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乘法公式的应用解析

乘法公式的应用解析
乘法公式的应用解析

乘法公式的几何背景

1、如图所示可以验证哪个乘法公式用式子表示为.

第2题

2、如图所示,用该几何图形的面积可以表示的乘法公式是.

3、如图,图①是边长为a的正方形中有一个边长是b的小正方形,图②是将图①中的阴影部分剪拼成的一个等腰梯形,比较图①和图②阴影部分的面积,可验证的是.

第4题图

4、用该几何图形的面积可以表示的等量关系是.

5、如图:边长为a,b的两个正方形,边保持平行,如果从大正方形中剪去小正方形,剩下的图形可以分割成4个大小相等的梯形.请你计算出两个阴影部分的面积,同时说明可以验证哪一个乘法公式的几何意义.

6、如图1,A、B、C是三种不同型号的卡片,其中A型是边长为a的正方形,B型是长为

b、宽为a的长方形,C是边长是b的正方形.

7、小杰同学用1张A型、2张B型和1张C型卡片拼出了一个新的图形(如图2).请根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的公式是.8、图1是一个长为2a,宽为2b的长方形,沿图中虚线剪开,可分成四块小长方形.

(1)你认为图1的长方形面积等于;

(2)将四块小长方形拼成一个图2的正方形.请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积.

方法1:

方法2:

(3)观察图2直接写出代数式(a+b)2、(a-b)2、ab之间的等量关系;

(4)把四块小长方形不重叠地放在一个长方形的内部(如图3),未被覆盖的部分用阴影表示.求两块阴影部分的周长和(用含m、n的代数式表示).

9、如图,ABCD是正方形,P是对角线BD上一点,过P点作直线EF、GH分别平行于AB、BC,交两组对边于E、F、G、H,则四边形PEDG,四边形PHBF都是正方形,四边形PEAH、四边形PGCF都是矩形,设正方形PEDG的边长是a,正方形PHBF的边长是b.请动手实践并得出结论:

(1)请你动手测量一些线段的长后,计算正方形PEDG与正方形PHBF的面积之和以及矩形PEAH与矩形PGCF的面积之和.

(2)你能根据(1)的结果判断a2+b2与2ab的大小吗?

(3)当点P在什么位置时,有a2+b2=2ab?

1.5平方差公式

一、点击公式

()()a b a b +-= ,()()a b b a +-= ,()()a b a b -+--= . ()()a b b a --= ,()()a b a b +--= ,()()a b b a -+-= .

二、公式运用

1、化简计算:

(1))3

241)(3241

(22y x y x --- (2)(x -2)(x 4+16)(x +2)(x 2+4)

(3) ()()()()a b a b a b a b -+---- (4)()()11323222a b a b a b a b ????+---+ ???????

2、简便计算

(1)899×901+1 (2)99.9×100.1-99.8×100.2 (3)2006×2008-20072

()2

20004199920011

?+ (5)9×11×101×10001

课时测试——基础篇

1、下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是( )

A 、 ))((b a b a -+-

B 、)2)(2(x x ++

C 、 )31)(31(x y y x -

+ D 、 )1)(2(+-x x 2、已知 (x - ay ) (x + ay ) = x 2 - 16y 2 , 那么 a = 。

3、化简:()()()

m m m m m m y x y x y x +----22= 。 4、用平方差公式计算

(1)()(2)2(3)(3)x y y x y x x y ---+- (2)2005200320042

?-

(3)211111(1)(1)(1)(1)2241616-+++

+ (4)(2+1) (22+1) (24+1)…(216+1)+1

5、先化简,再求值:(3+m )(3-m )+m (m -6)-7,其中m =

21

6、若20072008a =,20082009

b =,试不用..将分数化小数的方法比较a 、b 的大小.

拓展篇

1、计算:(1)2222??

? ??--??? ??+b a b a (2)1002-992+982-972+…+22-12

(3))10011)(9911()411)(311)(211(2

2222-----

2、请你估计一下,2

2222222222100994321)1100)(199()14)(13)(12(????----- 的值应该最接近于 ( ) A 、 1 B 、 12 C 、 1100 D 、 1200

1.6完全平方公式

一、点击公式

1、()2a b ±= ,()2

a b --= ,()()a b b a --= .

2、()222a b a b +=++ =()2a b -+ .

3、()()22a b a b +--= . 二、公式运用

1、计算化简

(1) ()()()2222x y x y x y ??+-+-??

(2)2)())((y x y x y x ++--- (3)2)21(1x ---

(4)()()z y x z y x 3232+--+ (5)()()2121a b a b -+--

乘法公式的应用解析

乘法公式的几何背景 1、如图所示可以验证哪个乘法公式用式子表示为. 第2题 2、如图所示,用该几何图形的面积可以表示的乘法公式是. 3、如图,图①是边长为a的正方形中有一个边长是b的小正方形,图②是将图①中的阴影部分剪拼成的一个等腰梯形,比较图①和图②阴影部分的面积,可验证的是. 第4题图 4、用该几何图形的面积可以表示的等量关系是. 5、如图:边长为a,b的两个正方形,边保持平行,如果从大正方形中剪去小正方形,剩下的图形可以分割成4个大小相等的梯形.请你计算出两个阴影部分的面积,同时说明可以验证哪一个乘法公式的几何意义. 6、如图1,A、B、C是三种不同型号的卡片,其中A型是边长为a的正方形,B型是长为 b、宽为a的长方形,C是边长是b的正方形. 7、小杰同学用1张A型、2张B型和1张C型卡片拼出了一个新的图形(如图2).请根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的公式是.8、图1是一个长为2a,宽为2b的长方形,沿图中虚线剪开,可分成四块小长方形.

