭空间。 lp(1),,，, 三、证明题(共65分) p1、(12分)叙述并证明空间中的Holder不等式。 lp(1),
,,MM,2、(15分)设是Hilbert空间的闭子空间，证明。 MX 试卷第 1 页共 2 页 3、(14分)Hilbert空间是可分的，证明任何规范正交系至多为可数集。 XX 4、(12分) 证明Banach空间自反的充要条件是的共轭空间自反。 XX ,,ll5、(12分)叙述空间的定义，并证明空间是不可分的。 试卷第 2 页共 2 页
泛函分析答案
泛函分析答案： 1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、 设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、 设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、 设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的 λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、 设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z) for every x,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 】 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=( 21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y) = ( 1 ||n p i i i x y =-∑ )1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)0(n ∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或 简单地记作x n x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iff x=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,for every x,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞ n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 $ 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2（a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2（a,b ）, 2|()|b a f t dt ? ＜∞。 当 L 2（a,b ）中内积的定义为（f,g ）= _____ ()()b a f t g t dt ? (其中f(t),g(t)∈L 2（a,b ）)时其为Hilbert 空间。 ★ 12、算子表示一种作用，一种映射。设X 和Y 是给定的两个线性赋范空间，集合D ?X ， 若对D 中的每一个x ，均有Y 中的一个确定的变量y 与其对应，则说这种对应关系确定
(完整word版)泛函分析习题标准答案
第二章 度量空间 作业题答案提示 1、 试问在R 上，()()2,x y x y ρ=- 能定义度量吗？ 答：不能，因为三角不等式不成立。如取 则有(),4x y ρ=,而(),1x z ρ=，(),1z x ρ= 2、 试证明：（1）()1 2 ,x y x y ρ= -;(2)(),1x y x y x y ρ-= +-在R 上都定 义了度量。 证：（1）仅证明三角不等式。注意到 2 11 22x y x z z y x z z y ?? -≤-+-≤-+- ? ?? 故有1 112 22 x y x z z y -≤-+- （2）仅证明三角不等式 易证函数()1x x x ?=+在R +上是单调增加的， 所 以 有 ()() a b a b ??+≤+,从而有 1111a b a b a b a b a b a b ++≤≤+ ++++++ 令,,x y z R ?∈,令,a z x b y z =-=- 即111y x z x y z y x z x y z ---≤+ +-+-+-
4.试证明在[]b a C ,1 上，)12.3.2()()(),(?-=b a dt t y t x y x ρ 定义了度量。 证：（1）0)()(0),(≡-?=t y t x y x ρ（因为x,y 是连续函数） 0),(≥y x ρ及),(),(x y y x ρρ=显然成立。 []) ,(),()()()()()()()()()()(),()2(y z z x dt t y t z dt t z t x dt t y t z dt t z t x dt t y t x y x b a b a b a b a ρρρ+≤-+-≤-+-≤-=???? 5.试由Cauchy-Schwarz 不等式证明 ∑∑==≤?? ? ??n i i n i i x n x 12 2 1 证：∑∑∑∑=====?≤?? ? ??n i i n i n i i n i i x n x x 12 12 122 11 8.试证明下列各式都在度量空间()11,ρR 和()21,R R 的Descartes 积 21R R R ?=上定义了度量 {}2 12/1222121,max ~~)3(;)(~)2(;)1(ρρρρρρρρρ=+=+= 证：仅证三角不等式。（1）略。 (2) 设12(,)x x x =，12(,)y y y =12R R ∈?，则
泛函分析习题解答
