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偶极矩四极矩八极矩电势展开

偶极矩、四极矩、八极矩等的物理意义的电势展开法

先注意一个比较容易忽视的问题，以避免证明误区：

下式在a 为负数时不成立，类似这一系列在底数为负数时均不成立。

323

)

(a a =

k k j j i i e r e r e r r ++=

r r r f '-=

)(

12])[(1)

(r r r r r r r r r r r r f i i i i i '

-'-=

?'-?=

?'-?

?'?-

证明：注意以下矢量

k k j j i i e r e r e r r ++=

i i i k k i j j i i i i e r e r r e r r e r r e r r r =??=??+??+??=??)()()()(

322

12)()(])[()()

(])[()(]

)[(21])[(1r

r r r e r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r i i i i i i i i i '-'-='-'-='

?'-?'-'--='

?'-?'--='

?'-?='?'-?-

θcos )()(r r e r r i '-='-

如果对这个矢量再进行偏导呢，如何计算？

(2='

?'?'?i j r r r f ，同理计算如下：

523

323

)

)((3))((])[(3))((])[(3)()

)((])[(3])[()

(])[(23]

)[()

()()]

[(]

)[(r r r r r r r r r r r r r r r r e r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r j j i i ij

j j i i ij j i i ij j i i ij j i i ij j i i ij j i i j i i j i i '

-'-'-+

='-'-'-+'--='-'-'-+'--='

?'-?'-'-'--'--='

?'-?'-'--'--='

?'-?'-+'--='

?'-?'-+'?'-?'

-='?'-'-?-

----

--------δδδδδδ

所以可得：

532))((3)(r r r r r r r r r r r f j j i i ij i j '

-'-'-+'--='?'?'?δ

非点电荷情形电势表达式的展开：

假设有以不规则形状的物体，其每处的带电密度不同且有正有负，则求此物体在无穷远处产生的电势时，可以把此物体看成一个点，即为把此物体看作点电荷，取物体带电的绝对值然后采用点电荷计算电势的公式即可。但当求此物体在近距离产生的电势时，这种计算方法就不精确了。那如何求物体在某处产生的电势呢？如下r ’为电荷位置，r 为求算电势的位置，即为r ’处电荷在r 点产生的电势。

?''

-'=

Φr d r r r r 30

)

(41)(ρπε

当r ’相比r 可以忽略不计的时候，即为点电荷情形，否则不能用点电荷情形来计算电势。 r ’很小的时候，可以依据泰勒公式进行展开：

n n n x x n x f

x P x f )(!

)

()()(00

(-=≈∑

∞

?'??''+'??'+='-='∑∑==31312)

0(!21)0()0(1)(i j j i j i r r f r r r f r f r r r f

R r r r r r r r r f i i i 11)(3

?='-?='

-'-='?'? R r r r r r r r r r r r r r f j j i i ij i j 1

1))((3)(5

32??='-??='

-'-'-+'--='?'?'?δ

532))((3)

r r r r r r r r r r f j j i i ij i j '-'-'-+'--='?'?'?δ

]])()(!21)()()()([41

)

(41)(3131323

030

+'''

?'?'?''+'''?'?'+'''='

-'=

Φ∑∑????==i j j i j i r d r r r r f r r r d r r r f r r d r r f r d r r r r ρρρπερπε

上式中展开时默认r ’为零。

+++=+-++=

+''''+-+'''+=

+''''+-+'''+''=+''+-''+'''+''=+'''

-'-'-+'--''+'''-'-'+''=Φ∑∑∑∑??

∑∑???∑∑?∑??∑∑?∑??============210313

2303

1313

0313135333303131353313

33031313

3313330]]

361

[41

]])(3)3(61)([41]])()3(!21)()(1[41

]]

)()3(!21)()(1[41]])()))((3(!21)()(1[41)

(???δπερδρπερδρρπερδρρπερδρρπεi j ij ij

j i i j j i j i ij

i j j i j i ij i j j i ij j i i i i j j j i i ij j i i i i D r

r r r p r r r q r d r r r r

r r r r r d r r r r

r q r d r r r r

r r r r d r r r r r d r r r d r r

r r r r r r d r r r r r d r r r d r r r r r r r r r r r r d r r r r r r r d r r r ?''''=r d r r r D j i ij 3)(3ρ

