(学案与ppt配套)一元二次方程(第8课 实际问题与一元二次方程(2))
一元二次方程(全章共21课教案)人教版
第十二章一元二次方程 第1课一元二次方程 一、教学目的 1．使学生理解并能够掌握整式方程的定义． 2．使学生理解并能够掌握一元二次方程的定义． 3．使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式． 二、教学重点、难点 重点：一元二次方程的定义． 难点：一元二次方程的一般形式及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别． 三、教学过程 复习提问 1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？ 2．指出下面哪些方程是已学过的方程？分别叫做什么方程？ (l)3x+4=l； (2)6x-5y=7； 3．结合上述有关方程讲解什么叫做“元”，什么叫做“次”． 引入新课 1．方程的分类： 通过上面的复习，引导学生答出： 学过的几类方程是 没学过的方程是 x2-70x+825=0，x(x+5)=150． 这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程．”而在整式方程中，“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．” 据此得出复习中学生未学过的方程是 (4)一元二次方程：x2-70x+825=0，x(x+5)=150． 同时指导学生把学过的方程分为两大类：
2．一元二次方程的一般形式 注意引导学生考虑方程 x2-70x+825=0 和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150， 可化为：x2+5x-150=0． 从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为 ax2+bx+c=0(a≠0) 的形式．并称之为一元二次方程的一般形式．强调，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数．要特别注意：二次项系数a是不等于0的实数(a=0时，方程化为bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可为任意实数．例把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项． 讲解例题 课堂练习 P5-6 1、2 课堂小结 1．方程分为两大类： 判别整式方程与分式方程的关键是看分母中是否含有未知数；判别一元一次方程，一元二次方程的关键是看方程化为一般形式后，未知数的最高次数是一次还是二次．2．一元二次方程的定义：一个整式方程，经化简形成只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，则这样的整式方程称一元二次方程．其一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中b，c均可为任意实数，而a不能等于零． 作业：教材中相关习题． 第2课一元二次方程的解法(一) 一、教学目的 1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程． 2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c ＜0)的方法． 二、教学重点、难点 重点：准确地求出方程的根． 难点：正确地表示方程的两个根． 三、教学过程 复习过程 回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据． 求下列各式中的x： 1．x2=225； 2．x2-169=0；3．36x2=49； 4．4x2-25=0． 回答解题过程中的依据． 解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．
(完整版)一元二次方程全章测试及答案
一元二次方程全章测试及答案 一、填空题 1．一元二次方程x 2－2x ＋1＝0的解是______． 2．若x ＝1是方程x 2－mx ＋2m ＝0的一个根，则方程的另一根为______． 3．小华在解一元二次方程x 2－4x ＝0时，只得出一个根是x ＝4，则被他漏掉的另一个根是 x ＝______． 4．当a ______时，方程(x －b )2＝－a 有实数解，实数解为______． 5．已知关于x 的一元二次方程(m 2－1)x m －2＋3mx －1＝0，则m ＝______． 6．若关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝0的一个根是3，则a ＝______． 7．若(x 2－5x ＋6)2＋｜x 2＋3x －10｜＝0，则x ＝______． 8．已知关于x 的方程x 2－2x ＋n －1＝0有两个不相等的实数根，那么｜n －2｜＋n ＋1的化 简结果是______． 二、选择题 9．方程x 2－3x ＋2＝0的解是( )． A ．1和2 B ．－1和－2 C ．1和－2 D ．－1和2 10．关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋(m －2)＝0的根的情况是( )． A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定 11．已知a ，b ，c 分别是三角形的三边，则方程(a ＋b )x 2＋2cx ＋(a ＋b )＝0的根的情况是( )． A ．没有实数根 B ．可能有且只有一个实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．有两个不相等的实数根 12．如果关于x 的一元二次方程02 22=+-k x x 没有实数根，那么k 的最小整数值是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 13．关于x 的方程x 2＋m (1－x )－2(1－x )＝0，下面结论正确的是( )． A ．m 不能为0，否则方程无解 B ．m 为任何实数时，方程都有实数解 C ．当2 初中数学人教版九年级上册实用资料 第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程 1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念． 