(1)你认为图1的长方形面积等于; (2)将四块小长方形拼成一个图2的正方形.请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积. 方法1: 方法2: (3)观察图2直接写出代数式(a+b)2、(a-b)2、ab之间的等量关系; (4)把四块小长方形不重叠地放在一个长方形的内部(如图3),未被覆盖的部分用阴影表示.求两块阴影部分的周长和(用含m、n的代数式表示). 9、如图,ABCD是正方形,P是对角线BD上一点,过P点作直线EF、GH分别平行于AB、BC,交两组对边于E、F、G、H,则四边形PEDG,四边形PHBF都是正方形,四边形PEAH、四边形PGCF都是矩形,设正方形PEDG的边长是a,正方形PHBF的边长是b.请动手实践并得出结论: (1)请你动手测量一些线段的长后,计算正方形PEDG与正方形PHBF的面积之和以及矩形PEAH与矩形PGCF的面积之和. (2)你能根据(1)的结果判断a2+b2与2ab的大小吗? (3)当点P在什么位置时,有a2+b2=2ab?

专题一 乘法公式及应用

专题一乘法公式的复习 一、复习: (a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3 归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式: ①位置变化,x y y x x2y2 ②符号变化,x y x y x2y2 x2y2 ③指数变化,x2y2x2y2x4y4 ¥ ④系数变化,2a b2a b4a2b2 ⑤换式变化,xy z m xy z m xy2z m2 x2y2z m z m x2y2z2zm zm m2 x2y2z22zm m2 ⑥增项变化,x y z x y z x y2z2 x y x y z2 x2xy xy y2z2 》 x22xy y2z2 ⑦连用公式变化,x y x y x2y2 x2y2x2y2

x 4y 4 ⑧ 逆用公式变化,x y z 2 x y z 2 x y z x y z x y z x y z 2x 2y 2z 4xy 4xz 例1.已知2=+b a ,1=ab ,求22b a +的值。 ¥ 解:∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ,1=ab ∴22b a +=21222=?- 例2.已知8=+b a ,2=ab ,求2)(b a -的值。 解:∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a - ∵8=+b a ,2=ab ∴=-2)(b a 562482=?- 例3:计算19992-2000×1998 — 例4:已知a+b=2,ab=1,求a 2+b 2和(a-b)2的值。 例5:已知x-y=2,y-z=2,x+z=14。求x 2-z 2的值。 例6:判断(2+1)(22+1)(24+1)……(22048+1)+1的个位数字是几 例7.运用公式简便计算 (1)1032 (2)1982 例8.计算 ( 1 ) a 4b 3c a 4 b 3c ( 2 )

沪教版七年级数学第九章、乘法公式的综合应用专题

乘法公式的综合应用 1、平方差公式 符号表示:(a+b)(a-b)=a2-b2 语言描述:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差。 要点诠释:平方差公式的典型特征:既有相同项,又有“相反项”,而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方。 2、完全平方公式 符号表示:(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 语言描述:两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍. 要点诠释:公式特点:左边是两数的和(或差)的平方,右边是二次三项式,是这两数的平方和加(或减)这两数之积的2倍。 题型一、完全平方公式 1.已知x2+kxy+64y2是一个完全式,则k的值是() A.8 B.±8 C.16 D.±16 2.若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式,则m的值为()A.24 B.-12 C.±12 D.±24 3.若4x2+mxy+9y2是一个完全平方式,则m ()

A.6 B.12 C.±6 D.±12 4.下列多项式中是完全平方式的是() A.2x2+4x-4 B.16x2-8y2+1 C.9a2-12a+4 D.x2y2+2xy+y2 5.如果x2+mx+9是一个完全平方式,则m的值为() A.3 B.6 C.±3 D.±6 6.x2-10x+ =(x-)2. 7.下列各式是完全平方式的是() A.x2-x+1 4B.1+x2 C.x+xy+1 D.x2+2a-1 题型二、 1、若(x+ 1 x)2=9,则(x - 1 x)2的值为. 2.已知x-1 x=1,则x2+= . 4.已知(a+b)2=7,(a-b)2=4,求a2+b2和ab的值.4.若a2+b2=5,ab=2,则(a+b)2= .

乘法公式的应用(人教版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题 问题1:由完全平方公式,可得(1)__________或__________; (2)__________或__________或__________. 以下是问题及答案,请对比参考: 问题1:由完全平方公式,可得 (1)或; (2)或或. 答: (1); (2). 乘法公式的应用(人教版) 一、单选题(共12道,每道8分) 1.下列各式中能够成立的是( ) A. B. C. D. 答案:D 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:完全平方公式 2.下列各式中,正确的是( ) A. B. C. D. 答案:D 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:平方差公式 3.若,则的值为( )

A. B. C. D. 答案:C 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:平方差公式 4.若,,则的值是( ) A.4 B. C. D. 答案:C 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:平方差公式的应用 5.计算的结果是( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 答案:A 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:平方差公式的应用 6.若,则的值为( ) A.12 B.6 C.3 D.0 答案:A 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:整体代入 7.已知是完全平方式,则m的值为( ) A.3 B.±3 C.-6 D.±6 答案:D 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:完全平方公式 8.若,,其中,则,的大小的关系是( ) A. B. C. D.不能确定 答案:A 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:完全平方公式的应用 9.已知,,则( ) A.10 B.6 C.5 D.3 答案:C 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:完全平方公式知二求二问题 10.若是一个完全平方式,则的值是( ) A.±30 B.33 C.32或-28 D.33或-27