第一项q 为正负电荷累加得到的绝对电荷，距离r 为人为选择的坐标原点与电势计算任务点的距离。注意，要求r ’相对于r 来说非常小，否则泰勒展开算法无效。第二项的物理含义还是比较难懂的，我们来研究一下：

如下四个电荷分布在z 轴上，位置坐标已经标明。可以人为认定，这四个电荷构成两个偶极子，如黑线所示(实际是四个分散的电荷，彼此之间并没有先天性的组合成两个偶极子)；可以算出，两个偶极子的距离为l=(a+b)。现在来计算φ2的数值。实际只有D 33是不等于零的。

a b a b Q Q z z r d r r r D r d r r r D k k

k k j i ij 6))((63)(3)(34

33333=+-==''''='

'''=∑??=ρρ

式中p 为单个偶极子的偶极矩，l 为两个偶极子之间的距离。Dij 这个量与坐标系选择似乎没有关系。

0223

552

02cos 41cos )()(41)()(41)(41)(]

)[(41)(3)3(6141r r pl r r r r a b Ql r r e r r a b Q r r r r a b Q a b Q r r r r r r d r r r r

r r r r i i i j i i i j j i j i ij

-'-?-='-?'-?-='

-'-?-=-'?'-'-?=''''+-=-==∑∑?θπεθ

πεπεπεπερδπε?

上式中r 3为r 在z 方向的分量：

Q+

Q+Q-Q-a b -a -b P

r +r-

z θ

然后，我们分别求上边一个偶极子产生的电势以及下边一个偶极子产生的电势。依据偶极子电势公式：

r d

r r r

'''=

01)(41ρπε?

上式中r 为单个偶极子作为一个整体与目标点之间的距离，因此，上边一个偶极子r 取值为r+，下边一个偶极子r 取值为r-。

030

320303

2030

3003

02cos 41)

(41cos 41)(41cos )

(41)

(41)1

1()(41)11()(41

)

(41

)(41

)(41r

pl r r r r r a b Q r r pl

r r r r r a b Q r r l a b Q r r r r r a b Q r r r a b Q r r a b Q a b Q r r a b Q r r r d r r r

πεπεθπεπεθ

πεπεπεπεπεπερπε??=?-?

??=?-?-=??-=?-?

-??-=-??-=--

='''=

-++

--++--++--+-+-

以上计算说明，电四极矩对应的电势相当于两个偶极子独立存在的时候产生的电势和，这就是电四极矩的名称由来。

r q 004πε?=3

001414R R

p R p

πεπε?

?=??=

R D R x x D D r

r r r i j j i ij i j ij ij

j i 1

14116141361410

3131203

02??=???=-=∑∑∑∑==== πεπεδπε?∑∑∑∑∑???=???=???=??ij

j i ij

ij kl il jk l k ij ij kl l k l k j i ij x x D x x D e e x x e e D D 2

22:δδ

上式第三项包括9个子项，为电四极矩的九个张量元，但只有六个张量元是独立的。

其中，?''''=r d r r r D j i ij

3)(3ρ

分析以上Dij 的含义：如果在Dij 积分表达式中去掉一个矢量，则相当于偶极矩表达式。再乘以一个矢量，相当于某个偶极子产生的电势。再进行积分操作，相当于多个偶极子产生的

电势累加。最简单的情况就是两个偶极子产生的电势累加。四个点电荷可以构成两个偶极子。利用积分计算四个点电荷产生的电荷，所获得的结果与利用积分分别计算两个电偶极子产生的电势所得结果完全一致。这就是电四极矩命名的由来。

?''''=r d r r r D ij 3)(3ρ

n n n x x n x f

x P x f )(!

)

()()(00

(-=≈∑

∞

n n x n f x f ∑

∞

=≈0

)(!

)0()(

如果f(x0)已知，且x0=0，则以上展开叫做迈克劳林展开。三元函数的泰勒展开：

+??+??+=+??+??+=+???+??+==∑∑∑∑∑∑

=====∞

=)0,0,0()(!21)0,0,0(!11)0,0,0()0,0,0()(!21)0,0,0(!11)0,0,0()

0,0,0(!21)0,0,0(!11)0,0,0(!