第七章 习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2. 设 ],[b a C ∞是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明 （1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 2 1 ),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1 。 证明 令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({K =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使 n x x d 1),(10<。设,0),(1 10>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ??∞=1 。若n n o x ∞ =?∈1 则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此
泛函分析答案
泛函分析答案： 1、所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)foreveryx,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=(21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y)=(1 ||n p i i i x y =-∑)1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)?0(n ?∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或简单地记作x n ?x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iffx=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,foreveryx,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2 （a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2 （a,b ）,2|()|b a f t dt ?＜∞。
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泛函分析练习题 一?名词解释： 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共貌算子 6.内点、内部： 7.线性算子、线性范函： 8.自然嵌入算子 9.共貌算子 10.内积与内积空间： 11.弱有界集： 12.紧算子： 13.凸集 14.有界集 15.距离 16.可分 17.Cauchy 列 18.自反空间 二、定理叙述 1、压缩映射原理 2.共鸣定理 3.逆算子定理 4.闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach延拓定理 6、Bai re纲定理 7、开映射定理 8、Riesz表现定理 三证明题： 1.若(x,p)是度量空间，则d = d也使X成为度量空间。 1 + Q 证明：Vx,y,zcX 显然有(1)d(x, y) > 0 ,日3,)，)= 0当且仅当x = (2) d(x9y) = d(y,x) (3)由/(/) = — = !一一， (/>0)关于，单调递增，得 1+，1+r d(x, z) = PE < Q(x,.y)+Q(y,z)
' 1 + Q(x, z) 一1 + p(x, y) + Q(y, z) 匕Q（x，）'） | Q（）'，z） 一1 + Q（3）1+ /?（），, z） = d（x,y） + d（y,z） 故』也是X上的度量。 2,设H是内积空间，天则当尤〃—尤,乂T y时"（七，月）t （寻），），即内积关于两变元连续。 证明：| （% X,）一（x, y） I2 =| （x/t - x, >; - y）\2<\\x n-x\\-\\y tt-y\\ 己知即II七一尤II—0,|| 乂一>||—0。 故有I ，以）一（x, y）『—。 即Cw〃）T（x,y）。 5.设7x（r） = 若T是从心［0,1］-匕［0,1］的算子，计算||T||;若T是从 ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子再求1171。 解：（1）当T是从ZJ0,l］—匕［0,1］的算子。 取x&）=同,贝j］||x（）||2=1>||片）川=［后广出=*. 所以||T||>-^e 故有11『11=±? （2）当T是从ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子时 ||八||2=（。誓⑴力度严=nxii2 Vn,(!--
最新泛函分析考试题集与答案
泛函分析复习题2012 1．在实数轴R 上，令p y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量 空间，p 为何值时，R 是赋范空间。 解：若R 是度量空间，所以R z y x ∈?,,，必须有： ),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立 即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤p p p ，所以，1≤p 若R 是赋范空间，p x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈?,， 必须有：||||||||||x k kx ?=成立，即p p x k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，若R 是度量空间，1=p 时，若R 是赋范空间。 2．若),(d X 是度量空间，则)1,m in(1d d =，d d d +=12也是使X 成为度量空间。 解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈?,,有： 1）0),(≥y x d ，因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2≥+= y x d y x d y x d 且当y x =时0),(=y x d ， 于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2=+=y x d y x d y x d 以及若