2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解． 重点 通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题． 难点 一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别． 活动1 复习旧知 1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？ 2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3)1 x ＋1＝0 (4)x 2＝1 3．下列哪个实数是方程2x －1＝3的解？并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动2 探究新知 根据题意列方程． 1．教材第2页 问题1. 提出问题： (1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？ (2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？ (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程． 2．教材第2页 问题2. 提出问题： (1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？ (2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？ (3)如果有x 个队参赛，一共比赛多少场呢？ 3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数． 提出问题： 本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？ 4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？ 活动3 归纳概念 提出问题： (1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？ (2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？ 一元二次方程知识点总结 定义：两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程， 经过整理， 都能化成如下形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项． 注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号. 基本解法 ①直接开平方法: 对于形如的方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解。 ②配方法： (1)现将已知方程化为一般形式； (2)化二次项系数为1； (3)常数项移到右边； (4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式； (5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根． ③公式法: (1)把一元二次方程化为一般式。 (2)确定a,b,c的值。 (3)代入中计算其值，判断方程是否有实数根。 (4)若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。 【小试牛刀】 方程ax2+bx+c=0的根为 ④因式分解法 ·因式分解法解一元二次方程的依据: 如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个0，即:若ab=0，则a=0或b=0。 ·步骤： (1)将方程化为一元二次方程的一般形式。 (2)把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0。 (3)令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程。 (4)解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方程的两个根。 根的判别情况 一元二次方程两根与系数的关系： 21．1 一元二次方程（1） 基础知识梳理 1.只含有 ___个未知数,并且未知数的最高次数是___ 的整式方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式是___________ ,其中ax 2是____________，_____是二次项系数；bx 是__________, _____是一次项系数；_____是常数项。（注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。二次项系数0a ≠是一个重要条件，不能漏掉。） 3.使方程左右两边_____的未知数的值是一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_______, 知识点1 一元二次方程的定义 【例1】判断下列方程是否为一元二次方程： 2222 2(1)10(3)23x 10x x (5)(3)(3)x x -==+=-22 ｘ (2)2(x -1)=3y 12 ｘ－－ (4) －=0 (6)9x =5－4x 知识点2 一元二次方程的一般形式 【例2】将方程（8-2x ）（5-2x ）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 练习1.：将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项： ① 52x -1=4x ② 42x =81 ③－2x 2+1=6x ④ 4x(x+2)=25 ⑤(3x-2)(x+1)=8x-3 知识点3 一元二次方程的解 【例3】已知1是关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋1＝0的一个根，则m 的值是( ) A.1 B.－1 C.0 D.无法确定 练习：2.下面哪些数是方程x 2 +x-12=0的根？ -4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4。 3.你能想出下列方程的根吗？ (1) x 2 -36 = 0 (2) 4x 2 -9 = 0 知识点4 列一元二次方程 4.根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： 1)若两相邻偶数的积为528,设较小的一个偶数为x,则可以列方程____________． 2）如图,在宽为20 m,长30 m 的矩形场地上,修筑同样宽的两条道路,余下的部分作为耕地,要使耕地的面积为500 m 2,若设路宽为x m,则可得关于x 的一元二次方程的一般形式为____________． 3）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x; 4）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x ； 【巩固练习】 5.在下列方程中，一元二次方程有_____________． ①2370x += ②20ax bx c ++= ③（x-2）（x+5）=2x -1 ④25 30x x - = 6． 2230px x p q -+-=是关于x 的一元二次方程，则（ ）． A ．p=1 B ．p>0 C ．p ≠0 D ．p 为任意实数 7.方程22x =3（x-6）化为一般式后二次项系数、?一次项系数和常数项分别是（ ）． A ．2，3，-6 B ．2，-3，18 C ．2，-3，6 D ．2，3，6 8．方程3x 2-3=2x+1的二次项系数为_______，一次项系数为 ______，常数项为_________． 9.已知方程2 390x x m -+=的一个根是1，则m 的值是 ______. 一元二次方程的概念与方程的解 【知识点】： 1、一元二次方程的概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 2、一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式20（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．（其中2是二次项，a 是二次项系数；是一次项，b 是一次项系数； c 是常数项．） 3、一元二次方程的解：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）． 【例题精讲】: 例1、下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是 。 ① k2x + 5k + 6 = 0 ；②2x2 － 43x － 21= 0 ；③3x2 + x 1 － 2 = 0； ④3x2 + 2x －2 = 0；⑤（3－x ）2 = －1；⑥（2x －1）2 = （x －1） （4x + 3）。 例2、若关于x 的方程m x m x m m 4)3()2(2 =+--是一元二次方程，求m 的值。 例3、关于x 的方程x （3x －3）－2x （x －1）－2 = 0，指出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项。 例4、关于x 的一元二次方程（a －1）x2 －x + a2－1 = 0的一根是0，则 a 的值为（ ） A 、1 B 、－1 C 、1或－1 D 、2 1。 【夯实基础练】： 一）、填空题： 1、方程（x －4）2 = 3x + 12的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。 2、（11滨州）若2是关于x 的方程2250x x a --+=的一个根，则a 的值为. 3、已知关于x 的方程5)3(1=-+-x m mx m 是一元二次方程，则m2 = 。 4、（2012惠山区）一元二次方程（1）x22-1=0的一个根为0，则 ． 5、已知关于x 的方程2 + + c = 0（a ≠0）的两根为1和－1，则a + b + ，a －b + c = 。 6、关于x 的方程（k2－1）x2 + 2 （k －1）x + 2k + 2 =0，当k ≠ 时，为一元二次方程；当k = 时，为一元一次方程。 二）、选择题： 1、下列方程中，不是一元二次方程的是（ ） A 、01232=++x x B 、531212-=x C 、011.02=+-x x D 、)2)(1(2-+=+x x x x 2、方程53)3)(3()12(32++-+=-x x x x 化为一般形式后，a 、b 、c 的值分别为 （ ） A 、a = 5，b = 3，c = 5 B 、a = 5，b = －3，c = －5 C 、a = 7，b = 3，c = 5 D 、a =8，b = 6，c = 1 三）、解答题： 一元二次方程全章知识点专题复习 【课标要点】 1. 理解一元二次方程定义； 2. 会解一元二次方程； 3. 会根据根的判别式2 4b ac -判断一元二次方程的根的情况； 4. 会列一元二次方程解决实际问题. , 【知识网络】 ?? ?? ?????解法根的判别式一元二次方程二次三项式的分解因式根与系数的关系实际应用问题 第1讲 一元二次方程的概念 【知识要点】 1、一元二次方程的一般形式：2 00),,,ax bx c a a b c ++=≠（ 其中是常数. 2、在一般式中，当b ＝0时，则有22 0c 00ax c ax bx +=+=或当＝时，则有，这两种情况都是一元二次方程. 【典型例题】 例1 ~ 例2 判断下列关于x 的方程是不是一元二次方程. 222222222 13;(2)50;(3)235;(5)2(3)21; 511(6)33;(7)2;(8)()10;(9)40:1(10)0.(0) x x x xy x x x x x x x x abx a b x x x x px qx m p =-=--==-=+++=-=+++=-+=+++=≠（） 分析：一元二次方程，必须满足：（1）整式方程；（2）含有一个未知数，并且最高次数 是2. 解：方程（1）、（6）、（7）的左边是分式，不属于整式方程，方程（3）含有两个未知数，方程（4）的左边不是整式，方程（5）经整理候，得－6x ＝1，方程（8）中未确定ab≠0，因此，只有（2）、（9）、（10）是一元二次方程. 