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考点36 直线、平面垂直的判定及其性质

考点36 直线、平面垂直的判定及其性质
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考点36 直线、平面垂直的判定及其性质

一、选择题

1.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T4)已知m,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m,l ⊥n,l ?α,l ?β,则 ( ) A.α∥β且l ∥α B.α⊥β且l ⊥β

C.α与β相交,且交线垂直于l

D.α与β相交,且交线平行于l

【解析】选D 因为m,n 为异面直线,所以过空间内一点P,作//,//m m n n '',则

,l m l n ''⊥⊥,即l 垂直于m '与n '确定的平面γ,又m ⊥平面α,n ⊥平面β,所以m '⊥平面α

,n '⊥平面β,所以平面γ既垂直平面α,又垂直平面β,所以α与β

相交,且交线垂直于平面γ,故交线平行于l ,选D.

2.(2013·浙江高考文科·T4)设m,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面 ( )

A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥n

B.若m ∥α,m ∥β,则α∥β

C.若m ∥n,m ⊥α,则n ⊥α

D.若m ∥α,α⊥β,则m ⊥β 【解题指南】根据线、面平行、垂直的定义与性质判断.

【解析】选C. A 选项中m 与n 还有可能相交或异面;B 选项中α与β还有可能相交;D 选项中m 与β还有可能平行或m ?β.

3. (2013·山东高考理科·T4)已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,体积为4

9 ,底面积是边长为3的正三角形,若P 为底面A 1B 1C 1的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为 ( )

A.

125π B.3π C.4π D.6

π 【解题指南】本题考查直线与平面所成的角,注意线面角的做法:垂-连-证-求.

【解析】选 B. 取正三角形ABC 的中心O ,连结OP ,则PAO ∠是PA 与平面ABC 所成的角.

因为底面边长为

3

22

AD ==,2231332AO AD ==?=.三棱柱的体积

2119

2

4

AA ?=,解得1AA 1

OP AA ==所以tan OP PAO OA ∠==即3

PAO π

∠=

.

4. (2013·大纲版全国卷高考文科·T11)与(2013·大纲版全国卷高考理科·T10)相同

已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中,则与平面所成角的正弦值等于( )

A.2

3

B.

3 C.3

D.13

【解题指南】利用体积相等法求出三棱锥1BDC C -的高为h 即可确定CD 与平面1BDC 所成角的正弦值.

【解析】选A.如图,设a AB =,则a AA 21=,三棱锥1BDC C -的高为h ,CD 与平面1BDC 所成的角为α.

因为BDC C BDC C V V --=1

1

,即a a ah a 22

1

31223221312??=?

??,解得a h 32=.所以

3

2

sin ==

CD h α. 5.(2013·浙江高考理科·T10)在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B,记B=f π(A).设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P,Q 1=f β[f α(P)],Q 2=f α[f β(P)],恒有PQ 1=PQ 2,则 ( ) A.平面α与平面β垂直

B.平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°

C.平面α与平面β平行

D.平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°

【解题指南】充分理解题意,依据立体几何中的面面之间的位置关系判断. 【解析】选A.由于P 是空间任意一点,不妨设P ∈α,如图所示,

则Q 1=f β[f α(P)]=f β(P),Q 2=f α[f β(P)]=f α(Q 1),又PQ 1=PQ 2,显然B,C,D 不满足,故选A. 二、解答题

6. (2013·重庆高考文科·T19)如图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,

PA =2BC CD ==,

3

ACB ACD π

∠=∠=

(Ⅰ)求证:BD ⊥平面PAC ;

(Ⅱ)若侧棱PC 上的点F 满足7PF FC =,求三棱锥P BDF -的体积. 【解题指南】直接利用线面垂直的判定定理证明BD ⊥平面PAC ,通过转化可求解三棱锥的体积.

【解析】(Ⅰ)证明:因CD BC =,即BCD ?为等腰三角形,又ACD ACB ∠=∠,故

AC BD ⊥.因为PA ⊥底面ABCD ,所以BD PA ⊥.从而BD 与平面PAC 内两条相交

直线AC PA ,都垂直,所以BD ⊥平面PAC . (Ⅱ)三棱锥BCD P -的底面BCD 的面积

.33

2sin 2221sin 21=???=∠??=

?πBCD CD BC S BCD 由PA ⊥底面ABCD ,得.23233

1

31=??=?=?-PA S V BCD BCD P

由FC PF 7=,得三棱锥BCD F -的高为PA 8

1

,故

.4

1

32813318131=???=?=?-PA S V BCD BCD F

所以.47

412=-=-=---B CD F B CD P B DF P V V V

7.(2013·广东高考文科·T18)如图①,在边长为1的等边?ABC 中,,D E

分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,

AF 与DE 交于点G ,将A B F ?

沿AF 折起,得到如图②所示的三棱锥A BCF -,其中2

BC =

① ②

(1) 证明:DE //平面BCF ; (2) 证明:CF ⊥平面ABF ;

(3) 当2

3

AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.

【解题指南】本题以折叠问题为背景,考查线面平行与垂直的证明及空间几何体体积的求法,对于立体几何中的折叠问题要注意折叠前后变与不变量.

【解析】(1)在等边ABC ?中,AD AE =,所以

AD AE

DB EC =, 在折叠后的三棱锥A BCF -中也成立,所以//DE BC . 因为DE ?平面BCF ,BC ?平面BCF ,所以//DE 平面BCF ;

(2)在等边?ABC 中,F 是BC 的中点,所以AF BC ⊥①,12

BF CF ==.

因为在三棱锥A BCF -中,BC =

,所以222,BC BF CF CF BF =+⊥② 因为BF CF F ?=,所以CF ⊥平面ABF ;

(3)由(1)可知//GE CF ,结合(2)可得GE ⊥平面DFG .

11111113232333F DEG E DFG V V DG FG GE --?==????=????= ??8. (2013·辽宁高考文科·T18)如图, AB 是圆O 的直径,PA 垂直圆O 所在的平面,C 是圆O 上的点.

()I求证:平面PAC⊥平面PBC;

()II设Q为PA的中点, G为AOC

△的重心,求证: QG∥平面PBC.

【解题指南】利用条件证明线线垂直,进而证明线面垂直;借助线线平行去证明线面平行,再由面面平行的性质得到线面平行。

【证明】()I由AB是圆的直径,得AC BC

⊥;

由PA垂直于圆所在的平面,得PA⊥平面ABC;又BC?平面ABC,得PA BC

⊥;又,,

平面平面

PA AC A PA PAC AC PAC

=??

所以BC PAC

⊥平面

()II连接OG并延长交AC于M,

连接,

QM QO

由G为AOC

△的重心,知M为AC的中点,

由Q为PA的中点,则QM∥PC,

又因为QM?平面PBC,PC?平面PBC

所以QM∥平面PBC

又由O为AB的中点,则OM∥BC,同理可证,OM∥平面PBC

因为QM OM M

=,QM?平面QMO,OM?平面QMO,

所以,据面面平行的判定定理,平面QMO∥平面PBC

又QG?平面QMO,故QG∥平面PBC.

9.(2013·大纲版全国卷高考文科·T19)

如图,四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==??中,,与都是边长为

2的等边三角形.

(I )证明:;PB CD ⊥

(II )求点.A PCD 到平面的距离

【解析】(I )取BC 的中点E ,连结DE ,则四边形ABED 为正方形.

过P 作⊥PO 平面ABCD ,垂足为O . 连结OA ,OB ,OD ,OE .