0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0) ,(1) ,(),(2=+= y x d y x d y x d 均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2）),(),(y x d x y d =， 因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),() ,(1) ,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+= 3）),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此 }1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤ 以及设x x x f += 1)(，0)1(1)(2 >+='x x f ，所以)(x f 单增， 所以) ,(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+= ),(),(1) ,(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++= ),(),() ,(1) ,(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤ 综上所述)1,m in(1d d =和d d d += 12均满足度量空间的三条件， 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。
泛函分析试题一
泛函分析试题一 一、叙述问答题(第1小题18分，第小题20分，共38分) 1 叙述赋范线性空间的定义并回答下列问题. 设)||||,(11?E 和)||||,(22?E 是赋范线性空间, E 是1E 和2E 的直接和. 对任意E x ∈,定义 2211||||||||||||x x x +=, 其中),(21x x x =,11E x ∈, 22E x ∈. 验证||)||,(?E 为一个赋范线性空间. 2 叙述共鸣定理并回答下列问题. 设}{n T ),2,1( =n 是从Banach 空间E 到Banach 空间1E 上的有界线性算子列, 如果对E x ∈?, }{x T n 是1E 中的基本点列. 问: 是否存在),(1E E T β∈, 使得}{n T 按强算子拓扑收敛于T ? 如果存在, 给出证明, 如果不存在, 试举出反例. 二、证明题 (第1小题10分，第2小题15分,第3小题17分,共42分) 1． 设)(x f 是从距离空间X 到距离空间1X 中的连续映射，A 在X 中稠密，证明)(A f 在1X 中稠密. 2. 设),(ρX 为完备距离空间, A 是从X 到X 中的映射. 记 ),(),(sup 111 x x x A x A n n x x n ρρα≠=, 若级数+∞<∑+∞ =n n α1, 则A 在X 中存在唯一不动点. 3. 设H 是内积空间, H N M ?,, L 是M 和N 张成的线性子空间, 证明: ⊥⊥⊥=N M L . 三、应用题 （20分） 设),(t s K 在b s a b t a ≤≤≤≤,上连续, 试证明由ds t x s t K t Tx b a )(),())((?=定义的
泛函分析习题解答
第一章 练习题 1． 记([,])C a b 是闭区间[,]a b 上连续函数全体构成的集合, 在([,])C a b 上定义距离如下: (,)|()()|,,([,])b a f g f x g x dx f g C a b ρ=-?∈?， （1）([,])C a b 按ρ是否完备? （2）(([,]),)C a b ρ的完备化空间是什么? 答：(1) 不完备, 例如对于[,][0,2]a b =以及1,2, n =,定义 ,01, ():1,1 2. n n x x f x x ?≤<=? ≤≤? 则{()}([0,2])n f x C ?在本题所定义的距离的意义下是Cauchy 列, 因为 1 11 (,)|()()|110,(,).11 n m n m n m f f f x f x dx x dx x dx m n n m ρ=-≤+= +→→∞++??? 另一方面, 点列{()}n f x 并不能在本题所定义的距离的意义下收敛到([0,2])C 中的某个元. 事实上, 在几乎处处收敛的意义下, 我们有 0,[0,1) ()()1,[1,2].n x f x g x x ∈?→=? ∈? 因此, 根据Lebesgue 有界收敛定理, 可以得到 1 1 1 00(,)|()()|1 |0|0.1 n n n n f g f x g x dx x dx x dx n ρ=-=-==→+??? 但()([0,2])g x C ?. (2) ([,])C a b 的完备化空间是1 ([,])L a b . 因为 (i) 在距离ρ的意义下, ([,])C a b 是1 ([,])L a b 的稠密子集. 事实上, 任意取定一个 1()([,])f x L a b ∈, 需要证明: 对于任意的0ε>, 存在()[,]g x C a b ∈, 使得 [,] (,)|()()|a b f g f x g x dx ρε=-, 使得当[,]E a b ?, 只要mE δ<, 就有
泛函分析试题