)0(),,(2312

31113131231110

)(321f x f x f f x x x f x f x x f x x x f x f x n f x x x f i i i i i j j i j i i n

n n n n n x n x f x x f '!)()'(0

)(

∑∞

=≈-

2)(:b a bb aa ?=

幂函数的一个容易忽视的问题

一个容易忽视的问题，下式在a 为负数时不成立，类似这一系列在底数为负数时均不成立。

323)

(a a =

(推荐下载)《电动力学》复习题库(更新版)

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参考教材：郭硕鸿编，《电动力学》(第三版）,人民教育出版社，2008年电动力学复习题库多方收集整理，在此对有贡献者一并致谢! 重庆文理学院 2012年06月更新

一、单项选择题 1. 学习电动力学课程的主要目的有下面的几条,其中错误的是（ D ） A 。掌握电磁场的基本规律，加深对电磁场性质和时空概念的理解 B. 获得本课程领域内分析和处理一些基本问题的初步能力,为以后解决实际问题打下基础 C 。更深刻领会电磁场的物质性，加深辩证唯物主义的世界观 D 。物理理论是否定之否定，没有绝对的真理，世界是不可知的 2. （ C ） A 。 B 。 C 。 D 。 3. 下列不是恒等式的为( C ）。 A 。 B. C. D. 4. 设为源点到场点的距离，的方向规定为从源点指向场点，则（ B ). A 。 B. C 。 D. 5. 若为常矢量，矢量标量，则除R=0点外，与应满足关系（ A ） A 。 ▽=▽ B. ▽= C. = D 。以上都不对 6. 设区域内给定自由电荷分布，S 为V 的边界,欲使的电场唯一确定，则需要给定（ A ）。 A. 或 B 。 C. 的切向分量 D 。以上都不对 7. 设区域V 内给定自由电荷分布,在V 的边界S 上给定电势或电势的法向导数，则V 内的电场( A ） A ．唯一确定 B. 可以确定但不唯一 C. 不能确定 D 。以上都不对 8. 导体的静电平衡条件归结为以下几条,其中错误的是( C ) A 。导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面 B. 导体内部电场为零 C 。导体表面电场线沿切线方向 D. 整个导体的电势相等 9. 一个处于点上的单位点电荷所激发的电势满足方程（ C ） A. B 。 =???)(B A )()(A B B A ???+???)()(A B B A ???-???)()(B A A B ???-???B A ???)(0=????0f ????=0=??????2?=???222)()()(z z y y x x r '-+'-+'-=r 0=?r r r r ?=0=?'r r r r '?=m 3m R A R ?=3m R R ??=A ??A ??A ?-?A ??V )(x ρV S φS n ??φS Q E ()ρx s ?s n ???x ' )(x ψ2()0x ψ?=2 0()1/x ψε?=-

电动力学练习题2016年

电动力学练习题一、选择题 1. √=???)(B A ??（ C ） A. )()(A B B A ???????+??? B. )()(A B B A ???????-??? C. )()(B A A B ???????-??? D. B A ?????)( 2. √下列不是恒等式的为（ C ）。 A. 0=???? B. 0f ????=r C. 0=???? D. ??2?=??? 3. √设222)()()(z z y y x x r '-+'-+'-=为源点到场点的距离，r 的方向规定为从源点指向场点，则（ B ）。 A. 0=?r B. r r r ?=r C. 0=?'r D. r r r '?=r 4. √ 若m ?为常矢量，矢量3m R A R ?=v v v 标量3 m R R ??=v v ，则除R=0点外，A ?与?应满足关系（ B ） A. ▽?A ?=▽? B. ▽?A ?=?-? C. A ?=?? D. 以上都不对 5. √位移电流是（D ） A 是真实电流，按传导电流的规律激发磁场 B 与传导电流一样，激发磁场和放出焦耳热 C 与传导电流一起构成闭合环量，其散度恒不为零 D 实质是电场随时间的变化率（ D ） 6. √从麦克斯韦方程组可知变化磁场是（ D ） A 有源无旋场 B 有源有旋场 C 无源无旋场 D 无源有旋场 7. √磁化电流体密度等于（A ） A M ??r B M ??r C M t ??r D 21()n M M ?-r r r 8. √ 电场强度在介质分界面上（D ） A 法线方向连续，切线方向不连续 B 法线方向不连续，切线方向不连续 C 法战方向连续，切线方间连续 D 法线方向不连续．切线方向连续 9. √ 在稳恒电流或低频交变电流情况下，电磁能是（B ） A 通过导体中电子的走向移动向负载传递的 B 通过电磁场向负载传递的 C 在导线中传播 D 现在理论还不能确定 10. √ 边界上的电势为零，区域内无电荷分布．则该区域内的电势为（B ） A 零 B 任一常数