由PAB ?和PAD ?都是等边三角形知

PD PB PA ==,

所以OD OB OA ==,即点O 为正方形ABED 对角线的交点, 故BD OE ⊥,从而OE PB ⊥.

因为O 是BD 的中点,E 是BC 的中点,所以OE ∥CD , 因此PB CD ^.

(II )取PD 的中点F ,连结OF ,则OF ∥PB . 由(I )知,CD PB ⊥,故CD OF ⊥. 又22

1==BD OD ,222=-=OD PD OP , 故POD ?为等腰三角形,因此PD OF ⊥. 又D CD PD = ,所以⊥OF 平面PCD .

因为AE ∥CD ,?CD 平面PCD ,?AE 平面PCD ,所以AE ∥平面PCD . 因此O 到平面PCD 的距离OF 就是A 到平面PCD 的距离,而12

1==PB OF ,

所以A 到平面PCD 的距离为1. 10. (2013·四川高考文科·T19)

如图,在三棱柱11ABC A B C -中,侧棱1AA ⊥底面ABC ,122AB AC AA ===,

120BAC ∠=,1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点,P 是

线段AD 上异于端点的点。

(1)在平面ABC 内,试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ,说明理由,并证明直线l ⊥平面11ADD A ; (2)设(1)中的直线l 交AC 于点Q ,求三棱锥

11A QC D -的体积。(锥体体积公式:1

3

V Sh =,其中S 为底面面积,h 为高)

【解题指南】本题第(1)问求解时要首先明确证明直线与平面垂直的定理需要满足的条件,在第(2)问的求解过程中要注意等体积法的转化. 【解析】(1)如图

,

在平面ABC 内,过点P 作直线l ∥BC,因为l 在平面A 1BC 外,BC 在平面A 1BC 内,由直线与平面平行的判定定理可知,l ∥平面A 1BC.由已知,AB=AC,D 是BC 的中点,所以,BC ⊥AD,则直线l ⊥AD. 因为AA 1⊥平面ABC,所以AA 1⊥直线l.

又因为AD,AA 1在平面ADD 1A 1内,且AD 与AA 1相交, 所以直线l ⊥平面ADD 1A 1. (2)过D 作DE ⊥AC 于E.

因为AA 1⊥平面ABC,所以DE ⊥AA 1,

1

C

又因为AC,AA 1在平面AA 1C 1C 内,且AC 与AA 1相交, 所以DE ⊥平面AA 1C 1C.

由AB=AC=2,∠BAC=120°,有AD=1,∠DAC=60°,

所以在ACD ?中,DE AD =

=

又1

1

111112

A QC S AC AA ?=?=,

所以1

1

1

1

1

1

11133A QC D D A QC A QC V V DE S --?==?=?

因此三棱锥11A QC D -的体积是

11. (2013·天津高考文科·T17)如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧棱A 1A ⊥底面ABC,且各棱长均相等.D,E,F 分别为棱AB,BC,A 1C 1的中点.

(1)证明EF ∥平面A 1CD. (2)证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1.

(3)求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值.

【解题指南】(1)连接ED,通过证明四边形A 1DEF 为平行四边形,得出EF ∥A 1D,以证明EF ∥平面A 1CD.

(2)由侧棱A 1A ⊥底面ABC 证明A 1A ⊥CD,再由三角形ABC 为等边三角形得出CD ⊥AB,以证明CD ⊥平面A 1ABB 1,进而证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1. (3)根据(2)的结论,过点B 作A 1D 的垂线,以作出直线BC 与平面A 1CD 所成角,化归到直角三角形中求解.

【解析】(1)如图,

在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AC ∥A 1C 1,且AC=A 1C 1,连接ED,在△ABC 中,因为D,E 分别为AB,BC 的中点,所以DE=错误!未找到引用源。AC 且DE ∥AC,又因为F 为A 1C 1的中点,可得A 1F=DE,且A 1F ∥DE,即四边形A 1DEF 为平行四边形,所以EF ∥DA 1,又EF ?平面A 1CD,DA 1?平面A 1CD,所以EF ∥平面A 1CD.

(2)由于△ABC 是正三角形,D 为AB 的中点,故CD ⊥AB,又由于侧棱A 1A ⊥底面ABC,CD ?平面ABC,所以A 1A ⊥CD,又A 1A ∩AB=A,因此CD ⊥平面A 1ABB 1,而CD ?平面A 1CD,所以平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1.

(3)在平面A 1ABB 1内,过点B 作BG ⊥A 1D 交直线A 1D 于点G,连接CG.由于平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1,而直线A 1D 是平面A 1CD 与平面A 1ABB 1的交线,故BG ⊥平面A 1CD,由此得∠BCG 为直线BC 与平面A 1CD 所成的角.

设棱长为a,可得A 1D=错误!未找到引用源。,由△A 1AD ∽△BGD,易得BG=错

误!未找到引用源。,在Rt △BGC 中, sin ∠==BG BCG BC 所以直线BC 与平面

A 1CD 所成角的正弦值为

12.(2013·浙江高考文科·T20)如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=错误!未找到引用源。,PA=错误!未找到引用源。,∠ABC=120°,G 为线段PC 上的点.

(1)证明:BD⊥面PAC.

(2)若G为PC的中点,求DG与平面PAC所成的角的正切值.

(3)若G满足PC⊥平面BGD,求错误!未找到引用源。的值. 【解题指南】(1)证明线面垂直可以根据定义证明;

(2)首先要找出DG与平面PAC所成的角,再在三角形中去解决;

(3)根据线面垂直的性质求解.

【解析】(1)设点O为AC,BD的交点,

由AB=BC,AD=CD,得BD是线段AC的中垂线.

所以O为AC的中点,BD⊥AC.

又因为PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,

所以PA⊥BD,

所以BD⊥平面APC.

(2)连结OG,由(1)可知OD⊥平面APC,

则DG在平面APC内的射影为OG,

所以∠OGD是DG与平面APC所成的角.

由题意得12

2

OG PA ==

在△ABC 中,AC ==

所以1

2

OC AC =

=

在Rt △OCD 中,2OD ==

在Rt △OGD 中,tan OD OGD OG ∠=

=

所以DG 与平面APC 所成角的正切值为

(3)连结OG.因为PC ⊥平面BGD,OG ?平面BGD, 所以PC ⊥OG,

在Rt △PAC 中,得PC =

所以AC OC GC PC ?==

,从而PG = 所以

32

PG GC = 13.(2013·江苏高考数学科·T16) 如图,在三棱锥S-ABC 中,平面SAB ⊥平面SBC,AB ⊥BC,AS=AB,过A 作AF ⊥SB,垂足为F,点E,G 分别是棱SA,SC 的中点.

求证:(1)平面EFG∥平面ABC.

(2)BC⊥SA.

【解题指南】(1)利用面面平行的判定定理证明.(2)先证线面垂直再证线线垂直.

【证明】(1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EF∥AB.

因为EF?平面ABC,AB?平面ABC,

所以EF∥平面ABC.

同理EG∥平面ABC.

又因为EF∩EG=E,

所以平面EFG∥平面ABC.

(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,又因为AF?平面SAB,AF⊥SB,

所以AF⊥平面SBC,因为BC?平面SBC,

所以AF⊥BC.

又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF?平面SAB,AB?平面SAB,所以BC⊥平面SAB. 又因为SA?平面SAB,所以BC⊥SA.