1． 对于积分方程 ()()() 1 t s x t e x t ds y t λ--=?为一给定的函数，λ为 常数，1λ<，求证存在唯一解()[]0,1x t ∈。 2． 设s 为一切实（或复）数列组成的集合，在s 中定义距离为 ()11,21+k k k k k k x y ξηρξη=-=-∑，其中， ()() 11,,,=,,n n x y ξξηη=??????。求证s 为 一完备的距离空间。 3． 在完备的度量空间(),x ρ中给定点列{}n x ，如果任意的0ε>， 存在基本列{}n y ，使(),0n n x y ρ<。求证{}n x 收敛。 4． 证明内积空间()(),,x 是严格凸的* B 空间 5． 为了()F C M ?使一个列紧集，必须且仅需F 是一致有界的 且等度连续的函数族。 6． 设 () ,A x y ?∈，求证（1）. 1 sup x A AX ≤=，（2 ） 1 sup x A AX <=。 7． 设X 是一个Hilbert 空间，(),a x y 是X 上的共轭双线性函数， 并存在0M >，使得( ),a x y M x y ≤，则存在唯一的()A x ?∈， 使得 ()() ,,a x y x Ay =且 ()(),0,0 ,sup x y X X x y a x y A x y ∈?≠≠=。 8． 求证()2f L ?∈Ω，方程() 0u f u ?Ω?-?=Ω?? =??在内若解存在唯一。 9． 设X 是复线性空间，P 是X 上的半模，()00,0x X x ρ?∈≠。求 证存在X 上的线性泛函f 满足()()01.1f x =，()()() ()02.x f x x ρρ≤ 。 10． 叙述开映象定理并给出证明。 11． 叙述共鸣定理并给出证明。
应用泛函分析相关习题
泛函分析练习题 一名词解释： 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共轭算子 6. 内点、内部： 7. 线性算子、线性范函： 8. 自然嵌入算子 9. 共轭算子 10. 内积与内积空间： 11. 弱有界集： 12. 紧算子： 13. 凸集 14. 有界集 15. 距离 16. 可分 17. Cauchy 列 18.自反空间 二、定理叙述 1、 压缩映射原理 2. 共鸣定理 3.逆算子定理 4. 闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach 延拓定理 6、Baire 纲定理 7、开映射定理 8、Riesz 表现定理 三证明题： 1.若(,)x ρ是度量空间，则1d ρρ= +也使X 成为度量空间。 证明：,,x y z X ?∈ 显然有 （1）(,)0d x y ≥，(,)0d x y =当且仅当x y =。 （2）(,)(,)d x y d y x = （3）由1()111t f t t t = =-++，(0)t >关于t 单调递增，得 (,)(,)(,)(,)1(,)1(,)(,) x z x y y z d x z x z x y y z ρρρρρρ+=≤+++
(,)(,)1(,)1(,) x y y z x y y z ρρρρ≤+++ (,)(,)d x y d y z =+ 故d 也是X 上的度量。 2， 设H 是内积空间，,,,n n x x y y H ∈，则当,n n x x y y →→时，(,)(,)n n x y x y →，即内积关于两变元连续。 证明：22|(,)(,)||(,)|||||||||n n n n n n x y x y x x y y x x y y -=--≤-?- 已知 ,n n x x y y →→，即||||0,||||0n n x x y y -→-→。 故有 2|(,)(,)|0n n x y x y -→ 即 (,)(,)n n x y x y →。 5.设2()(),Tx t t x t =若T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子，计算||||;T 若T 是从 22[0,1][0,1]L L →的算子再求||||T 。 解：（1）当T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子。 1 2 10|||||()|Tx t x t dt =?≤? 所以 |||| T ≤。 取2 0()x t =，则02|||| 1.x = 4010||||Tx dt ==? 所以 |||| T ≥。 故有 |||. T = （2）当T 是从22[0,1][0,1]L L →的算子时 11 421/221/22200||||(())(())||||Tx t x t dt x t dt x =≤=?? 所以 |||| 1.T ≤
电子科技大学 泛函分析(江泽坚) 作业题答案
P46: 第一章习题： 1.验证(),()d m 满足距离定义。 解：设{}i x ξ=，{}i y η=属于X ，α是数，()1 ,sup .j j j d x y ξη≥=- (1)对j ?，有0j j ξη-≥，所以1 sup j j j ξη≥-，(),0d x y ≥， 且1 sup 00j j j j j j j ξηξηξη≥-=? -=?=，即(),0d x y =当且仅当.x y = (2) ()()1 1 ,sup sup ,j j j j j j d x y d y x ξηηξ≥≥=-=-=； (3)设{}i z ζ= ()()1 1 1 1 ,sup sup ()()sup sup ,(,) j j j j j j j j j j j j j j d x z d x y d y z ξζηξξζηξξζ≥≥≥≥=-≤-+-≤-+-=+综上(1)，(2)，(3)，(),d 满足距离定义。 3.试证明：在空间()s 中的收敛等价于坐标收敛。 证：设{}()(),1,2, n n j x s n ξ= ∈=，{}()(0)0j x s ξ= ∈， ()?若0n x x →，则必有()(0)lim ,1,2,n j j n j ξξ→∞ ==， 否则，j N + ?∈，00ε>，与正整数列的子序列{}1k k n ∞ =，使()(0) 0,1,2, k n j j k ξξε-≥=， 因为()1t f t t = +是单调递增， 所以() ()(0)0 0()(0)011,,1,2,2211k k k n j j n j j n j j d x x k ξξεεξξ-≥?≥?=++-， 这与() 0,0k n d x x →矛盾， 故()s 中的收敛可推出坐标收敛。 ()?若()(0)lim ,1,2,n j j n j ξξ→∞==，则对j ?，0ε?>，0N N + ?∈，0n N ?>， ()(0)2 n j j ε ξξ-<， ()() (0) 0()(0) 1111,,1,2,22 11n j j n j j n j j j j d x x k ξξε εξξ∞ ∞==-=?
