复 数
复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点,并且一般在前三题的位置,主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算,难度较小. 【复习指导】
1.复习时要理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共轭复数等,以及复数的几何意义. 2.要把复数的基本运算作为复习的重点,尤其是复数的四则运算与共轭复数的性质等.因考题较容易,所以重在练基础。
基础梳理
1.复数的有关概念 (1)复数的概念
形如a +b i (a ,b ∈R )的数叫作复数,其中a ,b 分别是它的实部和虚部.若b =0,则a +b i 为实数,若b ≠0,则a +b i 为虚数,若a =0且b ≠0,则a +b i 为纯虚数. (2)复数相等:a +b i =c +d i ?a =c 且b =d (a ,b ,c ,d ∈R ). (3)共轭复数:a +b i 与c +d i 共轭?a =c ,b =-d (a ,b ,c ,d ∈R ). (4)复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面,叫作复平面.x 轴叫作实轴,y 轴叫作虚轴.实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数;各象限内的点都表示非纯虚数. (5)复数的模
向量OZ →的模r 叫作复数z =a +b i 的模,记作__|z |__或|a +b i|,即|z |=|a +b i|=a 2+b 2. 2.复数的几何意义
(1)复数z =a +b i(a ,b ∈R )的模|z |=a 2+b 2,实际上就是指复平面上的点Z 到原点O 的距离;|z 1-z 2|的几何意义是复平面上的点Z 1、Z 2两点间的距离.
(2)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ → 相互联系,即z =a +b i(a ,b ∈R )?Z (a ,b )?OZ →
.
3.复数的四则运算
设z 1=a +b i ,z 2=c +d i(a ,b ,c ,d ∈R ),则 (1)加法:z 1+z 2=(a +b i)+(c +d i)=(a +c )+(b +d )i ; (2)减法:z 1-z 2=(a +b i)-(c +d i)=(a -c )+(b -d )i ; (3)乘法:z 1·z 2=(a +b i)·(c +d i)=(ac -bd )+(ad +bc )i ;
(4)除法:z 1z 2
=a +b i c +d i =(a +b i )(c -d i )(c +d i )(c -d i )=(ac +bd )+(bc -ad )i c 2+d 2(c +d i ≠0).
一条规律
任意两个复数全是实数时能比较大小,其他情况不能比较大小. 两条性质
(1)i 4n =1,i 4n +1=i ,i 4n +2=-1,i 4n +3=-i ,i n +i n +1+i n +2+i n +3=0(各式中n ∈N ). (2)(1±i)2=±2i ,
1+i 1-i =i ,1-i
1+i
=-i. 双基自测
1.复数
-i
1+2i
(i 是虚数单位)的实部是( ). A.15 B .-15 C .-15i D .-25
答案 D 解析 -i 1+2i =-i (1-2i )(1+2i )(1-2i )
=-2-i 5=-25-1
5i.
2.设i 是虚数单位,复数
1-3i
1-i
=( ). A .2-i B .2+i C .-1-2i D .-1+2i
答案 A 解析
1-3i 1-i =12
(1-3i)(1+i)=1
2(4-2i)=2-i.
3.若a ,b ∈R ,i 为虚数单位,且(a +i)i =b +i ,则( ). A .a =1,b =1 B .a =-1,b =1 C .a =1,b =-1
D .a =-1,b =-1
答案 C 解析 由(a +i)i =b +i ,得:-1+a i =b +i ,根据复数相等得:a =1,b =-1.
4.设复数z 满足(1+i)z =2,其中i 为虚数单位,则z =( ). A .2-2i B .2+2i C .1-i D .1+i
答案 C 解析 z =2
1+i =2(1-i )(1+i )(1-i )
=2(1-i )2=1-i.
5、如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是( ) (A )A (B )B (C )C (D )D 题型一 复数的概念
例1 (1)已知a ∈R ,复数z 1=2+a i ,z 2=1-2i ,若z 1z 2为纯虚数,则复数z 1
z 2的虚
部为( )
y
x
D
B
A O
C
A .1
B .i
C.25
D .0
(2)若z 1=(m 2+m +1)+(m 2+m -4)i(m ∈R ),z 2=3-2i ,则“m =1”是“z 1=z 2”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件
D .既不充分又不必要条件
思维启迪:(1)若z =a +b i(a ,b ∈R ),则b =0时,z ∈R ;b ≠0时,z 是虚数;a =0且b ≠0时,z 是纯虚数.
(2)直接根据复数相等的条件求解.
答案 (1)A (2)A
解析 (1)由z 1z 2=2+a i 1-2i =(2+a i )(1+2i )5=2-2a 5+4+a 5i 是纯虚数,得a =1,此时z 1
z 2
=i ,其虚部为1.
(2)由?