例3 方程 2 5)(3)(3)50.m m m x m x ---+-+=（ （1） m 为何值时，此方程为一元二次方程 （2） m 为何值时，此方程为一元一次方程 分析：形如0n ax bx c ++=的方程，当n ＝2且a≠0时为一元二次方程；当a ＝0时且b≠0时为一元二次方程. ， 解：（1）当m －2＝2时，m ＝4，这时5)(3)0.m m --≠（当m ＝4时，此方程为一元二 次方程. （2）5)(3)0,20,2m 30m m m m --=->-≠当（为自然数，且－时，方程为一元一次方程.由5)(3)0m 5m 3m m m --=≠（得＝或＝，又因为3，∴当m ＝5时，此方程为一元 一次方程. 例3 为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用了新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2填，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还应再增加多少米（只需列出方程，并整理成一般一元二次方程形式.） 分析：根据题意本题有两个关系式：一是计划每天加固的长度比原计划增加了20米，而是实际完成工程任务所需时间比原计划缩短2天，由时间关系列出方程. 解：设现在计划每天加固河堤x 米，则原来计划每天加固河堤（x －20）米.根据题意德 22402240 220x x -=-，整理，得 22022400x x --= 【知识运用】 " 一、选择题 ? 知识要点 1.一元二次方程 1）方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数为2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2）一元二次方程的一般形式：0c bx ax 2 =++ （a ≠0） 2ax 为二次项，a 为二次项系数； bx 为一次项，b 为一次项系数； c 为常数项。 2.一元二次方程的根。 1）使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 例1.如果2是方程05bx x 2 =++的一个根，则常数b 是多少？ 3.解一元二次方程 1）直接开平方法 （1）若一元二次方程易写为p n x 2 =+）（形式，当p ＞0时，则n p x 1-= ，n p x 2--= 例2.解下列方程 36x 52=+）（ 096x 2 =-+）（ （2）若一元二次方程可写为 p n x 2 =+）（形式，当p=0时，n x x 21-== （3）若一元二次方程可写为 p n x 2 =+）（形式，当p ＜0时，因为实数的平方不会是负数，所以x 取任何实数时，等式都不成立，即原方程无实数根。 2）配方法 （1）通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法。 完全平方公式： 222b ab 2a b a ++=+）（ 2 22b ab 2a b a +-=-）（ 配成完全平方公式：2 2 2 b a b ab 2a ）（+= ++ 2 2 2 b a b ab 2a ）（-=+- 例3.填空 22___)x (____x 10x +=++ 22)6_x (___x 12x =+- 22___)x (___x 5x +=++ 2 2___x 2___x 20x 2）（+=++ 21.1 一元二次方程 一、教学内容：认识一元二次方程 二、教材分析： 教科书先以一个设计人体雕像的实际问题作为开篇，并在第一节又给出两个实际问题，通过建立方程，并引导学生思这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念．在这个过程，通过归纳具体方程的共同特点，定义一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法．一般形式也是对 具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项数”等角度进行 归纳的结果； 三、学情分析： 初中阶段是智力发展的关键年龄，学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随着迅速发展。从年龄特点来看，初中学生好动、好奇、好表现，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住学生这一特点，一方面要运用直观生动的生活实例，激发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。促进学生个性发展。从认知基础上看，学生已经学习了一元一次方程、平方根、因式分解等知识，为本章的学习奠定了基础。学生在利用方程解决实际问题的过程中，会发现仅用这些知识是不能够解决的，因此迫切的需要一元二次方程这个解决问题的工具。 四、教学目标 （一）知识与技能 1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的. 2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式 3.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根 （二）过程与方法 通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活. （三）情感态度价值观 一元二次方程全章测试卷 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案中，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填表在题后的括号中. 1. 关于x 的一元二次方程 ()2 2120a x x -+-=是一元二次方程，则a 满足（ ） A. 1a ≠ B. 1a ≠- C. 1a ≠± D.为任意实数 2．已知一元二次方程已知一元二次方程02 =++c bx ax ，若0=++c b a ，则该方 程一定有一个根为（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 3．用配方法解方程2 250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ．()2 16x += B ．()2 16x -= C ．()229x += D ．()2 29x -= 4．若关于x 的一元二次方程2 210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．