距离空间 泛函分析第四章习题第一部分(1-18)
第四章习题第一部分(1-18) 1. 在 1中令ρ1(x , y ) = (x - y )2，ρ2(x , y ) = | x - y |1/2，，问ρ1, ρ2是否为 1上的距离？ [解] 显然ρ1, ρ2满足距离空间定义中的非负性和对称性． 但ρ1不满足三角不等式：取点x = -1, y = 0, z = 1，则 ρ1(x , z ) = 4 > 2 = ρ1(x , y ) + ρ1(y , z )，所以ρ1不是 1上的距离。 而?x , y , z ∈ 1， ρ2(x , y ) = ||||2||||||||||y z z x y z z x y z z x y x -?-+-+-≤-+-≤- ||||)||||(2y z z x y z z x -+-=-+-==ρ2(x , z ) + ρ2(z , y )； 所以ρ2是 1上的距离． 2. 设(X , ρ)是距离空间，令ρ1(x , y ) = n y x ),(ρ，?x , y ∈X ．证明(X , ρ1)也是距离空 间． [证明] 显然ρ1满足距离空间定义中的非负性和对称性， 故只需证明ρ1满足三角不等式即可． 实际上?x , y , z ∈X ，n n y z z x y x y x ),(),(),(),(1ρρρρ+≤= n n n n n y z z x n z y x M y z z x )),(),((),,,(),(),(ρρρρ+=++≤ ),(),(),(),(11y z z x y z z x n n ρρρρ+=+=． 3. 设(X , ρ)是距离空间，证明 | ρ(x , z ) - ρ(y , z ) | ≤ ρ(x , y )，?x , y , z ∈X ； | ρ(x , y ) - ρ(z , w ) | ≤ ρ(x , z ) + ρ(y , w )，?x , y , z , w ∈X ． [证明] ?x , y , z , w ∈X ，由三角不等式有 - ρ(x , y ) ≤ ρ(x , z ) - ρ(y , z ) ≤ ρ(x , y )，故第一个不等式成立． 由第一个不等式可直接推出第二个不等式： | ρ(x , y ) - ρ(z , w ) | ≤ | ρ(x , y ) - ρ(y , z ) | + | ρ(y , z ) - ρ(z , w ) | ≤ ρ(x , z ) + ρ(y , w )． 4. 用Cauchy 不等式证明(| ζ1 | + | ζ1 | + ... + | ζn | )2 ≤ n (| ζ1 |2 + | ζ1 |2 + ... + | ζn |2 )． [证明] 在P159中的Cauchy 不等式中令a i = | ζi |，b i = 1，?i = 1, 2, ..., n 即可． 5. 用图形表示C [a , b ]上的S (x 0, 1)． [注] 我不明白此题意义，建议不做． 6. 设(X , d )是距离空间，A ? X ，int(A )表示A 的全体内点所组成的集合．证明int(A ) 是开集． [证明] 若A = ?，则int(A ) = ?，结论显然成立． 若A ≠ ?，则?x ∈ A ，?r > 0使得S (x , r ) ? A ． 对?y ∈ S (x , r )，令s = r - d (x , y )，则s > 0，并且S (y , s ) ? S (x , r ) ? A ； 所以y ∈ int(A )．故S (x , r ) ? int(A )，从而int(A )是开集． 7. 设(X , d )是距离空间，A ? X ，A ≠ ?．证明：A 是开集当且仅当A 是开球的并． [证明] 若A 是开球的并，由于开球是开集，所以A 是开集．
泛函分析答案2：
泛函分析期末复习题（2005-2006年度） （1）所有矩阵可以构成一个线性空间。试问这个线性空间中的零元素是什么？ （2）什么是线性空间的子空间？子空间是否一定包含零元素？为什么？ （3）什么是线性流形？ （4）什么是线性空间中的凸集？ （5）如果一个度量能够成为一个线性空间上定义的距离，那么这个度量必须满足什么条件？试给出几个在维欧几里德空间上常用的距离定义 （6）距离空间上的收敛是如何定义的？ （7）线性空间上定义的范数必须满足哪些条件？ （8）什么是巴拿赫空间？赋范空间中的基本列一定收敛吗？ （9）有限维的线性赋范空间都是巴拿赫空间吗？ （10）什么是希尔伯特空间？ （11）空间是如何构成的？在怎样的内积定义下其可以成为一个希尔伯特空间？（12）什么是算子？为什么要求算子的定义域是一个子空间？ （13）算子的范数是如何定义的？从直观角度谈谈对算子范数定义的理解。 （14）线性算子的零空间一定是值域空间中的子空间吗？ （15）什么是有界算子？举一个无界算子的例子。 （16）算子的强收敛是如何定义的？ （17）设为一个线性赋范空间，而为一个Banach空间。那么从到的线性算子所构成的空间是否构成一个Banach空间？ （18）什么是压缩映像原理？它在力学中有什么重要应用？ （19）什么是泛函？什么是泛函的范数？ （20）什么是线性赋泛空间的共轭空间？线性赋泛空间的共轭空间是否总是完备的？（21）什么是弱收敛？弱收敛与强收敛之间是什么关系？ （22）什么是的Gateaux微分？ （23）什么是泛函的（一阶）变分？它是如何定义的？ （24）形如的泛函，其对应的Euler-Lagrange方程是什么？ （25）什么是结构的应变能密度？什么是余能密度？二者关系如何？试画图说明。（26）有限元方法的本质是什么？瑞兹＋具有局部紧支集的分片插值函数 （27）什么是最小势能原理？最小势能原理中的基本未知函数是什么？对这些基本未知函数有什么要求？推导并证明使得势能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的位移场。（28）什么是最小余能原理？最小余能原理中的基本未知函数是什么？对这些基本未知函数有什么要求？推导并证明使得余能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的应力场。（29）什么是Hellinger-Reissner混合变分原理？推导并证明使得余能泛函取最小值的位移函数和应力函数对应结构真实的位移场和应力场。
泛函分析答案
泛函分析题1_3列紧集p19 1.3.1 在完备的度量空间中，求证：为了子集A是列紧的，其充分必要条件是对?ε > 0，存在A的列紧的ε网． 证明：(1) 若子集A是列紧的，由Hausdorff定理， ?ε > 0，存在A的有限ε网N． 而有限集是列紧的，故存在A的列紧的ε网N． (2) 若?ε > 0，存在A的列紧的ε/2网B． 因B列紧，由Hausdorff定理，存在B的有限ε/2网C． 因C ?B ?A，故C为A的有限ε网． 因空间是完备的，再用Hausdorff定理，知A是列紧的． 1.3.2 在度量空间中，求证：紧集上的连续函数必是有界的，并且能达到它的上、下确界． 证明：设(X, ρ)是度量空间，D是紧子集，f : D→ 是连续函数． (1) 若f无上界，则?n∈ +，存在x n∈D，使得f (x n) > 1/n． 因D是紧集，故D是自列紧的． 所以{x n}存在收敛子列x n(k) →x0∈D (k→∞)． 由f的连续性，f (x n(k))→f (x0) (k→∞)． 但由f (x n) > 1/n知f (x n)→ +∞(n→∞)， 所以 f (x n(k))→ +∞ (k→∞)，矛盾． 故f有上界．同理，故f有下界． (2) 设M = sup x∈D f(x)，则?n∈ +，存在y n∈D，使得f (y n) > M- 1/n． {y n}存在子列y n(k) →y0∈D (k→∞)． 因此f ( y0 ) ≥M． 而根据M的定义，又有f ( y0 ) ≤M． 所以f ( y0 ) = M．因此f能达到它的上确界． 同理，f能达到它的下确界． 1.3.3 在度量空间中，求证：完全有界的集合是有界的，并通过考虑l 2的子集E = {e k }k≥ 1，其中e k = { 0, 0, ..., 1, 0, ... } (只是第k个坐标为1，其余都是0 )，来说明一个集合可以是有界的但不完全有界的． 证明：(1) 若A是度量空间(X, ρ)中的完全有界集． 则存在A的有限1-网N = { x0, x1, x2, ..., x n }． 令R = ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) + 1． 则?x∈A，存在某个j使得0 ≤j≤n，且ρ(x, x j) < 1． 因此，ρ(x, x0) ≤ρ(x, x j) + ρ(x j, x0) ≤ 1 + ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) = R． 所以A是度量空间(X, ρ)中的有界集． (2) 注意到ρ(e k , e j) = 21/2 ( ?k ≠ j )， 故E中任意点列都不是Cauchy列． 所以，E中任意点列都没有收敛子列(否则，该收敛子列就是Cauchy列，矛盾)．
泛函分析习题解答
