集合及不等式解法(学生用)

第 1 讲 集合

知识点一：集合

1.元素与集合的关系:用∈或?表示。

2.集合中元素具有：确定性、无序性、互异性。

3.集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。如数集{y |y =x 2},表示非负实数集，点集{(x ，y )|y =x 2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线。精品文档收集整理汇总

4.集合的表示法：

(1)列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}；

(2)描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。如：{x |x-3>2}，{(x,y )|y =x 2+1}，{直角三角形}，…；精品文档收集整理汇总

5.常用数集及其记法

（1）非负整数集（或自然数集），记作N ； （2）正整数集，记作N*或N+；

（3）整数集，记作Z ； （4）有理数集，记作Q ； （5）实数集，记作R .

6.元素与集合的关系；

（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to ）A ，记作a ∈A ；

（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（not belong to ）A ，记作a ?A 。 知识点二：子集

集合与集合的关系:用?，≠?，=表示;A 是B 的子集记为A ?B ；A 是B 的真子集记为A ≠?B 。 ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?；②空集是任何集合的子集，记为A ?φ；空集是任何非空集合的真子集；③如果B A ?，同时A B ?，那么 A = B ；如果

A B ?，

B C ?，A C ?那么.④n 个元素的子集有2n 个；n 个元素的真子集有2n －1个；n 个元素的非空真子集有2n －2个.精品文档收集整理汇总

【例1】 下列关系式中正确的是（ ）

A.{}???

B.{}0∈?

C.0{}?=

D.0{}??

【例2】方程组 3231

x y x y +=??-=?解集为______.

【例3】设{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--,已知{}9A B =,求实数a 的值.

【例4】设{}

220,M x x x x R =++=∈，a =lg(lg10)，则{a }与M 的关系是( )

A.{a }=M

B.M ?{a }

C.{a }?M

D.M ?{a }精品文档收集整理汇总 【例5】集合A={x |x =3k -2，k ∈Z}，B={y |y=3n +1，n ∈Z}，S={y |y =6m +1，m ∈Z}之间的关系是( )精品文档收集整理汇总

(A)S=B ?A (B)S=B ?A (C)S ?(B ?A) (D)S ?B=A

【例6】用适

当的符号()∈???、、=、、填空：①π___;②{3.14}____;③-R ∪R +_____R;

④{x |x =2k +1, k ∈Z}___{x |x =2k －1, k ∈Z}。

【例7】已知全集U ＝｛2，4，1－a ｝，A ＝｛2，a 2－a ＋2｝如果{}1U A =-，那么a 的值为 .

知识点三：交集、并集、补集

1. 并集:一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B

的并集（Union ）

记作：A ∪B,读作：“A 并B ”即： A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}

Venn 图表示：

说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。精品文档收集整理汇总 2. 交集:一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的

交集（intersection ）。精品文档收集整理汇总

记作：

A ∩B,读作：“A 交

B ”,即： A ∩B={x|∈A ，且x ∈B}

交集的Venn 图表示

说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。 拓展：求下列各图中集合A 与B 的并集与交集

A B A(B) A B

B

A B A A ∪B B A ?

说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集

3.全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。精品文档收集整理汇总

补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集，记作：C U A 即：C U A={x|x ∈U 且x ∈A}精品文档收集整理汇总

补集的Venn 图表示

A

U

C U A

说明：补集的概念必须要有全集的限制

4.求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。精品文档收集整理汇总

5.集合基本运算的一些结论：

(1)A ∩B ?A ，A ∩B ?B ，A ∩A=A ，A ∩?=?,A ∩B=B ∩A

A ?A ∪

B ，B ?A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪?=A,A ∪B=B ∪A

（C U A ）∪A=U ，（C U A ）∩A=?

若A ∩B=A ，则A ?B ，反之也成立

若A ∪B=B ，则A ?B ，反之也成立

若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈B

若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B

(2)()()();U U U A B A B =()()()U U U A B A B =;

(3)()()card A B card A =+()()card B card A B -;

【例8】设集合A={x |x ∈Z 且-10≤x ≤-1}，B={x |x ∈Z ，且|x |≤5}，则A ∪B 中的元素个数是( )精品文档收集整理汇总

(A)11 (B)1 (C)16 (D)15

【例9】已知A={4|2

m m Z -∈}，B={x |3}2x N +∈，则A∩B=__________。 【例10】已知集合M={y |y =x 2+1，x ∈R}，N={y|y =x +1，x ∈R}，求M∩N 。

【例11】若A ={(x ，y )| y =x +1},B={y |y =x 2+1},则A ∩B =_____.精品文档收集整理汇总

【例12】设全集,{6}U R A x x ==≤，则()_____,U A A =()_____.U A A =

【例13】设全集 U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，A = {3，4，5} B = {4，7，8},求：精品文档收集整理汇总

（1）（C U A ）∩(C U B),

（2）(C U A)∪(C U B), （3）C U (A ∪B), C U (A∩B).精品文档收集整理汇

总