1k >- B 。 1k >-且0k ≠ C.。1k < D 。1k <且0k ≠ 5．关于x 的方程2 (6)860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 6．方程2 9180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ） A ．12 B ．12或15 C ．15 D ．不能确定 7．下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是（ ） A ．若x 2 =4，则x=2 B 若3x 2 =6x ，则x=2 C ．02 =-+k x x 的一个根是1，则k=2 D ．若分式 ()x x x 2- 的值为零，则x=2 8． 在创建“国家园林县城”工作中，荣昌县通过切实加强园林绿化的组织管理、规划设计、景观保护、绿化建设、公园建设、生态建设、市政建设等工作，城区的园林绿化得到了长足的发展。到2010年，该县绿化覆盖率达到%，人为了让荣昌的山更绿、水更清，计划2012年实现绿化覆盖率达到53%的目标，设从2010年起我县绿化覆盖率的年平均增长率为x ，则可列方程（ ） A ．(1+2x)=53% B ．(1+2x)=53 C. （1+x ）2=53% D. （1+x ）2 =53% 9．一元二次方程22 (1)230m x x m m -+++-=的一个根为0，则m 的值为（ ） A ：－3 B ：1 C ：1或－3 D ：－4或2 10．设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则2 2a a b ++的值为（ ） A ．2006 B ．2007 C ．2008 D ．2009 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将答案填在题后的横线上. 11．.一元二次方程x 2 =16的解是 ． 12． 若关于x 的一元二次方程2 (3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根 是 ． 13.方程 2(1)5 322 x x -+=化为一元二次方程的一般形式是________,它的一次项系数是 《一元二次方程》全章教案 单元要点分析 教材内容 1．本单元教学的主要内容． 一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题． 2．本单元在教材中的地位与作用． 一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容． 教学目标 1．知识与技能 了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题． 2．过程与方法 （1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．?根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念． （2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等． （3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，?导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程． （4）通过用已学的配方法解ax2+b x+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0． （5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它． （6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，?并用该模型解决实际问题． 3．情感、态度与价值观 经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣． 教学重点 1．一元二次方程及其它有关的概念． 2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程． 3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题． 教学难点 1．一元二次方程配方法解题． 2．用公式法解一元二次方程时的讨论． 3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键 1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型． 2．用配方法解一元二次方程的步骤． 3．解一元二次方程公式法的推导． x 21．1 一元二次方程（1） 学习目标： 了解一元二次方程的概念；一般式ax 2+bx+c=0（a ≠0）及其派生的概念；?应用一元二次方程概念解决一些简单题目． 1．通过设置问题，建立数学模型，?模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义． 2．一元二次方程的一般形式及其有关概念． 3．解决一些概念性的题目． 4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 重难点： 重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题． 难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念． 活动1 ：阅读教材第2至3页，并完成以下内容。 问题1 要设计一座2m 高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？ 分析：设雕像下部高x m ，则上部高________,得方程 _____________________________ 整理得 _____________________________ ① 问题2 如图，有一块长方形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c ㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为________________,宽为_____________.