基本乘法公式及应用.学生版

题型切片(四个) 对应题目 题 型目标 平方差公式及几何意义 例1; 完全平方公式及几何意义 例2;例3; 简便计算 例4; 乘法公式的综合运用 例5;例6;例7;例8 公 式 示例剖析 平方差公式:22()()a b a b a b +-=- 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式叫做(乘法的)平方差公式. b b b a a 注意:⑴ 负数的奇数次幂与偶数次幂结果完全不同,运算中要格外注意. ⑵ 运算性质中,字母a ,b 可表示一个数一个单项式或一个多项式. ⑶ 幂的运算法则的逆运用,可以解决很多相关问题,要求对运算法则熟练掌握才能做到准确地应用. ⑷ 零指数计算中底数不能为零. 知识导航 模块一 平方差公式及几何意义 知识互联网 基本乘法公式及应用 题型切片

【例1】 ⑴ 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形(a >b )(如图甲),把余下的 部分拼成一个矩形(如图乙),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证( ) 图乙 图甲 b b a a a b b A .2 2 2 ()2a b a ab b +=++ B .2 2 2 ()2a b a ab b -=-+ C .22()()a b a b a b -=+- D .22(2)()2a b a b a ab b +-=+- ⑵如图,在边长为a 的正方形中,剪去一个边长为b 的小正方形()a b >,将余下部分拼成一个梯形,根据两个图形阴影部分面积的关系,可以得到一个关于a 、b 的恒等式为( ) A .()2222a b a ab b -=-+ B .()2 222a b a ab b +=++ C .()()22a b a b a b -=+- D .()2a ab a a b +=+ ⑶计算 ①()()x y x y +- ②()()x y x y +-+ ③()()22x y x y +- ④(43)(43)x x +- ⑤()()x y x y -+-- ⑥2233n m m n ???? --- ??????? . 夯实基础

乘法公式活用专题训练

乘法公式的活用 一、公式 : (a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b) 2=a 2+2ab+b 2 (a-b) 2=a 2-2ab+b 2 (a+b)(a 2 -ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b )(a 2+ab+b 2)=a 3- 归纳小结公式的变式, ① 位置变化, x y ② 符号变化, x y ③ 指数变化, x 2 y 2 ④ 系数变化, 2a b ⑤ 换式变化, xy z yx 2 x 2 y 2 2 2 2 xy xy xy 22 4 4 xy x y 2a b 22 4a 2 b 2 m xy zm 2 2 xy z m 22 x 2y 2 z m z m 22 2 2 xy z zm zm m 22 2 2 x 2y 2 z 2zm m b 3 准确灵活运用公式: ⑥ 增项变化, x y z ⑦ 连用公式变化, x ⑧ 逆用公式变化, x x y z x y z 例 1.已知 a b 2 , xyz 22 x y z 2 x y x y z 2 2 2 x xy xy y z 2 2 2 x 2xy y z 22 y x y x y 2 2 2 2 x y x y 44 xy 22 y z x y z x y z x y z 2x 2y 2z 4xy 4xz ab 1,求 a 2 b 2 的值 例 2.已知 a b 8, ab 2 ,求 (a b )2 的值 例 3:计算 19992-2000 ×1998 2 2 2 例 4:已知 a+b=2, ab=1,求 a+b 和 (a-b ) 的值。 22 例 5:已知 x-y=2 ,y-z=2 ,x+z=14 。求 x -z 的值。 例 6:判断( 2+1)( 22+1)(24+1)??( 22048+1) +1 的个位数字是几? 例 7.运用公式简便计算 (1)1032 (2) 1982 例 8.计算 (1) a 4b 3c a 4b 3c ( 2) 3x y 2 3x y 2

最经典的乘法公式综合应用与拓展(学生、教师两用版)

八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展 (学生版) ?、基本公式 1. 平方差公式:(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 2 例:计算 1999 -2000 X 1998 2 2 2 2. 完全平方公式(a+b) =a +2ab+b (a-b) 例:运用公式简便计算 3. 完全平方公式 a+b(或a-b)、ab 、a 2 +b 2 这三者任意知道两项就可以求出第三项 (a+b)2 、(a-b) 2 、ab 这三者任意知道两项就可以求出第三项 ① a 2 b 2 = (a b)2 - 2ab a 2 b 2 = (a-b) 2+2ab 2 2 2 2 ② (a-b) =(a+b) -4ab (a+b) =(a-b) +4ab (2) 完全平方公式变用 2:两个完全平方公式之和的整合 2 2 2 2 (a+b) + (a-b) =2 (a+b) 例1 ?已知a b 2 , ab =1,求a 2 b 2的值。 2 例 2.已知 a ? b = 8 , ab = 2,求(a - b)的值。 例3.已知a - b = 4, ab = 5,求a 2 b 2的值。 2 2 例 4 .已知 m +n =7, mn= —18,求 m — mr+ n 的值. 例 5 (3)已知:x+2y=7 , xy=6,求(x-2y)2 的值. 例6.已知a +丄=5,求(1) a 2 +W , (2) (a —丄)2 的值. a a a (1) 完全平方公式变用 1:利用已知的两项求第三项 2 2 2 =a -2ab+b (1) 1032 (2) 1982

