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最新北师大版七年级下册数学 第四章 三角形 全章学案

4.1 认识三角形 第1课时 三角形的内角和

学习目标:1、通过观察、想象、推理、交流等活动,发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力;

2、能证明出“三角形内角和等于180°”,能发现“直角三角形的两个锐角互余”;

3、按角将三角形分成三类。

学习重难点:三角形内角和定理推理和应用。

学习设计:

(一) 预习准备 (1)预习

(2)思考①三角形的角之间的关系②三角形的分类 (3)预习作业

三角形中角的关系:(1)三角形的三个内角之和是 ;(2)直角三角形的两个锐角 三角形的分类:按角分为三类: 三角形; 三角形和 三角形。 (二) 学习过程

例1 证明三角形的内角和为180°

例2 在△ABC 中,(1)0

82,42,C A B ∠=∠=∠则= (2)5,A B C C ∠+∠=∠∠那么=

(3)在△ABC 中,C ∠的外角是120°,B ∠的度数是A ∠度数的一半,求△ABC 的三个内角的度数

变式训练:在△ABC 中(1)0

78,25,B A C ∠=∠=∠则= (2)若C ∠=55°,0

10B A ∠-∠=,那么A ∠= ,B ∠=

例3 已知△ABC 中,::1:2:3A B C ∠∠∠=,试判断此三角形是什么形状?

变式训练:已知△ABC 中,0

90,2,A B B C ∠-∠=∠=∠试判断此三角形是什么形状?

例4 如图,在△ABC 中,

90ACB ∠=,CD ⊥AB 于点D ,1,2?A B ∠∠∠∠与有何关系与呢

例5 如图,已知0

60,30,20,A B C BOC ∠=∠=∠=∠求的度数。

2

1D

C B

A

O

C

B

A

变式训练:如图在锐角三角形ABC 中,B E 、CD 分别垂直AC 、AB ,若0

40A ∠=,求BHC ∠的度数。

拓展:1、如图所示,求A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的度数。

2、如图在△ABC 中,已知1,2,,A B ABC ACB ACB ∠=∠∠=∠∠=∠∠求的度数。

回顾小结:1、三角形的三个内角的和等于180°; 2、三角形按角分为三类:

(1)锐角三角形 (2)直角三角形 (3)钝角三角形 3、直角三角形的两个锐角互余

H

E D

C

B A

H

E

D C

B A 2

1D C B

A

4.1 认识三角形 第2课时 三角形的三边关系

一、学习目标:1、通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发掌空间观念、推理能力和有条理地表达能力;

2、结合具体实例,进一步认识三角形的概念及其基本要素,掌握三角形三边

关系:“三角形任意两边之和大于第三边;三角形任意两边之差小于第三边”。 二、学习重点:三角形三边关系:“三角形任意两边之和大于第三边;三角形任意两边之差小于第三边”。

三、学习难点: 灵活运用三角形三边关系解决一些实际问题。

四、学习设计 (一)预习准备 (1)预习

(2)思考①什么叫三角形?②三角形的基本构造③三角形的三边关系 (3)预习作业:

如图,已知AD ⊥B C 于点D ,DE ⊥AB 于点E ,点F 是

AE 的中点,则图中有 个三角形, 个直角三角形, 个锐角三角形, 个钝角三角形;以

B 为内角的三角形有 个,它们分别是 ;以BE 为一边的三角形是 。

(二)学习过程

1、三角形的有关概念

(1)三角形的定义:由不在 上的三条线段首尾 相连所组成的图形。 (2)三角形的基本构造:

①组成三角形的三条线段叫做三角形的 ②两条边相接的点叫做三角形的 ③相邻两边组成的角叫做三角形的 2、三角形的三边关系: (1)三角形任意两边之和 第三边 (2)三角形任意两边之差 第三边

例1 图中共有几个三角形?并把它们用符号表示出来。

例2 下面各组数分别表示三条线段的长度,试判断以它们为边是否能组成三角形。 (1)1 ;4 ;5 (2)3 ;3 ;5

(3)3x ;5x ;7x (x 为正数) (4)三条线段长度之比为4:7:6 变式训练:有下列长度的三条线段能否构成三角形?为什么? (1)3 ;4 ;8 (2)5 ;6 ;11 (3)5 ;7 ;10 (4)4 ;4 ;9 (5)5 ;5 ;5

例3 小明要制作一个三角形铁丝架,已知有两根铁丝长度分别是3cm ,5cm (1) 他该如何选择第三根铁丝?你能帮助小明确定它的长度或范围吗? (2) 如果要求第三根铁丝的长度是整数,那么小明有几种选择?

F E

D

C B A G F

E D C

B

A

变式训练:1、已知两条线段的长为5cm 和8cm ,要订成一个三角形,试求: (1) 第三条线段的长度范围;

(2) 若第三条线段的长度为奇数,求此时三角形的周长。

2、已知等腰三角形中,有两边长为3和7,求此等腰三角形的底边和腰长

例4 如图所示,在小河的同侧有A,B,C 三个村庄,图中的线段表示道路,某邮递员从A 村送信到B 村,总是走经过C 村的道路,不走经过D 村的道路,这是为什么呢? 请利用你所学的数学知识加以证明。

拓展:1、若设,,a b c 是△ABC 的三边,则a b c a b c +++--=

2、已知,,a b c 是△ABC 的三边,2,5a b ==,且三角形的周长是偶数,(1)求c 的值;(2)判断△ABC 的形状。

回顾小结:

掌握三角形三边关系:“三角形任意两边之和大于第三边;三角形任意两边之差小于第三

边”。

E D

C

B A

4.1 认识三角形

第3课时 三角形的中线、角平分线、高

学习目标:1、通过观察、想象、推理、交流等活动,发展空间观念、推理能力和有条理地

表达能力;