????
m 2
+m +1=3m 2+m -4=-2, 解得m =-2或m =1,
所以“m =1”是“z 1=z 2”的充分不必要条件.
(1)若复数z =(x 2-1)+(x -1)i 为纯虚数,则实数x 的值为________. (2)设复数z 满足z (2-3i)=6+4i(i 为虚数单位),则z 的模为________.
答案 (1)-1 (2)2
解析 (1)由复数z 为纯虚数, 得?
????
x 2
-1=0
x -1≠0,解得x =-1,故选A.
(2)方法一 ∵z (2-3i)=6+4i ,∴z =6+4i 2-3i =26i
13
=2i , ∴|z |=2.
方法二 由z (2-3i)=6+4i ,得z =6+4i 2-3i . 则|z |=??????6+4i 2-3i =
|6+4i||2-3i|=62+4222+(-3)2
=2.
考向二 复数的几何意义
【例2】?在复平面内,复数6+5i ,-2+3i 对应的点分别为A ,B ,若C 为线段AB 的中点,则点C 对应的复数是( ).
A .4+8i
B .8+2i
C .2+4i
D .4+i
解析 复数6+5i 对应的点为A (6,5),复数-2+3i 对应的点为B (-2,3).利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2,4),故点C 对应的复数为2+4i. 答案 C 【训练2】 复数1+i 1-i +i 2 012
对应的点位于复平面内的第________象限.
解析
1+i 1-i
+i 2 012
=i +1.故对应的点(1,1)位于复平面内第一象限.答案 一 考向三 复数的运算
【例3】? ①已知复数z =3+i
(1-3i )2
,则|z |= 。
②设复数z 满足
1+z
1z
-=i ,则|z |= 。 【答案】 ② 1
【训练3】① i 为虚数单位,则20191-1)(i i += 。
②设复数z 满足:
i i
z 2-12
=+,则z = 。 ③设复数z 满足:i z z +=+2,则z = 。
【答案】 ① i i i i ==+20192019-1
-1)()( ③i +43
课堂练习
一、选择题
错误!未指定书签。 1.
2
1i
=+( ) (A )22 (B )2 (C )2 (D )1
【答案】C
22(1)2(1)
11(1)(1)2
i i i i i i --===-+-+,所以
221i =+,选C. 2错误!未指定书签。 .复数z=i·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于___ ____ ( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
【答案】B 。()2
11z i i i i i =+=+=-+,对应点的坐标为(1,1)-,位于第二象限,选B.
3错误!未指定书签。 .如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是
( )
A .A
B .B
C .C
D .D
【答案】B bi a z +=则0b ,bi a z -=,则0 4错误!未指定书签。 .复数)()2(2 为虚数单位i i i z -=,则=||z ( ) A .25 B .41 C .5 D .5 【答案】C 3443i z i i -= =--,所以||5z =,故选C. 5错误!未指定书签。.设i 是虚数单位,若复数10 ()3a a R i -∈-是纯虚数,则a 的值为 ( ) A .-3 B .-1 C .1 D .3 【答案】D 6错误!未指定书签。.若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi + 的模是 ( ) A .2 B .3 C .4 D .5 【答案】D 二、填空题 1错误!未指定书签。.已知复数12z i =+(i 是虚数单位),则 z =____________. 【答案】5 2错误!未指定书签。.设m ∈R ,()2 221i m m m +-+-是纯虚数,其中i 是虚数单位,则m =________. 【答案】2m =- 3错误!未指定书签。.i 为虚数单位,设复数1z ,2z 在复平面内对应的点关于原点对称,若123i z =-,则 2z =__________. 【答案】223z i =-+ 复数精编训练 1、112 -+ ?? ? ? ?i i 的值等于( ) A .-1 B .1 C .i D .-i 【答案】A 2、设复数z 满足()()225z i i --=,则z =( ) A .23i + B .23i - C .32i + D .32i - 【答案】A 3、复数321 i z i i = +-(i 为虚数单位)的共轭复数为( ) A .12i - B .12i + C .1i - D .1i - 【答案】B 4、i 是虚数单位,若 21i a bi i +=++(,)a b R ∈,则lg()a b +的值是 A 、2- B 、1- C 、0 D 、1 2 【答案】C 5、若a 为实数,且 12ai i i +=-,则a = A.2- B.1 C.1- D.2 【答案】D 6、已知i 为虚数单位,则复数 112112 i i -+在复平面所对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 【答案】D 7、已知i 为虚数单位,R a ∈,若 i a i +-2为纯虚数,则复数i a z 2)12(++=的模等于( ) A .2 B .3 C .6 D .11 【答案】C 8、若复数 4()1bi b R i +∈+的实部与虚部互为相反数,则b =__________ 【答案】0b = 9、若i a z 21+=,234z i =-,且 2 1 z z 为纯虚数,则实数a 的值为_________. 【答案】83