电四极矩的物理图象

浅述电四极矩的物理图象姜云梅（玉溪师范学院物理与教育技术系 04级物理2班云南玉溪 653100）指导教师：陈洛恩摘要：本文比较了电四极矩的两种定义，讨论了电四极矩的特点及应用两种定义求解电势的异同，并使用Flash直观形象的呈现电四极矩的物理图象。关键词：电势；多极展开；电多极矩；电四极矩；Flash 1.引言求解静电场的方法是引入电势，电势的求解是一个经典问题[1]。解法较多，诸如分离变量法、电象法、格林函数法、有限差分法、电势多极展开法等等[2]。用电势多极展开法求解电势时，电势的多极展开式中，出现了包括电单极子在内的电多极子。这些电多极子是数学推演的结果，而非真实存在。原本是一定空间范围内的电荷系统(体系)在远处所激发(产生)的电势，却被想象中的电多极子激发同样电势所取代，对此，许多教材只言“等效”而不涉及等效的模型或物理图象。Constantino Grosse 对电势的多极展开进行了分析研究[3]。兰州师范高等专科学校的蒋德翰给出了电势多极展开的物理图象[4]。在用电势的多极展开法解决实际问题时，经常会遇到电荷集中在一个小区域内的情况。在处理这种问题时，作为初级近似，我们可以把原来的电荷体系集中起来看作是一个点电荷，但当体系的总电荷为零，或考虑某些进一步的效应需要更高的精确度时，就必须考虑到体系的电偶极矩，同样在体系的电偶极矩为零,或需要更高的精确度时，就要引入电四极矩或更高的极矩。当然,在引入更高极矩的同时，给计算带来了很大的麻烦，传统的电动力学求解方法比较困难。所以, 衡阳师范学院物理与电子信息科学系的陈秋成尝试利用数学物理方法的理论来求解，即用分离变量法求出电多极子所满足的拉普拉斯方程,导出勒让德多项式,从而解出电多极子所处的电场的电势[5]。青岛建筑工程学院基础课教学二部的孙瑛，又做了进一步的工作，将电势的多极展开式与用分离变量法解拉普拉斯方程所得的通解进行比较，得出通解中各项的物理意义，加深了对电多极子的场的理解[6]。在普通物理中，电势的多极展开法不便使用。因此，程稼夫给出了电多极矩矢势的微商法及这种方法的应用[7]。内蒙古师范大学物理系的徐守淳，对一些教科书中计算电四极子电势的习题答案中出现的错误作了分析和讨论，并给出一种计算任意电四极子的电势的简化方法，使电四极矩的概念更容易被学生接受和理解[8]。

电动力学练习题2016年

电动力学练习题一、选择题 1. √=???)(B A （ C ） A. )()(A B B A ???+??? B. )()(A B B A ???-??? C. )()(B A A B ???-??? D. B A ???)( 2. √下列不是恒等式的为（ C ）。 A. 0=???? B. 0f ????= C. 0=???? D. ??2?=??? 3. √设222)()()(z z y y x x r '-+'-+'-=为源点到场点的距离，r 的方向规定为从源点指向场点，则（ B ）。 A. 0=?r B. r r r ?= C. 0=?'r D. r r r '?= 4. √ 若m 为常矢量，矢量3m R A R ?=标量3m R R ??=，则除R=0点外，A 与?应满足关系（ B ） A. ▽?A =▽? B. ▽?A =?-? C. A =?? D. 以上都不对 5. √位移电流是（D ） A 是真实电流，按传导电流的规律激发磁场 B 与传导电流一样，激发磁场和放出焦耳热 C 与传导电流一起构成闭合环量，其散度恒不为零 D 实质是电场随时间的变化率（ D ） 6. √从麦克斯韦方程组可知变化磁场是（ D ） A 有源无旋场 B 有源有旋场 C 无源无旋场 D 无源有旋场 7. √磁化电流体密度等于（A ） A M ?? B M ?? C M t ?? D 21()n M M ?- 8. √ 电场强度在介质分界面上（D ） A 法线方向连续，切线方向不连续 B 法线方向不连续，切线方向不连续 C 法战方向连续，切线方间连续 D 法线方向不连续．切线方向连续 9. √ 在稳恒电流或低频交变电流情况下，电磁能是（B ） A 通过导体中电子的走向移动向负载传递的 B 通过电磁场向负载传递的 C 在导线中传播 D 现在理论还不能确定 10. √ 边界上的电势为零，区域内无电荷分布．则该区域内的电势为（B ） A 零 B 任一常数

