4.1 认识三角形 第1课时 三角形的内角和
学习目标:1、通过观察、想象、推理、交流等活动,发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力;
2、能证明出“三角形内角和等于180°”,能发现“直角三角形的两个锐角互余”;
3、按角将三角形分成三类。
学习重难点:三角形内角和定理推理和应用。
学习设计:
(一) 预习准备 (1)预习
(2)思考①三角形的角之间的关系②三角形的分类 (3)预习作业
三角形中角的关系:(1)三角形的三个内角之和是 ;(2)直角三角形的两个锐角 三角形的分类:按角分为三类: 三角形; 三角形和 三角形。 (二) 学习过程
例1 证明三角形的内角和为180°
例2 在△ABC 中,(1)0
82,42,C A B ∠=∠=∠则= (2)5,A B C C ∠+∠=∠∠那么=
(3)在△ABC 中,C ∠的外角是120°,B ∠的度数是A ∠度数的一半,求△ABC 的三个内角的度数
变式训练:在△ABC 中(1)0
78,25,B A C ∠=∠=∠则= (2)若C ∠=55°,0
10B A ∠-∠=,那么A ∠= ,B ∠=
例3 已知△ABC 中,::1:2:3A B C ∠∠∠=,试判断此三角形是什么形状?
变式训练:已知△ABC 中,0
90,2,A B B C ∠-∠=∠=∠试判断此三角形是什么形状?
例4 如图,在△ABC 中,
90ACB ∠=,CD ⊥AB 于点D ,1,2?A B ∠∠∠∠与有何关系与呢
例5 如图,已知0
60,30,20,A B C BOC ∠=∠=∠=∠求的度数。
2
1D
C B
A
O
C
B
A
变式训练:如图在锐角三角形ABC 中,B E 、CD 分别垂直AC 、AB ,若0
40A ∠=,求BHC ∠的度数。
拓展:1、如图所示,求A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的度数。
2、如图在△ABC 中,已知1,2,,A B ABC ACB ACB ∠=∠∠=∠∠=∠∠求的度数。
回顾小结:1、三角形的三个内角的和等于180°; 2、三角形按角分为三类:
(1)锐角三角形 (2)直角三角形 (3)钝角三角形 3、直角三角形的两个锐角互余
H
E D
C
B A
H
E
D C
B A 2
1D C B
A
4.1 认识三角形 第2课时 三角形的三边关系
一、学习目标:1、通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发掌空间观念、推理能力和有条理地表达能力;
2、结合具体实例,进一步认识三角形的概念及其基本要素,掌握三角形三边
关系:“三角形任意两边之和大于第三边;三角形任意两边之差小于第三边”。 二、学习重点:三角形三边关系:“三角形任意两边之和大于第三边;三角形任意两边之差小于第三边”。
三、学习难点: 灵活运用三角形三边关系解决一些实际问题。
四、学习设计 (一)预习准备 (1)预习
(2)思考①什么叫三角形?②三角形的基本构造③三角形的三边关系 (3)预习作业:
如图,已知AD ⊥B C 于点D ,DE ⊥AB 于点E ,点F 是
AE 的中点,则图中有 个三角形, 个直角三角形, 个锐角三角形, 个钝角三角形;以
B 为内角的三角形有 个,它们分别是 ;以BE 为一边的三角形是 。
(二)学习过程
1、三角形的有关概念
(1)三角形的定义:由不在 上的三条线段首尾 相连所组成的图形。 (2)三角形的基本构造:
①组成三角形的三条线段叫做三角形的 ②两条边相接的点叫做三角形的 ③相邻两边组成的角叫做三角形的 2、三角形的三边关系: (1)三角形任意两边之和 第三边 (2)三角形任意两边之差 第三边
例1 图中共有几个三角形?并把它们用符号表示出来。
例2 下面各组数分别表示三条线段的长度,试判断以它们为边是否能组成三角形。 (1)1 ;4 ;5 (2)3 ;3 ;5
(3)3x ;5x ;7x (x 为正数) (4)三条线段长度之比为4:7:6 变式训练:有下列长度的三条线段能否构成三角形?为什么? (1)3 ;4 ;8 (2)5 ;6 ;11 (3)5 ;7 ;10 (4)4 ;4 ;9 (5)5 ;5 ;5
例3 小明要制作一个三角形铁丝架,已知有两根铁丝长度分别是3cm ,5cm (1) 他该如何选择第三根铁丝?你能帮助小明确定它的长度或范围吗? (2) 如果要求第三根铁丝的长度是整数,那么小明有几种选择?