得方程 _____________________________ 整理得 _____________________________ 问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为___________ 设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1 场，所以全部比赛共 一元二次方程全章教案华东师大版 23.1 一元二次方程 教学目标： 1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式 02=++c bx ax （a ≠0）2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转 化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。3、会用试验的方法估计一元二次方程的解。 重点难点： 1．一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。 2． 理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。 教学过程： 一 做一做： 1．问题一 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 分 析：设长方形绿地的宽为x 米，不难列出方程 x(x ＋10)＝900 整理可得 x 2＋10x －900=0. （1） 2．问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 解：设这两年的年平均增长率为x ，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x ）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x ）倍，即5（1＋x ）(1＋x)＝5(1＋x)2万册.可列得方程 5（1＋x ）2=7.2, 整理可得 5x 2＋10x －2.2=0. （2） 3．思考、讨论 这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ （ 学生分组讨论，然后各组交流 ）共同特点：（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2 二、 一元二次方程的概念 上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式： ax 2＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c 是已知数，a ≠0)。 其中2 ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。. 三、 例题讲解与练习巩固 1．例1下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。 （1）3523-=+x x （2）42=x （3）2 112x x x =-+- （4）22)2(4+=-x x 2．例2 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项： 一元二次方程 内容简介：1. 了解一元二次方程的定义及一元二次方程的一般形式：2 0(0)ax bx c a ++=≠. 2. 掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活运用.3. 掌握一元二次方程根的判别式，并能运用它解相应问题.4. 掌握一元二次方程根与系数的关系，会用它们解决有关问题.5. 会解一元二次方程应用题. 知识点一：一元二次方程的定义及一般形式 【知识要点】 一元二次方程的一般形式：2 0(0)ax bx c a ++=≠ 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132 +=+x x B 021 12=-+x x C 02 =++c bx ax D 122 2 +=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程322 2 +=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 针对练习： 1、方程782 =x 的一次项系数是 ，常数项是 。 2、若方程()112 =?+ -x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 知识点二：一元二次方程的解 【知识要点】 1、 当已知一元二次方程的一个根时，要熟练地将这个根代入原方程，并灵活运用得到的等式。 2、 在2 0(0)ax bx c a ++=≠中，x 取特殊值时，a 、b 、c 之间满足的关系式。 例1、已知322 -+y y 的值为2，则1242 ++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()0422 2 =-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax b c a =+ 一元二次方程检测卷 一、选择题：(每小题2分,共20分) 1.下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x2=8 (a≠0) B.ax2+bx+c=0 2 23x 2 0 572.已知一元二次方程ax+c=0(a≠0),若方程有解,则必须有C等于( ) A.-11 B.-1 C. D.不能确定 22 23.若关于x的方程ax+2(a-b)x+(b-a)=0有两个相等的实数根,则a:b等于( ) A.-1或2 B.1或11 C.- 或1 D.-2或1 22 4.若关于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有实根,则k的取值范围是( ) 7777 B.k≥- 且k≠0 C.k≥- D.k> 且k≠0 4444 11111 a 5.已知方程x a 的两根分别为a,, 则方程x 的根是( ) xaax 1a 1 - 111aA.a, B.a 1, C.a 1, D.a, a 1a 1aa 1A.k> 6.