2、了解三角形的角平分线、中线、高线,并能在具体的三角形中作出高线。 学习重点:1、角平分线的概念

2、三角形的中线、高线。

学习难点:高线的画法以及三个定义做计算 学习设计:

(一) 预习准备

(1) 预习

(2) 思考:什么是三角形的角平分线?中线?高线? (3) 预习作业

画出下图三角形的三条高

(二) 学习过程

1、在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做

2、在三角形中, 的线段,叫做这个三角形的中线。

3、从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线, 之间的线段叫做三角形的高。

例1 (1)如图1,D 为S △ABC 的变BC 边的中点,若S △ADC =15, 那么S △ABC =

(2)如图2,已知AD 、BE 分别是△ABC 中BC 、AC 边上的高,若

0070,120,2C ∠=∠=∠=那么

D C

B

A

2

1

E

D

C

B

A

图1 图2

变式训练:如图在△ABC 中,BD 平分0

,66,24,ABC C ABD A ∠∠=∠=∠那么=

D

C

B A

例2 如图,已知在△AB C 中,ABC ACB ∠∠与的平分线交于点O ,试说明: (1)0

1

180()2

BOC ABC ACB ∠=-

∠+∠ (2)0

1902

BOC A ∠=+∠

变式训练:如图在△A BC 中,已知I 是△ABC 三个内角平分线的交点,0

130BIC BAC ∠=∠,则为( )

A 、40°

B 、50°

C 、65°

D 、80°

例3 如图,已知在△ABC 中,CF 、BE 分别是AB 、AC 边

上的中线,若AE=2,AF=3,且△ABC 的周长为15,求BC 的长。

变式训练:如图,在△ABC 中,AB=AC ,AC 边上的中线BD 把三角形的周长分为12和15两部分,求△ABC 各边的长。

O

C

B

A

I

C

B

A

O

F E C

B A D

C B

A

拓展:1、(1)如图,若AD 为△ABC 底边BC 的中线,则ABD S V = =

1

2

; (2)两个等底(同底)三角形面积之比等于它们的 之比;两个等高(同高)三角形面积之比等于它们的 之比;

(3)如图,在四边形ABCD 中,点E 、F 分别在BC 、CD 上,DF=FC,CE=2EB 。已知,SDF AECF S m S n ==V 四边形(其

中n>m ),则ABCD S 四边形=

2、如图1在△ABC 中,AD ⊥BC 于点D ,AE 平分()BAC C B ∠∠>∠ (1)试探究,EAD C B ∠∠∠与的关系;

(2)若F 是AE 上一动点

①若F 移动到AE 之间的位置时,FD ⊥BD ,如图2所示,此时EFD C B ∠∠∠与与的关系如何?

②当F 继续移动到AE 延长线上时,如图3所示FD ⊥BC ,①中的结论是否还成立,如果成立说明理由,如果不成立,写出新的结论。

回顾小结:(1)三角形的角平分线、中线、高线的定义;

(2) 三角形的角平分线、中线、高线是线段.

F

E

D

C B

A 图1

E D C

B

A

F 图2E D C

B

A F 图3E D

C B A

4.2 图形的全等

一、学习目标:

1.了解全等图形、全等多边形、全等三角形.

2.平移、旋转、翻折等图形基本运动对全等图形的影响.

3.掌握全等多边形性质与识别方法,全等三角形的性质.

4.简单应用全等多边形性质、全等三角形的性质解决实际问题.

二、学习重点:

全等多边形的性质与识别方法;全等三角形的性质应用.

三、学习难点:

平移、旋转、翻折等图形基本运动对全等图形的影响.

四、学习设计:

(一)引入

观察教材中几组图形。

(二)学习过程

阅读课本

填空:_________________两个图形就是全等图形。全等图形的________和______都相同。

下面,我们看看图形的运动对全等图形有何影响?

活动请同学们在方格纸中任意画一个多边形,先将这个多边形沿某一方向平移一定距离(与原图形无重叠);再将原多边形绕形外一点顺时针(或逆时针)旋转一定角度(与原图形无重叠);然后将原图形沿形外某格线对称;最后将这些图形剪下来,将其叠合.你能发现什么?通过这个活动过程,说明了什么问题?

说明图形经过平移、旋转、翻折的图形运动,位置发生了变化,但形状和大小却没有改变,图形运动前后的两个图形是全等的;反过来,也就是说,两个全等的图形经过图形运动一定能重合.

请你说说什么是全等多边形?什么是全等多边形的对应顶点、对应角、对应边?你认为全等多边形有何特征?

全等多边形对应边、对应角分

别相等.

如图1,四边形ABCD与四边形

EFGH全等,可记为四边形ABCD≌四

边形EFGH,请指出对应顶点、对应

角、对应边.

全等多边形的识别方法:如果

两个多边形对应边、对应角分别相等,那么这

两个多边形全等.

三角形是特殊的多边形,所以,全等三角

形的对应边、对应角分别相等;如果两个三角

形的___________、__________分别相等,那

么这两个多边形全等.

例1 如图2,已知将△ABC绕其顶点A顺

时针方向旋转

20°后得到△ADE.

(1)△ABC与△ADE的关系如何?

(2)求∠BAD的度数.

分析:将△AB C绕其顶点A旋转得到△ADE,故△ADE是由△ABC旋转得到的,若将△ADE 逆时针方向旋转20°,则能与△ABC重合,所以△ABC与△ADE是全等的.由学生自主思考、分析解答.

探索:请同学们将两张纸叠起来,剪下两个全等三角形,然后将叠合的两个三角形纸片放在桌面上,从平移、旋转、对称几个方面进行摆放,看看两个三角形有一些怎样的特殊位置关系?并画出这些位置关系的代表性图形.

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