14.(2013·湖南高考文科·T17)如图.在直菱柱ABC-A1B1C1中,

∠BAC=90°,AB=AC=错误!未找到引用源。,AA1=3,D是BC的中点,点E 在棱BB1上运动。

(I ) 证明:AD ⊥C 1E ;

(II ) 当异面直线AC ,C 1E 所成的角为60°时,求三棱锥C 1-A 2B 1E 的体积

【解题指南】证明两异面直线垂直,一般是先转化成线面垂直,后再证线线垂直。求三棱锥的体积关键是确定高和E B 1的长度

【解析】(I )证明:因为AB=AC ,D 是BC 的中点,所以BC AD ⊥ ① 又在直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中,ABC BB 平面⊥1, 而ABC AD 平面?, 所以1BB AD ⊥ ② 由①②可得C C BB AD 11平面⊥,因为点E 在棱BB 1上运动。 得C C BB E C 111平面?, 所以AD ⊥C 1E 。

(II)因为11//C A AC ,所以E C A 11∠是异面直线E C AC 1,所成的角,所以

01160=∠E C A ,因为011190=∠=∠BAC C A B ,所以1111B A C A ⊥,

又111C A AA ⊥,从而1111ABB A C A 平面⊥,于是E A C A 111⊥ 故2260

cos 0

1

11==

C A E C ,又211=C B ,所以21=E B 从而3

2222213131111

11

11

=????=?=?-C A S V E B A E B A C

15.(2013·江西高考文科·T19)如图,直四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中,AB//CD ,AD ⊥AB ,AB=2,AD=

错误!未找到引用源。,AA 1=3,E

为CD 上一点,DE=1,

EC=3.

(1)证明:BE ⊥平面BB 1C 1C; (2)求点B 1 到平面EA 1C 1 的距离.

【解题指南】(1)利用线面垂直的判定定理证明线面垂直,必须先证两个线线垂直,本题中易得1BE BB ⊥,只需借助长度关系证另一条即可;(2)三棱锥的点面距常利用等体积法.

【解析】(1)证明:过点B 作CD 的垂线交CD 于点F ,则

FC=2.在

Rt BFE 中,在Rt

CFB 中,在BEC 中,因为222BE BC 9EC +==,

所以BE BC ⊥,又由1BB ⊥平面ABCD 得1BE BB ⊥,又BB 1∩BC=B,故BE ⊥平面BB 1C 1C.

(2)

111

111

E A B C

1A B C 1

V AA S 3

-=?在111Rt A D C 中,11A C ==

同理,

11EC E ====则11A C E

S =设点

1B 到平面11EA C 的距离为d ,则三棱锥B 1-EA 1C 1的体积为11

A C E 1V d S 3

=??

从而

==

16.(2013·安徽高考理科·T19)如图,圆锥顶点为p 。底面圆心为O ,其母线与底面所成的角为22.5°.AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦,轴OP 与平面PCD 所成的角为60°,

(1)证明:平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面; (2)求cos COD D。

【解题指南】(1)证明平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面上的直线AB ;(2)取CD 的中点F ,得到OPF D为OP 与面PCD 所成的角,在Rt OFC D 中,求出cos COF D,即可得出cos cos(2)COD COF ??。

【解析】(1)设平面PAB 与平面PCD 的交线为l ,因为AB//CD,AB 不在面PCD 内,所以AB//面PCD,又因为AB PAB ì面,面PAB 与面PCD 的交线为l ,所以AB//l ,由直线AB 在底面上而l 在底面外可知,l 与底面平行。 (2)设CD 的中点为F ,连接OF,PF,由圆的性质,2,COD COF OF CD ?衈,

因为O P

C D ^?底面,底面,所以,O P

C D O P O F O

C D O P

^?^,又故面,

又CD ì底面,因此OPF ^面面PCD ,从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF ,故OPF

D为OP 与面PCD 所成的角,由题设知,0=60OPF D,设OP=h ,

0tan .tan60OF OP OPF h =?,根据题设有022.5OCP ?,得

0t a n

t a n 22.5O P h OC OCP ==

D,由00

020

2tan 22.51tan 45tan 22.501tan 22.5

==>-和,可解得

0tan 22.5。因此1)

OC h =

=,在OF Rt OCF OC

D ?中,cos COF=

=

=,故cos cos(2)

COD

COF ??=

222cos 1117COF ?=-=-17.(2013·安徽高考文科·T18) 如图,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边

长为2的菱形,∠BAD=600。已知PB=PD=2,PA=

(1)证明:PC ⊥BD

(2)若E 为PA 的中点,求三菱锥P-BCE 的体积。

【解题指南】 (1)通过证明BD ⊥平面APC 得PC ⊥BD ;(2)转化为

11

22

P BCE C PEB C PAB B APC V V V V ----===求解。

【解析】(1)连接AC,交BD 于O 点,连接PO,因为底面ABCD 是菱形,所以AC ⊥BD,BO=DO,由PB=PD 知,PO ⊥BD,再由PO ∩AC=O,知BD ⊥平面APC,又PC ?平面APC,因此PC ⊥BD.

(Ⅱ)因为E 是PA 的中点,所以1

122

P BCE C PEB C PAB B APC V V V V ----===,由PB=PD=AB=AD=2知,ABD PBD D @D ,因为060BAD ?,

所以1AC BO ==,又

2221

,.2

APC

PA PO AO PA PO AC S

PO AC =+=^=

,即故=3, 由(1)知BO APC ^平面,因此111

1= (2232)

P BCE B APC

APC

V V BO S --==, 18.(2013·北京高考文科·T17)如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB ∥CD,AB ⊥AD,CD=2AB,平面PAD ⊥底面ABCD ,PA ⊥AD.E 和F 分别是CD 和PC 的中点,求证: (Ⅰ)PA ⊥底面ABCD; (Ⅱ)BE ∥平面PAD (Ⅲ)平面BEF ⊥平面PCD.

【解析】(1)因为面PAD ⊥面ABCD,交线为AD,PA ⊥AD,所以PA ⊥面ABCD. (2)因为AB ∥CD,E 为CD 中点,CD=2AB,所以AB ∥DE 且AB=DE, 所以四边形ABED 为平行四边形,所以BE ∥AD. 又因为AD ?面PAD,BE ?面PAD,所以BE ∥面PAD. (3)因为BA ⊥平面PAD,而平面PAD ⊥平面ABCD,交线AD, 所以BA ⊥平面PAD,

因为AB ∥CD,所以CD ⊥平面PAD,所以CD ⊥PD 且CD ⊥AD, 又因为在平面PCD 中,EF ∥PD(三角形的中位线),于是CD ⊥FE. 因为在平面ABCD 中,由(2),BE ∥AD,于是CD ⊥BE.

因为FE ∩BE=E,FE ?平面BEF,BE ?平面BEF,所以CD ⊥平面BEF, 又因为CD ?平面PCD,所以平面BEF ⊥平面PCD.

19. (2013·山东高考文科·T19) 如图,四棱锥P ABCD -中,

,A B A C A B

P A ⊥⊥,,2AB CD AB CD =∥,,,,,E F G M N 分别为,,,,PB AB BC PD PC 的中点

(Ⅰ)求证:CE PAD ∥平面 (Ⅱ)求证:EFG EMN ⊥平面平面

P

A B

C

D

E

F

【解题指南】(Ⅰ)本题考查线面平行的证法,可利用线线平行,也可利用面面平行,来证明线面平行;(Ⅱ)本题考查了面面垂直的判定,在平面EMN 中找一个直线MN ⊥平面EFG 即可.

【解析】(I)方法一:取PA 的中点H,连接EH,DH. 因为E 为PB 的中点,所以EH//AB,EH= 2

1AB. 又AB//CD,CD=2

1AB,所以EH//CD,EH=CD. 因此四边形DCEH 是平行四边形.