关于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0的两个实数根之和大于-4,则k的取值范围是( ) A.k>-1 B.k<0 C.-1 初中数学《一元二次方程》全章讲义 内容简介：1. 了解一元二次方程的定义及一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠. 2. 掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活运用. 3. 掌握一元二次方程根的判别式，并能运用它解相应问题. 4. 掌握一元二次方程根与系数的关系，会用它们解决有关问题. 5. 会解一元二次方程应用题. 知识点一：一元二次方程的定义及一般形式 【知识要点】 一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠ 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 针对练习： 1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。 2、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 知识点二：一元二次方程的解 【知识要点】 1、 当已知一元二次方程的一个根时，要熟练地将这个根代入原方程，并灵活运用得到的等式。 2、 在2 0(0)ax bx c a ++=≠中，x 取特殊值时，a 、b 、c 之间满足的关系式。 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()0422 2=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582 =+-m x x 的两个根，则m 的值为 。 一元二次方程全章检测卷 一、选择题：(每小题2分,共20分) 1.下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x2=8 (a≠0) B.ax2+bx+c=0 2 3 20 57 x +-= 2.已知一元二次方程ax2+c=0(a≠0),若方程有解,则必须有C等于( ) A.-1 2 B.-1 C. 1 2 D.不能确定 3.若关于x的方程ax2+2(a-b)x+(b-a)=0有两个相等的实数根,则a:b等于( ) A.-1或2 B.1或1 2 C.- 1 2 或1 D.-2或1 4.若关于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有实根,则k的取值范围是( ) A.k>-7 4 B.k≥- 7 4 且k≠0 C.k≥- 7 4 D.k> 7 4 且k≠0 5.已知方程 11 x a x a +=+的两根分别为a, 1 a , 则方程 11 11 x a x a +=+ -- 的根是( ) A. 1 , 1 a a- B. 1 1, 1 a a - - C. 1 1, a a - D., 1 a a a- 6.关于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0的两个实数根之和大于-4,则k的取值范围是( ) A.k>-1 B.k<0 C.-1 第二章 一元二次方程 2.1认识一元二次方程-（1） 晋公庙中学数学组 学习目标： 1、会根据具体问题列出一元二次方程。通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的分析，列出方程，体会方程的模型思想， 2．通过分析方程的特点，抽象出一元二次方程的概念，培养归纳分析的能力 3．会说出一元二次方程的一般形式，会把方程化为一般形式。 学习重点：一元二次方程的概念 学习难点：如何把实际问题转化为数学方程 学习过程： 一、导入新课： 什么是一元一次方程？什么是二元一次方程？？ 二、自学指导： 1、自主学习： 自学课本31页至32页内容，独立思考解答下列问题： 1）情境问题：列方程解应用题：一个面积为120 m 2 的矩形苗圃，它的长比宽多2m 。苗圃的长和宽各是多少？设未知数列方程。 你能将方程化成ax 2 +bx+c=0的形式吗？ 阅读课本P48，回答问题： 1）什么是一元二次方程？ 2）什么是一元二次方程的一般形式？二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项？ 2、合作交流： 1.一元二次方程应用举例： 1）一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m ，宽为5m ，如果地毯中央长方形图案的面积为18m 2 ，那么花边有多宽列 方程并化成一般 形式。 2）求五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。 如果设中间的一个数为x ，列 方程并化成一般形式。 3）如图，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8m ，如果梯子的顶端下滑1m ，那么梯子的底端滑动多少米 列出方程并化简。 如果设梯子底端滑动x m ，列 方程并化成一般形式。 2.知识梳理： 1）一元二次方程的概念： 强调三个特征：①它是______方程；②它只含______未知数；③方程中未知数的最高次数是__________. 一元二次方程的一般形式： 在任何一个一元二次方程中，_______是必不可少的项． 2）几种不同的表示形式： ①ax 2 +bx+c=0 (a ≠0,b ≠0,c ≠0) ② ___________ (a ≠0,b ≠0,c=0) ③____________ (a ≠0,b=0,c ≠0) ④___________ (a ≠ 0,b=0,c=0) 8初中数学人教版九年级上册：第21章《一元二次方程》全章教案
一元二次方程知识点总结(全章齐全)
一元二次方程(全章)学习资料
一元二次方程全章讲义
人教版九年级数学-一元二次方程全章知识点专题复习(含答案)
(完整版)一元二次方程全章讲义
九年级数学： 第21章一元二次方程全章教案
一元二次方程全章测试题87467
《一元二次方程》全章教案
一元二次方程全章导学案
一元二次方程全章教案华东师大版教学文稿
一元二次方程全章复习讲义
一元二次方程全章检测卷(含答案).
初中数学《一元二次方程》全章讲义
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新北师大版九年级上册一元二次方程全章教案