1 1 例7.已知x -― =3,求x4■ ~4的值。 x x 2

2.2.3 运用乘法公式进行计算

2.2.3 运用乘法公式进行计算 1.熟练运用乘法公式进行计算;(重点、难点) 2.通过对不同的式子采取合适的方法运算,培养学生的思维能力和解题能力. 一、情境导入 1.我们学过了哪些乘法公式? (1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2. (2)完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2. 2.怎样计算:(a+2b-c)(a-2b+c). 二、合作探究 探究点:运用乘法公式进行计算 【类型一】乘法公式的综合运用 计算: (1)(2+1)(22+1)(24+1)…(216+1); (2)(a+b)2-2(a+b)(a-b)+(a-b)2; (3)(x-2y+3z)(x+2y-3z); (4)(2a+b)2(b-2a)2. 解析:(1)可添加(2-1),与首项结合起来用平方差公式,再把结果依次与下一项运用平方差公式; (2)逆用完全平方公式,能简化运算; (3)两个因式都是三项式,且各项的绝对值对应相等,所以可先运用平方差公式; (4)先利用积的乘方把原式变形为[(b+2a)(b-2a)]2,再利用平方差公式把中括号内的多项式的乘法展开,然后再利用完全平方公式展开即可. 解:(1)原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)…(216+1)=(22-1)(22+1)(24+1)…(216+1) =(24-1)(24+1)…(216+1)=232-1; (2)原式=[(a+b)-(a-b)]2=(a+b-a+b)2=4b2; (3)原式=[x-(2y-3z)][x+(2y-3z)]=x2-(2y-3z)2=x2-(4y2-12yz+9z2)=x2-4y2 +12yz-9z2; (4)(2a+b)2(b-2a)2=[(b+2a)(b-2a)]2=(b2-4a2)2=b4-8a2b2+16a4. 方法总结:运用乘法公式计算时,先要分析式子的特点,找准合适的方法,能起到事半功倍的作用.同时由于减少了运算量,能提高解题的准确率. 【类型二】运用乘法公式求值 如图,立方体每个面上都写有一个自然数,并且相对两个面所写两数之和相等. 若18的对面写的是质数a,14的对面写的是质数b,35的对面写的是质数c,试求a2+b2+c2-ab-bc-ca的值.

18.乘法公式(含答案)-

18.乘法公式 知识纵横 乘法公式(multiplication formula)是在多项式乘法的基础上,?将多项式乘法的一般法 则应用于一些特殊形式的多项式相乘,得出的既有特殊性、?又有实用性的具体结论,在复杂 的数值计算,代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应 用,在学习乘法公式时,应该做到以下几点: 1.熟悉每个公式的结构特征,理解掌握公式; 2.根据待求式的特点,模仿套用公式; 3.对公式中字母的全面理解,灵活运用公式; 4.既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合,综合运用公式. 例题求解 【例1】?(?1)?已知两个连续奇数的平方差为?2000,?则这两个连续奇数可以是______. (江苏省竞赛题) (2)已知(2000-a)·(1998-a)=1999,那么,(2000-a)2+(1998-a)2=________. (2000年重庆市竞赛题) 思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组;(2)视(2000-a)·(1998-a)为整体,?由平方 和想到完全平方公式(formula for the square the sum)及其变形. 解:(1)设两个连续奇数为x,y,且x>y,则 222000 2 x y x y ?-=± ? -= ? 得x+y=1000或x+y=-1000,解得(x,y)=(499,501)或(-501,-499). (2)4002 提示:(2000-a)2+(1998-a)2=[(2000-a)-(1998-a)]2+2(2000-a)·(1998-a) 【例2】若x是不为0的有理数,已知M=(x2+2x+1)(x2-2x+1),N=(x2+x+1)(x2-x+1),则M

乘法公式的拓展及常见题型整理

乘法公式的拓展及常见题型整理 例题:已知b a +=4,求ab b a ++222。 ⑴如果1,3=-=-c a b a ,那么()()()2 22a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ,则222 121y xy x ++= ⑶已知xy 2y x ,y x x x -+-=---222 2)()1(则= ⑴若()()a b a b -=+=2 2 713,,则a b 22 +=____________,a b =_________ ⑵设(5a +3b )2=(5a -3b )2+A ,则A= ⑶若()()x y x y a -=++2 2 ,则a 为 ⑷如果22)()(y x M y x +=+- ,那么M 等于 ⑸已知(a+b)2 =m ,(a —b)2 =n ,则ab 等于 ⑹若N b a b a ++=-2 2)32()32(, 则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。 ⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ,ad bd ac ,求) )((2222d c b a ++ 例题:已知(a+b)2 =7,(a-b)2 =3, 求值: (1)a 2 +b 2 (2)ab 例2:已知a= 201x +20,b=201x +19,c=20 1 x +21,求a 2+b 2+c 2-ab -bc -ac 的值 ⑴若499,7322=-=-y x y x ,则y x 3+= ⑵若2=+b a ,则b b a 422 +-= 若65=+b a ,则b ab a 3052++= ⑶已知a 2+b 2=6ab 且a >b >0,求 b a b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ,20062005+=x b ,20082005+=x c ,则代数式ca bc ab c b a ---++222的值 是 . (四)步步为营 例题:3?(22 +1)?(24 +1)?(28 +1)?(162+1) 6?)17(+?(72+1)?(74+1)?(78+1)+1 ()( )()()()224 4 8 8 a b a b a b a b a b -+ +++ 1)12()12()12()12()12()12(3216842++?+?+?+?+?+