所以CE//DH.又DH ?平面PAD ,CE ?平面PAD, 因此CE //平面PAD . 方法二:

连接CF.因为F 为AB 的中点, 所以AF=21AB.又CD =2

1AB,所以AF=CD.

又AF//CD ,所以四边形AFCD 为平面四边形.因此CF //AD. 又CF ?平面PAD,所以CF//平面PAD.

因为E,F 分别为PB,AB 的中点,所以EF//PA.又EF ?平面 PAD , 所以EF //平面 PAD.因为CF EF=F,故平面CEF//平面 PAD. 又CE ?平面 CEF ,所以CE//平面PAD. (II )证明:因为 E,F 分别为PB,AB 的中点,

所以EF//PA.又AB ⊥PA . 所以AB ⊥EF . 同理可证AB ⊥FG.

又 EF FG=F,EF ?平面EFG ,FG ?平面 EFG, 因此AB ⊥平面EFG,

又 M,N 分别为 PD,PC 的中点, 所以MN//CD .又 AB//CD , 所以 MN//AB,

因此MN ⊥平面 EFG,又MN ?平面EMN, 所以平面EFG ⊥平面EMN.

20. (2013·湖北高考文科·T20)如图,某地质队自水平地面A ,B ,C 三处垂直向地下钻探,自A 点向下钻到A 1处发现矿藏,再继续下钻到A 2处后下面已无矿,从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =.同样可得在B ,C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =,123C C d =,且123d d d <<. 过AB ,AC 的中点M ,N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面,其面积记为S 中.

(Ⅰ)证明:中截面DEFG 是梯形;

(Ⅱ)在△ABC 中,记BC a =,BC 边上的高为h ,面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量(即多面体111222A B C A B C -

的体积V

)时,可用近似公

式V S h =?估中来估算. 已知1231()3

V d d d S =++,试判断V 估与V 的大小关系,并加以

证明.

直线和平面垂直的判定与性质

郸城二高高二年级集体备课教学案 直线和平面垂直的判定与性质(一) 一、素质教育目标 (一)知识教学点 1.直线和平面垂直的定义及相关概念. 2.直线和平面垂直的判定定理. 3.线线平行的性质定理(即例题1). (二)能力训练点 1.要善于应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究,特别是辅助线的添加.2.讲直线和平面垂直时,应注意引导学生把直线和平面关系转化为直线和直线的关系.如直线和平面垂直,只须这条直线垂直于这个平面内的两条相交直线,向学生渗透转化思想的应用.二、教学重点、难点、疑点 1.教学重点 (1)掌握直线和平面垂直的定义:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,那么这条直线就和这个平面垂直. (2)掌握直线和平面垂直的判定定理: (3)掌握线线平行的性质定理: 若a∥b,a⊥α则b⊥α. 2.教学难点:在于线、面垂直定义的理解和判定定理的证明;同时还要解决好定理证明过程中,辅助线添加的方法和原因,及为何可用经过B点的两条直线说明“任意”直线的问题.3.教学疑点:判定定理的条件中,“相交”是关键,“两条”也是一个重要条件,对于初学立体几何的学生来讲,是不好理解的,教师应该用实例说明这两个条件缺一不可. 三、课时安排本课题共安排2课时,本节课为第一课时. 四、学生活动设计(略) 五、教学步骤 (一)温故知新,引入课题 1.空间两条直线有哪几种位置关系? (三种:相交直线、平行直线、异面直线) 2.经过一点和一条直线垂直的直线有几条? (从两条直线互相垂直的定义可知:经过一点有无数多条直线和已知直线垂直) 3.空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系? (直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行.) 4.怎样判定直线和平面平行? 我们已经知道,判定直线和平面平行的问题可以转化为考察直线和直线平行的关系.今天我们转入学习直线和平面相交的一种特殊情形——直线和平面垂直,这个问题同样可以从两条直线垂直的关系入手. (板书课题:§1.9直线和平面垂直) 郸城二高杨雅莉- 1 -

高中数学§9.3.1直线与平面垂直的判定教案

§9.3.1直线与平面垂直的判定(2) 时间:2018、12、13 (总第69课时) 一、教学目标 1、知识与技能 (1)使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理; (2)使学生掌握判定直线和平面垂直的方法; (3)培养学生的几何直观能力,使他们在直观感知,操作确认的基础上学会归纳、概括结论。 2、过程与方法 (1)通过教学活动,使学生了解,感受直线和平面垂直的定义的形成过程; (2)探究判定直线与平面垂直的方法。 3、情态与价值 培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。 二、教学重点、难点 直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。 三、教学设计 (一)创设情景,揭示课题 1、教师首先提出问题:在现实生活中,我们经常看到一些直线与平面垂直的现象,例如:“旗杆与地面,大桥的桥柱和水面等的位置关系”,你能举出一些类似的例子吗?然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。 2、接着教师指出:一条直线与一个平面垂直的意义是什么?并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。 (二)研探新知 1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知,可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题:从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发,能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢?并组织学生交流讨论,概括其定义。 如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,记作L⊥α,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面。如图2.3-1,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。并对画示表示进行说明。

直线与平面垂直的判定教案

第 页(共4页) 1 直线与平面垂直的判定 【教学目标】 1.通过观察图片和折纸试验,使学生理解直线与平面垂直的定义,归纳和确认直线与平面垂直的判定定理,并能简单应用定义和判定定理; 2.通过对判定定理的探究和运用,初步培养学生的几何直观能力和抽象概括能力; 3.通过对探索过程的引导,努力提高学生学习数学的热情,培养学生主动探究的习惯. 【教学重点】 对直线与平面垂直的定义和判定定理的理解及其简单应用. 【教学重点】 探究、归纳直线与平面垂直的判定定理,体会定义和定理中所包含的转化思想. 【教学方式】探究式 【教学手段】 计算机、实物模型 【教学过程】 一、实例引入,理解概念 1.通过复习空间直线与平面的位置关系,让学生举例感知生活中直线与平面相交的位置关系,其中最特殊、最常见的一种就是线面的垂直关系,从而引出课题. 设计意图:希望通过学生的生活经验,提高学生学习数学的兴趣和自觉性. 2.给出学生非常熟悉的校园图片,引导他们观察直立于操场上篮球架的立柱与它在地面影子的关系,然后将其抽象为几何图形,再用数学语言对几何图形进行精确描述,引出直线与平面垂直的定义.即:如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l 与平面α互相垂直. 设计意图:通过从“具体形象——几何图形——数学语言”的过程,让学生体会定义的合理性. 3.简单介绍线面垂直在我国古代的重要应用——“日晷”. 设计意图:通过我国古代用来计时的一种仪器——日晷,让学生感受数学的应用价值,提高学生学习数学的热情.同时,引出探究判定定理的必要性. 二、通过试验,探究定理 准备一个三角形纸片,三个顶点分别记作A ,B ,C .如图,过△ABC 的顶点A 折叠纸片,得到折痕AD ,将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上.(使BD 、DC 边与桌面接触) D C A B D B A C

2.3直线、平面垂直的判定及其性质 教案设计1

直线和平面垂直的判定与性质(一) 一、素质教育目标 (一)知识教学点 1.直线和平面垂直的定义及相关概念. 2.直线和平面垂直的判定定理. 3.线线平行的性质定理(即例题1). (二)能力训练点 1.要善于应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究,特别是辅助线的添加. 2.讲直线和平面垂直时,应注意引导学生把直线和平面关系转化为直线和直线的关系.如直线和平面垂直,只须这条直线垂直于这个平面的两条相交直线,向学生渗透转化思想的应用. (三)德育渗透点 引导学生认识到,定理的证明过程实质是应用转化思想的过程:立体几何的问题转化为平面几何的问题来解决,线、面垂直问题转化为线、线垂直问题来解决.转化思想是重要的数学思想方法,在立体几何的证明和解题中,是一种常用的思想方法. 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1.教学重点 (1)掌握直线和平面垂直的定义:如果一条直线和一个平面的任何一条直线垂直,那么这条直线就和这个平面垂直. (2)掌握直线和平面垂直的判定定理: (3)掌握线线平行的性质定理: 若a∥b,a⊥α则b⊥α.