F E
D
C B A G F
E D C
B
A
变式训练:1、已知两条线段的长为5cm 和8cm ,要订成一个三角形,试求: (1) 第三条线段的长度范围;
(2) 若第三条线段的长度为奇数,求此时三角形的周长。
2、已知等腰三角形中,有两边长为3和7,求此等腰三角形的底边和腰长
例4 如图所示,在小河的同侧有A,B,C 三个村庄,图中的线段表示道路,某邮递员从A 村送信到B 村,总是走经过C 村的道路,不走经过D 村的道路,这是为什么呢? 请利用你所学的数学知识加以证明。
拓展:1、若设,,a b c 是△ABC 的三边,则a b c a b c +++--=
2、已知,,a b c 是△ABC 的三边,2,5a b ==,且三角形的周长是偶数,(1)求c 的值;(2)判断△ABC 的形状。
回顾小结:
掌握三角形三边关系:“三角形任意两边之和大于第三边;三角形任意两边之差小于第三
边”。
E D
C
B A
4.1 认识三角形
第3课时 三角形的中线、角平分线、高
学习目标:1、通过观察、想象、推理、交流等活动,发展空间观念、推理能力和有条理地
表达能力;
2、了解三角形的角平分线、中线、高线,并能在具体的三角形中作出高线。 学习重点:1、角平分线的概念
2、三角形的中线、高线。
学习难点:高线的画法以及三个定义做计算 学习设计:
(一) 预习准备
(1) 预习
(2) 思考:什么是三角形的角平分线?中线?高线? (3) 预习作业
画出下图三角形的三条高
(二) 学习过程
1、在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做
2、在三角形中, 的线段,叫做这个三角形的中线。
3、从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线, 之间的线段叫做三角形的高。
例1 (1)如图1,D 为S △ABC 的变BC 边的中点,若S △ADC =15, 那么S △ABC =
(2)如图2,已知AD 、BE 分别是△ABC 中BC 、AC 边上的高,若
0070,120,2C ∠=∠=∠=那么
D C
B
A
2
1
E
D
C
B
A
图1 图2
变式训练:如图在△ABC 中,BD 平分0
,66,24,ABC C ABD A ∠∠=∠=∠那么=
D
C
B A
例2 如图,已知在△AB C 中,ABC ACB ∠∠与的平分线交于点O ,试说明: (1)0
1
180()2
BOC ABC ACB ∠=-
∠+∠ (2)0
1902
BOC A ∠=+∠
变式训练:如图在△A BC 中,已知I 是△ABC 三个内角平分线的交点,0
130BIC BAC ∠=∠,则为( )
A 、40°
B 、50°
C 、65°
D 、80°
例3 如图,已知在△ABC 中,CF 、BE 分别是AB 、AC 边
上的中线,若AE=2,AF=3,且△ABC 的周长为15,求BC 的长。
变式训练:如图,在△ABC 中,AB=AC ,AC 边上的中线BD 把三角形的周长分为12和15两部分,求△ABC 各边的长。
O
C
B
A
I
C
B
A
O
F E C
B A D
C B
A
拓展:1、(1)如图,若AD 为△ABC 底边BC 的中线,则ABD S V = =
1
2
; (2)两个等底(同底)三角形面积之比等于它们的 之比;两个等高(同高)三角形面积之比等于它们的 之比;
(3)如图,在四边形ABCD 中,点E 、F 分别在BC 、CD 上,DF=FC,CE=2EB 。已知,SDF AECF S m S n ==V 四边形(其
中n>m ),则ABCD S 四边形=
2、如图1在△ABC 中,AD ⊥BC 于点D ,AE 平分()BAC C B ∠∠>∠ (1)试探究,EAD C B ∠∠∠与的关系;
(2)若F 是AE 上一动点
①若F 移动到AE 之间的位置时,FD ⊥BD ,如图2所示,此时EFD C B ∠∠∠与与的关系如何?
②当F 继续移动到AE 延长线上时,如图3所示FD ⊥BC ,①中的结论是否还成立,如果成立说明理由,如果不成立,写出新的结论。
回顾小结:(1)三角形的角平分线、中线、高线的定义;
(2) 三角形的角平分线、中线、高线是线段.
F
E
D
C B
A 图1
E D C
B
A
F 图2E D C
B
A F 图3E D
C B A
4.2 图形的全等
一、学习目标:
1.了解全等图形、全等多边形、全等三角形.
2.平移、旋转、翻折等图形基本运动对全等图形的影响.
3.掌握全等多边形性质与识别方法,全等三角形的性质.
4.简单应用全等多边形性质、全等三角形的性质解决实际问题.
二、学习重点:
全等多边形的性质与识别方法;全等三角形的性质应用.
三、学习难点:
平移、旋转、翻折等图形基本运动对全等图形的影响.
四、学习设计:
(一)引入
观察教材中几组图形。
(二)学习过程
阅读课本
填空:_________________两个图形就是全等图形。全等图形的________和______都相同。
下面,我们看看图形的运动对全等图形有何影响?
活动请同学们在方格纸中任意画一个多边形,先将这个多边形沿某一方向平移一定距离(与原图形无重叠);再将原多边形绕形外一点顺时针(或逆时针)旋转一定角度(与原图形无重叠);然后将原图形沿形外某格线对称;最后将这些图形剪下来,将其叠合.你能发现什么?通过这个活动过程,说明了什么问题?
说明图形经过平移、旋转、翻折的图形运动,位置发生了变化,但形状和大小却没有改变,图形运动前后的两个图形是全等的;反过来,也就是说,两个全等的图形经过图形运动一定能重合.
请你说说什么是全等多边形?什么是全等多边形的对应顶点、对应角、对应边?你认为全等多边形有何特征?
全等多边形对应边、对应角分
别相等.
如图1,四边形ABCD与四边形
EFGH全等,可记为四边形ABCD≌四
边形EFGH,请指出对应顶点、对应
角、对应边.
全等多边形的识别方法:如果
两个多边形对应边、对应角分别相等,那么这
两个多边形全等.
三角形是特殊的多边形,所以,全等三角
形的对应边、对应角分别相等;如果两个三角
形的___________、__________分别相等,那
么这两个多边形全等.
例1 如图2,已知将△ABC绕其顶点A顺
时针方向旋转
20°后得到△ADE.
(1)△ABC与△ADE的关系如何?
(2)求∠BAD的度数.
分析:将△AB C绕其顶点A旋转得到△ADE,故△ADE是由△ABC旋转得到的,若将△ADE 逆时针方向旋转20°,则能与△ABC重合,所以△ABC与△ADE是全等的.由学生自主思考、分析解答.
探索:请同学们将两张纸叠起来,剪下两个全等三角形,然后将叠合的两个三角形纸片放在桌面上,从平移、旋转、对称几个方面进行摆放,看看两个三角形有一些怎样的特殊位置关系?并画出这些位置关系的代表性图形.