乘法公式的综合运用

第三课时(乘法公式的综合运用) 一、学导目标:1.进一步理解乘法公式。 2.能熟练地运用乘法公式解题。 二、学导重点:熟练的利用平方差、完全平方公式进行混合运算。 三、学导难点:灵活运用乘法公式 四、目标导航 1.复习回顾两个公式。 2.自学例题:教材P65例2第(2)小题、P66例 3.(注意书上的解题方法。) 3.注意:难,小本节内容偏组内、小组间要认真交流,有困难的要问老师。 4.教材P66练习第1、2 题: 5.计算: (1)(x+3)2(3-x)2(2)(2a+b+1)(2a+b-1) (3)(a-2b-3)(a+2b+3) (4)(2a+b)2-(b+2a)(2a-b) 五、学导流程: (一)、出示目标:1.进一步理解乘法公式。 2.能熟练地运用乘法公式解题。

(二)、自学质疑:1、学生把课前没学完的可以再围绕“目标”和“目标导航”自学、对学、小组内展开。 2、教师深入其中查进度、问题汇总、导学。 3、检测“目标导航”有关内容。 (三)、汇报展示:1、各小组再小组长带领下共同展示目标内容 2、教师针对展示的结果进行分析、归纳组织学生再学、学会、会学。 五、测评提升: 1.先化简,再求值: (5y+1)(5y-1)-(5y+25y 2),其中y= 52 2.解方程: (1)(x+ 41)2–(x-41)(x+41)=41 (2)(x+1)(x-1)-(x+2)2=7 3.解不等式: 2(x+4)(x-4) (x-2)(2x+5) 4.计算 (1)(2x+3)3 (3)(2a-b-3c)2 5.计算: (1)已知x 2+xy =6 y 2+xy=10 求:1.(.x+y)2 2. x 2-y 2 3..x-y

乘法公式推广及应用

乘法公式推廣及應用 一、乘法公式: 1、基礎應背的公式 (1)分配率:()()a b c d ac ad bc bd ++=+++ (2)和的平方:222()2a b a ab b +=++ (3)差的平方:222()2a b a ab b -=-+ (4)平方差:22()()a b a b a b -=+- 2、進階推廣: (1)和的平方推廣:2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++ (2)立方和:3322()()a b a b a ab b +=+-+ (3)立方差:3322()()a b a b a ab b -=-++ (4)和的立方:333()3()a b a b ab a b +=+++ (5)差的立方:333()3()a b a b ab a b -=--- 3、應用: (1)簡化計算 (2)幾何面積 例題一 簡化計算 利用乘法公式,求下列各式的值: (1)250.8 (2)2159.5 (3)90.889.2? (4)229312931921921-??+ 例題二 求值應用 1、已知5,4a b ab +==求: (1)22a b + (2)22232a ab b -+的值 2、已知5,24a b ab -==,求: (1)22a b + (2)a b +的值

(1)化簡22(2)(2)(1)(3)(3)(1)x x x x x x +-++-+---的結果。 (2)利用(1)的結果,計算22848083857981?+-?- 二、因式分解: 1、各項提公因式法; 2、分組再分解; 3、利用乘法公式因式分解。 4、利用十字交乘法因式分解。 例一 各項題公因式法 (1)2(1)33x x -+- (2)2(1)(37)(1)x x x ---- (3)2(5)(204)x x x --- 例二 分組分解 (1)3227931x x x -+- (2)322510x x x +-- (3)3(32)(61)x x x ---