2.教学难点:在于线、面垂直定义的理解和判定定理的证明;同时还要解决好定理证明过程中,辅助线添加的方法和原因,及为何可用经过B点的两条直线说明“任意”直线的问题. 3.教学疑点:判定定理的条件中,“相交”是关键,“两条”也是一个重要条件,对于初学立体几何的学生来讲,是不好理解的,教师应该用实例说明这两个条件缺一不可. 三、课时安排 本课题共安排2课时,本节课为第一课时. 四、学生活动设计(略) 五、教学步骤 (一)温故知新,引入课题 1.空间两条直线有哪几种位置关系? (三种:相交直线、平行直线、异面直线) 2.经过一点和一条直线垂直的直线有几条? (从两条直线互相垂直的定义可知:经过一点有无数多条直线和已知直线垂直) 3.空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系? (直线在平面、直线和平面相交、直线和平面平行.) 4.怎样判定直线和平面平行? 师:我们已经知道,判定直线和平面平行的问题可以转化为考察直线和直线平行的关系.今天我们转入学习直线和平面相交的一种特殊情形——直线和平面垂直,这个问题同样可以从两条直线垂直的关系入手. (板书课题:§1.9直线和平面垂直) (二)猜想推测,激发兴趣 1.教师演示课本上的实例并指出书脊(想象成一条直线)、各书页与桌面的交线,由于书脊和书页底边(即与桌面接触的一边)垂直,得出书脊和桌面上所有直线垂直,书脊和桌面的位置关系给了我们以直线和平面垂直的形象.从而引入概念:一条直线和平面的任何一条直线都垂直,我们说这条直线和这个平面互相垂直,直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.

直线与平面垂直的判定

直线与平面垂直的判定 [新知初探] 1.直线与平面垂直的定义 (1)自然语言:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们惟一的公共点P叫做垂足. (2)图形语言:如图. 画直线l与平面α垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. (3)符号语言:任意a?α,都有l⊥a?l⊥α. [点睛] (1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形. (2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”. 2.直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. (2)图形语言:如图所示. (3)符号语言:a?α,b?α,a∩b=P,l⊥a,l⊥b?l⊥α. [点睛]判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语,此处强调“相交”,若两条直线平行,则直线与平面不一定垂直. 3.直线与平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条 直线和这个平面所成的角. 如图,∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角. (2)当直线AP与平面垂直时,它们所成的角是90°. (3)当直线与平面平行或在平面内时,它们所成的角是0°. (4)线面角θ的范围:0°≤θ≤90°. [点睛]把握定义应注意两点:①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的;②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段.

[小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若直线l垂直于平面α,则l与平面α内的直线可能相交,可能异面,也可能平行() (2)若a∥b,a?α,l⊥α,则l⊥b() (3)若a⊥b,b⊥α,则a∥α() 答案:(1)×(2)√(3)× 2.直线l与平面α内的两条直线都垂直,则直线l与平面α的位置关系是() A.平行B.垂直 C.在平面α内D.无法确定 解析:选D 3.如图,∠BCA=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中: (1)与PC垂直的直线有 ________________________________________________________________________; (2)与AP垂直的直线有 ________________________________________________________________________.答案:(1)AB,AC,BC(2)BC 对直线与平面垂直的判定定理的理解 [典例]下列说法正确的有________(填序号). ①垂直于同一条直线的两条直线平行; ②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平面垂直; ③如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线与这个平面垂直; ④若l与平面α不垂直,则平面α内一定没有直线与l垂直. [答案]② (1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事,后者说法是不正确的,它可以使直线与平面斜交. (2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.

《231 直线与平面垂直的判定》优质课比赛教学设计

2.3.1 直线与平面垂直的判定的教学设计 一、内容和内容解析 本节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的,其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用。 直线与平面垂直是通过直线和平面内的任意一条直线(无一例外)都垂直来定义的,定义本身也表明了直线与平面垂直的意义,即如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线,这也可以看成是线线垂直的一个判定方法;直线与平面垂直的判定定理本节是通过折纸试验来感悟的,即一条直线只要与平面内的两条相交直线垂直就可以判定直线与平面垂直了,它把原来定义中要求与任意一条(无限)垂直转化为只要与两条(有限)相交直线垂直就行了,概言之,线不在多,相交就行。直线与平面垂直的判定方法除了定义法、判定定理外,还有如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面,这是直线与平面垂直判定的一种间接方法,也是十分重要的。本节学习内容蕴含丰富的数学思想,即“空间问题转化为平面问题”,“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想。 直线与平面垂直是研究空间中的线线关系和线面关系的桥梁,为后继面面垂直的学习、距离的学习奠定基础。 二、目标和目标解析 1.借助对实例、图片的观察,提炼直线与平面垂直的定义,并能正确理解直线与平面垂直的定义; 2.通过直观感知,操作确认,归纳直线与平面垂直的判定定理,并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题; 3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力,同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想. 三、教学问题诊断分析 学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象(学生的客观现实)和直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构(学生的数学现实),这为学生学习直线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础。

直线、平面垂直的判定及其性质

直线、平面垂直的判定及其性质 最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理;2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题 . 知 识 梳 理 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l 与平面α内的任意直线都垂直,就说直线l 与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理 (1)定义:一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角,一条直线垂直于平面,则它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角是0°的角. (2)范围:??? ???0,π2. 3.二面角 (1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;

(2)二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围:[0,π]. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 1.两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). 2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理,不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,就垂直于这个平面”. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直,则l ⊥α.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( ) (3)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )

直线与平面垂直的判定经典例题

2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定 一、基础达标 1.下列说法中正确的个数是() ①若直线l与平面α内一条直线垂直,则l⊥α. ②若直线l与平面α内两条直线垂直,则l⊥α; ③若直线l与平面α内两条相交直线垂直,则l⊥α; ④若直线l与平面α内任意一条直线垂直,则l⊥α; ⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直,则l⊥α. A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析对①②⑤,均不能断定该直线与平面垂直,该直线与平面可能平行,可能斜交,也可能在平面内,所以是错误的.正确的是③④,故选B. 2.已知直线m,n是异面直线,则过直线n且与直线m垂直的平面() A.有且只有一个B.至多一个 C.有一个或无数个D.不存在 答案 B 解析若异面直线m、n垂直,则符合要求的平面有一个,否则不存在.3.(2014·淮北高一检测)线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍,则AB 所在直线与平面α所成的角为() A.30°B.45° C.60°D.120° 答案 C 解析如图,AC⊥α,AB∩α=B,则BC是AB在平面α

内的射影,则BC =1 2AB ,所以∠ABC =60°,它是AB 与平面α所成的角. 4.空间四边形ABCD 的四边相等,则它的两对角线AC 、BD 的关系是( ) A .垂直且相交 B .相交但不一定垂直 C .垂直但不相交 D .不垂直也不相交 答案 C 解析 取BD 中点O , 连接AO ,CO , 则BD ⊥AO ,BD ⊥CO , ∴BD ⊥面AOC ,BD ⊥AC , 又BD 、AC 异面,∴选C. 5.已知△ABC 所在平面外一点P 到△ABC 三顶点的距离都相等,则点P 在平面ABC 内的射影是△ABC 的________. 答案 外心 解析 P 到△ABC 三顶点的距离都相等,则点P 在平面ABC 内的射影到△ABC 三顶点的距离都相等,所以是外心. 6.(2014·舟山高一检测)如图所示,P A ⊥平面ABC ,△ABC 中BC ⊥AC ,则图中直角三角形的个数有________. 答案 4 解析 ? ??? ?P A ⊥平面ABC BC ?平面ABC ?