核四极矩共振炸药探测技术在探雷中的应用_房旭民

收稿日期:2002-09-02 作者简介:房旭民(1960-),男,山东文登人,副研究员,博士生.E -mail:fangxm@public1.w x.j https://www.docsj.com/doc/3a4104602.html, 核四极矩共振炸药探测技术在探雷中的应用房旭民1,2,徐政1,徐玉清2,张国进2 (1.同济大学材料科学与工程学院,上海 200092;2.总装备部工程兵科研一所,江苏无锡 214035) 摘要:介绍了国内外探雷技术发展现状,认为核四极矩共振(N Q R)技术具有很大发展潜力.从国外N QR 技术发展状况分析入手,论述了N Q R 技术应用于探雷要解决的关键技术,提出了我国N QR 探雷技术发展的方向. 关键词:地雷探测;炸药;核四极矩共振中图分类号:T J 517 文献标识码:A 文章编号:0253-374X(2003)06-0719-05 Application of Nuclear Quadrupole Resonance Technique in Mine Detection FAN G X u -min 1,2,X U Zheng 1,X U Yu -qing 2,Z H AN G Guo -j in 2 (1.College of Materials Scien ce and Engineering,Tongji University,Shanghai 200092,Ch i na; 2.The First E n gineers Scientific Research Institute of the General Armam ents Department,Wuxi 214035,China) Abstract :This paper presents the research situations of mine detection at home and abroad.We think NQR technique has great development potentialities.It also analyzes the development status of NQR technique abroad,presents the key techniques to be solved in using NQR technique in m ine detection and sugg ests the re -search direction of our NQR mine detection. Key words :m ine detection;ex plosive;nuclear quadrupole resonance 探测地雷中的炸药比探测其金属构件、塑料外壳更具本质特征.核四极矩共振(nuclear quadrupole res -onace,NQR)技术具有对物质探测识别的唯一性,是一种十分有前途的炸药探测技术,其发展将使地雷探测技术产生一次质的飞跃.因此,核四极矩共振技术在国内外倍受关注. 1 地雷探测技术发展的难题第二次世界大战以来,地雷已逐步成为战争中颇受青睐的一种杀伤性武器.随着可撒布地雷的出现和各种布雷手段的发展,地雷在现代战争中的战斗效能显著提高,同时也迫使探测、排除地雷的装备更加完善.现代战争十分强调快速机动,快速有效地探测地雷是保证快速机动的重要内容之一.车载探雷系统与机载雷场探测系统的出现大大提高了探测的速度与效率;而传统的单兵探雷方法主要用于对雷场的秘密搜排和战后扫雷中.连年战争使全世界几十个国家尚有1亿枚左右的地雷未被排除,每年造成近万人伤亡.国际社会为扫除战争遗留地雷问题,投入了大量的人力、物力和财力.战后扫雷对探雷器材的性能提出了近乎完美的要求,既不能漏雷又不能虚警太多,而现有的探雷器材尚不能满足要求.因此,世界各国正在大力探索发展新的探雷技术,以解决这一世界性难题.世界各国的地雷探测器虽然种类繁多、技术各不相同,但其探测的基本原理都是根据地雷结构中某一部分材料的特性进行探测的.利用低频电磁感应原理的第31卷第6期 2003年6月同济大学学报JOURNAL OF T ONGJI UN IVERSIT Y Vol.31No.6 Jun.2003