乘法公式变形及应用

乘法公式变形及应用 1、2a b a b ab +222()=(+)+ 2a b a b ab 2 22(-)=(+)- 2、4a b a b ab +22()=(-)+ 4a b a b ab 22 (-)=(+)- 3.2a b a b ab +222+=()- 2a b a b ab 222+=(-)+ ()()2 2 2 a b a b a b ++-2 2 += 4、4ab a b a b +2 2 =() -(-) 4 a b a b ab +2 2 ()-(-)= 2ab a b a +2 2 2 =()-(+b ) 2 a b a b ab +2 22()-(+)= 5、 a b b a --2 2 ()=() a b b a --3 3 ()=-() 练习题: 1、, ,a b a b +=22729+= ______a b 2 (-)=。 2、,,a b a b +22 436()=(-)= 求: ____________a b ab a b 2244++=。+=。 3、22 113,______m m m m +=则+ =。 2211 ____________m m m m -=。-=。 例1、若()2 15m n += ()2 5m n -=求mn ,2 2 m n +的 值。 变形1:若()2 215m n += ()2 25m n -=求 mn , 224m n +的值。 乘法公式变形及应用 1、 2a b a b ab +222()=(+)+ 2a b a b ab 2 22(-)=(+)- 2、 4a b a b ab +22()=(-)+ 4a b a b ab 22 (-)=(+)- 3.2a b a b ab +222+=() - 2a b a b ab 222+=(-)+ ()()2 2 2 a b a b a b ++-2 2 += 4、4ab a b a b +2 2 =() -(-) 4 a b a b ab +2 2 ()-(-)= 2ab a b a +2 2 2 =()-(+b ) 2 a b a b ab +2 22()-(+)= 5、a b b a --22()=() a b b a --33 ()=-() 练习题: 1、, ,a b a b +=22729+= ______a b 2 (-)=。 2、,,a b a b +22 436()=(-)= 求: ____________a b ab a b 2244 ++=。+=。 3、22113,______m m m m +=则+=。 2211 ____________m m m m -=。-=。 例1、若()215m n += ()2 5m n -=求mn ,22m n +的值。 变形1:若()2 215m n += ()2 25m n -=求 mn , 224m n +的值。 变形2、若()2 2315m n += ()2 235m n -=求mn , 22 94 m n + 的值。 变形3、若()()35436a a --=-,求()() 2 2 3543a a -+-的值。 例2、已知32232,16 3,1ab b a b a ab b a +-= =+求的值。 例3、已知2 441 13,x x x x ? ?+=+ ?? ?1求x-及x 例4、若2 2(1)0m n ++-=,则2m n +的值为________ 变形1、若2 2210,m n n ++-+=则2m n +的值为_ 变形2、若2244(1)0 m m n +++-=, 则2m n -的值为 变形3、若2 2 4250m n m n ++-+=,则2mn 的值为 例5、对于式子154622+-++b a b a 能否确定其值的正负性?若能,请说明理由. 例6、如果)122)(122-+++b a b a (=63,那么a+b 的值为多 变形2、若()2 2315m n += ()2 235m n -=求mn , 22 94 m n + 的值。 变形3、若()()35436a a --=-,求()() 2 2 3543a a -+-的值。 例2、已知32232,16 3,1ab b a b a ab b a +-= =+求的值。 例3、已知2 441 13,x x x x ? ?+=+ ?? ?1求x-及x 例4、若2 2(1)0m n ++-=,则2m n +的值为________ 变形1、若2 2210,m n n ++-+=则2m n +的值为_ 变形2、若2 2 44(1)0 m m n +++-=, 则2m n -的值为 变形3、若2 24250m n m n ++-+=,则2mn 的值为 例5、对于式子15462 2+-++b a b a 能否确定其值的正负性?若能,请说明理由. 例6、如果)122)(122-+++b a b a (=63,那么a+b 的值为多

专题一乘法公式及应用完整版

专题一乘法公式及应用 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

专题一乘法公式的复习一、复习: (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3 归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式: ①位置变化,xyyxx2y2 ②符号变化,xyxyx2y2 x2y2 ③指数变化,x2y2x2y2x4y4 ④系数变化,2ab2ab4a2b2 ⑤换式变化,xyzmxyzm xy2zm2 x2y2zmzm x2y2z2zmzmm2 x2y2z22zmm2 ⑥增项变化,xyzxyz xy2z2 xyxyz2 x2xyxyy2z2 x22xyy2z2 ⑦连用公式变化,xyxyx2y2 x2y2x2y2 x4y4

⑧ 逆用公式变化,xyz 2xyz 2 xyzxyzxyzxyz 2x 2y 2z 4xy 4xz 例1.已知2=+b a ,1=ab ,求22b a +的值。 解:∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ,1=ab ∴22b a +=21222=?- 例2.已知8=+b a ,2=ab ,求2)(b a -的值。 解:∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a - ∵8=+b a ,2=ab ∴=-2)(b a 562482=?- 例3:计算19992-2000×1998 例4:已知a+b=2,ab=1,求a 2+b 2和(a-b)2的值。 例5:已知x-y=2,y-z=2,x+z=14。求x 2-z 2的值。 例6:判断(2+1)(22+1)(24+1)……(22048+1)+1的个位数字是几? 例7.运用公式简便计算 (1)1032 (2)1982 例8.计算 (1)a 4b 3ca 4b 3c (2)3xy 23xy 2 例9.解下列各式 (1)已知a 2b 213,ab 6,求ab 2,ab 2的值。 (2)已知ab 27,ab 24,求a 2b 2,ab 的值。 (3)已知aa 1a 2b 2,求222 a b ab +-的值。

乘法公式地灵活运用

文案大全 乘法公式的灵活运用 一、复习: (a+b)(a-b)=a 2 -b 2 (a+b)2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b)2 =a 2 -2ab+b 2 (a+b)(a 2 -ab+b 2 )=a 3 +b 3 (a-b)(a 2 +ab+b 2 )=a 3 -b 3 归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式: ① 位置变化,(x +y )(-y +x )=x 2 -y 2 ② 符号变化,(-x +y )(-x -y )=(-x )2 -y 2 = x 2 -y 2 ③ 指数变化,(x 2 +y 2 )(x 2 -y 2 )=x 4 -y 4 ④ 系数变化,(2a +b )(2a -b )=4a 2 -b 2 ⑤ 换式变化,[xy +(z +m )][xy -(z +m )] =(xy )2 -(z +m )2 =x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2 -(z 2 +zm +zm +m 2 ) =x 2y 2 -z 2 -2zm -m 2 ⑥ 增项变化,(x -y +z )(x -y -z ) =(x -y )2 -z 2 =(x -y )(x -y )-z 2 =x 2 -xy -xy +y 2 -z 2 =x 2 -2xy +y 2 -z 2 ⑦ 连用公式变化,(x +y )(x -y )(x 2 +y 2 ) =(x 2 -y 2 )(x 2 +y 2) =x 4 -y 4 ⑧ 逆用公式变化,(x -y +z )2 -(x +y -z )2 =[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz 例1.已知2=+b a ,1=ab ,求22b a +的值。 解:∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴2 2b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ,1=ab ∴22b a +=21222 =?- 例2.已知8=+b a ,2=ab ,求2)(b a -的值。 解:∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 2 22b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2 )(b a - ∵8=+b a ,2=ab ∴=-2)(b a 562482 =?- 例3:计算19992 -2000×1998 〖解析〗此题中2000=1999+1,1998=1999-1,正好符合平方差公式。 解:19992 -2000×1998 =19992 -(1999+1)×(1999-1) =19992 -(19992 -12 )=19992 -19992 +1 =1 例4:已知a+b=2,ab=1,求a 2 +b 2 和(a-b)2 的值。 〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。 解:a 2 +b 2 =(a+b)2 -2ab=4-2=2 (a-b)2 =(a+b)2 -4ab=4-4=0