平面与平面垂直的性质(教案)

平面与平面垂直的性质(教案) 教学目的 通过对面面垂直性质定理的探索、证明,培养学生的观察、分析、论证等思维能力 教学目标: 1 理解掌握面面垂直的性质定理 2 能初步运用性质定理解决问题 教学重点难点: 重点:理解掌握面面垂直的性质定理 难点:运用性质定理解决实际问题 教学过程: (一) 复习提问 师:请大家回顾一下,怎样判断线面垂直和面面垂直?(提问) 生:线面垂直判定定理: 如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直,则这条直线垂直于这个平面. 生:面面垂直判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直. (二)引入新课 师:今天我们要学习“两个平面垂直的性质”,先来看下面问题:如图,长方体ABCD﹣A′B′C′D′中,判断下面结论的正误。 1)平面ADD′A′⊥平面ABCD 2) DD′⊥面ABCD 3)AD′⊥面ABCD

师:我们发现:平面ADD′A′⊥平面ABCD,平面ADD′A′∩平面ABCD = AD,D′是平面ADD′A′内一点,过D′点可作无数条直线,这些直线中有与平面ABCD垂直的,也有不垂直的,那么,满足什么条件的直线能与平面ABCD垂直呢? (提出问题,引发思维,并引导学生积极寻找这些直线与交线AD的关系)生:(略) 师:平面ADD′A′⊥平面ABCD,平面ADD′A′内的任一点,平面内过该点且垂直于交线的直线垂直于平面ABCD。 (三)新课 已知:面α⊥面β,α∩β = a, AB α , AB⊥a于B, 求证:AB⊥β (让学生思考怎样证明) 师:(分析:要证明直线垂直于平面,须证明直线垂直于 平面内两条相交直线,而题中条件已有一条, 故可过该直线作辅助线) 证明:在平面β内过B作BE⊥a,又∵AB⊥a, ∴∠ABE为α﹣a﹣β的二面角,又∵α⊥β, ∴∠ABE = 90° , ∴AB⊥BE 又∵AB⊥a, BE∩a = B, ∴AB⊥β 1.面面垂直的性质定理: 两平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. (用符号语言表述)若α⊥β,α∩β = a, AB α , AB⊥a于B,则AB⊥β 师:从面面垂直的性质定理可知,要证明线垂直于面可通过面面垂直来证明,而前面我们知道,面面垂直也可通过线面垂直来证明。这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法。同学们在学习中要认真理解和体会。 2. 例题分析 例1.空间四边形ABCD中,ΔABD与ΔBCD都为 正三角形,面ABD⊥面BCD,试在平面BCD 内找一点,使AE⊥面BCD 解:在ΔABD中,∵AB=AD,取BD的中点E, 连结AE,则AE为BD的中线

直线、平面垂直的判定及其性质(二)(讲义)含答案

直线、平面垂直的判定及其性质(二)(讲义) ?知识点睛 一、直线与平面垂直(线面垂直) 性质定理:垂直于同一个平面的两条直线_____________. a b α ∵_________,b⊥α, ∴___________. 其他性质: 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面; 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么这条直线也垂直于另一个平面. 二、平面与平面垂直(面面垂直) 性质定理:两个平面垂直,则一个平面内_____________的直线与另一个平面垂直. α a l β ∵α⊥β,α∩β=l,________,________, ∴a⊥β. 其他性质: 如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面; 如果一平面垂直于两平行平面中的一个平面,那么它必垂直于另一个平面.

?精讲精练 1.已知直线l垂直于直线AB和AC,直线m垂直于直线BC和AC,则直线l, m的位置关系是() A.平行B.异面C.相交D.垂直 2.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一组条件是() A.m∥n,m∥α,n∥β B.m⊥n,α∩β=m,n?α C.m∥n,n⊥β,m?α D.m∥n,m⊥α,n⊥β 3.若m,n,l是互不重合的直线,α,β,γ是互不重合的平面,给 出下列命题: ①若α⊥β,α∩β=m,m⊥n,则n⊥α或n⊥β; ②若α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则m∥n; ③若m不垂直于α,则m不可能垂直于α内的无数条直线; ④若α∩β=m,m∥n,且n?α,n?β,则n∥α且n∥β; ⑤若α∩β=m,β∩γ=n,α∩γ=l,且α⊥β,α⊥γ,β⊥γ,则m⊥n,m ⊥l,n⊥l.其中正确命题的序号是________________. 4.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则AC 的长为() B C D A A B. 2 a C. 2 a D.a

直线与平面垂直的判定及其性质测试题

直线与平面垂直的判定与性质 一、选择题 1.两异面直线在平面α内的射影() A.相交直线 B.平行直线 C.一条直线—个点 D.以上三种情况均有可能 2.若两直线a与b异面,则过a且与b垂直的平面() A.有且只有—个 B.可能存在也可能不存在 C.有无数多个 D.—定不存在 3.在空间,下列哪些命题是正确的() ①平行于同一条直线的两条直线互相平行; ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ③平行于同一个平面的两条直线互相平行; ④垂直于同—个平面的两条直线互相平行. A.仅②不正确 B.仅①、④正确 C.仅①正确 D.四个命题都正确 4.若平面α的斜线l在α上的射影为l′,直线b∥α,且b⊥l′,则b与l() A.必相交 B.必为异面直线 C.垂直 D.无法确定 5.下列命题 ①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线; ②若一条直线垂直于平面的斜线,则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影; ③若平面的两条斜线段相等,则它们在同一平面内的射影也相等; ④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面,则它的射影长一定小于线段的长. 其中,正确的命题有() A.1个 B.2个 C.3个 n 4个 6.在下列四个命题中,假命题为() A.如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直 B.垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边 C.过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内 D.如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面 7.已知P是四边形ABCD所在平面外一点且P在平面ABCD内的射影在四边形ABCD内,若P到这四边形各边的距离相等,那么这个四边形是() A.圆内接四边形 B.矩形 C.圆外切四边形 D.平行四边形 8.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则P到BC的距离等于()A. B. C.3 D.4 二、填空题 9.AB是平面α的斜线段,其长为a,它在平面α内的射影A′B的长为b,则垂线A′A_________. 10.如果直线l、m与平面α、β、γ满足:l=β∩γ,l⊥α,mα和m⊥γ,现给出以下四个结论: ①α∥γ且l⊥m;②αγ且m∥β③αβ且l⊥m;④αγ且l⊥m;其中正确的为“________”.(写出序号即可) 11.在空间四面体的四个面中,为直角三角形的最多有____________个. 12.如图,正方形ABCD,P是正方形平面外的一点,且PA⊥平面A BCD则在△PAB、△PBC、△PCD、△PAD、△PAC及△PBD中,为直角三角形有_________个. 13.给出以下四个命题 (1)两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线; (2)两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线; (3)两条异面直线在同一平面内的射影—定是两条相交直线; (4)一个锐角在平面内的射影一定是锐角. 其中假命题的共有_________个. 14.若一个直角在平面α内的射影是一个角,则该角最大为___________. 三、解答题 15.已知直线a∥平面α,直线b⊥平面α,求证:a⊥b. 16.如图,在长方体AC1中,已知AB=BC=a,BB1=b(b>a),连结BC1,过B l作B1⊥BC1交CC1于E,