第 七 章 习 题 解 答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 （23． n x 1)1<。设δ )∞。因B 4. 设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明) ,(1) ,(),(___ y x d y x d y x d += 是X 上的距离。 证明 （1）若0),(___ =y x d 则0),(=y x d ，必有x=y （2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而 t t +1在),[∞o 上是单增函数，于是) ,(),(1) ,(),(),(),(1),(),(___ ___ z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+=
= ) ,(),(1) ,(),(),(1),(z y d z x d z y d z y d z x d z x d +++++ ) ,(1),(),(1),(z y d z y d z x d z x d +++≤=),(),(___ __z y d z x d +。 5. 证明点列{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞ ∈的充要条件为n f 的各阶导数在 [a ，b]上一致收敛于f 的各阶导数。 证明 若{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞ ∈，即 t a ≤ ∑∞ +=o r r 即d A={f|当t 上)(t f n 一致收敛于f （t ）。设B t ∈，则0)(lim )(==∞ >-t f t f n n ，所以f ∈E ，这就证明了E 为闭集 充分性。当B 是闭集时，设f ∈A 。因f 在B 上连续而B 是有界闭集，必有B t ∈0，使 )(max )(0t f t f B t ∈=。设 0)(0>=-δt f a 。我们证明必有A f U ?),(δ。设),(δf U g ∈，则若B t ∈， 必有δ<-)()(t g t f ，于是a t f t f t g t f t g =+<+-≤)(||)(|)()(|)(|0δ，所以A g ∈，这样就证明了A 是开集 必要性。设A 是开集，要证明B 是闭集，只要证明对任意.....2,1,=∈n B t n 若0t t n >-)(∞?→? n ，
泛函分析第七章 习题解答125
第七章习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2.设],[b a C ∞ 是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明（1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 21 ),()()()()(0 t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞ 按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集 n o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1。 证明令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({ =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使n x x d 1 ),(10< 。设,0),(110>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是开集 显然B o n n ??∞ =1 。若n n o x ∞ =?∈1则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此)(∞?→??→? n x x n 。因B 是闭集，必有B x ∈，所以B o n n =?∞ =1 。 4.设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明) ,(1) ,(),(___ y x d y x d y x d += 是X 上的距离。 证明（1）若0),(___ =y x d 则0),(=y x d ，必有x=y （2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而 t t +1在),[∞o 上是单增函数，于是) ,(),(1) ,(),(),(),(1),(),(___ ___ z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+=