七年级数学乘法公式及应用

乘法公式的应用与拓展 【基础知识概述】 一、 基本公式:平方差公式:(a +b )(a -b )=a 2—b 2 完全平方公式:(a +b )2=a 2+2ab +b 2 (a -b )2=a 2-2ab +b 2 变形公式:(1)()2222a b a b ab +=+- (2)()2222a b a b ab +=-+ (3) ()()222222a b a b a b ++-=+ (4) ()()224a b a b ab +--= 二、思想方法: ① a 、b 可以是数,可以是某个式子; ② 要有整体观念,即把某一个式子看成a 或b ,再用公式。 ③ 注意公式的逆用。 ④ 2a ≥0。 ⑤ 用公式的变形形式。 三、基础练习: 1.填空: (1)平方差公式(a +b )(a -b )= ; (2)完全平方公式(a +b )2= ,(a -b )2= . 2.运用公式计算: (1) (2x -3)2 (2) (-2x +3y )(-2x -3y ) (3) (1 2m -3)(1 2m +3) (4) (13x +6y )2 3.判断正误:对的画“√”,错的画“×”. (1)(a +b )2=a 2+b 2; ( ) (2)(a -b )2=a 2-b 2; ( ) (3)(a +b )2=(-a -b )2; ( ) (4)(a -b )2=(b -a )2. ( ) 6.运用乘法公式计算: (1) (a +2b -1)2 (2) )132)(132(++--y x y x 四、典型问题分析: 1、顺用公式:计算下列各题: ① ()()()()()224488a b a b a b a b a b -++++

平方差、完全平方差、运用乘法公式计算

平方差、完全平方差、运用乘法公式计算乘法公式------平方差公式一、预习导学计算下列多项式的积.(1)(x+1)(x-1)(2)(m+2)(m-2)(3) (2x+1)(2x-1)(4)(x+5y)(x-5y)议一议:观察上述算式,你发现什么规律运算出结果后,你又发现什 么规律【归纳总结】两个数的和与这两个数的差的积,等 于这两个数的平方差.即: (a+b)(a-b) =a2-b2 想一想: 下列各式计算对不对若不对应怎样改正(1) (x+2)(x-2)=x2-2 (2) (-3a-2)(3a-2)=9a2-4 填 一填: (a+b)(-b+a) = (3a+2b)(3a-2b)= 公式的结构特征① 公式的字母 a、 b 可以表示数,也可以表示单 项式、多项式;② 要符合公式的结构特征才能运用平方差公式; ③ 有些式子表面上不能应用公式,但通过适当变形实质上能应用公式. ? 如: (x+y-z)(x-y-z) =[(x-z) +y] [(x-z) -y]=(x-z) 2-y2.二、合作探究互动探究一: 运用平方差公式计算: (1)(3x+2)(3x-2)(2)(b+2a)(2a-b)(3)(-x+2y)(-x-2y)在例 1 的(1)中可以把 3x 看作 a, 2 看 作 b.即:

(3x+2)(3x-2) =(3x)2 - 22 (a + b)(a - b) = a2 - b2 互动探究二: 下列哪些多项式相乘可以用平方差公式知识点一、平方差公 式的概念知识点二、平方差公式的运 用)32)(32(baba+a )32)(32(babab++a )32)(32(baba++ )32)(32(bab))((cacb++))((cbacba+ 三、巩固练习【当堂检测】: 1.填空(1)(__+__)(__+__) =942a (2)(x+2)(x-2) = () (3) (-3a-2) (3a-2) = ()(4) (a+2b+2c)(a+2b-2c)写成平方差公式形式: 2.计算(1) 10298 (2) (a+b)(a-b)(a2+b2) (3)(y+2)(y-2) -(y-1)(y+5)(4) (b+2a)(2a-b)(5)(-x+2y)(-x-2y)(6)(a+2b+2c) (a+2b-2c)(7)(xy+1)(xy-1)(8) (2a-3b) (3b+2a) (9) (-2b-5) (2b-5) (10)( x-y) ( x+y) (11)(3x+4) (3x-4) -(2x+3) (2x-2) (12)998 1002 完全平方 公式一、基本训练,巩固旧知 1. 填空: 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数 的,即 (a+b)(a-b) = ,这个公式叫做 公式. 2. 用平方差公式计算 (1) (-m+5n) (-m-5n) (2) (3x-1)(3x+1) (3) (y+3x)(3x-y) (4) (-2+ab) (2+ab) 二、创设情境,总结公式 1 做一做填空:

【北师大版】七年级数学下册《活用乘法公式进行计算的六种技巧》专题试题(附答案)

北师大版七年级数学下册专题训练系列(附解析)

专训1活用乘法公式进行计算的六种技巧名师点金: 乘法公式是指平方差公式和完全平方公式,公式可以正用,也可以逆用.在使用公式时,要注意以下几点:(1)公式中的字母a,b可以是任意一个式子;(2)公式可以连续使用;(3)要掌握好公式中各项的关系及整个公式的结构特点; (4)在运用公式时要学会运用 一些变形技巧. 巧用乘法公式的变形求式子的值 1.已知(a+b)2=7,(a-b)2=4.求a2+b2和ab的值. 2.已知x+1 x=3,求x 4+ 1 x4的值.