直线与平面垂直的判定与性质

直线与平面垂直的判定与性质 典型例题 1、设m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面.考查下列命题,其中正确的命题是( ) A .βαβα⊥?⊥?⊥n m n m ,, B .n m n m ⊥?⊥βαβα//,,// C .n m n m ⊥?⊥⊥βαβα//,, D .ββαβα⊥?⊥=⊥n m n m ,, 解析:正确的命题是n m n m ⊥?⊥βαβα//,,//,选B. 2、如图,四面体ABCD 中,O 、E 分别BD 、 BC 的中点,CA =CB =CD =BD =2 求证:AO ⊥平面BCD ; 本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所 成的角以及点到平面的距离基本知识,考查空间想象 能力、逻辑思维能力和运算能力。 )证明:连结OC ,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥ 在AOC ?中,由已知可得1, 3.AO CO == 而2,AC = 2 2 2 ,AO CO AC ∴+= 90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥ ,BD OC O = AO ∴⊥平面BCD 一、选择题 1.如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E 是A 1B 1 的中点,则E 到平面AB C 1D 1的距离为( ) A . 2 3 B .22 C .2 1 D . 3 3 2、在正四面体P -ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,BC ,CA 的中点,下面四个结论中不成立...的是( ) (A )BC //平面PDF (B )DF ⊥平面P A E A B M D E O C

《平面与平面垂直的性质》教学设计

《平面与平面垂直的性质》教学设计 一、教材分析: 直线与平面垂直问题是直线与平面的重要内容,也是高考考查的重点,求解的关键是根据线与面之间的互化关系,借助创设辅助线与面,找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用,使学生体会“转化”的观点,提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。 二、学情分析: 1.学生思维活跃,参与意识和自主探究能力较强,故采用启发、探究式教学方法;通过一系列的问题及层层递进的的教学活动,引导学生进行主动的思考、探究。帮助学生实现从具体到抽象、从特殊到一般的过度,从而完成定义的建构和定理的发现。 2.学生抽象概括能力和空间想象能力有待提高,故采用多媒体辅助教学。让学生在认知过程中,着重掌握原认知过程,使学生把独立思考与多向交流相结合。 三、根据本课教材的特点,新大纲对本节课的教学要求,结合学生身心发展的合理需要,确定了以下教学目标: (1)知识与技能目标: ①让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对性质定理的正确认识; ②能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题,进一步培养学生空间观念. (2)过程与方法目标: ①了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系,掌握等价转化思想在解决问题中的运用. ②通过“直观感知、操作确认,推理证明”,培养学生逻辑推理能力。 ③发展学生的合情推理能力和空间想象力,培养学生的质疑思辨、创新的精神. (3)情感、态度与价值观目标: 让学生亲身经历数学研究的过程,体验探索的乐趣,增强学习数学的兴趣. 四、教学重点与难点: (1)教学重点:理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推导。 (2)教学难点:运用性质定理解决实际问题。 五、教学设计思路: 1、复习导入: (1)线面垂直判定定理: 如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直,则这条直线垂直于这个平面. (2)面面垂直判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直. 2、探究发现: (1)创设情境:已知黑板面与地面垂直,你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗这样的直线分别有什么性质?试说明理由! 设计说明: 感知在相邻的两个相互垂直的平面内,有哪些特殊的直线和平面关系,然后通过操作,确定两个平面垂直的性质定理的合理性,引导学生通过模型观察,讨论在两个平面相互垂直的情况下,能够推出一些什么样的结论。

231直线与平面垂直的判定

2.3.1 直线与平面垂直的判定 一、教学目标 (一)知识目标:理解直线和平面垂直的定义及判定定理;掌握判定直线和平面垂直的方法; (二)能力目标:培养学生的几何直观能力,使他们在直观感知,操作确认的基础上学会归纳、概括结论。 (三)情感目标:引导学生体会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。 二、教学重难点 (一)重点:直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。 (二)难点:直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。 三、活动设计 四、教学过程 (一)创设情景,揭示课题 1、提出问题:在现实生活中,我们经常看到一些直线与平面垂直的现象,例如:“旗杆 与地面,大桥的桥柱和水面等的位置关系”,你能举出一些类似的例子 吗?然后让学生回忆、思考、讨论、对学生的活动给予评价。 2、指出:一条直线与一个平面垂直的意义是什么?并通过分析旗杆与它在 地面上的射影的位置关系引出课题内容。 (二)研探新知 1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知,可再借助长 方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。然后引导学生用“平面化” 的思想来思考问题:从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程 得到启发,能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与 这个平面垂直呢?组织学生交流讨论,概括其定义。 定义:如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L 与平面α互相垂直,记作L⊥α,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫 做直线L的垂面。直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 2、提出问题,探索思考: (1)问题:虽然可以根据定义判定直线与平面垂直,但这种方法实际上难以实施。有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢? (2)师生活动:请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做试验:过△ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起 放置在桌面上(BD、DC与桌面接触),问如何翻折才能保证折痕 AD与桌面所在平面垂直? (3)归纳结论:引导学生根据直观感知及已有经验(两条相交直线确定一个平面),进行合情推理,获得判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂 直。 特别强调:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相

直线与平面垂直的判定说课稿

创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者:凤呜大王* 《直线与平面垂直的判定》说课稿 李凯帆 本节课是人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学(A版)》必修2第三节“2.3.1直线与平面垂直的判定”的第一课时。下面,我将分别从教材分析、学情分析、教法与学法分析、教学过程设计、教学反思五个方面对本节课进行说明。 一、教材分析 1.内容、地位与作用 直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况,是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展,又是平面与平面垂直的基础,是空间中垂直位置关系间转化的重心,同时又是直线和平面所成的角等内容的基础,因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一. 本节课是在学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线与平面平行的判定及其性质之后进行的,其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用。 其中,线面垂直的定义是线面垂直最基本的判定方法和性质,它是探究线面垂直判定定理的基础;线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化,它既是后面学习面面垂直的基础,又是连接线线垂直和面面垂直的纽带! 学好这部分内容,对于学生建立空间观念、实现从认识平面图形到认识 立体图形的飞跃, 是非常重要的. 2.教学目标

《数学课程标准》指出本节课学习目标是:通过直观感知、操作确认,归纳出线面垂直的判定定理;能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.考虑到本校学生的接受能力和课容量,本节课只要求学生在构建线面垂直定义的基础上探究线面垂直的判定定理,并进行定理的初步运用.故而确立以下教学目标: (1)知识与技能 通过直观感知、操作确认,理解线面垂直的定义,归纳线面垂直的判定定理, 并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题。 (2)过程与方法 通过线面垂直定义及定理的探究过程,感知几何直观能力和抽象概括能力,体会转化思想在解决问题中的运用。 (3)情感、态度与价值观 通过线面垂直定义及定理的探究,让学生亲身经历数学研究的过程,体验探索的乐趣,增强学习数学的兴趣。 3.教学重点和难点 根据教学大纲的要求以及学生的实际情况,确定如下: 重点:通过操作概括直线与平面垂直的定义和判定定理 难点:操作确认直线与平面垂直的判定定理 二、学情分析 学习本课前,学生已经通过直观感知、操作确认的方法,学习了直线与平面平行的判定定理,对空间概念建立有一定基础。但是,学生的抽象概括能力、空间想象力还有待提高。线面垂直的定义比较抽象,平面内看不到直线,要让学生去体会“与平面内所有直线垂直”就有一定困难;同时,线面垂直判定定理的发现具有一定的隐蔽性,学生不易想到。 高二年级的学生,已具有一定的想象能力和分析问题、解决问题的能力,但尽管思维活跃,敏捷,但却缺乏冷静、思考,因而片面,不够严谨。仍需依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。 三、教法与学法分析 本节课内容是学生空间观念形成的关键时期,课堂上充分利用现实情境,学生通过感知、观察,提炼直线与平面垂直的定义;进一步,在一个具体的数学问题情景中设想,并在教师指导下,动手操作,观察分析,自主探索等活动,切实感受直线与平面垂直判定定理的形成过程,体会蕴含在其中的思想方法。 采用启发式、引导式、参与式的教学方法,引导学生进行自主尝试和探究;引导学生采用自主探索与互相协作相结合的学习方式。 四、教学过程设计

直线、平面垂直的判定及其性质-练习题1(答案)

】 直线、平面垂直的判定及其性质 一、选择题 1、“直线l垂直于平面内的无数条直线”是“l⊥”的() A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 2、如果一条直线l与平面的一条垂线垂直,那么直线l与平面的位置关系是() A、l B、l⊥ C、l∥ D、l或l∥ 3、若两直线a⊥b,且a⊥平面,则b与的位置关系是() A、相交 B、b∥ C、b D、b∥,或b · 4、a∥α,则a平行于α内的( ) A、一条确定的直线 B、任意一条直线 C、所有直线 D、无数多条平行线 5、如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的 ( ) A、一条直线不相交 B、两条直线不相交 C、无数条直线不相交 D、任意一条直线都不相交 6、若直线l上有两点P、Q到平面α的距离相等,则直线l与平面α的位置关系是( ) A、平行 B、相交 — C、平行或相交 D、平行、相交或在平面α内 二、填空题 7、过直线外一点作直线的垂线有条;垂面有个;平行线有条;平行平面 有个. 8、过平面外一点作该平面的垂线有条;垂面有个;平行线有条;平行平面有个. 9、过一点可作________个平面与已知平面垂直. . 10、过平面α的一条斜线可作_________个平面与平面α垂直.

11、过平面α的一条平行线可作_________个平面与平面α垂直. 三、解答题 ( 12、求证:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面 13、过一点和已知平面垂直的直线只有一条 ] 14、有一根旗杆AB高8m,它的顶端A挂一条长10m的绳子,拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一直线上),C D,如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m,那么旗杆就和地面垂直,为什么 > 15、已知直线l⊥平面α,垂足为A,直线AP⊥l 求证:AP在α内

直线与平面垂直的判定教案讲课教案

《直线与平面垂直的判定》 选自人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修2第二章第三节 一、教学目标 1.知识与技能目标 (1).掌握直线与平面垂直的定义 (2).理解并掌握直线与平面垂直的判定定理 (3).会判断一条直线与一个平面是否垂直 (4).培养学生的空间想象能力和对新知识的探索能力 2.过程与方法目标 (1).加强学生空间与平面之间的转化意识,训练学生的思维灵活性 (2).要善于应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究,特别是辅助 线的添加 3.情感态度价值观目标 (1).培养学生的探索精神 (2).加强学生对数学的学习兴趣 二、重点难点 1.教学重点:直线与平面垂直的定义及其判定定理 2.教学难点:直线与平面垂直判定定理的理解 三、课时安排 本课共安排一课时 四、教学用具 多媒体、三角形纸片、三角板或直尺 五、教学过程设计 1.创设情境 问题1:空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系? 设计意图:此问基于学生已有的数学现实,通过对已学相关知识的追忆,寻找新知识学习的“固着点”。 问题2:列举在日常生活中你见到的可以抽象成直线与平面相交的事例?寻找特殊的事例并引入课题。

设计意图:此问基于学生的客观现实,通过对生活事例的观察,让学生直观感知直线与平面相交中一种特例:直线与平面垂直的初步形象,激起进一步探究直线与平面垂直的意义。 2.提炼定义 问题3:结合对下列问题的思考,试着给出直线和平面垂直的定义. (1)阳光下,旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少? (2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变? (3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么? 设计意图:第(1)与(2)两问旨在让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直,第(3)问进一步让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直,在这里,主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念。 (学生叙写定义,并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化) 思考:(1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线是否与这个平面垂直? (2)如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线? (对问(1),在学生回答的基础上用直角三角板在黑板上直观演示;对问(2)可引导学生给出符号语言表述:若,则 ) 设计意图:通过对问题(1)的辨析讨论,深化直线与平面垂直的概念。通过对问题(2)的辨析讨论旨在让学生掌握线线垂直的一种判定方法。 通常定义可以作为判定依据,但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直,这给我们的判定带来困难,因为我们无法去一一检验。这就有必要去寻找比定义法更简捷、可行的直线与平面垂直的判定方法。 3.探究新知 创设情境猜想定理:某公司要安装一根8米高的旗杆,两位工人先从旗杆的顶点挂两条长10米的绳子,然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上两点(和旗杆脚不在同一直

直线与平面垂直性质定理练习题

2.3.3 直线与平面垂直的性质 一、选择题 1.下列说法正确的是( ) A .若l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥α B .若直线l 与平面α垂直,则l 与α内的任一直线垂直 C .若E 、F 分别为△ABC 中AB 、BC 边上的中点,则EF 与经过AC 边的所有平面平行 D .两条垂直的直线中有一条和一个平面平行,则另一条和这个平面垂直 2.若M 、n 表示直线,α表示平面,则下列命题中,正确命题的个数为( ) ① ?????m ∥n m ⊥α?n ⊥α; ② ? ????m ⊥αn ⊥α?M ∥n ; ③ ?????m ⊥αn ∥α?M ⊥n; ④ ? ????m ∥αm ⊥n ?n ⊥α. A .1 B .2 C .3 D .4 3.已知直线PG ⊥平面α于G ,直线EF ?α,且PF ⊥EF 于F ,那么线段PE ,PF ,PG 的大小关系是( ) A .PE >PG >PF B .PG >PF >PE C .PE >PF >PG D .PF >P E >PG 4.P A 垂直于以AB 为直径的圆所在平面,C 为圆上异于A ,B 的任一点,则下列关系不正确的是( ) A .P A ⊥BC B .B C ⊥平面P AC C .AC ⊥PB D .PC ⊥BC 5.下列命题: ①垂直于同一直线的两条直线平行; ②垂直于同一直线的两个平面平行; ③垂直于同一平面的两条直线平行; ④垂直于同一平面的两平面平行. 其中正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 6.在△ABC 所在的平面α外有一点P ,且P A =PB =PC ,则P 在α内的射影是△ABC 的( ) A .垂心 B .内心 C .外心 D .重心 二、填空题 7.线段AB 在平面α的同侧,A 、B 到α的距离分别为3和5,则AB 的中点到α的距离为________. 8.直线a 和b 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的两个不同平面内,使a ∥b 成立的条件是________.(只填序号) ①a 和b 垂直于正方体的同一个面;②a 和b 在正方体两个相对的面内,且共面;③a 和b 平行于同一条棱;④a 和b 在正方体的两个面内,且与正方体的同一条棱垂直. 9.如图所示,平面ABC ⊥平面ABD ,∠ACB =90°,CA =CB ,△ABD 是正三角形,O 为AB 中点,则图中直角三角形的个数为________.

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