巧用乘法公式进行简便运算 3.计算: (1)1982;(2)2 0042; (3)2 0172-2 016×2 018; (4)1002-992+982-972+…+42-32+22-12. 巧用乘法公式解决整除问题 4.试说明:(n+7)2-(n-5)2(n为正整数)能被24整除.

应用乘法公式巧定个位数字 5.试求(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1的个位数字. 巧用乘法公式解决复杂问题(换元法) 6.计算20 182 0172 20 182 0162+20 182 0182-2 的值. 巧用乘法公式解决实际问题(分类讨论思想) 7.王老师在一次团体操队列队形设计中,先让全体队员排成一方阵(行与列的人数一样多的队形,且总人数不少于

25人),人数正好够用,然后再进行各种队形变化,其中一个队形需分为5人一组,手执彩带变换队形,在讨论分组方案时,有人说现在的队员人数按5人一组分将多出3人,你说这可能吗? 答案 1.解:(a+b)2=a2+2ab+b2=7, (a-b)2=a2-2ab+b2=4, 所以a2+b2=1 2×(7+4)= 1 2×11= 11 2, ab=1 4×(7-4)= 1 4×3= 3 4. 2.解:因为x+1 x=3,所以? ? ? ? ? x+ 1 x 2 =x2+ 1 x2+2=9. 所以x2+1 x2=7.所以? ? ? ? ? x2+ 1 x2 2 =x4+ 1 x4+2=49.

最经典的乘法公式综合应用与拓展(学生、教师两用版)

八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展(学生版) 一、基本公式 1.平方差公式:(a+b)(a-b)=a 2-b 2 例:计算19992-2000×1998 2.完全平方公式 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 例: 运用公式简便计算 (1)1032 (2)1982 3.完全平方公式 (1)完全平方公式变用1:利用已知的两项求第三项 a+b(或a-b)、ab 、a 2+b 2这三者任意知道两项就可以求出第三项 (a+b)2、(a-b)2、ab 这三者任意知道两项就可以求出第三项 ①22b a +=ab b a 2)(2-+ 22b a +=(a-b)2+2ab ②(a-b)2=(a+b)2-4ab (a+b)2=(a-b)2+4ab (2) 完全平方公式变用2:两个完全平方公式之和的整合 (a+b)2+ (a-b)2=2(a 2+b 2) 例1.已知2=+b a ,1=ab ,求22b a +的值。 例2.已知8=+b a ,2=ab ,求2)(b a -的值。 例3.已知a b ab -==45,,求a b 22+的值。 例4 .已知m +n =7,mn =-18,求m 2-mn + n 2的值. 例5 (3)已知:x +2y =7,xy =6,求(x -2y )2的值. 例6.已知a +a 1=5,求(1)a 2+21 a ,(2)(a -a 1 )2 的值. 例7.已知1 3x x -=,求441 x x +的值。

例8.解下列各式 (1)已知a 2+b 2=13,ab =6,求(a +b )2,(a -b )2的值。 (2)已知(a +b )2=7,(a -b )2=4,求a 2+b 2,ab 的值。 (3)已知a (a -1)-(a 2 -b )=2,求22 2a b ab +-的值。 (3)完全平方公式变用3: 几个数的和的平方推广 几个数的和的平方,等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。 (a +b +c )2=a 2+b 2+c 2 +2ab +2bc +2ac 公式的证明: (a +b +c )2 =[(a +b )+c ]2 =(a +b )2+2(a +b )?c +c 2 =a 2+2ab +b 2+2ac +2bc +c 2 =a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac 例.计算 (1)(x 2-x +1)2 (2)(3m +n -p )2 4.立方和与立方差公式 (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3 (a-b)(a2+ab+b2) =a 3-b 3 =a 3+a 2b-a 2b-ab 2+ab 2+b 3 =a 3-a 2b+a 2b-ab 2+ab 2-b 3 =a 3+b 3 =a 3-b 3 二、公式的灵活运用 1.对公式的基本变用 (1)位置变化,(x +y )(-y +x )=x 2-y 2 (2)符号变化,(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 2.整体思想的应用 (1)应用整体思想,首先要能识别公式中的“两数”. 例1 计算(-a 2+4b )2 分析:运用公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2时,____就是公式中的a ,____就是公式中的b ;若将题目变形为(4b -a 2)2时,则____是公式中的a ,而____就是公式中的b .(解略) 练习1. 计算:()()53532222x y x y +- 练习2. 计算:(x -y +z )(x -y -z ) 练习3. 计算:( [xy +(z +m )][xy -(z +m )] 练习4. 计算:()()x y z x y z +-++26 (2)应用应用整体思想,其次能正确选取负号和减号 例计算:(-2x 2-5)(2x 2-5) 分析:本题两个因式中“-5”相同,“2x 2”符号相反,因而____是公式(a +b )(a -b )=a 2-b 2中的a ,而____则是公式中的b . 解:原式= (3)应用整体思想,要善于分组加括号 根据原式各项负号的异同(看前面括号和后面括号哪些项符号相同,哪些项

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